小练27 平面向量的数量积及其应用-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练27平面向量的数量积及其应用 (考试时间：30分钟满分：84分) 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 6.人脸识别技术应用在各行各业，改变着人 1.已知△ABC的顶点坐标为A(1,1),B(4, 类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算 1),C(3,3),则c0sA= 机分析人脸视频或者图像，并从中提取出 A司 有效的识别信息，最终判别人脸对象的身 份.在人脸识别中为了检测样本之间的相 c号 n是 似度，主要应用距离的测试，常用的测量距 离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设 2.(教材改编题)若向量a,b满足b=2,且 二维空间中有两个点A(x1,y),B(x2, (a+b)⊥b,(2a+b)⊥a,则a= y2),O为坐标原点，余弦相似度为向量OA, A.2 B. n号 OB夹角的余弦值，记作cos(A,B),余弦距 C.1 离为1-cos(A,B).已知P(sina,cosa), 3.(教材改编题)已知△ABC的外接圆圆心为 Q(sinB,cosβ)，R(sina,-cosa),若P,Q 0,且2Aò=AB+AC,1A01=|AB=1, 的余弦距离为3Q,R的余弦距离为2，则 则向量BA在向量BC上的投影向量的模 tana·tanB= 长为 A号 A.7 R号 B安 C.4 7.如图所示，△ABC中，AB=AC=16,BC= c受 16,Bi=BC,Di=DA,则BE· D.1 CE- 4.已知O,N,P在△ABC所在平面内，满足 OA=OB=OCI,NA+NB+NC=0, B 且PA.PB=PB.PC=-PC.PA,则点O, A.-161 N,P依次是△ABC的 B.-232 A.重心，外心，垂心 C.-291 B.重心，外心，内心 D.-300 C外心，重心，垂心 D.外心，重心，内心 8.已知OA=1,|OB=√3，OA⊥OB,点C 5.已知向量a≠e,e=1,对任意的t∈R,恒 在∠AOB内，∠AOC=30°，设OC=mOA 有|a一te≥|a一e,则下列结论一定成立 十nOB,则”= n 的是 B.3 A.a⊥e B.a⊥(a-e) C.3√ C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e) 53 9.(多选)下列关于平面向量的运算中，错误的是13.(5分)如图，一滑轮组中有两个定滑轮A, A.(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d) B,在从连接点O出发的三根绳的端点处， B.(a-b)·c=b·(a-c) 挂着3个重物，它们所受的重力分别为 C.(a·b)·c=b·(a·c) 4N,4N和4√N.此时整个系统恰处于 D.若a·b=a·c,则b=c 平衡状态，则∠AOB 10.(多选)已知平面向量a=(1,√3)，b= (3,√)，则下列说法正确的是 A.a+b=27 4N B.b·(b-a)=6 4V3N C.a与b的夹角为晋 14.(5分，教材改编题)设向量a,b,c满足 |a|=b=2,a·b=-2,〈a-c,b-c>= D.a在b上的投影向量为2b 60°，则|c的最大值为 15.(5分，教材改编题)如图，正方形ABCD 11.（多选)中国象棋是我国发明的一种古老 的边长为a,E是AB的中点，F是BC边 的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中 上靠近点B的三等分点，AF与DE交于 华文明非物质文化的经典产物.如图，棋 点M,则sin∠EMF= 盘由边长为1的正方形方格组成，已知 D “帅”“炮”“马”“兵”分别位于A,B,C,D四 点，“马”每步只能走“日”字，图中的“马” 走动一步到达点C,则AD·BC的值可 能为 16.(5分，教材改编题)已知△ABC中，AC= 兵 1,BC=√3，AB=2,点M,N是线段AB上的 动点，则CM·CV的最大值为，最 马 小值为 A.-10B.-12 C.-11 D.-14 12.(多选)如图，在△ABC中，∠BAC=60°， AB=4,AC=6,点D为BC的中点，AE= mAB,AF=nAC(m,n>0),AD与EF交 于点G,AG=入GD,则下列结论正确的是 D A.当X=2时，AG=}A店+}Ad B当A=2时动十是3 C.当λ=3时，3AB·AG=28 D.若BG.AC=-6,则入=3 54参考答案及解析 (一2,2)，：点B绕点A沿顺时针方向旋转平 等价于点B绕点A沿逆时针方向旋转红，∴A市 (（一Ecos平-2Esin只，-Esin2年+2Ecos要)】 =(1,3),∴.P(2,5).故选C. 9.BD【解析】对于A,因为26一6=-2（-4e十 2e),故2e1-e2,-4e1十2e2共线，不能作为基底；对 于B,2e-e2,2e2不共线，可以作为基底；对于C,因 为6-e=合(2e,-2e),所以e-e,2e-20,共 线，故不可以作为基底；对于D,e一e,e1十e不共 线，可以作为基底.故选BD. 10.ABC【解析】设第四个顶点为D(x,y),当AD= BC时，(x-3,y-7)=(-3,-8),解得x=0,y= 一1，此时第四个顶点的坐标为(0，-1)：当AD=CB 时，(x-3,y-7)=(3,8),解得x=6,y=15,此时第 四个顶点的坐标为(6,15)：当AB=CD时，(1，一1) =(x-1,y十2)，解得x=2,y=-3,此时第四个顶 点的坐标为(2，一3).综上，第四个顶点的坐标为(0， -1)或(6,15)或(2，-3).故选ABC. 11.ACD【解析】由题意可得点A在单位圆上，对于 A81-终-8,8=子4=晋4=8 5 票，点4：(=1,23，)的横坐标都不相同，A满 足条件：对于B.91=经-0=平A=竞6 0-登a=竖a-头8-华因为os要- cos(2x一平)=cos平，则AA,的横坐标相同A: (k=1,2,3,…,7)不可能在同一函数图象上，B不 满足条件：对于C.A1=警-，A=开，风=吾 8-7登8-语8=告a=点A=123 …,6)的横坐标都不相同，C满足条件；对于D, 1=g-aa=意a=语a=0=0器 -需8-4-货a-器点A=1,2 3,·,8)的横坐标都不相同，D满足条件.故 选ACD. 12.6-。【解析】如图， D 数学 根据平行四边形的性质可知O市=号B市 合ad-a)=6. 13.(4,-2)(答案不唯一)【解析】因为a= (-1,3),b=(3,-4),所以a十b=(-1,3)十 (3,-4)=(2,-1),又c∥(a+b)且c≠0，所以 c=A(a十b)(A≠0)，则c=(2λ，-λ)(A≠0)，不妨 令λ=2，则c=(4,-2). 14.√3-1【解析】由题意设T(t,0),则wt十g=π+ 2kπ，kCZ,解得=+2km-9,k∈Z,设A(,w), 则=cos(w十o),因为Ti=2AB,所以A为线段 TB的中点，所以B(2。-+2km二9,2)，k∈Z, 又点B在函数f(x)的图象上，所以2%=cos(2w-π -2kr十p十p)=-cos[2(a十9)]=-[2cos2(a+ p)-1]=-2y%十1，即2y十2y-1=0,所以y= 1(负值舍去)，则点B的纵坐标是-1. 2 15.解：(1)1Op1=√3e+2e) =√9ei+4ei+12e1·e2 =/9+4+6=/19. (6分) (2)e,e,作为一组基底，对于任意向量OP=e1+ e2,x,y都是唯一确定的，所以本题中对向量坐标 的规定合理. (13分) 小练27平面向量的数量积及其应用 1,C【解析】由△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1, 1),B(4,1),C(3,3),可得AB=(3,0),AC=(2,2),则 |AB|=3,|AC=2√2且AB·AC=6,所以cosA= 流专数a心 cos(A店，AC=,A店·AC 2.B【解析】由已知可得，(a十b)·b=a·b十b=a· b+4=0,所以a·b=-4.又(2a十b)·a=2a2+a· b=2a2一4=0，所以a2=2,所以a=√2.故选B. 3.B【解析】由2AO=AB+AC,可知O为BC的中 点，故BC边为圆0的直径，所以A=受，又|A0|= |AB=1,所以△ABO为正三角形，则有|BA|= 号|B心，所以B=受，向量BA在BC上的投影向量 的模长为Bc©s吾=之故选B 4.C【解析】因为1OA|=|OB|=|O心1，所以O到 定点A,B,C的距离相等，所以O为△ABC的外心； 由NA+NB+VC=0,得NA+NB=-NC,取AB的 中点E,则NA+N市=2NE=C,所以2|NE|= |C|,所以N是△ABC的重心；由PA·PB=PB· 数学 PC=PC.PA,得(PA-PC)·PB=O,即CA·Pi 0,所以AC⊥PB,同理AB⊥PC,所以点P为△ABC 的垂心.故选C, 5.C【解析】由a-te≥|a-e|,可得a-2ta·e+ te≥a2-2a·e+e,又|e|=1,令a·e=m,则上式 等价于'-2mt十2m-1≥0，对任意的t∈R恒成立， 故△=4m2-4(2m-1)≤0，解得m=1,即a·e=1. 对于A,由于a·e=1≠0，故a⊥e不成立，A错误；对 于B,a·(a一e)=a2-a·e=a一1，不确定其结果， 故a⊥(a-e)不一定成立，B错误；对于C,e· (a-e)=a·e-1=0,故e⊥(a-e),C正确；对于D, (a十e)·(a-e)=a-1,不确定其结果，故(a十e) ⊥(a-e)不一定成立，D错误.故选C. 6.A【解析】由OP=(sina,cosa),Od=(sinB, cosB),O求=(sina,-cosa),可得cos(P,Q) o2.o0 OPOQ =in+=号，os(Q,R) =0.0求 1OQ110求1 T=sin asin-cos acosB=7,所以 sin asin月-2月=b,所以tan atang- 7 sin asin=7.故选A. cos acos B 7.A【解析】由题意，B驼=BA+A龙=BA十三AD= 丽+冬(B励-Bi)=Bi+是(BC-BA) 十AB+是BC=-子A店+是(A心-A)= Ai+是A心，C成=A范-A衣=子A市-A心- (BD-BA)-AC -3(B-BA)-AC 品B心-Bi-A心=是（心-A)+早A店-Ad =号A立-是AC,在△ABC中，由余弦定理得 ∠BAC=16+6)=-三，所以应· 2×16×16 庞=(-6A+是AC)·(号A店-AC) 一器证+器花.花-器衣=一器×16十 8×16×16×(-号）一器×16=-161.故选N 8.B【解析】：O元.OA=moA1+nOA.Oi=m, 0花.0i=m0i.0i+n0i12=3m,别 :引漂部=1贵=做法 9.BCD【解析】因为(a十b)十(c十d)=(a十c)十 (b十d),故A正确；因为(a-b)·c=a·c-b·c, ·5 参考答案及解析 b·(a-c)=a·b-b·c,a·c-b·c≠a·b-b·c, 故B错误；因为(a·b)·c表示与c共线的向量，b· (a·c)表示与b共线的向量，而c与b不一定共线， 故(a·b)·c与b·(a·c)不一定相等，故C错误： 若a=0,且a·b=a·c,则b与c是任意向量，故D 错误，故选BCD. 10.ABD【解析】对于A,因为a十b=(4,2√5)，所以 |a十b=√4十(23)=27，故A正确：对于 B,因为b-a=(2,0),所以b·(b-a)=6,故B正 确：对于C,因为a·b=6,|a=2,|b川=2W3,则 a.b1a:a-9,因为a,6∈[0,1， a·b 所以a与b的夹角为晋，故C错误：对于D,结合C 可知，a在b上的投影向量为6.b6:故D正 确.故选ABD. 11.ACD【解析】根据题意建立平面直角坐标系，如图 所示， y 则A(0,-2),B(-3,0),C(3,-2),D(-2,1),“马” 走一步可能到达E,F,G三点中的一点，因为E(1, -1),F(2,0),G(4,0),所以BE=(4,-1),BF=(5, 0),BG=(7,0).又AD=(-2,3),所以AD·BE= -11,AD.BF=-10,AD.BG=-14.故选ACD. 12.ABD【解析】因为点D为BC的中点，所以AD 合(A市+A心)，对于A,当入=2时，即AG=2G市， 所以A花=号A市=号×号(A弦+A衣)=号A店+ 号A心，故A正确：对于B,当入=2时，因为E,G,F 三点共线，且AE=mAB(m>0),A市=nAC (n>0),所以AG=xAE+(1-x)AF=xmAB+ (1-x)nAC,所以AG=子A店+号AC=mA店+ (1-x)nAC,又AB,AC不共线，所以 xm=3 )=】消元整理得3m十3n1,即+1 =3,故B正确；对于C,当入=3时，AG=3GD, AG=A市=子×号(A+AC)=是(A店+AC. 参考答案及解析 所以A市.A心=A站.号(A+AC)=是(A店，A店 +AB.AC),因为∠BAC=60°，AB=4,AC=6,所 以A店.AG=冬×(16+4X6×c0s60)=号，所以 3A店，AG=,故C错误：对于D,BG=BD-G成 =号d-中前=号adA商中×号+ A心，设y=产则B心=（受-1）A范+兰AC,Bd ·A花-[（名-1）A+A]·AC=(名-1： Ai.AC+AC.AC=(号-1)×4×6Xcos601 +÷×36=6y-12+18y=24y-12=-6,解得y= 子，所以y产=子，解得=日故D正确放选 ABD. 13. 【解析】如图， :OA+Oi=OC,∴.OA2+2OA·OB+OB=O心 ∴.1OA12+21OA|·1OB1cos∠AOB+1OB12= 1O元1？，即42+2X4×4×cos∠AOB+4=(43)2, 解得Os∠A0B=合.：0<∠AOB<x, ·∠AOB=号. 14.4【解析】a·b=a|bcos<a,b)=4cos<a,b>= -2,∴c0s<a,b=-合a,b)=1202.如图所示， 60° 1209 b-c b D 设AB=a,AD=b,AC=c,则CB=a-c,CD=b-c, ∠BCD=60°，又∠BAD=120°，.A,B,C,D四点共 圆，∴.当AC为圆的直径时，c最大，此时AB=2, ∠ACB=30°，.AC=4.故c的最大值为4. 15.3 10 ,【解析】由题图可知cos∠EMF=cos<AF,DE), 不妨设{AB,AD}为平面的一组基底，由题意可知 A市-A+萨-A店+号B心=A范+号A市，D成 ·5 数学 Di+A花--A市+号A范，叉因为A创=|Aò= a,A店，Aò=受，所以|A=A店+号Aò √(+号a动)-√+市+号应.市= V++0==+2 √-茄+合-√迹+-动·应 =V+d-0-9,又萨.D成=（蓝+ }A)·(-A市+2A)=-}A市+号A彦 哥ai.A店=-号d+a-0=吉a,所以 os∠BMF=os(A,D2)=A:D雨 A市.D龙 指以mEr-得 16.30【解析】AC=1,BC=√3，AB=2,AC+ BC=AB,∴AC⊥BC.如图，作CD⊥AB,垂足 为D. B :1×5=2CD.:CD=停又≤ d<,<≤，且0≤ci.i< 90,Ci.Cd=CM·Cd1cos(Ci,Ci),当点 M,N均与点B重合时，CM·C最大，最大为 CM.CN=√5X√5Xcos0°=3：当点M与点B重 合，点N与点A重合，或者点M与点A重合，点N 与点B重合时，CM·CV最小，最小为CM·CN= √3×1Xc0s90°=0. 小练28复数 1.C【懈折】高+2i=2+21=-2+i,其共钜 2-4 复数为-2-i.故选C. 2.D【解析】因为3ix=3+i,所以=3十=(3+i)i 32 =4-=号i则…=（分一-）（分+） -3 (合）°-=吕故选D