精品解析：山东济南市槐荫区2026年学业水平阶段性调研测试 九年级数学

2026年学业水平阶段性调研测试 九年级数学 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 21相反数是（　　） A. 21 B. -21 C. - D. 2. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年的九三阅兵中，受阅官兵总人数约为.将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 8. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 若分式有意义，则满足的条件是________． 12. 因式分解：________． 13. 如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度． 14. 如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 15. 将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，展开后，沿、折叠，使点、点的对应点都落在折痕上，再次展开后，沿折叠，点点的对应点为点．点为线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点落在上，若，则的长为________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 17. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 18. 如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC的延长线上，连接BE、DE，求证：． 19. 图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，液晶显示屏的宽AB为． （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到） （2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到）（参考数据：） 20. 如图，以的边为直径作半圆，交于点，连接，，且，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 21. 为响应槐荫区勾股数学杯校际联赛的号召，激发学生对数学学习的热情，某校八年级精心举办了一场数学答题挑战赛（满分分）．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组： ：；：；：；：；：． 下面给出了部分信息： a：组的数据：、、、、、、、、、、、、、、、． b：图与图分别为不完整学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）请补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为________度； （4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数为________分； （5）该校八年级共人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数． 22. 学校计划购买型无人机和型无人机作为“科技铸就强国”演讲比赛的奖品．已知购买2个型无人机和3个型无人机共需650元，购买4个型无人机和5个型无人机共需1150元． （1）求型无人机、型无人机单价： （2）若学校准备购买型无人机、型无人机共10个，且型无人机的数量不多于型无人机数量的，购买型无人机多少个时，采购费用最少？最少费用为多少元？ 23. 将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将三角板绕点顺时针旋转至， ①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标； ②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 24. 【先导问题】 （1）如图1，中，，，若，则________度； （2）【提炼模型】如图2，在中，，，且满足，求证：； （3）【识别模型、应用模型】如图3，直线上有一定点，，，点为直线上一点，连接，，且满足，求最小值． 以下是某数学小组根据波利亚四步解题范式进行的解题活动，供你参考： 1．理解题目：题目中给出的条件有哪些，各有什么作用？要解决怎样的问题？ 2．拟定计划：建立问题（3）与提炼模型环节的联系，并构建解题思路。 ①由题目中的条件可以得到的积是定值，根据前面的提炼模型环节，结合等积式并利用乘积定值这个条件，能得到什么结论？ ②利用①的结论，并结合（3）中的条件，依据提炼出的模型，你能构造出怎样的图形？得到什么结论？ ③对于该最值问题，我们应该分析哪些点为定点，哪些点为动点，如何求解该类最值问题？ 3．执行计划：写出你的解决方案。 4．反思提升：回顾本题的解题过程，你有哪些感悟？解决最值问题的方法有哪些？ 25. 已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． （1）当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； （2）如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； （3）如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年学业水平阶段性调研测试 九年级数学 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 21的相反数是（　　） A. 21 B. -21 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据相反数的定义求解即可． 【详解】21的相反数是-21， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的知识；解题的关键是熟练掌握相反数的性质，从而完成求解． 2. 如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，根据俯视图是从上面观察几何体，画出平面图形即可． 【详解】解：图中几何体的俯视图，如图所示： 故选：C． 3. 在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年的九三阅兵中，受阅官兵总人数约为.将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数，关键是确定和的值；根据科学记数法表示形式为：，，为整数位数减． 【详解】解：∵， ∴D选项正确． 故答案为：D． 4. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是中心对称和轴对称定义的熟练掌握．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解:A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则B不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则D符合题意． 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，故此选项错误； B、根据幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，故此选项错误； C、根据积的乘方，各因式分别乘方再相乘，，故此选项错误； D、根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故此选项正确． 6. 如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形外角和，三角形内角和等知识．由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：在五边形中，， ∴； 故选：B． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ） A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 故选：D． 8. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为，画出树状图，找到所有情况数和满足要求的情况数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为，画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能情况，他选择“100米”与“400米”两个项目即选择C和D的情况数共有2种， ∴选择“100米”与“400米”两个项目的概率为， 故选：C 【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情况数和满足要求情况数是解题的关键． 9. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、勾股定理，连接，由三角形内角和定理求出，根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，，由三角形外角的性质求出，进而求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则即， 解得． 故选：B． 10. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，待定系数法求二次函数解析式等．根据题意求出的值，代入得到的关系，再根据对称轴在直线的右侧即可求出本题答案． 【详解】解：∵点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 将代入中，， 解得：， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴，即， ∴， 故④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴③错误，不符合题意， 综上所述：正确的是①②④， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 若分式有意义，则满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不能为零求解即可. 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母，即. 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 13. 如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度． 【答案】50 【解析】 【分析】先利用角平分线的定义求出的度数，再结合平行线的性质得到与的关系，最后结合垂直的性质和三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：平分， ． ， ． ， ． 14. 如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 【答案】## 【解析】 【分析】设乙出发后经过x小时追上甲，根据乙追上甲时两人的路程相等列方程，求解即可． 【详解】解：设乙出发后经过x小时追上甲， 甲在段的速度是， 乙的速度为， ∴， 解得， ∴乙出发后经过追上甲． 15. 将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，展开后，沿、折叠，使点、点的对应点都落在折痕上，再次展开后，沿折叠，点点的对应点为点．点为线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点落在上，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用矩形对折性质得到为中点，，再由两次折叠的性质得到，设，在中用勾股定理列方程求出，得到；接着根据沿I折叠的性质得到，设，用表示，在中由勾股定理列方程求解，最终得到． 【详解】解：∵矩形中，对折与重合，得是中点， ∴， 沿折叠到上，得； 沿折叠对应点为，得， 设， 对用勾股定理：，代入，，， 得：， 展开解得，即， ∴， 沿折叠到上的，得，， ∴， 设，则，故， 由折叠性质得，在中：  展开化简得， 解得​， 即． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先利用零次幂、算术平方根、负整数次幂、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 17. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，所有正整数解为： 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分，不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．然后从解集中找出所有的正整数即可． 【详解】解：解不等式①得： ∴ 解不等式②得： ∴ ∴不等式组的解集为： ∴它的所有正整数解为：． 18. 如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC的延长线上，连接BE、DE，求证：． 【答案】 证明：连接BD交AC于O． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC是BD的垂直平分线， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到AC是BD的垂直平分线，利用线段的垂直平分线的性质即可求解． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 19. 图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角（即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，液晶显示屏的宽AB为． （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到） （2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由已知得AP＝BP＝AB＝17cm，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE； （2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC． 【详解】解：（1）由已知得：， 在中， ， （cm）， 答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为； （2）如图， 过点B作于点F， ． ， 在中， ， ， ， ， ， （cm）． 答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 20. 如图，以的边为直径作半圆，交于点，连接，，且，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接半径，由判定为等腰三角形；结合，利用同弧所对圆心角是圆周角倍的性质，证得；进而由推出，根据切线判定定理(半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线)，证明是的切线； （）先在中，利用勾股定理求出BP的长度；再根据是半圆直径，由直径所对的圆周角为直角，得到，结合，证明；然后根据相似三角形的对应边成比例，列出比例式求出的长度，最后由半径为直径的一半，算出的半径为． 【小问1详解】 解：证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 21. 为响应槐荫区勾股数学杯校际联赛的号召，激发学生对数学学习的热情，某校八年级精心举办了一场数学答题挑战赛（满分分）．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组： ：；：；：；：；：． 下面给出了部分信息： a：组的数据：、、、、、、、、、、、、、、、． b：图与图分别为不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）请补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为________度； （4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数为________分； （5）该校八年级共人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数． 【答案】（1）随机抽取的八年级学生人数为人 （2）见解析 （3） （4） （5）估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数为人 【解析】 【分析】（1）根据组的频数和所占百分比，用频数除以对应百分比求出随机抽取的学生总人数． （2）用总人数减去、、、组的频数，求出组的频数，补全频数分布直方图． （3）用E组的频数除以总人数，再乘以，求出组对应扇形的圆心角度数． （4）确定个数据的中位数位置（第、个数据），结合各组频数找到对应数据，计算中位数． （5）先计算样本中分及以上（、组）的人数占比，再用总人数乘以该占比，估计全校达标人数． 【小问1详解】 解：（人）， 答：随机抽取的八年级学生人数为人； 【小问2详解】 解：组频数， 补全频数分布直方图如图所示： 【小问3详解】 解：扇形统计图中组所对应扇形的圆心角为； 【小问4详解】 解：第个数据分别为， ∴中位数为； 【小问5详解】 解：（人）， 答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数为人． 22. 学校计划购买型无人机和型无人机作为“科技铸就强国”演讲比赛的奖品．已知购买2个型无人机和3个型无人机共需650元，购买4个型无人机和5个型无人机共需1150元． （1）求型无人机、型无人机的单价： （2）若学校准备购买型无人机、型无人机共10个，且型无人机的数量不多于型无人机数量的，购买型无人机多少个时，采购费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】（1）型无人机单价为100元，型无人机单价为150元 （2）购买3个型无人机时才能花费最低，最低花费为1350元 【解析】 【分析】（1）设型无人机单价为元、型无人机单价为元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买型无人机台，则型无人机台，购买费用为元，根据A型无人机的数量不多于B型无人机数量的可求得m的取值范围；再根据总价等于单价乘以数量，列出一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求最值即可解答． 【小问1详解】 解：设型无人机单价为元、型无人机单价为元， 由题意得： ①×2得：③ ③-②得： 将代入①得：，解得： 所以． 答：型无人机单价为100元，型无人机单价为150元． 【小问2详解】 解：设购买型无人机台，则型无人机台，购买费用为元， 由题意得：， 解得：， 由题意可得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∵为非负数且，要使W的值最小，m应取最大整数值， ∴当时，有最小值， 且最小值为（元）. 答：购买3个型无人机时才能花费最低，最低花费1350元． 23. 将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将三角板绕点顺时针旋转至， ①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标； ②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）①，②在反比例函数图象上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）①过点作于点，由旋转得，将代入反比例函数表达式，进而即可求解； ②过点作轴于点，过点作，交延长线于点，先证明， 结合旋转的性质可得， 再把代入反比例函数表达式进行检验即可 【小问1详解】 解：将代入反比例函数表达式得：， ∴， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：①如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， 由旋转得， 将代入反比例函数表达式，得：， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知，， 由旋转得：，， ∴在中，，， ∴，， ∴， 将代入反比例函数表达式，得：， ∴在反比例函数图象上． 24. 【先导问题】 （1）如图1，中，，，若，则________度； （2）【提炼模型】如图2，在中，，，且满足，求证：； （3）【识别模型、应用模型】如图3，直线上有一定点，，，点为直线上一点，连接，，且满足，求的最小值． 【答案】（1）60 （2）见解析 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）先证明，进而即可得到答案； （2）先证明，进而即可得到答案； （3）分点C在B的右侧、左侧以及和B重合讨论，过点作，使得，连接，通过证明，可得点的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆，从而得为等腰直角三角形，进而即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点C在店B的右侧时，如图，过点作，使得，连接， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆的一部分，即优弧， 如图，连接、， ∵． ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴； 当C和B重合时，D和G重合，此时， 当C在B的左侧时，如图，过点作，使得，连接， 同理可证， ∴， ∵，， ∴点的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆的一部分，即劣弧， 如图，连接、，连接交于点， 同理可求， ∴的最小值为， 综上，的最小值为． 以下是某数学小组根据波利亚四步解题范式进行的解题活动，供你参考： 1．理解题目：题目中给出的条件有哪些，各有什么作用？要解决怎样的问题？ 2．拟定计划：建立问题（3）与提炼模型环节联系，并构建解题思路。 ①由题目中的条件可以得到的积是定值，根据前面的提炼模型环节，结合等积式并利用乘积定值这个条件，能得到什么结论？ ②利用①的结论，并结合（3）中的条件，依据提炼出的模型，你能构造出怎样的图形？得到什么结论？ ③对于该最值问题，我们应该分析哪些点定点，哪些点为动点，如何求解该类最值问题？ 3．执行计划：写出你的解决方案。 4．反思提升：回顾本题的解题过程，你有哪些感悟？解决最值问题的方法有哪些？ 25. 已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． （1）当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； （2）如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； （3）如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 【答案】（1）， （2）周长的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解函数解析式，再令求解点B坐标； （2）先求解直线，然后证明为等腰直角三角形，则，那么，故当取得最大值时，取得最大值，设，则，则，再由二次函数的性质求解的最大值，即可求解的最大值； （3）根据抛物线的解析式可得，；当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接，可得，则，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解；当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，将点代入， 则 解得 ∵ ∴， ∴解析式为： 令，则 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设直线， 则代入点得，，解得 ∴直线 ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵轴， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， 设，则 ∴ ∵ ∴当时，的最大值为 ∴周长的最大值为； 【小问3详解】 解：在中，当，则， 解得， ∴； ∵， ∴； 如图所示，当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接， ∴，， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点， 则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 综上：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $