精品解析：2025年山东省济南市槐荫区九年级一模前测数学试题

2025 年学业水平阶段性调研测试 九 年 级 数 学（2025.3） 本试题共 10 页．选择题部分 40 分，非选择题部分 60 分，满分为 100 分．考试用时 60 分钟．答题前，请考生务必将自己的姓名、座号写在答题卡规定的位置，并同时将姓名、准 考证号、座号写在试题的规定位置． 答题时，选择题部分每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题部分，用 0.5 毫米黑色签 字笔在答题卡题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一项符合题目要求． 1. 的平方根为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和平方根的意义，先化简，再求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根为． 故选B． 2. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，将数据22150000用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．剪纸艺术起源于人民的社会生活蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识、生活理想和审美情趣．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 4. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得， 由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法的运算，合并同类项的方法，以及完全平方公式的应用，要熟练掌握．根据幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式以及合并同类项，逐项判断即可． 【详解】解：∵，∴选项A符合题意； ∵，∴选项B不符合题意； ∵，∴选项C不符合题意； ∵，不是同类项，不能合并，∴选项D不符合题意． 故选A． 6. 已知关于 x 的方程有两个同号的实数根，则 k 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系，首先根据有两个实数根得到，然后由两根同号得到，求出k的取值范围即可求解． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得， 又∵有两个同号的实数根， ∴两根之积， ∴ k的取值范围是， 故选：D． 7. “过新年，挂新灯，家家户户乐融融”，挂灯笼是我国各地新年的一个传统习俗．如图，欣欣从三个灯笼中随机选择两个挂在门口，则选择和两个灯笼的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．画树状图，共有6种等可能的结果，其中选择和两个灯笼的结果有两种，再利用概率公式即可得出答案．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中选择和两个灯笼的结果有两种， 选择和两个灯笼的概率为， 故选：B． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，掌握函数各项系数与函数图象之间的关系是解题的关键． 首先根据二次函数图象得到，再根据反比例函数与一次函数的图象与系数的关系，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴的右侧， ， ， 反比例函数的图象在第二、四象限；一次函数的图象经过第一、三、四象限， 选项A符合题目要求． 故选：A． 9. 如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接交于点，过点A作于点，连接．若，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④；⑤正确的有（　　） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】①由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，，再根据平行四边形的性质证明，进而可得四边形是菱形； ②根据四边形是菱形，对角线互相垂直平分，利用勾股定理即可得的长，进而可以判断； ③根据四边形是菱形，即可求出菱形的面积，进而可以判断； ④根据等面积法即可求出的长，进而可以判断； ⑤根据菱形的性质可得是斜边的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可判断． 【详解】解：①由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，， ，， ∵， ， ， ， ， 四边形是菱形，故①正确； ②四边形是菱形， ，，， ， ，故②错误； ③四边形是菱形， ，故③正确； ④四边形是菱形， ， ， ，故④正确； ⑤四边形是菱形， 是的中点， 在中，是斜边的中线， ，故⑤错误． 故正确的有①③④， 故选：A． 【点睛】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 10. 在平面直角坐标系中，对于已知的点，和图形F ，给出如下定义：如果图 形F 上存在一点，使得当时，，则称点M 为图形F 的一个“垂近点”．以下说法正确的有（ ） ①若图形F 为线段，，，点是线段的“垂近点”；②若图形F为以坐标原点O为圆心，2 为半径的圆，直线与x 轴交于点C、与y 轴 交于点D，如果线段上的点都是 的“垂近点” ，则； ③若图形F 为抛物线 以点为中心，边长为 2 的正方形，轴， 轴，若正方形上存在“垂近点” ，则a 的取值范围为： 或 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义“垂近点”的理解，函数图象上点的特点，理解新定义、掌握函数图象上点的特点是解题的关键．①依据“垂近点”的定义，进行判断即可，注意满足时，即可；②线段上任意一点都是的“垂近点”，可知线段在是圆的弦，得到解不等式即可；③当点在轴右侧时，如图，当点与点重合时， 则 即可求解；如图，当点与点重合时，得到，即可求解；当点在轴的左侧时， 同理可解． 【详解】解：①当时，， 是线段的“垂近点”， 故①正确，符合题意； ②∵线段上任意一点都是的“垂近点”， ∴线段在是圆的弦， ∵圆的半径是， ， ， 故②正确符合题意； ③∵点是正方形的中心，可得正方形的边长为， ， 设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点， 使得当时， ，当点在轴右侧时，， 如图，当点与点重合时， ， ， 解得：或 (舍) ， 如图2，当点与点重合时， ， ， 解得：或(舍)， 时，正方形上存在抛物线的“垂近点”； 当点在轴的左侧时，，如图，当点与点重合时， ， ， 解得： 或 (舍) ， 如图，当点与点重合时， ， ， 解得：或 (舍)， 时，正方形上存在抛物线的“垂近点”； 综上所述：或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”. 故③错误，不符合题意； 故选： C． 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，填空题请直接填写答案． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 分式方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握去分母化为整式方程是解题的关键． 先去分母，化为一元二次方程，再求解，注意检验是否有增根即可． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是增根，舍去，是原方程的根， ∴原方程的根为：， 故答案为：． 13. 某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量 x（万人） 之间的关系如图 1 所示． 目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种解决方法： 方法 1 ：票价不变，节约能源，改善管理，降低运营成本； 方法 2 ：运营成本不变，只提高票价． 两种解决办法的具体措施如下： 方法 1 ：票价不变，将运营成本降低到 0.5 万元； 方法 2 ：运营成本不变，只提高票价；使每万人收支差额提高到 0.75 万元． 则两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量为____万人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，先用待定系数法求得两个一次函数解析式，再y值相等可得解． 【详解】解：依题意可得，点点, 设直线的解析是为：， 把点，点代入解析式可得： ，解得：， ∴直线的解析是为：， ①当方法时，依题意可得：， ②当方法时，依题意可得：， 令，可得：， 解得：， 故答案为：． 14. 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日” ，也被许多人称为“节”某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图：小云参与了所有活动．若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为____． 【答案】枚或枚或枚 【解析】 【分析】本题考查了推理能力，小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，所以推断小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，分别讨论参与的第一个活动为华容道、魔方或鲁班锁，最终剩下的“币”数量的可能． 【详解】解：∵小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功， ∴小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁， 若参与的第一个活动为华容道，则参与的第四个活动可能为点、数独、魔方或鲁班锁，最终剩下的“币”数量可能是枚、枚或枚， 若参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为点、数独、华容道或鲁班锁，最终剩下的“币”数量可能是枚、枚或枚， 若参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为点、数独、华容道或魔方，最终剩下的“币”数量可能是枚或枚， 故答案为：枚、枚或枚． 15. 如图，点D在等腰直角三角形内，，，，E、F分别在和上满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定性质，勾股定理，三角形三边关系求最值，难度较大，解题的关键在于构造相似三角形进行转化． 过点C作，使，连接，证明，推出，则，可知当点D，F，H在同一条直线时，取最小值，最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，而 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点D，F，H在同一条直线时，取得最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本日考查了实数的混合运算，二次根式的运算，特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 17. 解不等式组并写出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集为，正整数解为1，2，3，4 【解析】 【分析】先求得不等式组的解集，根据解集确定正整数解即可． 本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得. 解不等式②，得. 故原不等式组的解集为. 故正整数解为1，2，3，4. 18. 如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质、由已知容易证明，进而可得，从而由邻边相等的平行四边形是菱形得出结论. 【详解】证明：在与中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 19. 如图，是的内接三角形，，，连接，并延长交于点，过点作的切线，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，由圆周角定理可得，则，再根据切线的性质可得，最后通过平行线的判定方法即可； （）过作于点，证明四边形是矩形，又，则四边形是正方形，然后根据正方形的性质可得，，再通过三角形内角和定理，角度和差求出，最后由勾股定理和线段和差即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过作于点，如图所示： ∴， 由（）得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，切线的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，矩形的判定，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 20. 甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各 400名学生进入综合素质展示环节．从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，，，）： b．甲学校学生成绩在这一组的是： 80 80 81 82 82 83 83 84 85 86 86.5 87 87 88 88.5 89 c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲学校50名学生成绩的中位数为_____，优秀率为_____（85分及以上为优秀）； （2）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_____（填“A”或“B”）； （3）根据上述信息，推断_____学校综合素质展示的水平更高，理由为_____（至少从一个角度说明推断的合理性）； （4）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数至少达到多少分才可以入选，并说明理由． 【答案】（1）； （2）A （3）乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校； （4）预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选． 【解析】 【分析】本题考查了中位数，数据的集中趋势，直方图，样本估计总体，熟练掌握中位数的定义，直方图的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）发现A的成绩在中位数前，而读表得出B的成绩在中位线以下，以此判断排名； （3）计算出甲校的中位数，优秀率，比较回答即可； （4）先计算的人数为96人，不够120人，要从分之间补充，设需要补充x个人，根据题意，得，解得x即可． 【小问1详解】 解：甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩 由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和82， ∴中位数为：； 优秀率为； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分； ∵B成绩为83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分； 故A的排名更靠前； 故答案为：A； 【小问3详解】 解：乙校，理由如下：甲校的优秀率为：，由（1）甲校的中位数是81.25分，乙校的中位数是84，优秀率为46%，从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高于甲校，故乙校高， 故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校； 【小问4详解】 解：根据题意，分的人数为为：人，不够120人，要从分之间补充，设需要补充x个人， 根据题意，得， 解得， 而这个3个数依次为89，88.5，88，至少要88分， 答：预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选． 21. 【综合与实践】 火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读理解 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，线段与直线交于点，． 解决问题 （1）作于点，设，请用含和的式子表示的长度；（）若，，，求的长度．（结果精确到个位，参考数据：，，） 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作于点，对顶角结合同角的余角相等，得到，解直角三角形，求出的长即可； （2）作，交于点，解直角三角形，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，则：，， ∵， ∴， ∴， 在中，； （2）作，交于点 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. “明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表： 成本价（元/件） 销售价（元/件） 泥塑兔子王 15 25 清照团扇 10 17.5 （1）该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？ （2）因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）该创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件； （2）第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件，根据题意列出二元一次方程组计算即可； （2）根据题意得到，求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件， 根据题意得，， 解得， 答：该文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件； 【小问2详解】 解：由题知：， 解得，， ， ， 随的增大而增大， 当时，元， 此时，件， 答：第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元． 23. 【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第________象限内的公共点坐标． （2）画出函数图象 ①画函数的图象； ②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移________个单位长度得到． （3）研究函数图象 平移直线，观察两函数的图象； ①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长的值为________； ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为的矩形的周长的取值范围为________． 【答案】（1）一； （2）①的图象如图所示： ②； （3） ① ；； ②由①知：个交点时，；个交点时，；个交点时，； （4）  【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及画函数图象、函数图象的平移、解一元二次方程等知识，利用类比和数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据x、y是边长求解即可； （2）①利用描点法画函数 的图象即可；②利用描点法画函数的图象，的图象即可，根据图象平移规则：上加下减求解即可； （3）①联立方程组，根据一元二次方程根的判别式求解即可； ②由①并结合图象可求解； （4）仿照前面求解思路，联立方程组，利用方程有实数根求解即可． 【详解】解：（1），都是边长，周长为， ，，， 满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标． 故答案为：一； （2）①略 ②的图象如图所示， 与轴的交点为， 的图象可以看成是由的图象向右平移个单位长度得到， 故答案为：； （3）①联立方程组可得：， 整理得：， 两图象有唯一交点， ， ， ， 解得：， 交点坐标为，周长， 故答案为：，； ②略 （4）设相邻的两边长为、，则，，即，， 联立方程组可得， 整理得：， 两函数有交点， ， ， 故答案为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求二次函数解析式； （2）如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标； （3）如图2，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值?若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，为2，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先证明，再由得到，再证明，得到，即可求解； （3）证明得到，求出，同理，，即可求解． 【小问1详解】 设， 则； 【小问2详解】 抛物线的表达式为，则点， 连接，过作交于点，作轴于点， 将代入得， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立， 解得（舍去），或， ； 【小问3详解】 是定值，为2，理由： 过点作一直线交抛物线于、两点， 设直线的解析式为，，，，， ，， 直线的解析式为②， 联立①②得：， ，， 如图，作轴于点，作轴于点， 则， ， 即， ， 同理，， ，为定值． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，根和系数的关系等．解决（3）问的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长． 25. 如图，在中，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，所在直线与射线交于点F，且． （1）当点D在线段上， ①求证：； ②求的值； （2）连接，，若，直接写出的长． 【答案】（1）①证明见解析；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据题意可得和为等腰直角三角形，可得，，再根据三角形外角的性质即可得证； ②过点C作于点E，设，可得，，根据等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上中线的性质可得，由勾股定理可得，证明，由相似三角形的性质可得，，再代入计算即可； （2）分点D在线段上和点D在线段延长线上两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 ①证明：在中，，， ∴， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：过点C作于点E，如图， 设， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为． 【小问2详解】 解：分以下两种情况： 当点D在线段上，过点E作，交的延长线于点M，如图， 在中，，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得， 在中， ； 当点D在线段延长线上，过点E作，交射线于点N，过点C作于点H，如图， 设， ∵， ∴，， ∵，，， ∴，， 在中，，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得， 在中，，， ∴ ， 综上所述，BE的长为或． 【点睛】本题属于相似型综合题，考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 年学业水平阶段性调研测试 九 年 级 数 学（2025.3） 本试题共 10 页．选择题部分 40 分，非选择题部分 60 分，满分为 100 分．考试用时 60 分钟．答题前，请考生务必将自己的姓名、座号写在答题卡规定的位置，并同时将姓名、准 考证号、座号写在试题的规定位置． 答题时，选择题部分每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题部分，用 0.5 毫米黑色签 字笔在答题卡题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一项符合题目要求． 1. 的平方根为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．剪纸艺术起源于人民的社会生活蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识、生活理想和审美情趣．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于 x 的方程有两个同号的实数根，则 k 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 7. “过新年，挂新灯，家家户户乐融融”，挂灯笼是我国各地新年的一个传统习俗．如图，欣欣从三个灯笼中随机选择两个挂在门口，则选择和两个灯笼的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接交于点，过点A作于点，连接．若，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④；⑤正确的有（　　） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤ 10. 在平面直角坐标系中，对于已知的点，和图形F ，给出如下定义：如果图 形F 上存在一点，使得当时，，则称点M 为图形F 的一个“垂近点”．以下说法正确的有（ ） ①若图形F 为线段，，，点是线段的“垂近点”；②若图形F为以坐标原点O为圆心，2 为半径的圆，直线与x 轴交于点C、与y 轴 交于点D，如果线段上的点都是 的“垂近点” ，则； ③若图形F 为抛物线 以点为中心，边长为 2 的正方形，轴， 轴，若正方形上存在“垂近点” ，则a 的取值范围为： 或 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，填空题请直接填写答案． 11. 因式分解：__________． 12. 分式方程的解是___________． 13. 某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量 x（万人） 之间的关系如图 1 所示． 目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种解决方法： 方法 1 ：票价不变，节约能源，改善管理，降低运营成本； 方法 2 ：运营成本不变，只提高票价． 两种解决办法的具体措施如下： 方法 1 ：票价不变，将运营成本降低到 0.5 万元； 方法 2 ：运营成本不变，只提高票价；使每万人收支差额提高到 0.75 万元． 则两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量为____万人． 14. 2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日” ，也被许多人称为“节”某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图：小云参与了所有活动．若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为____． 15. 如图，点D在等腰直角三角形内，，，，E、F分别在和上满足，则的最小值为______． 三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤． 16. 计算：． 17. 解不等式组并写出它的正整数解． 18. 如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 19. 如图，是的内接三角形，，，连接，并延长交于点，过点作的切线，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 20. 甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各 400名学生进入综合素质展示环节．从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，，，）： b．甲学校学生成绩在这一组的是： 80 80 81 82 82 83 83 84 85 86 86.5 87 87 88 88.5 89 c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲学校50名学生成绩的中位数为_____，优秀率为_____（85分及以上为优秀）； （2）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_____（填“A”或“B”）； （3）根据上述信息，推断_____学校综合素质展示的水平更高，理由为_____（至少从一个角度说明推断的合理性）； （4）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数至少达到多少分才可以入选，并说明理由． 21. 【综合与实践】 火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读理解 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，线段与直线交于点，． 解决问题 （1）作于点，设，请用含和的式子表示的长度；（）若，，，求的长度．（结果精确到个位，参考数据：，，） 22. “明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表： 成本价（元/件） 销售价（元/件） 泥塑兔子王 15 25 清照团扇 10 17.5 （1）该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？ （2）因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？ 23. 【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图象的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第________象限内的公共点坐标． （2）画出函数图象 ①画函数的图象； ②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图象可以看成是由的图象向上平移________个单位长度得到． （3）研究函数图象 平移直线，观察两函数的图象； ①当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长的值为________； ②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为的矩形的周长的取值范围为________． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求二次函数解析式； （2）如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标； （3）如图2，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值?若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 25. 如图，在中，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，所在直线与射线交于点F，且． （1）当点D在线段上， ①求证：； ②求的值； （2）连接，，若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $