2025-2026学年苏科版八年级数学下册期中提分特训8《梯形》专题（盐城专版）

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期中提分特训8 《梯形》专题（盐城专版） 1． 思维导图 ( ) 2． 知识梳理 ( 一、梯形的定义 1.只有一组对边______的四边形叫做梯形。 二、梯形的相关概念及其分类 （一）相关概念 2.梯形中互相平行的两边叫做______，其中较短的称为______，较长的称为______；不平行的两边叫做______；两底之间的垂直距离叫做______。 （二）分类 3.梯形按特殊性可分为普通梯形和特殊梯形，特殊梯形主要包括______和______。 三、特殊梯形 4.等腰梯形：两______相等的梯形叫做等腰梯形。 5.直角梯形：有______垂直于底的梯形叫做直角梯形。 四、等腰梯形的性质与判定 （一）性质 6.等腰梯形的两腰______；同一底上的两个底角______；两条对角线______；它是______对称图形，对称轴是______所在直线。 （二）判定 7.判定等腰梯形的方法： ① 两______相等的梯形是等腰梯形； ② 同一底上两个______相等的梯形是等腰梯形； ③ ______相等的梯形是等腰梯形。 五、梯形的面积 8.梯形的面积公式：，用字母表示为______；也可推导为。 六、梯形的中位线及其中位线定理 9.梯形的中位线是连接______的线段。 10.梯形中位线定理：中位线______于两底，且长度等于______，用字母表示为______。 ) 三．考向分析+应对策略 ( 考向一、梯形的定义 1.核心考查：以选择题、填空题为主，偶尔出现在判断题中，分值3-5分。侧重考查对 “ 只有一组对边平行 ” 这一核心定义关键词的理解，是区分梯形与平行四边形的关键边界。 2.常见考法：给出一个四边形，让学生判断是否为梯形；或结合图形，指出梯形的上底、下底、腰、高，要求学生准确表述定义。常结合 “ 一组对边平行，另一组对边不平行 ” 的条件进行辨析。 【应对策略】 （1）抓核心关键词：牢记定义中的 “ 只有 ” 二字，明确梯形的本质是 “ 一组对边平行， ) ( 且另一组对边不平行 ” ，避免与平行四边形（两组对边分别平行）混淆。 （2）图形辨析训练：多绘制不同形状的梯形（如普通梯形、直角梯形），标注各部分名称，反复强化对 “ 底（平行对边） ” 和 “ 腰（不平行对边） ” 的直观认知，通过图形加深概念记忆。 考向二、梯形的相关概念及其分类 1.核心考查：填空题、选择题的高频考点，分值2-4分。重点考查梯形按 “ 边 ” 的关系进行分类的标准，以及各概念的准确表述。 2.常见考法：要求对梯形进行分类（如分为普通梯形和特殊梯形）；或给出具体图形，判断其所属类别；辨析 “ 上底、下底 ” 与 “ 腰 ” 的概念差异，易出现 “ 混淆平行对边与不平行对边 ” 的易错点。 【应对策略】 （1）构建分类框架：熟记梯形分类逻辑：梯形 → 普通梯形、特殊梯形。明确特殊梯形包含等腰梯形和直角梯形，形成清晰的知识层级。 （2）对比区分概念：通过表格对比 “ 上底、下底（平行对边） ”“ 腰（不平行对边） ”“ 高（两底间垂线段） ” 的定义，结合图形标注，避免概念混淆。 （3）易错点专项突破：针对 “ 直角梯形中直角腰与高的关系 ”“ 等腰梯形两腰相等的特性 ” 进行专项判断练习，通过反例强化对分类标准的理解。 考向三、特殊梯形 1.核心考查：选择题、填空题及解答题的基础考点，分值3-6分。是梯形相关知识的核心衔接点，常作为解答题的前提条件出现。 2.常见考法：直接考查等腰梯形、直角梯形的定义；给出图形，要求判断特殊梯形的类型；或结合特殊梯形的特性，设置基础计算或证明题。常结合 “ 等腰梯形的轴对称性 ”“ 直角梯形的直角特性 ” 进行考查。 【应对策略】 （1）精准记忆定义：牢牢记住两种特殊梯形的核心判定条件 —— 等腰梯形：两腰相等的梯形；直角梯形：有一个角是直角的梯形。 （2）特性归纳总结：归纳特殊梯形的独有特性：等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴（两底中点连线所在直线）；直角梯形有且仅有两个直角，且直角腰即为梯形的高。 （3）图形识别训练：多接触不同摆放角度的特殊梯形（如倒置的直角梯形、倾斜的等腰梯形），提升图形识别能力，避免因图形变形导致判断失误。 考向四、等腰梯形的性质与判定 1.核心考查：解答题（证明题、计算题）的核心考点，分值8-12分，是梯形知识板块的重难点。性质与判定常结合考查，难度中等偏上。 2.常见考法： ① 性质考查：给出等腰梯形图形，求角度、边长、对角线长度，或证明线段相等、角相等； ② 判定考查：给出四边形的边、角条件，要求判定该四边形是否为等腰梯形；或结合平行四边形、三角形等知识，综合证明等腰梯形。 3.易错点：混淆等腰梯形的性质与判定定理，如将 “ 同一底上的两个角相等 ” 误作为判定条件，忽略 “ 梯形 ” 的前提。 【应对策略】 （1）性质分类记忆：分点熟记等腰梯形的四大性质： ① 两腰相等； ② 同一底上的两个角相等； ③ 两条对角线相等； ④ 轴对称图形。结合图形标注，理解每个性质的几何意义。 （2）判定定理精准掌握：明确等腰梯形的三大判定方法： ① 定义法（两腰相等的梯形是等腰梯形）； ② 角判定（同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形）； ③ 对角线判定（两条对角线相等的梯形是等腰梯形）。强调每个判定方法的前提是 “ 梯形 ” 。 （3）题型专项训练： ① 性质应用：通过角度换算、边长计算等基础题，熟练运用性质解题； ) ( ② 判定训练：针对不同条件的四边形，逐一运用判定定理进行推理，书写规范的证明过程，强化逻辑思维。 考向五、梯形的面积 1.核心考查：填空题、选择题、解答题均有涉及，分值4-8分。是梯形知识的基础计算考点，常与特殊梯形、中位线定理结合考查。 2.常见考法：直接利用梯形面积公式计算面积；已知面积和上底、下底，求高；结合等腰梯形、直角梯形的特性，求不规则梯形的面积；或通过中位线长度求面积。 3.易错点：公式记忆错误（如遗漏系数1/2）；单位不统一；计算高时出错，尤其是在直角梯形中，误将非直角腰当作高。 【应对策略】 （1）牢记核心公式：熟练掌握梯形面积公式：S = 1/2 × (上底 + 下底) × 高，明确公式中各字母的含义，避免系数遗漏。 （2）公式变形应用：掌握公式变形，如高 = 2S ÷ (上底 + 下底)，已知任意三个量能快速求出第四个量。 （3）综合题型突破： ① 结合特殊梯形：在等腰梯形中，可通过作高将其转化为矩形和两个直角三角形，求高；在直角梯形中，直接以直角腰为高计算面积； ② 中位线结合：牢记 “ 梯形面积 = 中位线 × 高 ” ，已知中位线长度时，可简化计算，提升解题效率。 （4）计算规范训练：解题时先统一单位，书写公式时标注各量的对应关系，避免计算失误。 考向六、梯形的中位线及其中位线定理 1.核心考查：选择题、填空题、解答题的重难点，分值5-10分。中位线定理是连接梯形边与角、面积的关键纽带，常与面积、等腰梯形性质结合考查。 2.常见考法：直接考查中位线定理的内容，求中位线长度；结合中位线与面积的关系求面积；或通过中位线定理证明线段平行、长度关系，进而解决梯形的综合问题。 3.易错点：混淆梯形中位线与三角形中位线定理；忘记中位线 “ 平行于两底 ” 的性质，仅记忆长度公式。 【应对策略】 （1）定理精准理解：熟记梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且长度等于两底和的一半。用符号语言表示：若EF为梯形ABCD的中位线，则EF ∥ AB ∥ CD，且EF = 1/2(AB + CD)。 （2）性质关联记忆：结合梯形面积公式，牢记 “ 梯形面积 = 中位线 × 高 ” ，将中位线与面积知识串联，形成知识网络。 （3）综合应用训练：多做结合中位线的证明题和计算题，如利用中位线证明线段相等、求角度，或结合等腰梯形的性质，综合运用中位线定理和性质解题，提升知识迁移能力。 ) 四．强化基础 （一）选择题 1.下列说法错误的是（ ） A. 梯形的高有无数条 B. 梯形的上底和下底是平行的两边 C. 等腰梯形是特殊的梯形 D. 有一组对边平行的四边形一定是梯形 2．如图，梯形中共有（ ）对面积相等的三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 3.下列关于梯形的分类，正确的是（ ） A. 梯形可分为直角梯形和等腰梯形 B. 梯形可分为一般梯形、直角梯形和等腰梯形 C. 梯形可分为一般梯形和直角梯形 D. 梯形可分为等腰梯形和非等腰梯形 4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（　　） A．9 B．10.5 C．12 D．15 6．如图，已知等腰梯形ABCD的底角∠B=45°，高AE=1，上底AD=1，则其面积为（　　） A．4 B． C．1 D．2 7．下列说法正确的是（　　） A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 8．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（　　） A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC 9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为（　　） A．12 B．15 C．12 D．15 10．如图，等腰梯形ABCD的对角线长为13，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是（　　） A．13 B．26 C．36 D．39 （二）填空题 11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BC=12，∠ABC=60°，则梯形ABCD的周长为　　． 12．如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°．若梯形的周长为10，则AD的长为　　． 13.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 14．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD．若AD=4，BC=6，则梯形ABCD的面积是　　． 15．如下图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=45°，AB=1，CD=3，BE∥AD交CD于E，则△BCE的周长l为　　． 16．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD=2，BC=8，梯形的高是3，则∠B的度数是　　． 17．如果等腰梯形的三边长为3、4、11，那么这个等腰梯形的周长是（　　） 18．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，∠A＝60°，又E是底边AB上一点，且FE＝FB＝AC，FA＝AB．则AE：EB等于_________. 19．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为 cm． 20．如图，五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E=120°，AB=CD=1，AE=2，则五边形ABCDE的面积等于　　． （三）解答题 21.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C=2∠E． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形； （2）若∠BDC=30°，AD=5，求CD的长． 22.如图，等腰△ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O. 求证：（1）四边形EFCB是等腰梯形； （2）EF2+BC2=2BE2. 23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，过点A作AE∥DC交BC于点E． （1）求证：四边形AECD是菱形． （2）在（1）的条件下，若∠B=30°，AE⊥AB，以点A为圆心，AE的长为半径画弧交BE于点F，连接AF，在图中，用尺规补齐图形（仅保留作图痕迹），并证明点F是BE的中点． 24.已知：如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，联结． （1）求证：； （2）联结、，如果，求证：四边形是矩形． 25．已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段的延长线于点，． （1）求证梯形为等腰梯形； （2）当，，求四边形的面积． 26.知识回顾： （1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）△中，是△的中位线，连接．则与的关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移： （2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点，分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化： （3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是　　． 五．提分特训 （一）选择题 1．如图的灰色小三角形为三个全等大三角形的重迭处，且三个大三角形各扣掉灰色小三角形后分别为甲、乙、丙三个梯形．若图中标示的∠1为58°，∠2为62°，∠3为60°，则关于甲、乙、丙三梯形的高的大小关系，下列叙述何者正确（　　） A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．丙＞甲＞乙 D．丙＞乙＞甲 2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E点在BC上，且AE⊥BC．若AB=10，BE=8，DE=6，则AD的长度为（　　） A．8 B．9 C．6 D．6 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（　　） A． B． C． D．2 4．装有一些液体的长方体玻璃容器，水平放置在桌面上时，液体的深度为6，其正面如图1所示，将容器倾斜，其正面如图2所示．已知液体部分正面的面积保持不变，当AA1=4时，BB1=（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 5．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（　　） A．1.5 B．3 C．3.5 D．4.5 6．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为（　　） A．12 B．15 C．12 D．15 7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A等于（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 8．若一个四边形有一组对边平行，且它关于经过这组对边中点的直线对称，则称这个四边形为“平称四边形”．已知四边形满足，下列条件不能满足四边形是“平称四边形”的是（    ） A． B． C． D． 9．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A． ①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 10．已知：如图，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （二）填空题 11.一个梯形的上底长4cm，下底长9cm，一条腰长5cm，则另一条腰长x的取值范围是______。 12.等腰梯形ABCD的对角线长为13，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是__________. 13.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线EF交BD于点O，若FO-EO=6，则BC-AD为 14．等腰梯形的上下底边长分别为2和6，其两条对角线互相垂直，则这个等腰梯形的面积为 ． 15.如图，四边形中，，，将四边形沿对角线折叠，点恰好落在边上的点处，，则的度数是_________. 16.如图，梯形中，，是的中点，平分，以下说法：①；②；③；④，其中正确的是_____。 17.如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，．则此梯形的面积为　　 ． 18.如图，在梯形中，，，，，点、分别为、的中点，则线段　　． 19．梯形中，两底分别是3，5，一腰为3，则另一腰x的取值范围是________． 20．在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为__________平方厘米 （三）解答题 21．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点． （1）求证：四边形EMCN是矩形； （2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的长和宽． 22．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE． （1）求证：AF=DE； （2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长． 23.如图，在四边形中，，，，，点为上的动点，、、分别为、、的中点． （1）求的长度； （2）若点为动点，则最小为 　　． 24．如图，在直角梯形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动．点、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒．求： （1）为何值时，四边形为平行四边形？ （2）为何值时，四边形为矩形？ 25．如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，延长BC到E，使得CE=AD，连接DE． （1）求证：BD=DE． （2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长． 26．如图（1），直角梯形中，，，且，，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图（2），于点H，动点P从点H出发，沿线段向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，的面积为S，求S与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)设与交于点M，当时，求的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期中提分特训8 《梯形》专题（盐城专版） 1． 思维导图 ( ) 2． 知识梳理 ( 一、梯形的定义 1.只有一组对边______的四边形叫做梯形。 二、梯形的相关概念及其分类 （一）相关概念 2.梯形中互相平行的两边叫做______，其中较短的称为______，较长的称为______；不平行的两边叫做______；两底之间的垂直距离叫做______。 （二）分类 3.梯形按特殊性可分为普通梯形和特殊梯形，特殊梯形主要包括______和______。 三、特殊梯形 4.等腰梯形：两______相等的梯形叫做等腰梯形。 5.直角梯形：有______垂直于底的梯形叫做直角梯形。 四、等腰梯形的性质与判定 （一）性质 6.等腰梯形的两腰______；同一底上的两个底角______；两条对角线______；它是______对称图形，对称轴是______所在直线。 （二）判定 7.判定等腰梯形的方法： ① 两______相等的梯形是等腰梯形； ② 同一底上两个______相等的梯形是等腰梯形； ③ ______相等的梯形是等腰梯形。 五、梯形的面积 8.梯形的面积公式：，用字母表示为______；也可推导为。 六、梯形的中位线及其中位线定理 9.梯形的中位线是连接______的线段。 10.梯形中位线定理：中位线______于两底，且长度等于______，用字母表示为______。 【答案】1.平行 2.底；上底；下底；腰；高 3.等腰梯形；直角梯形 4.腰 5.一腰 6.相等；相等；相等；轴；上下底中点连线 7.腰；角；对角线 8.上底；下底；高；S= (a+b)h；中位线 9.两腰中点 10.平行；两底和的一半； (a+b) ) 三．考向分析+应对策略 ( 考向一、梯形的定义 1.   核心考查：以选择题、填空题为主，偶尔出现在判断题中，分值3-5分。侧重考查对 “ 只有一组对边平行 ” 这一核心定义关键词的理解，是区分梯形与平行四边形的关键边界。 ) ( 2.常见考法：给出一个四边形，让学生判断是否为梯形；或结合图形，指出梯形的上底、下底、腰、高，要求学生准确表述定义。常结合 “ 一组对边平行，另一组对边不平行 ” 的条件进行辨析。 【应对策略】 （1）抓核心关键词：牢记定义中的 “ 只有 ” 二字，明确梯形的本质是 “ 一组对边平行，且另一组对边不平行 ” ，避免与平行四边形（两组对边分别平行）混淆。 （2）图形辨析训练：多绘制不同形状的梯形（如普通梯形、直角梯形），标注各部分名称，反复强化对 “ 底（平行对边） ” 和 “ 腰（不平行对边） ” 的直观认知，通过图形加深概念记忆。 考向二、梯形的相关概念及其分类 1.核心考查：填空题、选择题的高频考点，分值2-4分。重点考查梯形按 “ 边 ” 的关系进行分类的标准，以及各概念的准确表述。 2.常见考法：要求对梯形进行分类（如分为普通梯形和特殊梯形）；或给出具体图形，判断其所属类别；辨析 “ 上底、下底 ” 与 “ 腰 ” 的概念差异，易出现 “ 混淆平行对边与不平行对边 ” 的易错点。 【应对策略】 （1）构建分类框架：熟记梯形分类逻辑：梯形 → 普通梯形、特殊梯形。明确特殊梯形包含等腰梯形和直角梯形，形成清晰的知识层级。 （2）对比区分概念：通过表格对比 “ 上底、下底（平行对边） ”“ 腰（不平行对边） ”“ 高（两底间垂线段） ” 的定义，结合图形标注，避免概念混淆。 （3）易错点专项突破：针对 “ 直角梯形中直角腰与高的关系 ”“ 等腰梯形两腰相等的特性 ” 进行专项判断练习，通过反例强化对分类标准的理解。 考向三、特殊梯形 1.核心考查：选择题、填空题及解答题的基础考点，分值3-6分。是梯形相关知识的核心衔接点，常作为解答题的前提条件出现。 2.常见考法：直接考查等腰梯形、直角梯形的定义；给出图形，要求判断特殊梯形的类型；或结合特殊梯形的特性，设置基础计算或证明题。常结合 “ 等腰梯形的轴对称性 ”“ 直角梯形的直角特性 ” 进行考查。 【应对策略】 （1）精准记忆定义：牢牢记住两种特殊梯形的核心判定条件 —— 等腰梯形：两腰相等的梯形；直角梯形：有一个角是直角的梯形。 （2）特性归纳总结：归纳特殊梯形的独有特性：等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴（两底中点连线所在直线）；直角梯形有且仅有两个直角，且直角腰即为梯形的高。 （3）图形识别训练：多接触不同摆放角度的特殊梯形（如倒置的直角梯形、倾斜的等腰梯形），提升图形识别能力，避免因图形变形导致判断失误。 考向四、等腰梯形的性质与判定 1.核心考查：解答题（证明题、计算题）的核心考点，分值8-12分，是梯形知识板块的重难点。性质与判定常结合考查，难度中等偏上。 2.常见考法： ① 性质考查：给出等腰梯形图形，求角度、边长、对角线长度，或证明线段相等、角相等； ② 判定考查：给出四边形的边、角条件，要求判定该四边形是否为等腰梯形；或结合平行四边形、三角形等知识，综合证明等腰梯形。 3.易错点：混淆等腰梯形的性质与判定定理，如将 “ 同一底上的两个角相等 ” 误作为判定条件，忽略 “ 梯形 ” 的前提。 【应对策略】 （1）性质分类记忆：分点熟记等腰梯形的四大性质： ① 两腰相等； ② 同一底上的两个角相等； ③ 两条对角线相等； ④ 轴对称图形。结合图形标注，理解每个性质的几何意义。 ) ( （2）判定定理精准掌握：明确等腰梯形的三大判定方法： ① 定义法（两腰相等的梯形是等腰梯形）； ② 角判定（同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形）； ③ 对角线判定（两条对角线相等的梯形是等腰梯形）。强调每个判定方法的前提是 “ 梯形 ” 。 （3）题型专项训练： ① 性质应用：通过角度换算、边长计算等基础题，熟练运用性质解题； ② 判定训练：针对不同条件的四边形，逐一运用判定定理进行推理，书写规范的证明过程，强化逻辑思维。 考向五、梯形的面积 1.核心考查：填空题、选择题、解答题均有涉及，分值4-8分。是梯形知识的基础计算考点，常与特殊梯形、中位线定理结合考查。 2.常见考法：直接利用梯形面积公式计算面积；已知面积和上底、下底，求高；结合等腰梯形、直角梯形的特性，求不规则梯形的面积；或通过中位线长度求面积。 3.易错点：公式记忆错误（如遗漏系数1/2）；单位不统一；计算高时出错，尤其是在直角梯形中，误将非直角腰当作高。 【应对策略】 （1）牢记核心公式：熟练掌握梯形面积公式：S = 1/2 × (上底 + 下底) × 高，明确公式中各字母的含义，避免系数遗漏。 （2）公式变形应用：掌握公式变形，如高 = 2S ÷ (上底 + 下底)，已知任意三个量能快速求出第四个量。 （3）综合题型突破： ① 结合特殊梯形：在等腰梯形中，可通过作高将其转化为矩形和两个直角三角形，求高；在直角梯形中，直接以直角腰为高计算面积； ② 中位线结合：牢记 “ 梯形面积 = 中位线 × 高 ” ，已知中位线长度时，可简化计算，提升解题效率。 （4）计算规范训练：解题时先统一单位，书写公式时标注各量的对应关系，避免计算失误。 考向六、梯形的中位线及其中位线定理 1.核心考查：选择题、填空题、解答题的重难点，分值5-10分。中位线定理是连接梯形边与角、面积的关键纽带，常与面积、等腰梯形性质结合考查。 2.常见考法：直接考查中位线定理的内容，求中位线长度；结合中位线与面积的关系求面积；或通过中位线定理证明线段平行、长度关系，进而解决梯形的综合问题。 3.易错点：混淆梯形中位线与三角形中位线定理；忘记中位线 “ 平行于两底 ” 的性质，仅记忆长度公式。 【应对策略】 （1）定理精准理解：熟记梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且长度等于两底和的一半。用符号语言表示：若EF为梯形ABCD的中位线，则EF ∥ AB ∥ CD，且EF = 1/2(AB + CD)。 （2）性质关联记忆：结合梯形面积公式，牢记 “ 梯形面积 = 中位线 × 高 ” ，将中位线与面积知识串联，形成知识网络。 （3）综合应用训练：多做结合中位线的证明题和计算题，如利用中位线证明线段相等、求角度，或结合等腰梯形的性质，综合运用中位线定理和性质解题，提升知识迁移能力。 ) 四．强化基础 （一）选择题 1.下列说法错误的是（ ） A. 梯形的高有无数条 B. 梯形的上底和下底是平行的两边 C. 等腰梯形是特殊的梯形 D. 有一组对边平行的四边形一定是梯形 【答案】：D 【解析】：D选项未说明“另一组对边不平行”，若两组对边都平行，就是平行四边形，不是梯形，该说法错误；A、B、C均正确。 2．如图，梯形中共有（ ）对面积相等的三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】：B 【解析】：如下图：∆ABC与面积相等，与面积相等；理由是同底等高； 最后一对面积相等的三角形是与，理由：∵与面积相等，而它们都包含，∴当它们减去一个相同面积的三角形时，面积仍然相等；∴面积相等的三角形有3对．故选：B． 3.下列关于梯形的分类，正确的是（ ） A. 梯形可分为直角梯形和等腰梯形 B. 梯形可分为一般梯形、直角梯形和等腰梯形 C. 梯形可分为一般梯形和直角梯形 D. 梯形可分为等腰梯形和非等腰梯形 【答案】：C 【解析】：根据本节内容，梯形分类为“一般梯形”（无直角、两腰不等）和“直角梯形”（有直角）；等腰梯形仅作分类了解，本节核心考查一般梯形与直角梯形，且题目明确“不涉及等腰梯形性质”，故分类为一般梯形和直角梯形，选C。 4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解析】过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，∴BF=1.5，故EC=1.5，∴BC=1.5+1.5+5=8．故选：A． 5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（　　） A．9 B．10.5 C．12 D．15 【答案】C 【解析】∵E和F分别是AB和CD的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AD+BC）， ∵EF=6，∴AD+BC=6×2=12．故选C． 6．如图，已知等腰梯形ABCD的底角∠B=45°，高AE=1，上底AD=1，则其面积为（　　） A．4 B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=45°，AE=AD=1，∴BE=AE=1，∴BC=3AE=3， ∴S梯形ABCD=（AD+BC）•AE=（1+3）×1=2．故选D． 7．下列说法正确的是（　　） A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【解析】A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项错误；B、对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误； D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本选项正确；故选：D． 8．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（　　） A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC 【答案】C 【解析】A、∵∠BDC=∠BCD，∴BD=BC，根据已知AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；B、根据∠ABC=∠DAB和AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；C、∵∠ADB=∠DAC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DAC=∠DBC=∠ACB，∴OA=OD，OB=OC，∴AC=BD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；D、根据∠AOB=∠BOC，只能推出AC⊥BD，再根据AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．故选：C． 9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为（　　） A．12 B．15 C．12 D．15 【答案】D 【解析】过点A作AE∥CD，交BC于点E，∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，∴AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴∠AEB=∠BCD=60°，∵CA平分∠BCD，∴∠ACE=∠BCD=30°，∵∠AEB是△ACE的外角，∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，∴∠EAC=30°，∴AE=CE=3，∴四边形ADEC是菱形，∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°， ∴△ABE是等边三角形，∴AB=BE=AE=3，∴梯形ABCD的周长=AB+（BE+CE）+CD+AD=3+3+3+3+3=15．故选：D． 10．如图，等腰梯形ABCD的对角线长为13，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是（　　） A．13 B．26 C．36 D．39 【解【答案】B 析】连接AC，BD，∵等腰梯形ABCD的对角线长为13，∴AC=BD=13，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EH=GF=BD=6.5，EF=GH=AC=6.5， ∴四边形EFGH的周长是：EH+EF+FG+GF=26．故选：B． （二）填空题 11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BC=12，∠ABC=60°，则梯形ABCD的周长为　　． 【答案】30 【解析】过A作AE∥DC交BC于E，∵AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD=EC=DC，AE=DC，∵AB=CD，∴AB=AE，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=AE=DC=AD=CE，∵BC=12，∴AB=AD=DC=6，∴梯形ABCD的周长是AD+DC+BC+AB=6+6+12+6=30，故答案为：30． 12．如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°．若梯形的周长为10，则AD的长为　　． 【答案】2 【解析】∵AD∥BC，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AD=AB，∵∠A=120°，∴∠ABD=∠CBD=30°，∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠C=∠ABC=60°，AB=CD， ∴∠BDC=180°﹣∠CBD﹣∠C=90°，AB=CD=AD，∴BC=2CD=2AD，∵梯形的周长为10，∴AB+BC+CD+AD=10，即5AD=10，∴AD=2．故答案为：2． 13.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【答案】：C 【解析】：根据等腰梯形的性质，结合全等三角形的判方法判断即可.△ABC≌△DCB,△ABD≌△DCA,△AOB≌△DOC,共3对. 14．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD．若AD=4，BC=6，则梯形ABCD的面积是　　． 【答案】25 【解析】过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE，CE=AD=4，∴BE=BC+CE=6+4=10，∵AC⊥BD，∴DE⊥BD，∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AC=BD，∴BD=DE，∴BD=DE==5，∴S梯形ABCD=×AC×BD=25．故答案为：25． 15．如下图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=45°，AB=1，CD=3，BE∥AD交CD于E，则△BCE的周长l为　　． 【答案】2+2 【解答】∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠D=∠C=45°，∵EB∥AD，∴∠BEC=45°，∴∠EBC=90°， ∵AB∥CD，BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE=1，∵CD=3，∴EC=3﹣1=2， ∵EB2+CB2=EC2，∴EB=BC=，∴△BCE的周长为：2+2，故答案为：2+2． 16．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD=2，BC=8，梯形的高是3，则∠B的度数是　　． 【答案】45° 【解析】过点A作AE⊥BC交BC于E，过点D作DF⊥BC交BC于F，∵AD∥BC，∴四边形AEFD是长方形，∴EF=AD=2，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BE=（8﹣2）÷2=3，∵梯形的高是3， ∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠B=45°．故答案为：45°． 17．如果等腰梯形的三边长为3、4、11，那么这个等腰梯形的周长是（　　） 【答案】 29 【解析】如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，作AE∥CD，则四边形AECD是平行四边形，△ABE是等腰三角形，①若AB＝CD＝3，AD＝4，BC＝11，则在△ABE中，AB＝AE＝3，BE＝7，∵3+3＜7，∴△ABE不存在，此种等腰梯形不存在．②若AB＝CD＝4，AD＝3，BC＝11，则在△ABE中，AB＝AE＝4，BE＝8，∵4+4＝8，∴△ABE不存在，此种等腰梯形不存在．③若AB＝CD＝11，AD＝3，BC＝4，则在△ABE中，AB＝AE＝11，BE＝1，∵11+11＞1，∴△ABE存在，此时等腰梯形的周长为3+11+11+4＝29．故选：A． 18．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，∠A＝60°，又E是底边AB上一点，且FE＝FB＝AC，FA＝AB．则AE：EB等于_________. 【答案】1：3 【解析】作高线CN，∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，∠A＝60°，∴BN=DC，BN=BC，∴AB＝2BC＝2CD，易证“∠ACB为90°设CD＝x，则AC=x，AB＝2x， 又FE＝FB＝AC，FA＝AB，∴FE＝FB＝AC=x，FA＝AB＝2x，△FEB与△ABF均为等腰三角形，又有∠ABF为同底角，∴AB：FB＝FB：BE＝2x：x=x：BE， 解得：BE=x，AE＝2x-x=x，∴AE：EB=x：x＝1：3． 19．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为 cm． 【答案】10 【解析】在等腰梯形中，，∴，，∵平分，∴，∴，∵，∴， ∴，∴，∵是中位线，且，∴，即，，故答案为：10． 20．如图，五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E=120°，AB=CD=1，AE=2，则五边形ABCDE的面积等于　　． 【答案】 【解析】延长DC，AB交于点F，作AG∥DE交DF于点G．∵AE∥CD，∠A=∠E=120°，∴四边形AFDE是等腰梯形，且∠F=∠D=60°，△AFG是等边三角形，四边形AGDE是平行四边形． 设BF=x，∵在直角△BCF中，∠BCF=90°﹣∠F=30°∴FC=2x，∴FD=2x+1．∵平行四边形AGDE中，DG=AE=2，∴FG=2x﹣1，∵△AFG是等边三角形中，AF=FG，∴x+1=2x﹣1，解得：x=2．在直角△BCF中，BC=BF•tanF=2，则S△BCF=BF•BC=×2×2=2．作AH⊥DF于点H．则AH=，则S梯形AFDE=（AE+DF）•AH=×（2+5）•=．∴S五边形ABCDE=S梯形AFDE﹣S△BCF=﹣2=．故答案为：． （三）解答题 21.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C=2∠E． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形； （2）若∠BDC=30°，AD=5，求CD的长． 解：（1）证明：∵AE∥BD， ∴∠E=∠BDC．∵DB平分∠ADC， ∴∠ADC=2∠BDC． 又∵∠C=2∠E， ∴∠ADC=∠BCD．∴梯形ABCD是等腰梯形． （2）由第（1）问，得∠C=2∠E=2∠BDC=60°，且BC=AD=5，∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°，∴∠DBC=90°．∴DC=2BC=10． 22.如图，等腰△ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O. 求证：（1）四边形EFCB是等腰梯形； （2）EF2+BC2=2BE2. 解：（1）证明：在等腰△ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理可知，EF∥BC，BE=CF,∴四边形EFCB是等腰梯形. （2）∵CE⊥BF于点O，四边形EFCB是等腰梯形，∴△OEF和△OBC都是等腰直角三角形，即OE=OF,OB=OC,由勾股定理可得：OE2+OF2=EF2,OB2+OC2=BC2,∴EF2+BC2=2OE2+2OB2=2BE2. 23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，过点A作AE∥DC交BC于点E． （1）求证：四边形AECD是菱形． （2）在（1）的条件下，若∠B=30°，AE⊥AB，以点A为圆心，AE的长为半径画弧交BE于点F，连接AF，在图中，用尺规补齐图形（仅保留作图痕迹），并证明点F是BE的中点． 解：（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵AD=CD， ∴四边形AECD是菱形． （2）补齐图形：证明：∵∠B=30°，AE⊥AB，∴∠AEB=60°，∵AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴AF=EF，∠EAF=60°，∴∠BAF=90°﹣∠EAF=30°，∴∠BAF=∠B，∴AF=BF，∴BF=EF，即点F是BE的中点． 24.已知：如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，联结． （1）求证：； （2）联结、，如果，求证：四边形是矩形． 解：（1）证明：如图，连接并延长，交于点，，， 在和中，，，，，是的中位线，； （2）连接并延长，交于点，由（1）可知：，，同理可得：，，梯形为等腰梯形，，，，，，，，，四边形为矩形，，四边形是矩形． 25．已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段的延长线于点，． （1）求证梯形为等腰梯形； （2）当，，求四边形的面积． 解:（1）证明：，，平分，，，，，梯形为等腰梯形； （2）如图，过点作于，，，， ，，，，四边形为平行四边形，，，，，， ，，由勾股定理得：，，则． 26.知识回顾： （1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）△中，是△的中位线，连接．则与的关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移： （2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点，分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化： （3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是　　． 解：（1）点是边的中点，点是边的中点，是△的中位线，，故答案为：； （2），理由：如图（2），连接并延长交的延长线于点，，，点为的中点，，在△和△中，，△△，，，，为的中点，为的中点，为△的中位线，，． （3）梯形的中位线长为，高为，，故答案为：42． 五．提分特训 （一）选择题 1．如图的灰色小三角形为三个全等大三角形的重迭处，且三个大三角形各扣掉灰色小三角形后分别为甲、乙、丙三个梯形．若图中标示的∠1为58°，∠2为62°，∠3为60°，则关于甲、乙、丙三梯形的高的大小关系，下列叙述何者正确（　　） A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．丙＞甲＞乙 D．丙＞乙＞甲 【答案】A 【解析】∵∠1=∠α=58°，∠2=∠β=62°，∠3=∠γ=60°，∴b＞c＞a，e＞f＞d，∵S梯形甲=S梯形乙=S梯形丙，∴梯形丙的两底＞梯形甲的两底＞梯形乙的两底，∴梯形乙的高＞梯形甲的高＞梯形丙的高，即：乙＞甲＞丙，故选A． 2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E点在BC上，且AE⊥BC．若AB=10，BE=8，DE=6，则AD的长度为（　　） A．8 B．9 C．6 D．6 【答案】C 【解析】∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∵AB=10，BE=8，∴AE===6，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=90°，∴AD===6．故选：C． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】延长AE交BC于F，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠DAF，∵AD∥CB，∴∠DAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，∵AB=，BC=4，∴CF=4﹣=，∵AD∥BC，AE∥CD， ∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD=CF=．故选B． 4．装有一些液体的长方体玻璃容器，水平放置在桌面上时，液体的深度为6，其正面如图1所示，将容器倾斜，其正面如图2所示．已知液体部分正面的面积保持不变，当AA1=4时，BB1=（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【解析】设A1B1=a，则根据面积公式得出：6a=（4+BB1）•a，BB1=8，故选B． 5．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（　　） A．1.5 B．3 C．3.5 D．4.5 【答案】B 【解析】已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠DBC．∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC．∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=∠C=30°， BC=2DC=2×3=6．∵EF是梯形中位线，∴MF是三角形BCD的中位线，∴MF=BC=6=3，故选：B． 6．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为（　　） A．12 B．15 C．12 D．15 【答案】D 【解析】过点A作AE∥CD，交BC于点E，∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，∴AD∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形，∴∠AEB=∠BCD=60°，∵CA平分∠BCD，∴∠ACE=∠BCD=30°，∵∠AEB是△ACE的外角，∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，∴∠EAC=30°，∴AE=CE=3，∴四边形ADEC是菱形，∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB=BE=AE=3，∴梯形ABCD的周长=AB+（BE+CE）+CD+AD=3+3+3+3+3=15．故选：D． 7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A等于（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】C 【解析】∵DE=DC，∠C=80°，∴∠DEC=80°，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEC=80°，∵AD∥BC， ∴∠A=180°﹣80°=100°，故选：C． 8．若一个四边形有一组对边平行，且它关于经过这组对边中点的直线对称，则称这个四边形为“平称四边形”．已知四边形满足，下列条件不能满足四边形是“平称四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，四边形满足，当时，四边形是平行四边形或等腰梯形，当四边形是平行四边形不满足四边形是“平称四边形”，故A选项符合题意；当时，四边形是矩形，满足四边形是“平称四边形”，故B选项不符合题意；当时，四边形是菱形或等腰梯形，满足四边形是“平称四边形”，故C选项不符合题意；当时，四边形是矩形或等腰梯形，满足四边形是“平称四边形”，故D选项不符合题意．故选：A． 9．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A． ①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 【答案】C 【解析】如图所示，设，交于点O，∵在梯形中，，， ∴，，∵，，∴，即∴同理可得，∴ ∵∴梯形的面积； ∵，，∴ ∴∴梯形的周长． 故选：C． 10．已知：如图，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】根据四边形ABCD是等腰梯形，可得出的条件有：AC＝BD，∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠OCD（可通过全等三角形ABD和BAC得出），OA＝OB，OC＝OD，∠ACB＝∠ADB＝90°（三角形ACB和BDA全等）．①要证BD∥EF就要得出∠ADB＝∠EFD，而∠ADB＝90°，∠EFD＝90°，因此∠ADB＝∠EFD，此结论成立；②由于BD∥EF，∠AEF＝∠AOD，而∠AOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠OAB，因此∠AEF＝2∠OAB，此结论成立．③在直角三角形ABE中，∠OAB＝∠OBA，∠OAB+∠OEB＝∠OBA+∠OBE＝90°，因此可得出∠OEB＝∠OBE，因此OA＝OB＝OE，那么O就是直角三角形ABE斜边AE的中点，由于OD∥EF，因此OD就是三角形AEF的中位线，那么D就是AF的中点，因此此结论也成立．④由③可知EF＝2OD＝2OC，而OA＝OE＝OC+CE．那么AC＝OA+OC＝OC+OC+CE＝2OC+CE＝EF+CE，因此此结论也成立．故选：D． （二）填空题 11.一个梯形的上底长4cm，下底长9cm，一条腰长5cm，则另一条腰长x的取值范围是______。 【答案】：0＜x＜10 【解析】：作平行线将梯形转化为平行四边形和三角形，三角形两边为5cm和5cm，根据三角形三边关系，5-5＜x＜5+5，即0＜x＜10（边长为正，故x＞0）。 12.等腰梯形ABCD的对角线长为13，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是__________. 【答案】26 【解析】连接AC，BD，∵等腰梯形ABCD的对角线长为13，∴AC=BD=13，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EH=GF=BD=6.5，EF=GH=AC=6.5，∴四边形EFGH的周长是：EH+EF+FG+GF=26． 13.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线EF交BD于点O，若FO-EO=6，则BC-AD为 【答案】：12 【解析】：∵EF是梯形ABCD的中位线，∴AE=BE，CF=DF，EF∥AD∥BC，∴DO=BO，∴AD=2EO，BC=2FO，∵FO-EO=6，∴BC-AD=2×6=12，故答案为：12． 14．等腰梯形的上下底边长分别为2和6，其两条对角线互相垂直，则这个等腰梯形的面积为 ． 【答案】 【解析】过点作梯形对称轴，交于，交于，，，如图： 根据等腰梯形的对称性可知，，，又∵，∴，为等腰直角三角形，∴，，， ∴．故答案为：． 15.如图，四边形中，，，将四边形沿对角线折叠，点恰好落在边上的点处，，则的度数是_________. 【答案】 【解析】，，，， 由折叠的性质可知：，，，，，， 16.如图，梯形中，，是的中点，平分，以下说法：①；②；③；④，其中正确的是_____。 【答案】②④ 【解析】过点作于点，则，是的中点，， ，，平分，，又， △△，，，，，，△△，，， ，故③错误；，，即，，故②正确；，，，，即，故④正确；题中无条件证明，故①错误；正确的有②④ 17.如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，．则此梯形的面积为　　 ． 【答案】16 【解析】如图，，，．过点作，交的延长线于点 四边形是平行四边形，，，， ，，，，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：，即，此梯形的面积为，故答案为：16． 18.如图，在梯形中，，，，，点、分别为、的中点，则线段　　． 【答案】29 【解析】如图，过点作，交于，，交于，则，，，，，， 四边形、四边形为平行四边形，，，，点、分别为、的中点，，， ，，， 19．梯形中，两底分别是3，5，一腰为3，则另一腰x的取值范围是________． 【答案】 【解析】如图，梯形中，，，，，，过D作，交于E点，根据题意得：，即．故答案为：. 20．在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为__________平方厘米 【答案】 【解析】如图，作等腰梯形中，，， ，四边形是矩形，∵AB=AB，， ，∵AC⟂BC，，，，，（厘米），，， （厘米），（平方厘米），（平方厘米）（平方厘米），，，， 厘米，厘米，厘米（平方厘米）（平方厘米），故选：A． （三）解答题 21．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点． （1）求证：四边形EMCN是矩形； （2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的长和宽． 解:（1）证明：∵点A、F关于BD对称，∴AD=DF，DE⊥AF，又∵AD⊥DC，∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，∴∠DAF=∠EDF=45°，∵AD∥BC，∴∠G=∠GAD=45°，∴△BGE是等腰直角三角形，∵M，N分别是BG，DF的中点，∴EM⊥BC，EN⊥CD，∵AD∥BC，AD⊥DC，∴BC⊥CD，∴四边形EMCN是矩形； （2）由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=CD，∴S梯形ABCD=（AD+BC）•CD=（2+CD）•CD=，即CD2+2CD﹣15=0，解得CD=3，CD=﹣5（舍去），∵△ADE、△DEF是等腰直角三角形，∴DF=AD=2，∵N是DF的中点，∴EN=DN=DF=×2=1，∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2，∴矩形EMCN的长和宽分别为2，1． 22．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE． （1）求证：AF=DE； （2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长． 解:（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA， ∴△AED≌△DFA（SAS），∴AF=DE； （2）如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK，∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°，∴AB=BH=AH，同理：CD=CK=KD，∵S梯形ABCD=，AB=a， ∴S梯形ABCD==，而S△ABE=S△DCF=a2， ∴=2×a2， ∴BC=a． 23.如图，在四边形中，，，，，点为上的动点，、、分别为、、的中点． （1）求的长度； （2）若点为动点，则最小为 　　． 解：（1）作于，连接，，，，四边形是矩形，，，在中，，为的中点，，则，在中，，在中，、为、的中点，； （2）过作于，连接，则四边形为矩形，，，、分别为、的中点，是的中位线， ，在中，，当点与点重合，点与点重合时，最小，此时最小，长度的最小值， 故答案为：2． 24．如图，在直角梯形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动．点、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒．求： （1）为何值时，四边形为平行四边形？ （2）为何值时，四边形为矩形？ 解：（1）由题意得：，，则，，时，四边形为平行四边形，此时，，解得：，时，四边形为平行四边形； （2），，当时，四边形为矩形，，解得：，当时，四边形为矩形． 25．如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，延长BC到E，使得CE=AD，连接DE． （1）求证：BD=DE． （2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长． 解：（1）证明：∵AD∥BC，CE=AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC=DE，∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∴BD=DE． （2）过点D作DF⊥BC于点F，∵四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=3，AC∥DE，∵AC⊥BD，∴BD⊥DE，∵BD=DE，∴S△BDE=BD•DE=BD2=BE•DF=（BC+CE）•DF=（BC+AD）•DF=S梯形ABCD=16，∴BD=4，∴BE=BD=8，∴DF=BF=EF=BE=4，∴CF=EF﹣CE=1，∴由勾股定理得AB=CD==． 26．如图（1），直角梯形中，，，且，，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图（2），于点H，动点P从点H出发，沿线段向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，的面积为S，求S与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)设与交于点M，当时，求的值． 解:（1）在中，，，， ，，，，而， 为等边三角形； （2），过点P作，，， ，，∴，∴，∴，而，； （3），，而， ，即，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $