7.2 离散型随机变量及其分布列 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.2 离散型随机变量及其分布列 目录 题型01 离散型随机变量的分布列 3 题型02 分布列的性质 6 题型03 由分布列求概率 7 题型04 两点分布 9 建体系 新知廊 知识点1： 随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 知识点2： 离散型随机变量 1．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 2．通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z． 知识点3： 离散型随机变量的特征 1．可以用数值表示． 2．试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值． 3．试验结果能一一列出． 知识点4： 离散型随机变量的分布列 1．一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．离散型随机变量的分布列可以用表格表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 3．pi≥0，i＝1,2，…，n． 4．p1＋p2＋…＋pn＝1． 知识点5： 两点分布 1．对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝ 2．如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 3．我们称X服从两点分布或0－1分布． 求甚解 1．离散型随机变量的分布列． (1)随机变量的取值． (2)每一个取值所对应的概率． (3)用所有概率之和是否为1来检验． 2．分布列的性质及其应用． (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 练题型 题型01 离散型随机变量的分布列 典型例题 典例 01 （2025春•锦江区校级期中）大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理如表所示． 日需求量 140 150 160 170 180 190 200 频数 5 10 8 8 7 7 5 以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率． （1）求该超市A水果日需求量n（单位：千克）的分布列； （2）若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X（单位：元），求X的分布列． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）依据表中数据，求出频率，即可求解； （2）先求出X的取值，再求其概率，即可求解． 【解答】解：（1）由图中表可知， n的分布列为： n 140 150 160 170 180 190 200 P 0.1 0.2 0.16 0.16 0.14 0.14 0.1 （2）若A水果日需求量为140千克， 则X＝140×（15﹣10）﹣（150﹣140）×（10﹣8）＝680元， P（X＝680）， 若A水果日需求量不小于150千克， 则X＝150×（15﹣10）＝750，且P（X＝750）＝1﹣0.1＝0.9， 故X的分布列为： X 680 750 P 0.1 0.9 即学即练 【变式练1】（2025春•遵义校级月考）甲，乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人答对与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队的总得分． （1）求随机变量ξ的分布列； （2）设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P（C）． 【变式练2】（2025秋•荆州区校级月考）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式．当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息．现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和．每次发送和接收相互独立． （1）求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； （2）记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列． 【变式练3】（2025春•怀柔区期末）在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在[90，100]范围的人数，求X的分布列； （3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在[80，100]范围的人数，求Y的分布列． 题型02 分布列的性质 典型例题 典例 02 （2025春•河南月考）设离散型随机变量X的分布列如表，则x＝（　　） X 0 1 2 P x 2x x+0.2 A．0.2 B．﹣0.2 C．0.4 D．﹣0.4 【答案】A 【分析】根据概率之和为1得到方程，求出答案． 【解答】解：离散型随机变量X的分布列如表， X 0 1 2 P x 2x x+0.2 由概率之和为1，得x+2x+x+0.2＝1，解得x＝0.2． 故选：A． 即学即练 【变式练1】（2025•江苏校级模拟）设离散型随机变量X服从两点分布，其分布列如下表，则a＝（　　） X 0 1 P a a+0.4 A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.7 【变式练2】（2025春•朝阳区校级期中）设X是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则q＝　　　　． X 0 2 4 P q2 【变式练3】（2025春•河西区期末）若随机变量X的分布列如表所示（ab≠0），则的最小值为　　　　． X 0 1 2 3 P a b 题型03 由分布列求概率 典型例题 典例 03 （2025春•青铜峡市校级期末）设随机变量ξ的分布列如下：则下列说法中不正确的是（　　） ξ 1 2 3 4 5 P a1 a2 a3 a4 a5 A．P（ξ≤2）＝1﹣P（ξ≥3） B．{an}的通项公式可能为 C．若{an}为等差数列，则 D．当时， 【答案】B 【分析】利用概率的性质，等差数列的性质以及裂项法求和求解即可． 【解答】解：对于A，由已知得a1+a2+a3+a4+a5＝1，其中P（ξ≤2）＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝a1+a2，P（ξ≥3）＝P（ξ＝3）+P（ξ＝4）+P（ξ＝5）＝a3+a4+a5，则P（ξ≤2）＝1﹣P（ξ≥3），所以A说法正确； 对于B，，则，即{an}的通项公式不可能为，所以B说法不正确； 对于C，a1+a2+a3+a4+a3＝（a1+a5）+（a2+a4）+a3＝2a3+2a3+a3＝1，解得，所以C说法正确； 对于D，当时，即，，，，则，所以D说法正确． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025春•华安县校级期末）设离散型随机变量X的分布列如右表，若随机变量Y＝|X﹣2|，则P（Y＝2）＝（　　） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【变式练2】（多选）（2025春•启东市校级月考）已知随机变量X的概率分布如表（其中a为常数）： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是（　　） A．a＝0.1 B．P（X≤2）＝0.7 C．P（X≥3）＝0.4 D．P（X≤1）＝0.3 【变式练3】（2025秋•道里区校级月考）设离散型随机变量X的分布列如下表，若随机变量Y＝|X﹣2|，则P（Y＝2）＝　　　　． X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.1 0.3 m 题型04 两点分布 典型例题 典例 04 （2025春•河南期中）已知X服从两点分布，若3P（X＝1）＝4P（X＝0），则P（X＝0）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点分布的性质及已知条件即可求解． 【解答】解：X服从两点分布，则P（X＝1）+P（X＝0）＝1， 又3P（X＝1）＝4P（X＝0），联立两个方程可得，． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025春•白银期末）若X服从两点分布，且P（X＝1）＝7P（X＝0），则P（X＝0）＝（　　） A． B． C． D． 【变式练2】（2025春•西安校级月考）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝12a2﹣1，P（X＝1）＝3﹣7a，则实数a的值为　　　　． 【变式练3】（2025春•溧阳市期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.3，设Y＝2X﹣1，那么P（Y＝﹣1）＝　　　　． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2 离散型随机变量及其分布列 目录 题型01 离散型随机变量的分布列 3 题型02 分布列的性质 8 题型03 由分布列求概率 10 题型04 两点分布 12 建体系 新知廊 知识点1： 随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 知识点2： 离散型随机变量 1．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 2．通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z． 知识点3： 离散型随机变量的特征 1．可以用数值表示． 2．试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值． 3．试验结果能一一列出． 知识点4： 离散型随机变量的分布列 1．一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．离散型随机变量的分布列可以用表格表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 3．pi≥0，i＝1,2，…，n． 4．p1＋p2＋…＋pn＝1． 知识点5： 两点分布 1．对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝ 2．如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 3．我们称X服从两点分布或0－1分布． 求甚解 1．离散型随机变量的分布列． (1)随机变量的取值． (2)每一个取值所对应的概率． (3)用所有概率之和是否为1来检验． 2．分布列的性质及其应用． (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 练题型 题型01 离散型随机变量的分布列 典型例题 典例 01 （2025春•锦江区校级期中）大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理如表所示． 日需求量 140 150 160 170 180 190 200 频数 5 10 8 8 7 7 5 以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率． （1）求该超市A水果日需求量n（单位：千克）的分布列； （2）若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X（单位：元），求X的分布列． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）依据表中数据，求出频率，即可求解； （2）先求出X的取值，再求其概率，即可求解． 【解答】解：（1）由图中表可知， n的分布列为： n 140 150 160 170 180 190 200 P 0.1 0.2 0.16 0.16 0.14 0.14 0.1 （2）若A水果日需求量为140千克， 则X＝140×（15﹣10）﹣（150﹣140）×（10﹣8）＝680元， P（X＝680）， 若A水果日需求量不小于150千克， 则X＝150×（15﹣10）＝750，且P（X＝750）＝1﹣0.1＝0.9， 故X的分布列为： X 680 750 P 0.1 0.9 即学即练 【变式练1】（2025春•遵义校级月考）甲，乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人答对与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队的总得分． （1）求随机变量ξ的分布列； （2）设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P（C）． 【答案】（1）分布列详见解析．（2）． 【分析】（1）由题意可知，ξ的所有可能的值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得ξ的分布列． （2）“甲队得两分”与“乙队得1分”相互独立，分别算出“甲队得两分”的概率，乙队得1分”的概率，并相乘，即可求解． 【解答】解：（1）由题意可知，ξ的所有可能的值为0，1，2，3， P（ξ＝0），P（ξ＝1）， P（ξ＝2），P（ξ＝3）， 故ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P （2）“甲队得两分”与“乙队得1分”相互独立， 由（1）得，“甲队得2分”的概率P（ξ）， “乙队得1分”的概率为， ∴“甲队得2分，乙队得1分”的概率P（C）． 【变式练2】（2025秋•荆州区校级月考）某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式．当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息．现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和．每次发送和接收相互独立． （1）求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； （2）记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列． 【答案】（1）； （2） x 0 1 2 P 【分析】（1）分别求出事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子”和事件：“发射器第一次发送“0指向”的光子且第二次发送“1指向”的光子”的概率，应用条件概率计算即可． （2）结合排列组合的应用求解事件的概率，即可写出X的分布列． 【解答】解：（1）设事件M＝“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件N＝“第二次发送“1指向”的光子”， 则， 由条件概率公式，； （2）由题意：X＝0，1，2， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 【变式练3】（2025春•怀柔区期末）在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在[90，100]范围的人数，求X的分布列； （3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在[80，100]范围的人数，求Y的分布列． 【答案】（1）a＝0.03． （2）答案见详解； （3）答案见详解． 【分析】（1）由频率和为1，列式求出a的值； （2）利用超几何分布求概率，可得分布列； （3）利用二项分布求概率，可得分布列． 【解答】解：（1）由频率分布直方图可得（0.016+0.024+a+0.020+0.010）×10＝1，解得a＝0.03． （2）因为评分在（80，90]的频率为0.02×10＝0.2，抽取的人数为50×0.2＝10， 评分在[90，100]的频率为0.01×10＝0.1，抽取的人数为50×0.1＝5， 所以X的可能取值为0，1，2， 则P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2）． 所以X的分布列为 X 0 1 2 P （3）因为评分在[80，100]的频率为0.2+0.1＝0.3，用频率估计概率， 则全校学生评分在[80，100]的频率为0.3， 所以Y的可能取值为0，1，2，且Y～B（2，0.3）， 所以P（Y＝0）0.72＝0.49，P（Y＝1）0.3×0.7＝0.42，P（Y＝2）0.32＝0.09， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 0.49 0.42 0.09 题型02 分布列的性质 典型例题 典例 02 （2025春•河南月考）设离散型随机变量X的分布列如表，则x＝（　　） X 0 1 2 P x 2x x+0.2 A．0.2 B．﹣0.2 C．0.4 D．﹣0.4 【答案】A 【分析】根据概率之和为1得到方程，求出答案． 【解答】解：离散型随机变量X的分布列如表， X 0 1 2 P x 2x x+0.2 由概率之和为1，得x+2x+x+0.2＝1，解得x＝0.2． 故选：A． 即学即练 【变式练1】（2025•江苏校级模拟）设离散型随机变量X服从两点分布，其分布列如下表，则a＝（　　） X 0 1 P a a+0.4 A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【分析】根据分布列的性质计算可得． 【解答】解：根据题意，由X的分布列，有a+a+0.4＝1，解得a＝0.3． 故选：B． 【变式练2】（2025春•朝阳区校级期中）设X是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则q＝　　　　． X 0 2 4 P q2 【答案】． 【分析】根据随机变量的概率非负不大于1，且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，列出方程和不等式，解方程组即可． 【解答】解：由分布列的性质，得，解得或， 又由且0≤q2≤1，解得， 故． 故答案为：． 【变式练3】（2025春•河西区期末）若随机变量X的分布列如表所示（ab≠0），则的最小值为　　　　． X 0 1 2 3 P a b 【答案】6+4． 【分析】利用离散型随机变量的分布列、基本不等式求解． 【解答】解：∵随机变量X的分布列如表所示（ab≠0）， X 0 1 2 3 P a b ∴，∴a+b， ∴2（a+b）（）＝2（12）＝6 ≥6+26+4.，当且仅当时，取等号， ∴的最小值为6+4． 故答案为：6+4． 题型03 由分布列求概率 典型例题 典例 03 （2025春•青铜峡市校级期末）设随机变量ξ的分布列如下：则下列说法中不正确的是（　　） ξ 1 2 3 4 5 P a1 a2 a3 a4 a5 A．P（ξ≤2）＝1﹣P（ξ≥3） B．{an}的通项公式可能为 C．若{an}为等差数列，则 D．当时， 【答案】B 【分析】利用概率的性质，等差数列的性质以及裂项法求和求解即可． 【解答】解：对于A，由已知得a1+a2+a3+a4+a5＝1，其中P（ξ≤2）＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝a1+a2，P（ξ≥3）＝P（ξ＝3）+P（ξ＝4）+P（ξ＝5）＝a3+a4+a5，则P（ξ≤2）＝1﹣P（ξ≥3），所以A说法正确； 对于B，，则，即{an}的通项公式不可能为，所以B说法不正确； 对于C，a1+a2+a3+a4+a3＝（a1+a5）+（a2+a4）+a3＝2a3+2a3+a3＝1，解得，所以C说法正确； 对于D，当时，即，，，，则，所以D说法正确． 故选：B． 即学即练 【变式练1】（2025春•华安县校级期末）设离散型随机变量X的分布列如右表，若随机变量Y＝|X﹣2|，则P（Y＝2）＝（　　） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，求得m，再根据X，Y的关系可得P（Y＝2）＝P（X＝0）+P（X＝4），结合分布列即可求得结果． 【解答】解：由题意可得0.2+0.1+0.1+0.3+m＝1，解得m＝0.3． 因为Y＝|X﹣2|，所以P（Y＝2）＝P（X＝0）+P（X＝4）＝0.2+m＝0.2+0.3＝0.5． 故选：D． 【变式练2】（多选）（2025春•启东市校级月考）已知随机变量X的概率分布如表（其中a为常数）： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是（　　） A．a＝0.1 B．P（X≤2）＝0.7 C．P（X≥3）＝0.4 D．P（X≤1）＝0.3 【答案】ABD 【分析】由概率之和为1可判断A，根据分布列计算概率，可判断BCD． 【解答】解：因为0.1+0.2+0.4+0.2+a＝1，解得a＝0.1，故A正确； 由分布列知P（X≤2）＝0.4+0.2+0.1＝0.7，故B正确； P（X≥3）＝0.2+0.1＝0.3，故C错误； P（X≤1）＝0.1+0.2＝0.3，故D正确． 故选：ABD． 【变式练3】（2025秋•道里区校级月考）设离散型随机变量X的分布列如下表，若随机变量Y＝|X﹣2|，则P（Y＝2）＝　　　　． X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.1 0.3 m 【答案】0.4． 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质可知各概率，再根据概率的加法可得解． 【解答】解：根据分布列的性质得0.1+0.2+0.1+0.3+m＝1，解得m＝0.3， 若随机变量Y＝|X﹣2|， 则P（Y＝2）＝P（X＝0）+P（X＝4）＝0.1+0.3＝0.4． 故答案为：0.4． 题型04 两点分布 典型例题 典例 04 （2025春•河南期中）已知X服从两点分布，若3P（X＝1）＝4P（X＝0），则P（X＝0）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点分布的性质及已知条件即可求解． 【解答】解：X服从两点分布，则P（X＝1）+P（X＝0）＝1， 又3P（X＝1）＝4P（X＝0），联立两个方程可得，． 故选：C． 即学即练 【变式练1】（2025春•白银期末）若X服从两点分布，且P（X＝1）＝7P（X＝0），则P（X＝0）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照两点分布的性质计算． 【解答】解：因为X服从两点分布，所以P（X＝1）+P（X＝0）＝1， 又因为P（X＝1）＝7P（X＝0），所以1﹣P（X＝0）＝7P（X＝0）， 解得． 故选：C． 【变式练2】（2025春•西安校级月考）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝12a2﹣1，P（X＝1）＝3﹣7a，则实数a的值为　　　　． 【答案】． 【分析】根据分布列的性质即可求出． 【解答】解：因为随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝12a2﹣1，P（X＝1）＝3﹣7a， 所以12a2﹣1+3﹣7a＝1，解得或， 若，则，符合题意， 若，则，不符合题意， 故． 故答案为：． 【变式练3】（2025春•溧阳市期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.3，设Y＝2X﹣1，那么P（Y＝﹣1）＝　　　　． 【答案】0.7． 【分析】结合两点分布的定义即可得答案． 【解答】解：因为随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.3， 所以P（X＝0）＝0.7，因为Y＝2X﹣1， 所以P（Y＝﹣1）＝P（X＝0）＝0.7． 故答案为：0.7． 学科网（北京）股份有限公司 $