精品解析：天津市第七中学2025-2026学年高二下学期质量检测（一）数学试题

天津七中2025-2026学年度高二下数学质量检测（一） 一、单选题：（共9题，每题5分） 1. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 【答案】A 【解析】 【详解】由图可知，当时，，而，则； 当时，，而，则； 当时，，而，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则有极大值，无极小值. 2. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导分析函数单调性,并根据函数的正负判断即可. 【详解】由题意可知， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减，且当时，. 故选：A. 3. 设A，B为两个事件，已知，，，则（ ） A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式直接计算作答. 【详解】由，，得， 所以. 故选：B 4. 2025届高二数学竞赛中对尖端生采用暂时屏蔽措施，某校有，，，，五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是，，三位同学，但不是第一名，，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（ ） A. 6 B. 24 C. 22 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理计算可得. 【详解】第一步排有两种可能：第2名或第5名； 第二步排和有两种可能； 第三步排和，有6，7，8位三种可能； 当为第6名时，有7，8，9名三种可能， 当为第7名时，有8，9名两种可能， 当为第8名时，只有第9名一种可能， 所以第三步的总数为种； 根据分步计数原理，所有名次排位的总数种. 故选：B. 5. 已知函数在上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值作答. 【详解】函数，求导得：，因在上单调递增， 则对任意的，成立，设，则， 由，得，由，得，从而在上单调递减，在上单调递增， 即，因此， 所以a的最大值是. 故选：C 6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，进而利用的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减， 因为， 所以不等式可变为，即， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 7. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种 【答案】B 【解析】 【分析】 区域与其他区域都相邻，从开始分步进行其它区域填涂可解 【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析： ①，对于 区域，有4种涂法， ②，对于区域，与 相邻，有3种涂法， ③，对于区域，与 相邻，有2种涂法， ④，对于区域，若其与 区域同色，则 有2种涂法， 若 区域与 区域不同色，则 有1种涂法，则 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种； 故选： B． 【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题 使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数． 8. 现有语文、数学、外语、物理、化学、生物各一本，均分给3个人，其中数学和物理不分给同一个人，则不同的分配方法有（ ） A. 36 B. 54 C. 72 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】先计算将6本书平均分给三人，再计算数学物理作为一组分配给一个人的分法，利用间接法即可求解. 【详解】根据题意，先计算将6本书平均分给三人的情况数目，分2步分析： ①，将6本书分成3组，有种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应三人，有种情况，则将6本书平均分给三人，有种分配方法； 再计算其中数学和物理分给同一个人的情况，分2步分析： ①，将除数学和物理之外的4本书，分成2组，有种分组方法， ②，将数学和物理作为1组，和其他2组一起全排列，对应三人，有种情况，则数学和物理分给同一个人的分配方法有种分派方法，则数学和物理不分给同一个人的分配方法有种； 故选：C 9. 设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，利用零点存在定理可知函数在上只有一个零点，则函数在上无零点，并利用导数分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则且不恒为零， 所以，函数在上单调递增，所以，， 又因为，所以，函数在上只有一个零点； 因为函数只有一个零点，则函数在上无零点， 则当时，，则， 由可得，由可得. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，只需，解得. 故选：C. 二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 函数的单调递减区间是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再求导数，解不等式即可得解. 【详解】函数的定义域为， 对求导得， 令，即，即， 因为函数在上单调递增，所以解得， 所以函数的单调递减区间为. 11. 在的展开式中，的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出展开式通项公式，从而得到，得到答案. 【详解】的展开式通项公式为， 令得， 故，故的系数为. 故答案为： 12. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由有两个极值点可得有两个不同的实数根，令，用导数研究的图像即可求解 【详解】由题意，有两根，且两根的两边导函数值异号， 又，令，则有两个不同的实数根， 令，则， 令有，故当时，，单调递减；当时，，单调递增. 且当时，当时，且，， 故作出图象. 可得当有两根时 故答案为： 13. 已知函数在上不单调，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意知，函数在区间上存在极值点，利用导函数在区间上单调，可得出有关实数的不等式组，解出即可. 【详解】，，则函数在上单调递减， 因为函数在上不单调，所以在上有解， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用函数在区间上不单调求参数的取值范围，一般转化为函数在区间上有极值点，考查运算求解能力，属于中等题. 14. 已知函数，，若成立，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论. 【详解】解：不妨设， ∴，() ∴，即，， 故()， 令()， ， 所以在上是增函数，且， 当时，， 当时，， 即当时，取得极小值同时也是最小值， 此时，即的最小值为， 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查化归转化思想与运算能力，是中档题. 15. 已知函数（）有两个极值点，，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】求函数的导数，并令，因为函数有两个零点，所以，，求出，代入根与系数的关系求函数的最大值． 【详解】的定义域为，，设， 由题意可知在内有两个不等的实数根、， ∴，解得， 又∵,，∴， ， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为． 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题在根据函数有两个极值点，得到在上有两个不同的解，后，也可分离参数，将问题转化为函数，（）的图象有两个不同的交点，从而求解的取值范围． 三、解答题：（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部（其中男生5名、女生3名）中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】 X 0 1 2 3 P ，【解析】 【分析】先确定X的分布列类型为超几何分布，然后确定相应的参数取值，并求出每个取值对应事件的概率，列出分布列，最后利用期望公式进行求值. 【详解】因为8名学生会干部中有5名男生、3名女生，所以X的分布列服从参数为的超几何分布，因为， 所以， ， ， . X的分布列如下， X 0 1 2 3 P . 17. 设，且已知展开式中所有二项式系数之和为. （1）求的值以及二项式系数最大的项； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和为求得的值，根据二项式系数的性质，中间项系数最大，求得系数最大的项； （2）令，得；再令,即可求得. 【详解】（1）由题意，，. ，二项式展开式中共有项，所以二项式系数最大的项为第项， 即. （2）令，得. 令，得. 所以. 18. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 【答案】（1） （2） 当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对求导，得到，对进行讨论，判断的单调性． 【小问1详解】 当时，，则，所以，，， 故当时，函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，，的减区间为，无增区间； 当时，令，， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的单调区间； （2）①若恒成立，求的最小值； ②证明：，其中. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）①1；②证明：由①知：，时取“=”， 令，得， ∴ ， 当时，. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，在定义域内，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）①分离参数得，令，利用函数的单调性求出的最大值即可； ②由①知：，时取“=”， 令，即，最后累加即可. 【小问1详解】 由已知条件得，其中的定义域为， 则， 当时，，当时，， 综上所述可知：的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 ①由恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，，当时，， ∴在上单调递增，上单调递减， ∴， ∴的最小值为1. ②略 20. 函数 （1）求函数的单调区间； （2）若在恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）当时，的单调增区间为， 当时，的单调增区间为，单调减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）求导，分别讨论和两种情况的正负，即可求得的单调区间. （2）所求转化为求在恒成立问题，设，利用导数判断其单调性，并求得的最大值，可得关于m的不等式，即可得答案. 【小问1详解】 当时，，所以在为增函数， 当时，令，解得； 当时，，为增函数， 当时，， 为减函数， 综上：当时，的单调增区间为， 当时，的单调增区间为，单调减区间为. 【小问2详解】 因为在恒成立， 所以在恒成立， 设，则. 设 所以在单调递增，又， 因此存在唯一，使得， 所以当时，， 当时， 当时，，当时， 所以函数在递增，在递减，在递增 因此， 由得，则. 所以， 因为，则，所以， 因为， 所以当时，， 所以，解得 所以的取值范围是 【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数判断函数单调性，求极（最）值的方法，并灵活应用，在得到解析式，并且不能直接判断其正负时，可令，再次求导，根据的单调性，求得的值域，进而可得的正负，即可得的单调性，属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津七中2025-2026学年度高二下数学质量检测（一） 一、单选题：（共9题，每题5分） 1. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 2. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 3. 设A，B为两个事件，已知，，，则（ ） A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5 4. 2025届高二数学竞赛中对尖端生采用暂时屏蔽措施，某校有，，，，五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是，，三位同学，但不是第一名，，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（ ） A. 6 B. 24 C. 22 D. 12 5. 已知函数在上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种 8. 现有语文、数学、外语、物理、化学、生物各一本，均分给3个人，其中数学和物理不分给同一个人，则不同的分配方法有（ ） A. 36 B. 54 C. 72 D. 84 9. 设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 函数的单调递减区间是_____________. 11. 在的展开式中，的系数为__________． 12. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________． 13. 已知函数在上不单调，则的取值范围是_________． 14. 已知函数，，若成立，则的最小值为______. 15. 已知函数（）有两个极值点，，则的最大值为________． 三、解答题：（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部（其中男生5名、女生3名）中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列和数学期望. 17. 设，且已知展开式中所有二项式系数之和为. （1）求的值以及二项式系数最大的项； （2）求的值. 18. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的单调区间； （2）①若恒成立，求的最小值； ②证明：，其中. 20. 函数 （1）求函数的单调区间； （2）若在恒成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $