专题03 一次函数常考几何问题专训10大题型（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材北京版

专题03 一次函数常考几何问题专训 题型1 一次函数中的面积计算问题 题型6 一次函数中的翻折模型 题型2 一次函数中的动点问题 题型7 一次函数中的旋转模型（45度等） 题型3 一次函数的最值问题 题型8 一次函数中的平移模型 题型4 一次函数中的存在性问题 题型9 一次函数与线段的交点问题 题型5 一次函数中的新定义问题 题型10 一次函数中的角度问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一次函数中的面积计算问题（共4小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式、三角形的面积，熟练掌握解一次函数的解析式的方法和三角形的面积公式是解题关键． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求得点的坐标，即的长，利用三角形的面积公式即可求解； （3）当的面积是的面积的时，先求出的面积和的面积，再分类讨论：①当点在直线上，先求出直线求解析，运用三角形公式代入求解即可；②当点在直线上，已知直线解析式，运用三角形公式代入求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式是， 将点、点代入得：， 把①代入②中得：， ， ， 解得：， ∴直线的解析式是：； （2）解：∵在中，令，解得：， ∴点，． ∵点， ∴， ∴． （3）解：∵点、点， ∴，， ∴ ∵当的面积是的面积的时， ∴ ①当点在直线上， ∵设直线的解析式是， 代入点得， 解得：， ∴则直线的解析式是：， ∴设点， ∴ ∴，即， 把代入，得 ∴； ②当点在直线上， ∴设点， ∴ ∴，即， 把代入，得 ∴； 综上，点的坐标是：或． 2．如图，一次函数的函数图象与轴，轴分别交于点，． (1)若点为第三象限内一个动点，请问的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？ (2)在（1）的条件下，试用含的代数式表示四边形的面积；若的面积是，求的值． 【答案】(1)不变，面积是1 (2)， 【分析】本题考查了一次函数与几何图形，一次函数与坐标轴交点问题； （1）求出、点的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论； （2）由，即可得出四边形的面积，再由的面积是可得出的值． 【详解】（1）解：不变，理由是： 一次函数的图象与轴、轴分别交于、， 当时，，当时， 则点、的坐标分别为、， ∴ ∵点为第三象限内一个动点， ∴． （2）解：∵, , ∴ 解得． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)当的面积等于面积时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点代入直线得，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）首先求得直线与x轴的交点的坐标，直线与x轴的交点D的坐标，进而可求得的长，于是可求得的面积； （3）设点的坐标为，利用三角形的面积公式可列出方程，解方程即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入直线中，得： ， ， 设直线的表达式为，把点和点代入得： ， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：直线与x轴相交于点， 令，则， 解得：， ， 直线与x轴相交于点， ∴令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：点是y轴上一动点， 可设点的坐标为， 的面积等于的面积， ， ， 解得：或， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数的函数值，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，解一元一次方程，绝对值方程等知识点，深刻理解并灵活运用数形结合思想是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． (4)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入直线的表达式，得到关于的方程，解方程求出的值，即可得到直线的解析式； （2）先求点的坐标，进而确定的底的长度，再确定的高，最后代入三角形面积公式计算； （3）先求出点的坐标，作关于轴的对称点，利用“轴对称性质”得，将转化为，当、、共线时，最小，求出直线的解析式，令，得到的值即为点的纵坐标； （4）先确定目标面积，设点的坐标，以为的底，点到轴的距离为高，代入面积公式列方程，解方程得的值，再代入直线解析式得到的纵坐标，进而确定的坐标． 【详解】（1）解：直线为，且位于直线上， ，解得， 直线的解析式为． 答：． （2）解：直线的解析式为， 当，，即直线与轴交点为， ， 点坐标为， 点到轴的距离为， ． 答：． （3）解：直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为， 如图，作点关于轴对称点，连接，与轴交于点， ，， ， ， 可知当、、位于同一条直线上时，取得最小值， 设直线的解析式为，将，代入， 可得： ， 解得： ， 直线的解析式为， 令，则， 故的坐标为． 答：． （4）解：设存在点， 根据题意可知， 得，即， 解得， 则点的坐标为或． 答：存在，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的解析式求解，平面直角坐标系中图形的面积计算，轴对称的应用，一次函数与图形面积的综合应用，通过作对称点，将“折线线段和”转化为“直线线段”是解题关键． 题型二 一次函数中的动点问题（共4小题） 5．如图1，在矩形中，，，E为的中点，动点P，Q分别从点A，E出发，沿射线运动，动点G从点D出发，沿射线运动，动点P的速度是动点Q的2倍，动点G的速度是动点Q的．已知，运动时间为t，令的面积为，的面积为，请回答下列问题：    (1)请直接写出，与t之间的函数关系式； (2)完成下表，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出，的图象，并根据图象写出函数的一条性质：______． t 0 4 8 (3)根据图象直接写出当且时，t的取值范围． 【答案】(1)， (2)表见解析，图见解析，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3) 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，从而可得点到边的距离为4，再分别求出，当点与点重合时，，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）先根据（1）的结论完成表格，再利用描点法画出函数图象，然后结合函数图象写出函数的一条性质即可得； （3）结合函数图象即可得． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，为的中点， ， 点到边的距离为4， 由题意得：，， ， ， 当点与点重合时，，即， 解得， 则当时，， 此时， 当时，， 此时， 综上，，． （2）解：当时，，， 当时，，， 当时，，， 则完成表格如下： 0 4 8 0 4 8 8 0 8 在平面直角坐标系中画出，的图象如下：    函数的一条性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 故答案为：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） （3）解：由函数图象可知，当且时，． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、B两点，直线交x轴、y轴的正半轴于D、C两点，，两直线相交于点E． (1)求k的值与线段的长； (2)若F为直线上一动点，连接，当时，求点F的坐标； (3)若F为线段上的动点，G为线段上的动点，当时，求点G的坐标． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算、三角形全等等，证明是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式，得到k值，直线交x轴、y轴于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：、，则； （2）由，则，即可求解； （3）由，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于C，则当时，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 将点D的坐标代入函数表达式得：， 解得，， 则直线的表达式为：， ∵直线交x轴、y轴于A、B两点， 当时，，当时，， ∴点A、B的坐标分别为：、， 则； （2）解：过点F作直线交x轴于点N，设点， 则直线的表达式为：， 则点，则， ∵，则， 解得：或， 则点F坐标为或； （3）解：如图， 当时，，， ∴四边形是平行四边形， ∴平行于直线：， 则解析式为 联立， 解得 ∴F点坐标为， ∵且， ∴G坐标为即， 综上，点G坐标为． 7．如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 【答案】(1)点，点 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，图形旋转的性质以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的性质以及图形翻折前后边长不变． （1）分别令与，求解坐标即可； （2）先求解出点、点的坐标，并表示出点的坐标，再根据图形翻折可得，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ∴令，可得，解得， ∴点的坐标为， 令，可得，解得， ∴点的坐标为； （2）解：如图， ∵点的坐标为，且， ∴点的坐标为， ∴点与点的横坐标为4， ∵点在直线上， ∴，即点的坐标为， 设点的坐标为， ∵将沿着翻折，当点的对应点落在直线上， ∴， 又∵，， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴的长为． 8．如图，在中，的面积为36，动点从点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以3个单位长度的速度在间往返运动（点不与点重合），当点到达点时，动点同时停止运动，连接．设运动时间为秒． (1)直线与之间的距离是______． (2)当点从点向点运动时，设四边形的面积为S，求S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)当线段经过的对称中心时，求的值． (4)直接写出四边形的面积S随的增大而增大时，的取值范围是______． 【答案】(1)4 (2) (3)或或 (4)或 【分析】（1）根据平行四边形的面积即可求解； （2）连接，当点Q从点C向点B运动时，，根据，求得的取值范围，根据即可求解； （3）分三种情况：当点Q从第一次从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，当点Q从第二次从点B向点C运动时，根据、、的关系建立一元一次方程，解方程即可求解； （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出S与t的函数解析式，再根据一次函数性质，进行判断即可． 【详解】（1）解：设平行四边形中边上的高为 ∴， ∵，的面积为36， ∴， 即直线与之间的距离是4； （2）如图，连接， 由题意可知， 由， 的高为4， ， 当点Q从点C向点B运动时，， ， ， ， 解得， ； （3）解：连接、，、交于点O，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，，点O为的对称中心，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 当点Q从第一次从点B向点C运动时，，， ∵， ∴， 解得：； 当点Q从点C向点B运动时，，， ∵， ∴， 解得：； 当点Q从第二次从点B向点C运动时，，， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，或或时，线段经过的对称中心； （4）解：当时，， 此时S随的增大而增大； 根据解析（2）可知：当时，， 此时S随的增大而减小； 当时，， 此时S随的增大而增大； 综上分析可知：当或时，S随的增大而增大． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，动点问题，一元一次方程的应用，求一次函数解析，一次函数的性质，分类讨论是解题的关键． 题型三 一次函数的最值问题（共4小题） 9．如图，在平面直角坐标系中，点，M是线段的中点． (1)求直线 的函数表达式； (2)若点P是y轴上一点，且使周长最小，求最小周长． 【答案】(1) (2)的最小周长是 【分析】本题考查了一次函数的图像性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，勾股定理，合理做出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作点关于y轴对称的点C，连接交y轴于点P，过点M作于点D，此时，可得到最小值，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把代入可得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）周长， 当最小时，的周长最小， 如下图，作点关于y轴对称的点C，连接交y轴于点P，过点M作于点D， 此时，可得到最小值， ，C与A关于y轴对称， M为中点，， ，即， ， ， 在中，， 在中，， 周长． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，，是线段的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)若点是轴上一点，且使周长最小，求最小周长； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，此时，可得到最小值，再利用勾股定理运算求解即可 （3）在轴正半轴上取一点，使，连接，过作于，过作轴，过作于，过作于，延长交轴于，证出，设，利用全等三角形的性质求出坐标，求出直线的解析式得到的坐标，利用坐标的对称性得到的坐标，求出直线的解析式和直线的解析式，联立起来即可得到的坐标，根据，得出当点N在点处时，，联立，解方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）∵周长， ∴当最小时，的周长最小， 作点关于轴对称的点，连接交轴于点，过点作于点，如图所示： 此时，可得到最小值， ∵，与关于轴对称， ∴， ∵为中点，，， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴在中，， 在中，， ∴周长； （3）解：在轴正半轴上取一点，使，连接，过作于，过作轴，过作于，过作于，延长交轴于，如图： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入，可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴点与点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， 解得：， 设直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，把，分别代入可得： ， ， ∴直线的解析式为：， ∴联立直线与直线可得： ， 解得：， 把代入可得：， ∴； ∵， ∴当点N在点处时，，符合题意， ∵此时直线的解析式为，直线的解析式为：， ∴联立， 解得：， ∴点的坐标为； 综上分析可知：点N的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的图像性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，合理做出辅助线是解题的关键． 11．已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点，点C在直线上，其纵坐标为5． (1)点B的坐标为________，点C的坐标为________； (2)在x轴上找一点P，连接，使的值最小，并求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，分别令和即可求出点B、C的坐标； （2）将B点关于x轴对称为，将转化为，数形结合即可求出最值时P的位置，求出此时的解析式，令即可求出P的坐标． 本题考查了求一次函数与坐标轴的交点、利用轴对称处理线段之和最小的问题，能够识别这种问题实际上就是“将军饮马”问题是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 令，得， 故点B的坐标为； 令，得， 故点C的坐标为； 故答案为：； （2）解：作点B关于x轴的对称点，连接， ∴，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴的最小值为，此时P是与x轴的交点． 设所在直线的表达式为， 根据题意，得， 将①代入②，得， ∴：， 令，则，解得， ∴． 12．如图1，已知直线：交x轴于，交y轴于． (1)求直线l的表达式； (2)如图2，直线的表达式为，点P为线段的中点，在直线上找一点Q，使得最小，并求出最小值； (3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求m的值． 【答案】(1) (2)作点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小，最小值为 (3) 【分析】（1）把，代入，即可求解； （2）如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小，设交于点，则点是的中点，先根据中点坐标公式求出点的坐标为，进而求出直线的表达式为，然后求出点的坐标为，设点的坐标为，根据两点之间的距离公式得出，，根据勾股定理，列出方程，求出的值，得出点的坐标为；先根据中点坐标公式求出点的坐标为，根据两点之间的距离公式求出的值，即可求解； （3）作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，根据等腰直角三角形的判定和性质推得，根据直角三角形两个锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得点的坐标为，待定系数法求出直线的表达式为．得出点的坐标，结合题意，列出方程，即可求出的值． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 故直线的表达式为． （2）解：如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小， 理由：， 设交于点，则点是的中点， ∵，，点为线段的中点， ∴点的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为． 令，则， 解得：， 即点的坐标为； 则， 设点的坐标为，则，， 在中，， 即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 故点的坐标为； 又∵点是的中点， ∴点的坐标为， ∴； 即最小值为． （3）解：作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，如图： 则， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在直线上， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为． ∵点在直线上，故当时，， 即点的坐标为， ∴， 解得． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 题型四 一次函数中的存在性问题（共4小题） 13．如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上．已知点，． (1)若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题是一次函数的综合题，全等三角形的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合解题是关键． （1）依题意可得，，由对称性可知，，由勾股定理得，在中，，可求得的长，用待定系数法即可求的解析式； （2）设，根据求出即可； （3）分两种情况：当点与点关于直线对称时，，求出直线的解析式，进而求解；当轴，轴时，，此时四边形是矩形，则． 【详解】（1）解：如图1， ，， ，． 由对称性可知，， 在中，， 在中，， 即，解得． ． 设直线的表达式为， 解得 直线的函数表达式为． （2）存在． 设， 由（1）知，，，，则． ， ． ， ，解得或18． 点的坐标为或． （3）情况1：如图2，当点与点关于直线对称时，． ∴点在直线上． 设直线的表达式为， 解得 直线的函数表达式为． ， ，，， ． ． ， ． 当时，，解得． ； 情况2：如图3，当轴，轴时，． ，， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． ． 综上，点的坐标为或． 14．如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线上的一个动点．    (1)求b的值与点C的坐标； (2)如图2，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q，垂足为点H．探究直线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3)存在，M点坐标为或或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）先求出点的坐标，代入，求出的值，令，求出点坐标； （2）勾股定理求出的长，根据设点的横坐标为，根据，列出方程求解即可； （3）分三种情况讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：，当时，，当时，， ∴， 把代入，得：， ∴，当时，， ∴； （2）存在， ∵， ∴， 设，则：， 由题意，得：， 解得：， ∴或； （3）存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下： 设， ， ∴ 当时，， 解得或（舍）， ； 当时， 解得或， ∴或； 当时， 解得， ∴； 综上所述：M点坐标为或或或． 15．如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴上，且，直线：交轴于点． (1)求的周长； (2)在直线上方的轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（）由已知可得，，进而得到，再利用勾股定理求出 即可求解； （）由一次函数解析式可得，设点，可得，即得，再根据列出方程即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴，即， 在中，由勾股定理得， ∴的周长为； （2）解：存在． 把代入，得， ∴， 设点， ∵点为直线上方的轴上一点， ∴， ， 由（）知， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 16．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：________，________，________． (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4；2 (2)存在，点的坐标为 (3)存在的值，使和的面积比为的值为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则此时的周长最小，，求出直线的解析式，即可解决问题； （3）分两种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上，由和的面积比为，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过定点 ∴直线 ∵直线经过点， ∴把代入， 得： 解得：， 故答案为：， （2）解：存在． 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则的周长最短． 设直线的表达式为． 把代入， 得，解得， ∴直线的表达式为． 令，解得， ∴． 故在轴上存在一点，使的周长最短，点的坐标为． （3）存在． ∵点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，直线， ∴． ∵，∴． ∵点的运动时间为，所以． 分两种情况；①当点在线段上时，因为和的面积比为， ∴，所以， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时， ∵和的面积比为， ∴，所以， ∴， ∴． 综上，存在的值，使和的面积比为的值为或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 题型五 一次函数中的新定义问题（共4小题） 17．定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】1．（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据“k倍伴随线”求解即可； （2）依据“k倍伴随线”求解即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果； （4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的“k倍伴随线”为， 将，，横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， ∵为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， ， ∴， ∴， ∴， 当且时， 得， ∴， ∴， 综上所述，或3 18．阅读与思考：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象，给出它们互相垂直的定义．设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直．例如，直线与直线，因为，所以这两条直线互相垂直． 根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)已知直线与直线互相垂直，则的值为_____________； (2)若直线经过点，且与直线垂直，直接写出直线的表达式． 【答案】(1) (2)直线的表达式为 【分析】（1）利用，建立方程求解； （2）设直线的表达式，根据垂直关系求出，再代入求． 【详解】（1）解：直线与直线互相垂直， ， 解得：； （2）解：直线与直线垂直， 设直线的表达式：， ， 解得：， ， 直线经过点， ， 解得：， 直线的表达式为． 19．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，c）和点B（b，d）．给出如下定义：以AB为边，作正方形ABCD，按照逆时针方向排列 A、B、C、D四个顶点，该正方形上的点到直线距离的最大值定义为：逆序正方形到直线的最大距离． 如图1，直线经过（0，3）且垂直于y轴，点A（﹣2，2），点B（﹣2，﹣1），可求得点C（1，﹣1），D（1，2），且逆序正方形ABCD到直线的最大距离为4． (1)若点A（1，0），点B（3，﹣2），则点C的坐标为　 　，点D的坐标为　 　，逆序正方形ABCD到直线y＝﹣x的最大距离为　 　． (2)如图2，若点A（0，4），点B（3，0），求逆序正方形ABCD到直线y＝x+2的最大距离． (3)如果点A（a，1），B（a，﹣1），若存在逆序正方形ABCD到直线y＝x的最大距离大于2，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)（5，0）；（3，2）； (2) (3)a＞1或a＜-3 【分析】（1）由正方形边长相等可得C的坐标，由正方形对角线互相垂直可得D的坐标，两点确定一条直线可得直线AB解析式y=-x+1，直线AB与直线y=-x平行，且与x轴夹角为45°，延长DA到点E交直线y=-x于E点，由勾股定理得AE =，由两点间距离公式DA=2，即DE=； （2）过C点作CM⊥x，垂足为M，过D作DN⊥y轴，垂足为N，证△AOB≌△BMC，可得C的坐标，同理，△DNA≌△AOB可得D为（4，7），过C作CE垂直y=x，垂足为E，直线CE的解析式为y=-x+10，直线CE：y=-x+10与y=x+2相交点为E（4，6），由两点距离公式可得CE=3； （3）由题意易得AB=2，分情况讨论，当a＞-1时，C（a+2，-1），D（a+2，1），同（2）的思路方法可得a＞1，当a＜-1时，C（a-2，-1），D（a-2，1），同（2）的思路方法可得a＜-3． 【详解】（1）如图： ∵A（1，0），B（3，-2）， 由图可知：正方形的边长相等可得点C坐标为（5，0）， 由正方形的对角线互相垂直得点D坐标为（3，2）； 由A（1，0），B（3，-2）可得直线AB：y=-x+1， 直线AB与直线y=-x平行且与x轴的夹角为45°， 故C、D点到直线y=-x的距离即逆序正方形ABCD到直线y=-x的距离， 延长DA交点E交直线y=-x于E ∴ ∴AE=OE ∴ ∴ ∴AE =， 由两点间距离公式得：， ∴； 故答案为：（5，0）；（3，2）； （2）过C点作CM⊥x，垂足为M，过D作DN⊥y轴，垂足为N， ∵∠ABO+∠CBM=90°，∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠BAO=∠CBM， ∵AB=BC，∠O=∠M=90°， ∴△AOB≌△BMC（ASA）， ∴CM=3，BM=4， ∴C的坐标为（7，3）， 同理，△DNA≌△AOB（ASA）， ∴DN=AO=4，AN=OB=3， ∴D的坐标为（4，7）， 由图象知，C到y=x+2的距离最近，过C作CE垂直y=x，垂足为E， 设直线CE的解析式为y=-x+b， 把C代入上式得b=10， ∴直线CE：y=-x+10， ， 解得，， ∴E的坐标为（4，6）， ∴； （3）∵A（a，1），B（a，-1）， ∴AB=2， 若a＞-1， 则C（a+2，-1），D（a+2，1）， 点C到直线y=x的距离最大，过C作y=x的垂线，垂足为E， 设直线CE的解析式为y=-x+b， 把C（a+2，-1）代入上式得b=a+1， ， 解得， ∴E的坐标， 当C到直线y=x的距离为时， ， 解得a=1或a=-7（舍）， 即a＞1； 当a＜-1时， 由题意得C（a-2，-1），D（a-2，1）， D到y=x的距离最大，当D到y=x的距离为时，同理得a=-3，即a＜-3， 综上所述，a＞1或a＜-3． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解本题的关键要熟练掌握三角形全等的判断，解二元一次方程组，代入法求直线解析式，两点间距离公式等． 20．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义： 如果，那么称点Q为点P的“关联点”，例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点． (1)点“关联点”是______________：点的“关联点”是____________； (2)如果一次函数图像上点的“关联点”是，求点的坐标； (3)如果点在函数的图像上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，直接写出实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)点或 (3) 【分析】本题考查了新定义“关联点”的理解与应用，熟练掌握一次函数的性质和分类讨论是解答本题的关键． （1）根据“关联点”的定义可求出给定两点的“关联点”； （2）分别代入和求出与之对应的x值，结合“关联点”的定义可得出点M的坐标； （3）先根据“关联点”的定义分情况讨论的表达式，再结合的取值范围确定a的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意得，点的“关联点”是，点的“关联点”是， 故答案为：； （2）解：当时，点， 则，解得：； 当时，点， ，解得：， ∴点或； （3）解： ∵点P在函数的图像上， ∴设点P的坐标为， 当时，其关联点的纵坐标， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴， 当时，其关联点的纵坐标， 此时， 综上，要使“关联点”的纵坐标的取值范围是， a须满足且， 解得． 题型六 一次函数中的翻折模型（共4小题） 21．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A，C两点分别在x轴、y轴上， ，B点的坐标为．将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点 E，则点 D的坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用、勾股定理、翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和三角形全等的判定定理与性质是解题关键．过点D作轴于点N，证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，进而得到点坐标，等积法求出的长，求出直线的解析式，进而求出点坐标即可． 【详解】解：如图，过点D作轴于点N， ∵、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴点E的坐标为，， ∴，即：， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 当时，， ∴； 故答案为：． 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，，点D在边上，将沿翻折，点B恰好落在边上点E处．    (1)求点E的坐标； (2)求折痕所在直线的函数表达式； (3)延长直线交x轴于点F，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)54 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理以及待定系数法求一次函数的解析式的综合应用．解答此题时注意坐标与图形的性质的运用以及方程思想的运用． （1）根据折叠的性质知．在中，由勾股定理求得； （2）根据知，由折叠的性质与勾股定理，求得，利用待定系数法求所在直线的解析式． （3）先求出点，利用三角形面积公式求出答案即可． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，， 由折叠的性质知，， ， 在中，由勾股定理得， ； （2）解：设所在直线的解析式为， ， ， 由折叠的性质知，， 设， ，， 由勾股定理得， 即， 解得， ， ， 代入得，， 故所在直线的解析式为：． （3）在中，令，则， ∴， ∴． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点． (1)【问题初探】 点的坐标是________，点的坐标是________． 若是直线上一点，求直线的函数表达式． (2)【应用探究】 在直线上是否存在一点（不与点重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)【拓展延伸】 是轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点落在轴上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， (3)或 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理，用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）令，求B点坐标，令，求A点坐标； 先求出m的值，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出，设点D的坐标为，根据的面积等于的面积，列出方程，即可求解； （3）设，当B点的对称点在x轴负半轴上时，在中，，可求；当B点的对称点在x轴正半轴上时，在中，，可求． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点， 令，则；令，则， ∴，， 故答案为：，； ∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是． （2）解：存在点D，使的面积等于的面积；理由如下： 由（1）得：点A的坐标是．点B的坐标是， ∴， 设， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得（舍）或， ∴； （3）解：设， 如图1，当B点的对称点在x轴负半轴上时， 由折叠可知，， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴； 如图2，当B点的对称点在x轴正半轴上时， 由折叠可知，，， ∴， 在中，， 解得， ∴， 综上，或． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与直线相交于点B，交y轴负半轴于点C．已知点B的横坐标为4，的面积为10． (1)点B的坐标为______； (2)求直线对应的函数表达式； (3)若P为线段上的一个动点，将沿着直线翻折，点P是否存在某个位置，使得点B的对应点D恰好落在x轴正半轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将点B横坐标代入即可求解． （2）根据的面积为10，求出，，再用待定系数法求解即可． （3）过点B作轴于点E，则，由翻折得：，则在中，，那么，则的中点为，可求直线的表达式为，再与直线联立即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将代入得：， ∴． 故答案为： （2）解：如图， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∵， ∴当， ∴， ∵C在y轴负半轴， ∴， 将，代入 得：， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为． （3）解：存在，理由如下， 连接，并延长交于，过点B作轴于点E， ∵ ∴， 由翻折得：，， ∵， ∴在中，， ∴， 则的中点为， 设直线的表达式为：， 代入，的中点得：， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与图形的变换，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，二元一次方程组的解法，待定系数法求一次函数解析式，翻折的性质，勾股定理的应用． 题型七 一次函数中的旋转模型（45度等）（共4小题） 25．【模型建立】 如图①，等腰中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图②，在平面直角坐标系中，将一块含的直角三角板按如图所示的方式放置，顶点C的坐标为，顶点B的坐标为，若顶点A恰好落在第二象限的一条双曲线上，该双曲线的解析式为__________． （2）如图③，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为．求B、D两点的坐标． （3）如图④，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点C，在x轴上是否存在点B，使？若存在，直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】模型建立：见解析；模型应用（1）；（3）点B的坐标，点D的坐标；（4）或 【分析】本题主要考查一次函数与几何的应用，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，直角坐标系中点与线段之间的关系． 模型建立： 先证明，结合已知利用即可证明结论； 模型应用： （1）过点A作交直线于点D，利用“一线三直角”可证明，有，结合点的坐标得，根据，得到点A的坐标，即可求得该双曲线的解析式； （2）过点B作交于点E，由题意得，进一步利用证明，则，结合即可求得点坐标；再利用待定系数法求出直线的解析式为，即可求出点D的坐标； （4）存在，分点B在x轴的正半轴和负半轴两种情况，构造等腰直角三角形，根据模型建立即可解答． 【详解】模型建立： 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 模型应用： （1）如图，过点A作交直线于点D， 同理模型建立得：， ∴， ∵点C的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 设该双曲线的解析式为， ∴， 解得：， ∴； （2）解：过点B作交于点E，如图， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴点B的坐标； 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点D的坐标； （4）存在，点B的坐标为或，使，理由如下： 如图，当点B在x轴负半轴时，过点B作交直线与点E，过点E作轴于点D， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理模型建立：得， ∴， 将代入，则， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 则， 解得：， ∴； 如图，当点B在x轴正半轴时， 同理得：，， 设，则， ∴， ∴， 则， 解得：， ∴， 综上，点B的坐标为或． 26．【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）①②8（2）（3）或 【分析】（1）①根据解析式确定，，得到，解答即可． ②根据垂线段最短，得到时，取得最小值，利用三角形全等判定证明，利用勾股定理解答即可． （2）过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，则四边形为矩形，根据一线三直角全等模型解答即可． （3）分在x轴的上方，下方，结合全等模型解答即可． 【详解】（1）解：①∵直线与轴、轴分别交于，两点． ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． ②解：根据垂线段最短，得到时, 取得最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． （2）解：过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， 解得． ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为． （3）解：当在x轴的上方时，过点P作于点M， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 当在x轴的下方时，过点P作于点N， 同理可证， ∴， ∵，是直线上的动点， 设， ∴，， 解得， 故； 综上所述，所有符合条件的点的坐标或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，垂线段最短，待定系数法，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 27．【模型建立】如图1，在中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：； 【初步应用】如图2，已知直线：分别交轴于点，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式； 【迁移拓展】如图3，直线分别交轴于两点，直线分别交轴于点交直线于点E．若，请直接写出点C的坐标． 【答案】【模型建立】见详解；【初步应用】；【迁移拓展】 【分析】（1）利用角角边来证明两个三角形全等； （2）根据，求得，最后用待定系数法求直线的函数表达式； （3）利用构造等腰直角三角形，然后利用（1）中的结论求出关键点的坐标，最后利用待定系数来求函数的表达式． 【详解】解：【模型建立】证明∶ ， ， ， 在和中， ； 【初步应用】直线：分别交轴于点， ， ， 过点B作交于点C，过点C作轴，如图： ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设的表达式为：， 将点，代入可得： ， 解得：， 的表达式为：； 【迁移拓展】过点作直线交于点，作轴，过点作直线交于点，作，过点作于点，如图： ， ， 故为等腰直角三角形， ∴． 由点、的坐标知：， ． 又， ， ， 点的坐标为． 由点、的坐标得，直线的函数表达式为， ， ， 直线表达式为：， 令可得：， 解得：， 的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，一次函数图象上点坐标的特征，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是利用条件作辅助线构造全等三角形． 28．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：． （1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式； 【类比探究】 （2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为． ①连接，则_____； ②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）；（2）①90，②或；（3）且 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，推导出，得到，求出，设直线的函数关系式为，求出直线的函数关系式为，即可解答； (2)①推导出，，在x轴上取点过点F作轴，交于E，求出，得到，继而证明，得到推导出，则即可解答； ②先证明，连接，推导出是等腰直角三角形，得到，则点P与点E重合时，与直线的夹角为，得到；当点P在x轴下方时，过点P作轴于G，推导出是等腰直角三角形，得到进而证明，得到，则得到，即可解答； (3)先求出直线的函数关系式为，直线的函数关系式为，推导出直线必定经过点，过点Q分别作和的平行线，交y轴于，求出或，由一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，得到，求出直线的解析式为，得到，则且，，即可解答． 【详解】解：(1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，如图， 则， ， ， ， ， ， ， 点B的坐标为， ， ， ， 设直线的函数关系式为，则 解得： 直线的函数关系式为； (2)①当时， ， 解得：， ， 当时， ， ， ∴在x轴上取点过点F作轴，交于E，如图， 则， 当时， ， ∴， ∴， ∵D坐标为， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即 故答案为：90； ②由①知， ∴， 连接，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点P与点E重合时，与直线的夹角为，则； 当点P在x轴下方时，过点P作轴于G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴，且点P在直线上； 综上所述，点P的坐标为或； (3)由(2)知， 同理可得，直线的函数关系式为，直线的函数关系式为， ∵，且 ∴当时， ， ∴直线必定经过点，如图， 过点Q分别作和的平行线，交y轴于， ∴或， ∵一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于， ∴． 设直线的解析式为， 将分别代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，一次函数的图象与直线平行，此时一次函数的图象与直线垂直，不符合题意， ∴， 综上所述，且，． 题型八 一次函数中的平移模型（共4小题） 29．【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 【答案】(1)①；②见解析；③左，2 (2)左，9 (3)右， (4)见解析 【分析】本题考查一次函数图象的平移，以及左右平移规律的探索，关键是通过与坐标轴的交点解决． （1）①利用一次函数“上加下减”(截距增减)的平移规律，直接给的截距加4，得平移后解析式； ②求出直线与坐标轴的交点，过两点作直线即可； ③求与各自与轴的交点、，对比交点横坐标变化，确定左移2个单位； （2）先求“下减”求向下平移3个单位后的解析式，再分别求两直线与轴的交点，通过横坐标变化确定即可； （3）先求与平移后各自与轴的交点，计算横坐标差值，确定平移方向和平移距离； （4）根据“上加下减”，将上移个单位画，再根据与坐标轴的交点变化画． 【详解】（1）解：①根据“上加下减”的平移规律，直线向上平移4个单位，得； 故答案为：； ②当时，；当时，， 过点，作直线，即为直线：的图象，如图所示： ③∵直线与轴的交点是，与轴的交点是，将点向左平移2个单位得到， ∴直线可以看作由的图象向左平移2个单位得到． 故答案为：左，2； （2）解：令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． 将向下平移3个单位，得到． 令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． ∵将点向左平移9个单位得到， ∴直线相当于将向左平移9个单位得到． 故答案为：左，9； （3）解：同理，直线与轴的交点是． 直线向下平移个单位后的函数为， 令，得，解得， ∴新交点为． ∵，即点向右平移个单位得到， ∴将向下平移个单位，相当于将向右平移个单位得到． 故答案为：右，； （4）解：如图所示： 30．如图，直线与两坐标轴分别相交于点，点是线段上任意一点（两点除外），过分别作于点于点． (1)当点在上运动时，则四边形的周长________． (2)当四边形为正方形时，将正方形沿着轴的正方向移动，设平移的距离为，在平移过程中，当平移距离为多少时，正方形的面积被直线分成两个部分？ 【答案】(1)8 (2)或 【分析】（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为，根据四边形的周长计算方法计算即可发现，当点M在上运动时，四边形的周长不发生变化，总是等于8． （2）当四边形为为正方形时，先求得正方形的边长，从而可求得正方形的面积，可求得正方形被直线分成的较小的部分的面积为1，然后再证明“较小的部分”为等腰直角三角形，从而可求得该等腰直角三角形的直角边的长度，于是可求得平移的距离． 【详解】（1）解：设，设，则． ∵，，， ∴，， ∴四边形的周长 ． 故答案为：8； （2）解：∵当四边形为正方形时，， 即，解得：， ∴． ∵正方形的面积被直线分成两个部分， ∴两部分的面积分别为1和3． 当时，如图1所示： ∵直线的解析式为， ∴当时，，当时，由得， ∴，， ∴，又， ∴，则， ∴为等腰直角三角形． ∴． 由． ∴（负值已舍去），即； 当时，如图2所示： ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴，解得：． ∴，即． 综上所述，当平移的距离为或时，正方形的面积被直线分成两个部分． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与几何的综合应用，解答本题主要应用了一函数图象的点的坐标与函数解析式的关系、坐标与图形、平移的性质、等腰直角三角形的性质和判定，证得、是等腰直角三角形是解题的关键． 31．如图，在矩形中；点为坐标原点，点，点、在坐标轴上，点在边上，直线交轴于点.对于坐标平面内的直线，先将该直线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，这种直线运动称为直线的斜平移.现将直线经过2次斜平移，得到直线. (1)求直线与两坐标轴围成的面积； (2)求直线与的交点坐标； (3)在第一象限内，在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)直线L1与两坐标轴围成的面积 (2)直线与的交点坐标 (3)存在，点的坐标：或 【分析】（1）确定直线的解析式，分别求出直线与坐标轴的交点坐标即可求解； （2）左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解； （3）分类讨论、、，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将代入得：， ∴ ∴ 令，则， ∴直线与两坐标轴围成的面积为： （2）解：由题意得：直线的解析式为：， 令，则， ∴直线与的交点坐标为 （3）解：由（2）得：直线的解析式为：， 令，则， 令，则， 时，如图所示： 此时点，点与点重合，故； ，如图所示：     此时点，不在第一象限内，舍去； ，如图所示：     作轴，， 则， ∴ ∵ ∴ ∴ 设点 ∴ 解得： ∴ 综上所述：或 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及了一次函数与坐标轴的交点问题、一次函数的平移、特殊三角形的存在性问题．掌握分类讨论的数学思想是解决第三问的关键． 32．创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数图象的平移实际上是图象上每个点沿着相同的方向平移，平移前后两个对应点之间的距离叫做平移距离． 【探究发现】 （1）以一次函数如何平移得到一次函数为例进行探究． ①请在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，与轴交于点，与轴交于点； ②观察图象发现，将点、点分别向上平移 个单位，平移后的点在直线上．事实上，将一次函数图象上的每个点按上述方式平移，平移后的点都在直线上，平移距离为4个单位． ③请你尝试再写出另一种点的平移方式：将一次函数图象上的点向 平移，平移距离为 个单位，可得直线． ④若要使得平移距离有最小值，点，应该如何平移，请在平面直角坐标系中，作出平移后的对应点，． 【深入探究】 （2）将一次函数按平移距离最小值的方式平移到，则平移距离为 （用，表示）． 【拓展升华】 （3）如图，已知正方形各边平行于坐标轴，且边长为，点坐标为，若线段，且点，在直线上，平移线段使得线段端点恰好落在正方形的边上，则平移距离的最小值为 ． 【答案】（1）①见解析；②4；③左，4；④见解析；（2）；（3） 【分析】（1）①求出直线与坐标轴的交点即可作图；②由点向上平移4个单位与直线上的重合，即可确定平移距离；③同理可求直线与轴交点为，而，则向左平移4个单位与点重合，继而直线向左平移4个单位得到直线；④根据垂线段最短即可确定平移方式； （2）同上可求，，则，，为等腰直角三角形，则，设，则由勾股定理得：，即可求解； （3）同上可得，延长交于点，可得，则由上知当沿着方向平移时，落在正方形的边上时，平移距离最短，即为长， 在等腰中，，同上可得，可求，，由得，则， 那么． 【详解】解：（1）①当， 当，则， ∴， 则作图如图： ②对于直线，当， ∴点向上平移4个单位与重合，向上平移4个单位与重合， 故答案为：4； ③同理可求直线与轴交点为，而， ∴向左平移4个单位与点重合， ∴直线向左平移4个单位得到直线， 故答案为：左，4； ④点即为所求 过点分别作直线的垂线，垂足为，由垂线段最短得到直线沿射线方向平移，平移距离为； （2）记直线与与轴分别交于点，如图 同上可求， ∴， ∴， 同理， 由题意得， 则为等腰直角三角形， ∴， 设， 则由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即平移距离为 故答案为：； （3）同上可得，延长交于点， 由得， ∴， 同上可得， ∴， ∴ ∴由上知当沿着方向平移时，落在正方形的边上时，平移距离最短，即为长， 在等腰中，，同上可得， 由平移得， ∴， ∵四边形为正方形， ∴轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 同理为等腰直角三角形， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴平移得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的平移变化，难度较大，涉及勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识点，综合性较强． 题型九 一次函数与线段的交点问题（共4小题） 33．在平面直角坐标系中，线段的端点，直线与线段有交点，则k的值不可能是（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质：当时，图象必过第一、三象限，越大直线越靠近轴；当时，图象必过第二、四象限，越小直线越靠近轴．当直线与线段的交点为点时，把代入，求出，根据一次函数的有关性质得到当时直线与线段有交点；当直线与线段的交点为点时，把代入，求出，根据一次函数的有关性质得到，当时，直线与线段有交点，从而能得到正确选项． 【详解】解：把代入，得， 解得． 当直线与线段有交点，且过第二、四象限时，满足的条件为； 把代入，得， 解得． 当直线与线段有交点，且过第一、三象限时，满足的条件为． 当或时，直线与线段有交点， 的值不可能是． 故选：D． 34．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，在某动画程序中，用信号枪沿直线发射信号，当信号与线段相交时，线段消失，能够使线段消失的k的取值范围是________． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是数形结合思想的应用．分别求出直线经过或时的值，再结合图象可得答案． 【详解】解：如图： 把代入得：； 解得； 把代入得：， 解得， 由图可知，能够使线段消失的的取值范围是或； 故答案为：或 35．如图，在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，直线的解析式为，点的坐标为． (1)若直线经过点关于线段的对称点，求直线解析式； (2)在（1）的条件下，若将直线向右平移个单位，且平移后的直线经过线段AB的中点，求的值； (3)直线：经过点，若这条直线与线段有交点（包含两点），请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对称性求出，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）利用中点坐标公式求出线段的中点，由直线平移性质得到平移后直线的解析式为，将中点坐标代入求解即可得到答案； （3）求出直线的解析式，将得到，利用直线与线段有交点（包含两点），数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点关于线段对称， ∴， ∵直线的解析式为，且经过点， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：由（1）知直线的解析式为， ∵，， ∴线段的中点为， 设平移后的直线的解析式为， 将线段的中点代入得，解得； （3）解：∵直线：经过点， ∴， ∴直线：， 将代入得，解得， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、点的对称性、中点坐标公式、一次函数图象与性质、直线的平移等知识，数形结合是解决问题的关键． 36．在平面直角坐标系中，对于线段和点，若、、构成的是以为直角边，且满足的直角三角形，则称点为线段的“远属点”．已知点的坐标为． (1)如图1，若点为，点为轴上一点，且点为线段的“远属点”，求点的坐标； (2)如图2，若点为，点在直线上，且点为线段的“远属点”，求点的坐标； (3)点为轴上的动点，直线与轴，轴分别交于，两点，若存在某个点，使得线段上恰有个线段的“远属点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图像和性质，勾股定理，“远属点”的新定义，等腰直角三角形的判定和性质 （1）分别按照“远属点”的定义分以下两种情况：当时，当时，根据，取舍，即可； （2）分和两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解； （3）画出图像，分和两种情况，分别求出边缘值，从而得到b的取值范围． 【详解】（1）解：∵点为线段的“远属点” ∴分以下两种情况： ①当时， ∵点的坐标为，点为，点为轴上一点， ∴， ∴ ∴，不符合题意，舍去； ②当时， ∵点的坐标为，点为，点为轴上一点， ∴，， ∴ ∴，符合题意； 综上，点的坐标为 （2）解：由题意，设点的坐标为 ∵点为线段的“远属点” ∴分以下两种情况： 又①如图，当时，连接 ∵，，， ∴， ， ， 在中，，即， 解得， ∴， ∴，符合题意， ∴此时点的坐标为； ②如图，当时，连接， 在中，，即， 解得， ∴， ∴，符合题意； ∴此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或， （3）如图，， 由“远属点”的定义可知：线段的从属点在射线上， 当时， 当点和原点重合时， 若要满足线段上恰有个线段的“远属点”， 则点在线段上， 当时，点，代入，得：， 从而当时，总能找到点，满足条件， 故； 当时，若要满足线段上恰有个线段的“远属点”， 如图，当点和重合时， ， 为等腰直角三角形， 可得：，即，代入， 得：， 而当时，四条射线无法与线段产生两个交点， 当时，总能找到点，满足条件， 此时， 综上：的取值范围是：或． 题型十 一次函数中的角度问题（共4小题） 37．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，点在轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点是线段上一动点，点为轴上一动点，连接，，，当面积为时，求的最小值及点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过作于点，点为直线上一动点，当时，直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）先求点、坐标，进而代入直线解析式求解即可； （2）先根据图形得出，可得点，再根据将军饮马即可求出最小值； （3）先求得点的坐标；导角可得，则，再分类讨论，当点在点上方时，易证，根据勾股定理建立方程，即可得解；当点在点下方时，则与关于点对称，据此求解． 【详解】（1）解：对于，令，得， ，即， ， ， 当时，， ， 将点、代入中得， ， 解得， 直线的表达式为； （2）对于，令，得， ，， ， ， ， 此时， ， ； 如图，作关于轴对称点， 此时，当且仅当、、三点共线时取等， 此时最小值为， 综上，点坐标为，最小值为； （3）， 又， ， ， ， 当点在点上方时，则， ， 联立 解得： ∴ 设 ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 当点在点下方时，此时与关于点对称， ，， ； 综上，点的坐标为或． 38．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与x轴、y轴分别交于B，D两点．直线的图象与x轴交于C．直线与直线交于点． (1)求点A的坐标及直线的表达式； (2)若点E在直线上，且的面积为，求点E的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）由的面积，解方程即可求解； （3）当点P在y轴左侧时，证明，设点，即可求解；当点在y轴右侧时，则点、P关于对称，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 即点， 将点A的坐标代入得：，则， 则直线的表达式为：； （2）解：如图 设直线和y轴交于点， 设点， 由知，点， 则， 则的面积， 解得：或 即点或 即点E的坐标为：或； （3）解：存在，理由如下： 由函数的表达式知，点， 分以下两种情况： 当点P在y轴左侧时，如图2， ∵，则， 即， 设点， 由点A、P、C的坐标得，，， 解得：， 即点， 当点在y轴右侧的点时，则点、P关于对称， 由中点坐标公式得：点， 综上，或． 39．如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定． （1）将代入，得出，再代入，即可求解； （2）由（1）可得的解析式为，进而求得，设交轴于点，得出，进而求得面积为，根据与面积相等得出，即可求解； （3）根据，将绕点逆时针旋转得到，得到等腰直角三角形，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则为的交点，证明，求出，直线与直线的交点为；点关于点的对称点，则直线与直线的交点为另一个． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得 ∴ 将代入得， 解得：； （2）解：由（1）可得的解析式为， 当时，，解得： ∴ 如图，设交轴于点， 当时，， ∴ ∴ ∵直线与轴交于点， 当时，，则 ∴， ∴ ∵， ∴ ∵与面积相等 ∴ 解得： ∵ ∴或 （3）存在点，使得，理由如下； 将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则是等腰直角三角形， ∴为的交点 ，， ， ， ， ， ， ，， ， 直线与轴交于点 当时，，解得 设直线的解析式为，代入得 解得： 直线的解析式为， ， 同理可得直线的解析式为， 解得： 设关于的对称点为， 的中点为， 即 同理可得直线的解析式为 解得： ∴ 综上所述，或 40．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，与直线交于点，其中点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式． (2)为直线在第一象限上的一点，连接，．当的面积为时，求出符合条件的点的坐标． (3)为线段上的一点，当时，直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的解析式求解，一次函数与几何图形的综合，掌握方程思想是解题关键． （1）先根据直线求出点的坐标，再用待定系数法代入、两点，解方程组得到直线的函数表达式； （2）设点的坐标，通过作平行线将的面积转化为，列出方程求解并根据第一象限条件取舍，得到点的坐标； （3）先证明为等腰直角三角形，再通过构造全等三角形将转化为，证明，求出直线的解析式与直线联立，解方程组得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在上，且横坐标为， 当，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得， 解得， 则直线的解析式为． 答：． （2）解：如图，过点作轴，交于点， 为直线在第一象限上的一点， 设点的坐标为， 令的，可得， 点的坐标为， ， 令的，可得， 点的坐标为，即， ， ，即或， 解得或（不合题意，舍去）， 则的坐标为． 答：． （3）解：如图，过点作轴，交于点， 点的坐标为，点的坐标为， ，为等腰直角三角形， ， 令的，可得， 点的坐标为，即， 在轴上取点，使，连接，交于点， 在和中， ， ， ， ， ， 设所在直线为， 将点和点代入， 可得， 解得， 直线为， 将直线与直线联立可得 ， 解得， 点的坐标为． 答：． $ 专题03 一次函数常考几何问题专训 题型1 一次函数中的面积计算问题 题型6 一次函数中的翻折模型 题型2 一次函数中的动点问题 题型7 一次函数中的旋转模型（45度等） 题型3 一次函数的最值问题 题型8 一次函数中的平移模型 题型4 一次函数中的存在性问题 题型9 一次函数与线段的交点问题 题型5 一次函数中的新定义问题 题型10 一次函数中的角度问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 一次函数中的面积计算问题（共4小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标． 2．如图，一次函数的函数图象与轴，轴分别交于点，． (1)若点为第三象限内一个动点，请问的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？ (2)在（1）的条件下，试用含的代数式表示四边形的面积；若的面积是，求的值． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)当的面积等于面积时，求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)点为轴上一动点，当最小时，求点的坐标． (4)在直线上是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 题型二 一次函数中的动点问题（共4小题） 5．如图1，在矩形中，，，E为的中点，动点P，Q分别从点A，E出发，沿射线运动，动点G从点D出发，沿射线运动，动点P的速度是动点Q的2倍，动点G的速度是动点Q的．已知，运动时间为t，令的面积为，的面积为，请回答下列问题：    (1)请直接写出，与t之间的函数关系式； (2)完成下表，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出，的图象，并根据图象写出函数的一条性质：______． t 0 4 8 (3)根据图象直接写出当且时，t的取值范围． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、B两点，直线交x轴、y轴的正半轴于D、C两点，，两直线相交于点E． (1)求k的值与线段的长； (2)若F为直线上一动点，连接，当时，求点F的坐标； (3)若F为线段上的动点，G为线段上的动点，当时，求点G的坐标． 7．如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 8．如图，在中，的面积为36，动点从点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以3个单位长度的速度在间往返运动（点不与点重合），当点到达点时，动点同时停止运动，连接．设运动时间为秒． (1)直线与之间的距离是______． (2)当点从点向点运动时，设四边形的面积为S，求S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)当线段经过的对称中心时，求的值． (4)直接写出四边形的面积S随的增大而增大时，的取值范围是______． 题型三 一次函数的最值问题（共4小题） 9．如图，在平面直角坐标系中，点，M是线段的中点． (1)求直线 的函数表达式； (2)若点P是y轴上一点，且使周长最小，求最小周长． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，，是线段的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)若点是轴上一点，且使周长最小，求最小周长； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，且，求点的坐标． 11．已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点，点C在直线上，其纵坐标为5． (1)点B的坐标为________，点C的坐标为________； (2)在x轴上找一点P，连接，使的值最小，并求出点P的坐标． 12．如图1，已知直线：交x轴于，交y轴于． (1)求直线l的表达式； (2)如图2，直线的表达式为，点P为线段的中点，在直线上找一点Q，使得最小，并求出最小值； (3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求m的值． 题型四 一次函数中的存在性问题（共4小题） 13．如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上．已知点，． (1)若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标． 14．如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线上的一个动点．    (1)求b的值与点C的坐标； (2)如图2，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q，垂足为点H．探究直线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴上，且，直线：交轴于点． (1)求的周长； (2)在直线上方的轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：________，________，________． (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 设直线的表达式为． 把代入， 得，解得， ∴直线的表达式为． 令，解得， ∴． 故在轴上存在一点，使的周长最短，点的坐标为． 题型五 一次函数中的新定义问题（共4小题） 17．定义：在平面直角坐标系中，将直线..的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点① 、②、③、④，在的 “k 倍伴随线”上的点有 （填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（ ）； A．   B．   C．   D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确的是 （填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使△ABC为等腰直角三角形，求k的值． 18．阅读与思考：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象，给出它们互相垂直的定义．设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直．例如，直线与直线，因为，所以这两条直线互相垂直． 根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)已知直线与直线互相垂直，则的值为_____________； (2)若直线经过点，且与直线垂直，直接写出直线的表达式． 19．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，c）和点B（b，d）．给出如下定义：以AB为边，作正方形ABCD，按照逆时针方向排列 A、B、C、D四个顶点，该正方形上的点到直线距离的最大值定义为：逆序正方形到直线的最大距离． 如图1，直线经过（0，3）且垂直于y轴，点A（﹣2，2），点B（﹣2，﹣1），可求得点C（1，﹣1），D（1，2），且逆序正方形ABCD到直线的最大距离为4． (1)若点A（1，0），点B（3，﹣2），则点C的坐标为　 　，点D的坐标为　 　，逆序正方形ABCD到直线y＝﹣x的最大距离为　 　． (2)如图2，若点A（0，4），点B（3，0），求逆序正方形ABCD到直线y＝x+2的最大距离． (3)如果点A（a，1），B（a，﹣1），若存在逆序正方形ABCD到直线y＝x的最大距离大于2，直接写出a的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义： 如果，那么称点Q为点P的“关联点”，例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点． (1)点“关联点”是______________：点的“关联点”是____________； (2)如果一次函数图像上点的“关联点”是，求点的坐标； (3)如果点在函数的图像上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，直接写出实数a的取值范围． 题型六 一次函数中的翻折模型（共4小题） 21．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A，C两点分别在x轴、y轴上， ，B点的坐标为．将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点 E，则点 D的坐标为________ 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，，，点D在边上，将沿翻折，点B恰好落在边上点E处．    (1)求点E的坐标； (2)求折痕所在直线的函数表达式； (3)延长直线交x轴于点F，求的面积． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点． (1)【问题初探】 点的坐标是________，点的坐标是________． 若是直线上一点，求直线的函数表达式． (2)【应用探究】 在直线上是否存在一点（不与点重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)【拓展延伸】 是轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点落在轴上，请直接写出点的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与直线相交于点B，交y轴负半轴于点C．已知点B的横坐标为4，的面积为10． (1)点B的坐标为______； (2)求直线对应的函数表达式； (3)若P为线段上的一个动点，将沿着直线翻折，点P是否存在某个位置，使得点B的对应点D恰好落在x轴正半轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型七 一次函数中的旋转模型（45度等）（共4小题） 25．【模型建立】 如图①，等腰中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图②，在平面直角坐标系中，将一块含的直角三角板按如图所示的方式放置，顶点C的坐标为，顶点B的坐标为，若顶点A恰好落在第二象限的一条双曲线上，该双曲线的解析式为__________． （2）如图③，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为．求B、D两点的坐标． （3）如图④，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点C，在x轴上是否存在点B，使？若存在，直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 26．【观察发现】 如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点． ①的度数为________． ②，是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是________． （2）如图3，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点．将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式． 【拓展应用】 （3）如图4，点在轴的正半轴上，，是直线上的动点，是轴上的动点．若是以动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 27．【模型建立】如图1，在中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：； 【初步应用】如图2，已知直线：分别交轴于点，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线的函数表达式； 【迁移拓展】如图3，直线分别交轴于两点，直线分别交轴于点交直线于点E．若，请直接写出点C的坐标． 28．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：． （1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式； 【类比探究】 （2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为． ①连接，则_____； ②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围． 题型八 一次函数中的平移模型（共4小题） 29．【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 30．如图，直线与两坐标轴分别相交于点，点是线段上任意一点（两点除外），过分别作于点于点． (1)当点在上运动时，则四边形的周长________． (2)当四边形为正方形时，将正方形沿着轴的正方向移动，设平移的距离为，在平移过程中，当平移距离为多少时，正方形的面积被直线分成两个部分？ 31．如图，在矩形中；点为坐标原点，点，点、在坐标轴上，点在边上，直线交轴于点.对于坐标平面内的直线，先将该直线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，这种直线运动称为直线的斜平移.现将直线经过2次斜平移，得到直线. (1)求直线与两坐标轴围成的面积； (2)求直线与的交点坐标； (3)在第一象限内，在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由. 32．创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数图象的平移实际上是图象上每个点沿着相同的方向平移，平移前后两个对应点之间的距离叫做平移距离． 【探究发现】 （1）以一次函数如何平移得到一次函数为例进行探究． ①请在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，与轴交于点，与轴交于点； ②观察图象发现，将点、点分别向上平移 个单位，平移后的点在直线上．事实上，将一次函数图象上的每个点按上述方式平移，平移后的点都在直线上，平移距离为4个单位． ③请你尝试再写出另一种点的平移方式：将一次函数图象上的点向 平移，平移距离为 个单位，可得直线． ④若要使得平移距离有最小值，点，应该如何平移，请在平面直角坐标系中，作出平移后的对应点，． 【深入探究】 （2）将一次函数按平移距离最小值的方式平移到，则平移距离为 （用，表示）． 【拓展升华】 （3）如图，已知正方形各边平行于坐标轴，且边长为，点坐标为，若线段，且点，在直线上，平移线段使得线段端点恰好落在正方形的边上，则平移距离的最小值为 ． 题型九 一次函数与线段的交点问题（共4小题） 33．在平面直角坐标系中，线段的端点，直线与线段有交点，则k的值不可能是（   ） A．4 B． C．3 D． 34．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，在某动画程序中，用信号枪沿直线发射信号，当信号与线段相交时，线段消失，能够使线段消失的k的取值范围是________． 35．如图，在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，直线的解析式为，点的坐标为． (1)若直线经过点关于线段的对称点，求直线解析式； (2)在（1）的条件下，若将直线向右平移个单位，且平移后的直线经过线段AB的中点，求的值； (3)直线：经过点，若这条直线与线段有交点（包含两点），请直接写出的取值范围． 36．在平面直角坐标系中，对于线段和点，若、、构成的是以为直角边，且满足的直角三角形，则称点为线段的“远属点”．已知点的坐标为． (1)如图1，若点为，点为轴上一点，且点为线段的“远属点”，求点的坐标； (2)如图2，若点为，点在直线上，且点为线段的“远属点”，求点的坐标； (3)点为轴上的动点，直线与轴，轴分别交于，两点，若存在某个点，使得线段上恰有个线段的“远属点”，直接写出的取值范围． 题型十 一次函数中的角度问题（共4小题） 37．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，点在轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点是线段上一动点，点为轴上一动点，连接，，，当面积为时，求的最小值及点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过作于点，点为直线上一动点，当时，直接写出满足条件的点的坐标． 38．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与x轴、y轴分别交于B，D两点．直线的图象与x轴交于C．直线与直线交于点． (1)求点A的坐标及直线的表达式； (2)若点E在直线上，且的面积为，求点E的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由． 39．如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 40．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，与直线交于点，其中点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式． (2)为直线在第一象限上的一点，连接，．当的面积为时，求出符合条件的点的坐标． (3)为线段上的一点，当时，直接写出符合条件的点的坐标． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $