专题01 幂的运算（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材苏科版

专题01 幂的运算 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 同底数幂乘法及逆用 【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，则m的值为（    ） A．5 B．24 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘．将每个乘数表示为2的幂次，利用同底数幂相乘法则，指数相加即可求解． 【详解】解：将各数分解为2的幂次： 原式可化为： ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，，则的值是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，根据题意可得，，则可得到，，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·江苏·期中）已知，，则______． 【答案】6 【分析】解题思路为逆用同底数幂的乘法法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，可得 将，代入得 原式． 【变式3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算下列整式 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握底数不变，指数相加是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． （2）将转化为，再按同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 幂的乘方及其逆用 【典例】（25-26七年级下·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，涉及幂的运算，合并同类项，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则以及合并同类项运算法则． （1）先进行幂的乘方运算，再合并同类项即可； （2）直接利用同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，求下面的值． (1) (2) 【答案】(1)17 (2)108 【分析】（1）逆用幂的乘方法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知 (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． （1）根据同底数幂乘法的逆运算进行求解即可； （2）根据同底数幂的乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）由幂的乘方的逆运算法则得到，则，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 积的乘方及其逆用 【典例】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂乘法、积的乘方的运算法则进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式运算法则与幂的运算法则是解题的关键． （1）先用积的乘方与幂的乘方法则计算，再用单项式乘以单项式法则计算即可； （2）先用积的乘方与幂的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【答案】①；②； 【分析】本题主要考查了积的乘方法则逆运算、幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则，熟练掌握积的乘方法则、同底数幂的乘法法则是解题关键． 知识迁移：结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可； 知识拓展：结合题意，根据幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：知识迁移： ①； ② ； 知识拓展： ， ， ， ， 解得：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南通·期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①1；②； (2)4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键． （1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果； （2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 同底数幂的除法及其逆用 【典例】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则分别计算，再根据负整数指数幂的运算法则计算即可得出结果； （2）将原式变形为，再根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则计算，再把（1）中的结论代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， ， ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，单项式乘以单项式，幂的乘方的逆运算，把所求式子可变形为，进一步可变形，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方逆用，同底数幂除法逆用，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．逆用同底数幂除法和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）根据已知条件求值 (1)已知，，求的值 (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、幂的乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）逆用同底数幂的除法进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方与同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 的值为． （2）解：， ， ， 的值为8． 幂的混合运算 【典例】（24-25七年级下·江苏·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方运算法则计算，最后合并即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，分别计算积的混合运算，幂的混合运算，然后早计算同底数幂的除法，最后再计算合并同类项． 【详解】解： ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据幂的乘方，同底数幂乘方，同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】（2025七年级下·江苏·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查的是幂的混合运算；掌握运算顺序是关键； （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可； （2）先计算幂的乘方，积的乘方，再计算同底数幂的除法与乘法即可； （3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法与除法即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3） ． 零指数幂和负整数指数幂 【典例】（24-25七年级下·广东佛山·期中）计算： 【答案】7 【详解】 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂和负整数幂的意义，先根据乘方、绝对值、零指数幂和负整数幂的意义化简，再算加减即可． 【详解】解：原式． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． 先计算幂的运算、负整数指数幂、零指数幂及绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算 【答案】 【分析】本题主要考查零次幂、负指数幂及有理数的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据零次幂、负指数幂及有理数的运算进行求解即可． 【详解】解：原式． 科学记数法 【典例】石墨烯是由石墨烯纤维纺织而成的，是目前已知世界上最薄、最坚硬，同时也是导热性和导电性最好的纳米材料．其厚度约为厘米．将数据用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握其一般形式是解题的关键．用科学记数法可以表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其使用的是负指数幂，指数由原数左边第一个不为零的数字前面的的个数决定，据此即可获得答案． 【详解】解：数据可以用科学记数法表示为， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·山西临汾·期中）计算速度是衡量计算机性能的一项重要指标近年来，我国超级计算机运算速度不断问鼎世界第一，某超级计算机每秒可以完成20亿次基本运算，则该超级计算机完成一次基本运算所用的时间用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把20亿写成2，再计算该超级计算机完成一次基本运算所用的时间，即可求解． 【详解】解：20亿=2000000000=2， 由于超级计算机每秒可以完成20亿次基本运算， 则该超级计算机完成一次基本运算所用的时间为(s)， 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法表示数以及负整数指数幂的运算，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，表示时关键要确定a的值以及n的值． 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：______（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和科学记数法，先计算系数的乘积，再计算同底数幂的乘法，最后将结果化为标准科学记数法形式． 【详解】解： 由于科学记数法要求系数 满足 ，   . 故答案为： ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）某种微生物的平均质量为克，数据用科学记数法表示为_______． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握运用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，正确确定的值是解题的关键． 运用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，表示形式为，n的取值方法：当原数的绝对值小于1时，把原数变为a，小数点向右移动位数的相反数就是n的值，由此即可求解． 【详解】解： 故答案为： ． 幂的运算正误辨析问题 【典例】（25-26七年级下·江苏·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积的乘方，幂的乘方且负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正逐项计算判断即可；本题主要考查了指数运算规则，包括积的乘方、幂的乘方以及负数的乘方运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：选项A：，故错误； 选项B：，故错误； 选项C：，故正确； 选项D：，故错误； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，以及合并同类项的法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，不符合题意； B. ，原计算错误，不符合题意； C. 与不是同类项，不可以合并，原计算错误，不符合题意； D. ，原计算正确，符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·期中）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算及幂的相关运算． 通过逐项计算验证即可． 【详解】解：对于A：∵ ，∴ ，错误，不符合题意； 对于B：∵ ，错误，不符合题意； 对于C：∵ 和 不是同类项，不能合并为 ，错误，不符合题意； 对于D：∵ ，又∵ ，∴ ，正确，符合题意； 故选：D． 【变式3】下列计算正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是分别对每个选项应用单项式乘多项式、幂的运算、合并同类项、完全平方公式等法则，逐一验证计算的正确性．本题考查整式的运算，涉及的知识点是单项式乘多项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项、完全平方公式．解题中用到的方法是法则验证法，即根据对应运算的法则逐一计算选项．解题关键是准确掌握各整式运算的法则，注意符号、指数的变化．易错点是幂的运算中指数计算错误，或完全平方公式遗漏中间项． 【详解】对于选项A：∵ = = ，而右边为 ，∴ A错误． 对于选项B：∵ = = ，又∵ = = ，与右边相等，∴ B正确． 对于选项C：∵ 不是同类项，不能合并，∴ C错误． 对于选项D：∵ = = ，而右边为 ，∴ D错误． 故选Ｂ． 利用幂的运算比较大小 【典例】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如果，，，那么，，三数的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数乘方，先根据零指数幂，负整数指数幂，有理数乘方的计算法则求出三个数的值，再比较大小即可得到答案，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）比较，，的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将这三个数化成相同指数的形式，然后比较底数的大小即可； 【详解】解： 因为 所以 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算；熟练掌握幂的乘方的运算技巧是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·北京朝阳·期中）比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方法则，将两数进行正确的变形是解题的关键．利用积的乘方将两数变形后变形大小． 【详解】解：， ， ， ， 故． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且， 所以，即」 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且， 所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较的大小： (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较底数的大小即可； （3）根据，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． 幂的运算中指数关系 【典例】（25-26七年级下·江苏盐城·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，完全平方公式的应用． 由得，根据同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用可得，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，∴ ∵ ∴，即，A正确 对于B∶，但，故，所以B错误 对于C∶，不是常数，且不等于2，故C错误 对于D∶，而，所以，故D错误 故选A． 【变式1】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算性质，解题的关键是利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将已知条件转化为、、的数量关系，再逐一验证关系式． 根据已知条件，利用同底数幂乘法法则推导、、的关系：由得；由得，即；将上述关系代入四个关系式，验证等式是否成立． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴． 验证①：，，故，①正确； 验证②：，②错误； 验证③：，③错误； 验证④：，，故，④正确； 正确的关系式为①④， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期中）若，是正整数，且满足，则，满足的关系式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，将等式两边分别化简，利用同底数幂的乘法运算性质，得到指数相等的条件，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【详解】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 幂的运算等于1的分类讨论问题 【典例】满足的整数n有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查零指数幂与有理数的乘方运算，解题的关键是分情况讨论使等式成立的条件（底数为1，底数为且指数为偶数、指数为0且底数不为0）． 通过分指数为0且底数不为，底数为，底数为且指数为偶数，三种情况，求解满足的整数，即可解题． 【详解】解：∵， ∴需分三种情况讨论： 当指数时，即，此时底数，成立； 当底数时，即，解得或，此时指数分别为和，但底数为，故成立； 当底数时，即，解得或．此时指数分别为（偶数）和（奇数），故仅时成立； 综上，满足条件的整数有，共个． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期中）如果等式，则a的值为_____． 【答案】或或 【分析】根据零指数幂，，，分类讨论即可求解． 【详解】解：当时，， 等式左边，等式成立； 当时，， 等式左边，等式成立； 当时，， 等式左边，等式成立； 综上，a的值为或或． 【变式2】（25-26七年级下·上海·期中）已知：，则x的值是_________． 【答案】或2 【分析】本题考查零指数幂的性质和有理数的乘方运算，正确分类讨论是解题的关键． 利用的偶次幂等于1，1的任意次幂等于1，任意非零数的零次幂等于1，分别列出方程，进一步可求出x的值． 【详解】解：∵， ∴或或， 当时，即，此时，故舍去； 当时，即，此时，满足等式； 当时，即， 时，，满足等式； 时，，无意义，不满足等式； ∴的值为：或2． 故答案为：或2 ． 【变式3】（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，求整数x的值． 小张同学是这样做的： 因为， 所以且，所以． 你认为小张同学的解答完整吗？若不完整，请求出所有的整数x的值． 【答案】小张同学的解答不完整，所有的x的值为， 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则分别化简求出答案． 【详解】答：小张同学的解答不完整； 完整解答如下： ∵， ∴且， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 综上所述：所有x的值为，． 幂的运算中用x表示y型题 【典例】（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方及其逆运算，掌握计算公式并灵活运用是解题的关键． 先将化为，再由幂的乘方及其逆运算将化为，再代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）已知，，那么__________（用含和的式子表示） 【答案】 【分析】利用指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，将 分解为 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，则由和得，，代入原式即可求解；本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海宝山·期中）已知，，用含字母的代数式表示，则___________ 【答案】/ 【分析】先根据题意求出，接着变形，将整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，熟知幂的乘方的逆运算是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·江西南昌·期末）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方，解一元一次方程，用含x的代数式表示y等． （1）将式子变形得，再对应相等即可得到本题答案； （2）将变形为，继而得到，后移项计算即可； （3）根据题干可得，再代入可得，再展开整理即可． 【详解】（1）解：∵，即：， ∴，即：； （2）解：变形为：，即：， ∴，即：，，解得：； （3）解：∵，即：， ∵，即：， ∴． 幂的新定义运算 【典例】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 【详解】解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期中）在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到____．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是根据新定义进行转换； 根据幂记号的定义，将已知条件转化为指数形式，再代入求解. 【详解】解：由已知，，根据定义得：； 同理，，得 ； 则：， 又∵， ∴ ， ∴ ， 故答案为： . 【变式2】（24-25七年级下·湖南永州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键： （1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，0，3； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，于是得到，即， ∴，即， ∴． 【变式3】阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下： 设，，则， ∴，由对数的定义得 又∵ ∴ 解决以下问题： (1)将指数转化为对数式：______． (2)仿照上面的材料，试证明：． (3)拓展运用：计算． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据对数式的形式进行求解即可； （2）仿照上面的材料，进行证明即可； （3）结合对数式的性质进行求解即可． 【详解】（1）43=64转化为对数式为：3=log464， 故答案为：； （2）证明：设，则， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴， 即 (a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)． （3） = =1． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 幂的新定义运算（抽象函数类） 【典例】（24-25七年级下·江西抚州·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则________； ②若，则________； (2)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2)27或 【分析】本题主要考查了新定义运算及有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，熟练应用新运算的规定是解题的关键． （1）①利用新运算的规定进行运算即可；②利用新运算的规定进行运算即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②， ， ； （2）解：， ， ， ， 当时，； 当时，； 的值为27或． 【变式1】（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 【答案】(1) (2)3，1.3， (3) 【分析】（1）根据劳格数的定义进行计算即可得到答案； （2）根据可得，代入进行计算即可得到的值，利用，求出，代入计算即可，根据得到，求出，代入计算即可得到答案； （3）分别表示出，，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：，为正数， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3，1.3，； （3）解：，，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下有理数的运算、幂的乘方，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． (1)若，则：① ； ② 当 ； (2)若，化简：． 【答案】(1)①125；②2 (2) 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②由，则，即可求得n的值； （2）由，再由同底数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：①由于， 而， 所以； 故答案为：125； ②， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：， ，，，，……，， ． 【变式3】（24-25七年级下·江西九江·期中）在学习同底数幂的乘法和除法法则后，类似的，我们规定关于任意整数，的一种新运算，即：，且，以及的值都不等于．请根据这种新运算解决下列问题： (1)求证； (2)若，则求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查新定义下对同底数幂的乘法法则的应用，解题的关键是正确理解题意，准确计算． （1）令，根据，即可证明； （2）根据新定义，将变形，得，可得进而可求的值． 【详解】（1）证明：令，，可得：， 又， 故等式左右两边同时除以得：． （2）解：， 而 ， ． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂的运算 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 同底数幂乘法及逆用 【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，则m的值为（    ） A．5 B．24 C．9 D．10 【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）若，，则的值是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2】（24-25七年级下·江苏·期中）已知，，则______． 【变式3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）计算下列整式 (1)． (2)． 幂的乘方及其逆用 【典例】（25-26七年级下·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知，求下面的值． (1) (2) 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知 (1)求的值． (2)求的值． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 积的乘方及其逆用 【典例】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）计算：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算： (1)． (2)． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南通·期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 同底数幂的除法及其逆用 【典例】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，求的值． 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，，求的值． 【变式3】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）根据已知条件求值 (1)已知，，求的值 (2)已知，求的值． 幂的混合运算 【典例】（24-25七年级下·江苏·期中）计算：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）计算： 【变式2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算：． 【变式3】（2025七年级下·江苏·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 零指数幂和负整数指数幂 【典例】（24-25七年级下·广东佛山·期中）计算： 【变式1】计算： 【变式2】计算：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算 科学记数法 【典例】石墨烯是由石墨烯纤维纺织而成的，是目前已知世界上最薄、最坚硬，同时也是导热性和导电性最好的纳米材料．其厚度约为厘米．将数据用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·山西临汾·期中）计算速度是衡量计算机性能的一项重要指标近年来，我国超级计算机运算速度不断问鼎世界第一，某超级计算机每秒可以完成20亿次基本运算，则该超级计算机完成一次基本运算所用的时间用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：______（用科学记数法表示）． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）某种微生物的平均质量为克，数据用科学记数法表示为_______． 幂的运算正误辨析问题 【典例】（25-26七年级下·江苏·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·期中）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列计算正确的是 （   ） A． B． C． D． 利用幂的运算比较大小 【典例】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如果，，，那么，，三数的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）比较，，的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·北京朝阳·期中）比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且， 所以，即」 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且， 所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较的大小： (3)比较与的大小． 幂的运算中指数关系 【典例】（25-26七年级下·江苏盐城·期末）设，，下列三者之间的关系式正确的是（） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期中）若，是正整数，且满足，则，满足的关系式为___________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 幂的运算等于1的分类讨论问题 【典例】满足的整数n有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（24-25七年级下·四川达州·期中）如果等式，则a的值为_____． 【变式2】（25-26七年级下·上海·期中）已知：，则x的值是_________． 【变式3】（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，求整数x的值． 小张同学是这样做的： 因为， 所以且，所以． 你认为小张同学的解答完整吗？若不完整，请求出所有的整数x的值． 幂的运算中用x表示y型题 【典例】（24-25七年级下·浙江·期中）如果，（为整数），那么用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）已知，，那么__________（用含和的式子表示） 【变式2】（24-25七年级下·上海宝山·期中）已知，，用含字母的代数式表示，则___________ 【变式3】（24-25七年级下·江西南昌·期末）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 幂的新定义运算 【典例】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【变式1】（25-26七年级下·福建泉州·期中）在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到____．（用含、的代数式表示） 【变式2】（24-25七年级下·湖南永州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【变式3】阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下： 设，，则， ∴，由对数的定义得 又∵ ∴ 解决以下问题： (1)将指数转化为对数式：______． (2)仿照上面的材料，试证明：． (3)拓展运用：计算． 幂的新定义运算（抽象函数类） 【典例】（24-25七年级下·江西抚州·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： (1)①若，则________； ②若，则________； (2)若，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． (1)若，则：① ； ② 当 ； (2)若，化简：． 【变式3】（24-25七年级下·江西九江·期中）在学习同底数幂的乘法和除法法则后，类似的，我们规定关于任意整数，的一种新运算，即：，且，以及的值都不等于．请根据这种新运算解决下列问题： (1)求证； (2)若，则求的值． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $