清单01 幂的运算（6个考点清单+17种题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版2024）

清单01 幂的运算（6个考点梳理+17种题型解读+提升训练） 清单01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 清单02 幂的乘方 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 清单03 积的乘方 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 清单04 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 清单05 零指数幂与负指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 清单06 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【考点题型一 同底数幂相乘】（） 【例1】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．9 B．27 C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： ． 【变式1-3】（2025七年级下·江苏宿迁·专题练习）已知，则的值为 ． 【变式1-4】（23-24七年级下·江苏宿迁·课后作业）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【考点题型二 同底数幂乘法的逆用】（） 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）若 ，，则的值为 ． 【变式2-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知，，则的值为 ． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，，则 ． 【变式2-3】（23-24七年级下·江苏宿迁·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）已知，求． 【变式2-4】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【考点题型三 用科学记数法表示数的乘法】（） 【例3】（2023·江苏南京·模拟预测）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：，，则兆用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）2024年一季度宜昌市重大项目集中开工活动举行，总投资1991.2亿元的218个重大项目集中开工，彰显了宜昌的经济活力．将“1991.2亿”用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级下·江苏常州·阶段练习）计算式子的结果用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）计算式子的结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）“白色污染”的主要来源有食品包装袋，泡沫塑料填充物等，已知一个塑料快餐盒的污染面积为，若30万名游客每人丢弃一个快餐盒，则造成污染的最大面积用科学记数法表示为，其中n的值为 ． 【考点题型四 幂的乘方运算】（） 【例4】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算的结果为（  ） A． B． C． D．0 【变式4-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）等于（    ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）若m，n是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）当，则的值为 ． 【变式4-4】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则_______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 【考点题型五 幂的乘方的逆用】（） 【例5】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024七年级下·江苏苏州·专题练习）已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 【变式5-3】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）“整体思想”在数学运算中有着重要的作用：请解决以下问题： (1)以下是小明计算的过程． 解：原式① ．② 小明的计算过程是从第_____步开始出现错误（填序号），请写出正确的过程． (2)若，求的值． 【变式5-4】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）请阅读下列材料：，比较的大小关系： 解：∵，且 ∴    ∴ 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质___________． A．同底数幂的乘法；    B．同底数幂的除法；    C．幂的乘方；    D．积的乘方 (2)已知，试比较的大小． 【考点题型六 积的乘方运算】（） 【例6】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算：（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024七年级下·江苏宿迁·专题练习）若成立，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知，则的值为 ． 【变式6-3】（2024七年级下·江苏·专题练习）计算 (1)． (2)． 【变式6-4】（23-24七年级下·江苏常州·期中）（1）计算： （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【考点题型七 积的乘方的逆用】（） 【例7】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算：（   ） A． B．2 C． D． 【变式7-1】（24-25七年级下江苏泰州·期末）计算的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 【变式7-2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若，则 ． 【变式7-3】（2025七年级下·江苏宿迁·专题练习）若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ． 【变式7-4】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 【考点题型八 同底数幂的除法运算】（） 【例8】（2023·江苏淮安·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算：结果为 ． 【变式8-2】（2025七年级下·江苏宿迁·专题练习）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式8-3】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）若，则 ． 【变式8-4】（23-24七年级下·江苏宿迁·假期作业）已知，求的值． 【考点题型九 同底数幂除法的逆用】（） 【例9】（24-25七年级下·河南安阳·期中）已知，，则的值为（   ） A．9 B．3 C．12 D． 【变式9-1】（2022七年级下·吉林长春·学业考试）已知，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，则 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）（）若，，则的值为 ． （）若，则 ． 【变式9-4】（23-24七年级下·江苏南京·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)________； (2)已知，请把用“<”连接起来：________； (3)若，求的值； 【考点题型十 幂的混合运算】（） 【例10】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【变式10-1】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式10-2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式10-3】（23-24七年级下·广东深圳·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)已知，求的值； (6)已知，求的值； 【变式10-4】（23-24七年级下·江苏宿迁·课后作业）计算： (1)； (2)． 【考点题型十一 零指数幂】（） 【例11】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·课后作业）计算的值为（    ） A． B．2025 C．1 D． 【变式11-2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）若有意义，则a的取值范围是 ． 【变式11-3】（24-25七年级下·重庆云阳·阶段练习）计算： ． 【变式11-4】（24-25七年级下·广西桂林·期中）计算： 【考点题型十二 负整数指数幂】（） 【例12】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）若，，则a、b、c、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如果，则x的值为（  ） A． B．3 C． D． 【变式12-2】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）计算：的结果为 ． 【变式12-3】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）计算：． 【变式12-4】（2025·江苏连云港·模拟预测）计算：． 【考点题型十三 幂的运算等于1的情况】（） 【例13】（2024七年级下·安徽·专题练习）若等式成立，那么满足等式成立的的值得个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式13-1】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，则满足条件的所有x的值为 ． 【变式13-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·单元测试）若等式成立，则x的值为 ． 【变式13-3】（24-25七年级下·上海浦东新·阶段练习）已知，求x的值为 ． 【变式13-4】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）我们规定：完成下列问题： (1)已知，则的取值范围是__________； (2)已知，求的值． 【考点题型十四 幂的运算中用x表示y】（） 【例14】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y． 【变式14-1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，． (1)当时，分别求，的值． (2)用只含的代数式表示． 【变式14-2】（24-25七年级下·江西南昌·期末）若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【变式14-3】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）若都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的代数式表示． 【变式14-4】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值； （3）若，，用含x的代数式表示y． 【考点题型十五 用科学记数法表示绝对值小于1的数】（） 【例15】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）某种病毒直径为，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）2022年3月在我市宝华出现的新冠疫情为奥密克戎亚型变异株BA．2，其传播性更强．该病毒的直径平均大约是0.00000012米，主要通过呼吸道进行传播．数据0.00000012用科学记数法表示为（   ） A．0.12×10–5米 B．1.2×10–7米 C．1.2×10–6米 D．12×10–7米 【变式15-2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）新型冠状病毒感染的肺炎疫情是人类史上的一个灾难．据研究，这种病毒的直径约为120 nm（1 nm＝10﹣9 m），用科学记数法表示120 nm应为（   ） A．1.2×10﹣9 m B．12×10﹣9 m C．0.12×10﹣10 m D．1.2×10﹣7 m 【变式15-3】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）经测算，一个水分子的直径约为m，数据用科学记数法表示为 ． 【变式15-4】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）． 1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克． 【考点题型十六 由幂的运算确定字母的关系】（） 【例16】（24-25七年级下·湖北恩施·期末）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记，，．则a、b和c的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式16-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，那么、、之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式16-3】（2024七年级下·江苏·专题练习）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是 ①；②；③；④ 【变式16-4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若，则代数式xy与之间关系是 ． 【考点题型十七 新定义幂的运算】（） 【例17】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 【变式17-1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【变式17-2】（23-24七年级下·江苏南京·期末）教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3)当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【变式17-3】（2024七年级下·江苏·专题练习）在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 【变式17-4】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 1．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）若，，则与满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）下列计算中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．729 D．9 4．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 5．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）观察等式：；；…已知按一定规律排列的一组数：、、、…、、．若，用含m的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习），则 ． 7．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为 ，的值为 ． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，，满足，，则的值为 ． 9．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若x满足，则x的值为 ． 10．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知n为正整数，且，求的值． 12．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，x，y是正整数），则． (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定， ①填空： ； ； ②若，则 ；若，则 ； (2)【应用】 已知，，，若，求y的值； (3)【拓展】 若，，求的值． 14．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 15．（24-25七年级下·福建漳州·期中）规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 幂的运算（6个考点梳理+17种题型解读+提升训练） 清单01 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 清单02 幂的乘方 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 清单03 积的乘方 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 清单04 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 清单05 零指数幂与负指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 清单06 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【考点题型一 同底数幂相乘】（） 【例1】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，则的值是（　　） A．9 B．27 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则结合整体代入法，进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】（2025七年级下·江苏宿迁·专题练习）已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法变形后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：3． 【变式1-4】（23-24七年级下·江苏宿迁·课后作业）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂乘法的运算法则是解题关键． （1）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可得； （2）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可得； （3）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【考点题型二 同底数幂乘法的逆用】（） 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）若 ，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，代数式求值等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则的逆用公式是解题的关键：． 由同底数幂的乘法法则的逆用公式即可直接得出答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 【变式2-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知，，则的值为 ． 【答案】32 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的运算性质，根据给定条件，利用同底数幂的乘法法则计算作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：32． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法逆用，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式2-3】（23-24七年级下·江苏宿迁·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘法运算的逆用求解即可． 【详解】（1）因为，， ． （2）因为， 所以， 所以， 解得． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算及其逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式2-4】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据同底数幂的运算法则，底数不变，指数相加（减）即可求解； （2）将底数化成同底数，根据同底数幂的运算即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）， ∴，解得，． 【点睛】本题主要考查同底数幂的运算法则，同底数幂乘法的逆运算，掌握同底数幂相关的运算法则是解题的关键． 【考点题型三 用科学记数法表示数的乘法】（） 【例3】（2023·江苏南京·模拟预测）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：，，则兆用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法、同底数幂的乘法．根据可得，根据可得，根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得． 【详解】解：， ， ． 故选：B ． 【变式3-1】（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）2024年一季度宜昌市重大项目集中开工活动举行，总投资1991.2亿元的218个重大项目集中开工，彰显了宜昌的经济活力．将“1991.2亿”用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】1亿，1991.2亿，再利用科学记数法将写成，再根据同底数幂相乘法则即可得解． 本题考查了用科学记数法表示大数以及同底数幂相乘，科学记数法的标准形式为：．熟练掌握科学记数法的表示方法以及同底数幂相乘的法则是解题的关键． 【详解】解：∵1亿， ∴1991.2亿， 故选：C． 【变式3-2】（23-24七年级下·江苏常州·阶段练习）计算式子的结果用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了同底数幂相乘，科学记数法的表示方法．先根据他同底数幂相乘得出结果，再运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解： 故选：A 【变式3-3】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）计算式子的结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，科学记数法，掌握相关运算法则是解题关键．先计算有理数的乘方，再用科学记数法表示出来即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式3-4】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）“白色污染”的主要来源有食品包装袋，泡沫塑料填充物等，已知一个塑料快餐盒的污染面积为，若30万名游客每人丢弃一个快餐盒，则造成污染的最大面积用科学记数法表示为，其中n的值为 ． 【答案】7 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．先用乘法求出造成污染的最大面积，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：万， ∴． 故答案为：7． 【考点题型四 幂的乘方运算】（） 【例4】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算的结果为（  ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】此题考查了幂的乘方计算法则，整式的混合运算，正确掌握计算法则是解题的关键． 根据幂的乘方计算法则去括号，再计算加减法． 【详解】解：， 故选：D． 【变式4-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，能正确根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算是解此题的关键． 根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】 ， 故选：C． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）若m，n是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据已知等式可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式4-3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）当，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同底数幂的乘法和幂的乘方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 【变式4-4】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则_______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方法则计算即可； 本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 【考点题型五 幂的乘方的逆用】（） 【例5】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握基本运算是解题关键； 先将变形为，再利用幂的乘方逆运算计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式5-1】（2024七年级下·江苏苏州·专题练习）已知，，，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方，先根据幂的乘方化成底指数相同的幂，再进行比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∴， 故选：C． 【变式5-2】（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘和积的乘方的逆用，掌握相关运算法则是解题关键．根据同底数幂相乘和积的乘方的逆用即可计算答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）“整体思想”在数学运算中有着重要的作用：请解决以下问题： (1)以下是小明计算的过程． 解：原式① ．② 小明的计算过程是从第_____步开始出现错误（填序号），请写出正确的过程． (2)若，求的值． 【答案】(1)①，过程见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的运算公式的逆用等； （1）化为同底数后进行运算，即可求解； （2）由同底数幂的乘法及幂的乘方公式的逆用得，即可求解； 能熟练利用幂的运算公式的逆用及整体思想进行运算是解题的关键． 【详解】（1）解：小明的计算过程是从第①步开始出现错误， 原式 ； （2）解：， ， ， ， ， 解得：． 【变式5-4】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）请阅读下列材料：，比较的大小关系： 解：∵，且 ∴    ∴ 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质___________． A．同底数幂的乘法；    B．同底数幂的除法；    C．幂的乘方；    D．积的乘方 (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题考查了幂的乘方与幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用求解即可得； （2）求出，则，由此即可得． 【详解】（1）解：和利用的是幂的乘方的逆用， 故选：C． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 【考点题型六 积的乘方运算】（） 【例6】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据积的乘方法则即可直接得出答案． 【详解】解：， 故选：． 【变式6-1】（2024七年级下·江苏宿迁·专题练习）若成立，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键．利用积的乘方与幂的乘方运算法则可得，再根据各字母的指数相等得到，，对两方程求解即可得出答案． 【详解】解：，， ， ，， 解得：，． 故选：A． 【变式6-2】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知，则的值为 ． 【答案】1025 【分析】先化简，再逆用幂的乘方，进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：1025． 【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方，以及代数式求值．熟练掌握积的乘方，幂的乘方运算，是解题的关键． 【变式6-3】（2024七年级下·江苏·专题练习）计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和积的乘方法则． （1）利用同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，进行计算； （2）利用积的乘方法则，让各个因式分别乘方，再把所得结果相乘即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-4】（23-24七年级下·江苏常州·期中）（1）计算： （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方以及逆运用、幂的乘方以及逆运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简积的乘方，幂的乘方，再运算同底数幂相乘，最后合并同类项，即可作答． （2）先整理，再代入，，即可作答． （3）先整理以及，再把代入，进行运算，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）； （3）∵ ∴ ． 【考点题型七 积的乘方的逆用】（） 【例7】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算：（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 【变式7-1】（24-25七年级下江苏泰州·期末）计算的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用． 先逆用同底数幂相乘将化成，再逆用积的乘方法则计算，即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式7-2】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先将变形为，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： ． 【变式7-3】（2025七年级下·江苏宿迁·专题练习）若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，根据已知条件得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式7-4】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①1；②； (2)4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键． （1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果； （2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 【考点题型八 同底数幂的除法运算】（） 【例8】（2023·江苏淮安·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的除法法则进行计算，即可解答． 【详解】解：， 故选：A． 【变式8-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算：结果为 ． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的除法运算，根据同底数幂的除法运算法则求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【变式8-2】（2025七年级下·江苏宿迁·专题练习）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方、积的乘方，解题关键是熟知同底数幂的除法的计算法则． （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）先计算括号，再计算同底数幂的除法； （3）先计算括号，再计算同底数幂的除法； （4）先计算括号，再计算同底数幂的除法； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：；；；． 【变式8-3】（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法运算，由条件可得，再把化为，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为： 【变式8-4】（23-24七年级下·江苏宿迁·假期作业）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法、除法，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 【考点题型九 同底数幂除法的逆用】（） 【例9】（24-25七年级下·河南安阳·期中）已知，，则的值为（   ） A．9 B．3 C．12 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解：当时， ， 故选：C． 【变式9-1】（2022七年级下·吉林长春·学业考试）已知，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，解题的关键是掌握同底数幂的乘除法法则．根据同底数幂的乘除法法则计算即可． 【详解】解：，，， 故选：C． 【变式9-2】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂除法逆用，负整数指数幂，解题的关键是灵活运用知识解决问题．由，，得到，，进一步可得，即，所以，由此即可解决问题． 【详解】解：，， ，， ，即， ， ， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）（）若，，则的值为 ． （）若，则 ． 【答案】 【分析】（）利用同底数幂的除法逆运算及幂的乘方的逆运算计算即可； （）利用幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可； 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-4】（23-24七年级下·江苏南京·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用请运用幂的运算法则的逆用解决下列问题： (1)________； (2)已知，请把用“<”连接起来：________； (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3)18 【分析】本题考查幂的运算的逆用： （1）逆用积的乘方，进行求解即可； （2）将化为同指数幂的形式，比较底数的大小即可； （3）逆用同底数幂的乘除法，幂的乘法，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）， ∵， ∴； 故答案为：． （3）∵， ∴． 【考点题型十 幂的混合运算】（） 【例10】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1)a (2) (3)6 (4) 【分析】本题考查了整式的加减乘除混合运算，零指数幂，绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据同底数幂乘除法法则进行计算即可； （2）首先根据，再根据同底数幂乘法法则进行计算即可； （3）根据绝对值的意义，零指数与负整数指数幂的意义进行即可； （4）根据幂运算性质进行运算，最后合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 【变式10-1】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查了实数的混合运算及整式的混合运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，单项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据零指数幂、负指数幂及绝对值的性质先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）根据幂的相关运算法则进行计算即可解答； （3）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可解答； （4）根据同底数幂的运算法则进行计算，即可解答． 【详解】（1）原式， ； （2）原式， ； （3）原式， ； （4）原式， ， 【变式10-2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【分析】本题考查幂的运算．掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）根据同底数幂的运算法则计算即可； （2）根据同底数幂的运算法则计算后，合并即可； （3）先进行乘方，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （4）先进行幂的相关运算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【变式10-3】（23-24七年级下·广东深圳·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)已知，求的值； (6)已知，求的值； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查整式的混合运算、实数的运算、零指数幂．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （1）根据幂的乘方、同底数幂的除法及合并同类项的运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方、负指数幂、零指数幂的运算法则进行计算算即可； （3）先去括号，再合并同类项计算即可； （4）根据相关幂的运算法则进行计算即可． （5）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （6）逆用同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5） ， 解得：； （6），， ． 【变式10-4】（23-24七年级下·江苏宿迁·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据积的乘方运算法则将括号展开，再根据幂的乘方运算法则和同底数幂乘法法则进行计算即可； （2）先根据积的乘方运算法则将括号展开，再根据幂的乘方运算法则和同底数幂除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了幂的运算法则，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方． 【考点题型十一 零指数幂】（） 【例11】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方、负整数指数幂、零指数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题关键； 分别计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再进行有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：C． 【变式11-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·课后作业）计算的值为（    ） A． B．2025 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂，理解并掌握零指数幂运算法则是解题关键．根据零指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式11-2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）若有意义，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】考查了零指数幂，根据零指数幂有意义的条件，可得，依此即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得且． 故答案为：且． 【变式11-3】（24-25七年级下·重庆云阳·阶段练习）计算： ． 【答案】10 【分析】本题考查了有理数的乘方和零指数幂，熟练掌握有理数的乘方和零指数幂的运算法则是解题的关键； 利用有理数的乘方和零指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：10． 【变式11-4】（24-25七年级下·广西桂林·期中）计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法和乘方，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算有理数的乘法和乘方，零指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 【考点题型十二 负整数指数幂】（） 【例12】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）若，，则a、b、c、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，计算每一项再比较即可，熟知计算法则是解题的关键． 【详解】解：；；， ， ∴． 故选：A． 【变式12-1】（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如果，则x的值为（  ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了涉及负整数指数幂的计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 将化为，即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 【变式12-2】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了负指数幂和指数幂，首先根据负指数幂和指数幂的法则进行运算可得：原式，再根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式12-3】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）计算：． 【答案】7 【分析】本题主要考查零次幂及负整数指数幂；因此此题可根据乘方运算、零次幂及负整数指数幂可进行求解． 【详解】解： ． 【变式12-4】（2025·江苏连云港·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 【考点题型十三 幂的运算等于1的情况】（） 【例13】（2024七年级下·安徽·专题练习）若等式成立，那么满足等式成立的的值得个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查零指数幂以及有理数的乘方，理解“任何不为0的零次幂都等于1，1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1”是解决问题的关键． 【详解】解：根据任何不为0的零次幂都等于1可得，，解得， 而时，，因此符合题意； 由1的任何次幂都等于1可得，，解得，因此符合题意； 由的偶次幂等于1可得，解得，当时，不是偶数，因此不符合题意； 综上所述或，共2个， 故选：A． 【变式13-1】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，则满足条件的所有x的值为 ． 【答案】或/或2 【分析】本题主要考查乘方运算，即非零数的零次幂的计算，的偶次幂的计算，理解并掌握零次幂的计算方法是解题的关键． 根据的偶次幂，非零数的零次幂的结果为1，分类讨论计算即可． 【详解】解：若时，则，原式成立， 若时，则，原式不成立， 若时，则 原式成立， 综上所述，或， 故答案为：或． 【变式13-2】（24-25七年级下·江苏宿迁·单元测试）若等式成立，则x的值为 ． 【答案】0或1或3 【分析】此题考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键． 直接利用当时，当时，当时，分别分析得出答案． 【详解】解：当时， 解得：， 此时，符合题意； ； 当时， 解得：，符合题意； 当时， 解得：， 此时，符合题意； 综上所述：x的值为0或1或3． 故答案为：0或1或3． 【变式13-3】（24-25七年级下·上海浦东新·阶段练习）已知，求x的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，负1的偶数次幂等于是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于． 直接利用零指数幂的性质以及的偶数次幂等于分别化简求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴当且时， 解得：； 当时， 解得：； 当且为偶数时， 解得：； ∴的值为或或． 故答案为：或或． 【变式13-4】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）我们规定：完成下列问题： (1)已知，则的取值范围是__________； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得，即可求出的取值范围； （2）由已知得或且为偶数或时，，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 的取值范围是：， 故答案为：； （2）解：， 或且为偶数或时，， 解得：或或， 的值为． 【点睛】本题主要考查零指数幂的运算，解答此题的关键是要熟练掌握：． 【考点题型十四 幂的运算中用x表示y】（） 【例14】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入，计算幂的乘方即可得； （2）利用同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得； （3）利用幂的乘方的逆用可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）解：， ， ， 解得． （3）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． 【变式14-1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若，． (1)当时，分别求，的值． (2)用只含的代数式表示． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将代入，中计算即可； （2）由可得，再根据幂的乘方运算解答即可． 【详解】（1）解：将分别代入，中 ，； （2）解：， ， ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值以及幂的乘方的逆运算，解题的关键是熟练利用幂的乘方的逆运算对式子进行变形． 【变式14-2】（24-25七年级下·江西南昌·期末）若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把化为底数为2的幂，解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答； （3）由可得，再根据幂的乘方运算法则解答即可． 【详解】（1）解： ， ， 解得； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握利用同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算对式子进行变形是关键． 【变式14-3】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）若都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的代数式表示． 【答案】(1)2 (2)3 (3)y 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则进行计算，得出关于x的等式，进而即可得出结果； （2）利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出结果； （3）由，可得，把变形为y，代入即可． 【详解】（1） ∴x+3=5， ∴x=2； （2） ∴ ∴x+1=4， ∴x=3； （3） ． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键． 【变式14-4】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值； （3）若，，用含x的代数式表示y． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先,将底数都化为2，再利用同底数幂的乘除法法则计算； （2）利用积的乘方逆运算解答； （3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为，，即可得到x与y的关系式，由此得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ， ， ； （3）∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查整式的乘法公式：同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则，熟记法则及其逆运算是解题的关键． 【考点题型十五 用科学记数法表示绝对值小于1的数】（） 【例15】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）某种病毒直径为，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【变式15-1】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）2022年3月在我市宝华出现的新冠疫情为奥密克戎亚型变异株BA．2，其传播性更强．该病毒的直径平均大约是0.00000012米，主要通过呼吸道进行传播．数据0.00000012用科学记数法表示为（   ） A．0.12×10–5米 B．1.2×10–7米 C．1.2×10–6米 D．12×10–7米 【答案】B 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数据0.00000012米可用科学记数法表示为1.2×10－7米， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10－n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【变式15-2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）新型冠状病毒感染的肺炎疫情是人类史上的一个灾难．据研究，这种病毒的直径约为120 nm（1 nm＝10﹣9 m），用科学记数法表示120 nm应为（   ） A．1.2×10﹣9 m B．12×10﹣9 m C．0.12×10﹣10 m D．1.2×10﹣7 m 【答案】D 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：120 nm＝120×10−9 m＝1.2×10−7 m， 故选：D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【变式15-3】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）经测算，一个水分子的直径约为m，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数，表示时关键是要正确确定a及n的值． 【详解】 故答案为：． 【变式15-4】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto，此前，国际单位制最小单位词头为“幺”（yocto）． 1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克． 【答案】 【分析】运用科学记数法的运算法则解答即可． 【详解】一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克 故答案为． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示的数的除法运算，解题的关键是掌握用科学计数法表示数的运算方法． 【考点题型十六 由幂的运算确定字母的关系】（） 【例16】（24-25七年级下·湖北恩施·期末）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据已知等式可得，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式16-1】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．记，，．则a、b和c的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意分别表示出关于的等式，即可判断它们的关系。 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵ ∴，即 故选：C 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则逆用是解题的关键． 【变式16-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，那么、、之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据可得，再根据得到，最后根据同底数幂的乘法可得出结论．熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式16-3】（2024七年级下·江苏·专题练习）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是 ①；②；③；④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法，解答本题的关键是熟练掌握“同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． ②可根据同底数幂乘法法则判断；①可根据幂的乘方的逆用，同底数幂除法法则判断；③可根据同底数幂乘法的逆用判断． 【详解】解：，, ， ， ，②关系成立； ， ，①关系成立； ， ，③关系成立； 则①②③成立， 故答案为：①②③． 【变式16-4】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若，则代数式xy与之间关系是 ． 【答案】 【分析】由条件可得可得而从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 而 ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，掌握“利用幂的运算与逆运算进行变形”是解本题的关键． 【考点题型十七 新定义幂的运算】（） 【例17】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，幂的乘方运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算． （1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据新定义运算，对式子进行变形，得出，进而结合定义，即可求解； （3）根据新定义运算对式子进行变形得出，，比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：， （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵ ∴， ∵ ∴ 【变式17-1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 【变式17-2】（23-24七年级下·江苏南京·期末）教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3)当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查的是幂的含义，同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义； （1）直接利用幂的含义证明即可； （2）根据负整数指数幂的含义可得结论； （3）根据负整数指数幂把化为，再结合同底数幂的除法运算可得结论． 【详解】（1）解：∵，m、n是正整数， ∴ ； （2）解：当，时，根据负整数指数幂的定义， 得， ∵， ∴． （3）解：∵m、n是正整数时， ． 【变式17-3】（2024七年级下·江苏·专题练习）在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 【答案】(1)①4 ；②0 ；③2 (2) (3) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法及除法逆运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键 ． （1） 各项根据题中的新定义计算即可得到结果； （2） 利用对数的运算法则变形即可得到结果； （3） 利用已知的新定义化简即可得到结果 ． 【详解】（1）解： ① ； ② ； ③， ； 故答案为：4，0，2； （2）解：； 故答案为：； （3）解：设，，则，，（且，、均为正数） ， ， ，则， ， 故答案为：． 【变式17-4】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 【答案】(1)96 (2)96 (3)2 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方进行计算即可求解； （3）根据新定义得出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， （2）∵， ∴ ． （3）因为， 即， 即， 所以． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 1．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）若，，则与满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方的运算，幂的乘方，正确推出，是解题的关键．先求出，则，再推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选A． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）下列计算中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，根据法则计算后即可得到答案. 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项正确，符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B 3．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．729 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由同底数幂乘除法计算法则求出，则． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， 故选：A． 4．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，求出原来三袋中小球的个数的平均数，即为最终三只袋中小球的个数，进而求出，将相乘即可得出结果． 【详解】解：最终每只袋中小球的个数为：， ∴， ∴， ∴； 故选C． 5．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）观察等式：；；…已知按一定规律排列的一组数：、、、…、、．若，用含m的式子表示这组数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探索以及幂的乘方，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：．由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可． 【详解】∵； ； … ∴， ∴ ， ∵ ∴， ∴原式． 故选：D． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习），则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方等知识点，灵活运用同底数幂的乘除法，幂的乘方的运算法则是解决此题的关键．先将变形成，然后得到，解方程即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为 ，的值为 ． 【答案】 2 81 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 又 ∴ ， 故答案为：2；81 8．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，，满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的法则的掌握与应用． 对进行通分、合并计算，然后结合已知条件进行整理，从而可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若x满足，则x的值为 ． 【答案】，0 【分析】本题考查了零指数幂以及1的任何次幂的性质和得偶次幂的性质，熟练掌握指数幂的基本性质是解题的关键； 通过对底数为1，，指数为时，三种不同情况进行分析解方程即可． 【详解】解：当底数为1时 当时，即． 把代入指数，得， 则，满足条件． 当底数为时 当时，即． 把代入指数，得 则，不满足条件． 当指数为时 当时，即． 把代入底数，得， 则，满足条件． 综上，x的值为或． 10．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算得出，，进行计算即可． 【详解】解：由题意，设， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵． ， ， 故答案为：4． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法及幂的乘方的逆用．掌握同底数幂乘法及幂的乘方的逆用是解题的关键． （1）本题考查同底数幂乘法及幂的乘方的逆用，根据，直接求解即可得到答案； （2）本题考查幂的乘方的逆应用，根据直接求解即可得到答案； 【详解】解：（1）， ， 原式 （2）原式． 12．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，x，y是正整数），则． (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解一元一次方程，能灵活运用运算法则进行计算是解此题的关键． （1）根据幂的乘方进行变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后求出即可； （2）根据同底数幂的乘法进行变形，再计算即可解答． 【详解】（1）解∶， ， ，， ， 解得：； （2）， ， ， ， 解得∶． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定， ①填空： ； ； ②若，则 ；若，则 ； (2)【应用】 已知，，，若，求y的值； (3)【拓展】 若，，求的值． 【答案】(1)①；；②32；4 (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法，负整数指数幂，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘除法法则是解决本题的关键． （1）①根据规定的两数之间的运算法则解答；②根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的运算可得，，，结合同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据规定的运算和同底数幂乘法的逆用进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴；； 故答案为：；； ②∵， ∴， ， ∴； 故答案为：32；4； （2）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3），， ，， ∴，    ∴． 14．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，幂的乘方运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算． （1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据新定义运算，对式子进行变形，得出，进而结合定义，即可求解； （3）根据新定义运算对式子进行变形得出，，比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：， （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵ ∴， ∵ ∴ 15．（24-25七年级下·福建漳州·期中）规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)①25；②3 (2)243 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：， ． ② ， 又， ， ， ． （2）解：依题意得，，， . 38 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $$