专题03 图形的变换（期中复习知识清单）七年级数学下学期新教材苏科版

专题03 图形的变换 平移及其性质 1.平移的概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移 2.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离 3.平移的特点： (1)图形是整体移动的：(2)沿某一直线方向移动：(3)移动前后图形的形状、大小完全相同 【要点提示】 (1)图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小： (2)确定一个图形平移的方向和距离，只跨确定其上一个点平移的方向和距离即可， 4.平移的性质 性质1：平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同；对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等 性质2：连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 平移作图 利用平移作图的一般步骤 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出图形的关键点； (3)作：过这些关键点作与平移方向平行的线段， 使这些平行线段的长度都等于平移的距离： (4)连：按原图形顺序连接关键点的对应点. 轴对称的相关概念 1.轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． 2.轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 3.轴对称的基本性质 1.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 2.轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 4.轴对称图形 1.轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3.常见的轴对称图形： 等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等． 线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线． 旋转的概念与性质 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 中心对称与中心对称图形 中心对称 1.中心对称的定义      把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． 2.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分  3.中心对称的性质的两点注意 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；  ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 中心对称图形 1.中心对称图形的定义      把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 2.常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 平移、轴对称、旋转现象 【例1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）在现实生活中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，根据将图形沿一条直线对折，两边重合的图形是轴对称图形，将图形绕一个点旋转与原图形重合的图形是中心对称图形直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， A选项图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意， B选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形符合题意， C选项图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意， D选项图形不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：4个图形都是轴对称图形，也是中心对称图形． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形方格中，阴影部分是5张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片到其它空白方格，使得到的新图案变成中心对称图形的移法有______种． 【答案】2 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：确定中心对称图形的关键是寻找对称中心；根据中心对称图形的定义，在平面内，如果把一个图形绕某点旋转能够与自身完全重合，再确定移动其中一个正方形即可． 【详解】解：如图， ∴新图案变成中心对称图形的移法有种； 故答案为： 利用平移的性质求解（应用） 【例1】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，直角和直角重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置．若，图中阴影部分的面积为，，则的长为____ ． 【答案】7 【分析】本题考查了平移的性质，解题关键是熟记平移的性质． 根据平移的性质可知：，由此可求出的长．由，结合梯形的面积公式即可求出． 【详解】解：根据平移可得，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：7． 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，已知，，，将三角形沿方向平移个单位长度，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为__________ 【答案】 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质进行计算即可． 【详解】解：由平移的性质可得，，，， 则阴影部分的周长为． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，若小路的宽为2m，则绿化面积为___________？ 【答案】560 【分析】将小路平移后绿化部分即是长，宽的长方形，根据长方形的面积求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：560． 【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而列式求出答案．． 【变式3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的价格为每平方米20元，升旗台的台阶宽为2米，其侧面如图所示，则该学校买地毯至少需要花多少元？ 【答案】304元 【分析】此题考查了学生对线段平移的应用，掌握平移线段的性质是解题的关键． 利用线段平移的性质结合地毯面积的计算公式求解． 【详解】解：根据题意得：元， 即该学校买地毯至少需要花304元． 平移作图 【例1】（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)过点作直线． (2)画出将三角形先向下平移3格，再向右平移5格后得到的三角形（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查网格作图，图形的平移，熟练掌握平移性质是解题的关键， （1）由题得到点到点的平移规律，将点按照点到点的平移规律得到点，作直线，即可得到答案； （2）将三角形中的点、、根据题中给的平移规律，得到、、，依次连接、、，即可得到三角形， 【详解】（1）解：从点到点，向右平移1个单位，再向下平移2个单位， ∴将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点，作直线， ∴． 如图： （2）解：将三角形中的点、、先向下平移3格，再向右平移5格后得到、、，依次连接、、，即可得到三角形，如图所示． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知在网格中，每个小格均为边长是1的正方形，和线段的位置如图所示，小睿想利用这两个图形画出一个跷跷板，于是他按照以下两个步骤来画： ①将平移，使得顶点平移至，画出平移后的． ②过做线段和线段平行且相等，使得恰好为线段的中点． 请按照小睿的画法画出图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图——作已知线段的平行线和平移作图，掌握平移的性质是解答本题的关键． ①根据平移的定义作图即可； ②根据平行线的定义作图即可． 【详解】解：如图，和线段即为所求． 【变式2】（24-25七年级下·福建厦门·期中）在如图所示的网格图（每个小网格都是边长为1个单位长度的小正方形中，P，A分别是的边，上的两点且P，A在格点上． (1)将线段向右平移，使点O与点A重合，画出线段平移后的线段，连接，不添加其他字母，不连接其他线段的情况下，写出图中相等的线段______； (2)请在射线上找出一点D，使点P与点D的距离最短，并写出依据______； (3)连接，求出的面积． 【答案】(1)图见解析，相等的线段有： (2)图见解析．依据是：垂线段最短 (3)的面积为． 【分析】本题考查作图—平移作图，平行线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）根据要求画出图形，然后根据平移的性质找到相等的线段即可； （2）根据垂线段最短解决问题即可； （3）直接利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段，线段即为所求； 由平移的性质可知：； （2）解：如图所示，点D即为所求， 依据是：垂线段最短； （3）解：的面积为． 【变式3】（24-25七年级下·江苏常州·期中）利用方格纸画图： (1)画出图中正方形向右平移2格后所得的图形； (2)第（1）小题中平移前、后的两个大正方形公共部分是个小正方形（位于图中央），这个小正方形的周长是原来大正方形周长的____________（填分数），面积是大正方形的____________（填分数） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）把正方形的四个顶点分别向右平移2个单位，再顺次连接得到的四个点即可； （2）由图可得，小正方形的边长是原来大正方形边长的，根据正方形的周长和面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）由图可得，小正方形的边长是原来大正方形边长的， ∴这个小正方形的周长是原来大正方形周长的，面积是大正方形的， 故答案为：， 【点睛】此题考查了平移作图、正方形的周长和面积等知识，熟练掌握平移的作图是解题的关键． 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例1】（24-25七年级下·广东云浮·期中）如图，与关于直线对称，连接交直线于点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，直线，， ∴选项正确，错误， 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及三角形的面积，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质得出及，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图所示， ∵点D关于的对称点分别记作点E，F， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·江苏·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴． （2）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴，即． 【变式3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形ABCD和四边形关于直线成轴对称． (1)在图①中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想：延长线段AB与，交点__________对称轴上；（填“在”或“不在”） (3)如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)在 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，解题的关键是理解成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分这一性质． （1）连接，作出的垂直平分线即为所求作直线； （2）根据轴对称图形对应线段所在直线交点与对称轴的关系进行判断； （3）利用无刻度直尺，通过连接对应点，依据对应点连线被对称轴垂直平分来确定对称轴． 连接交于点，延长交于点，连接，所在直线即为所求作． 【详解】（1）解：如图所示， （2）根据轴对称图形的性质，成轴对称的两个图形对应线段所在直线的交点在对称轴上，所以延长线段与，交点在对称轴上； （3）解：如图所示， 轴对称中的角度计算 【例1】（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，内有一点点关于的对称点是点关于的轴对称点是分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟记性质并确定出相等的角是解题的关键． 连接，根据轴对称的性质可得，然后求出，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵点关于的对称点是点关于的轴对称点是， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线的对称点恰好落在线段上，点与点关于直线对称，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键． 先根据平行线的性质求出的度数，由直角三角形的性质得出的度数，再根据点关于直线的对称点恰好在上得出是线段的垂直平分线，故可得出的度数，进而得出的度数，由点与点关于直线对称可知是的垂直平分线，故可得出． 【详解】解：连接， 轴于点，， ，， 点关于直线的对称点恰好在上， 是线段的垂直平分线， ， ， 点与点关于直线对称， 是的垂直平分线， ． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、平行线的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用方程思想解决实际问题成为解题的关键． 设．由轴对称的性质可得，易得 ，根据，据此构建方程求解即可． 【详解】解：设． ∵点B关于直线的对称点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）如图，点P在内部，E，F分别是点P关于直线的对称点．若，则的度数为________． 【答案】/76度 【分析】本题考查轴对称的性质，连接，则：，进而得到，再根据四边形的内角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 对称轴 【例1】（24-25七年级下·山东烟台·期中）在如图所示的方格纸中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做格点三角形．请在下列方格纸中，分别画出不同的与原成轴对称的格点三角形，并画出对称轴． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义求解即可得． 【详解】解：如图，直线和阴影三角形即为所求． 【变式1】（24-25七年级下·河南漯河·期中）下列图形具有两条对称轴的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的对称轴，根据轴对称图形的性质逐一判断即可求解，掌握以上图形的性质是解题的关键． 【详解】解：、该图形只有一条对称轴，不合题意； 、该图形不是轴对称轴图形，不合题意； 、该图形有两条对称轴，不合题意； 、该图形由四条对称轴，不合题意； 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·河南商丘·期中）圆是轴对称图形，它有_____条对称轴，每条对称轴都是这个圆的_____所在的直线． 【答案】 无数 直径 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义即可得． 【详解】解：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，每条对称轴都是这个圆的直径所在的直线． 故答案为：无数；直径． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图1，棋盘上已经摆放好了3个棋子，如图2所示，再添加一个棋子后，这4个棋子恰好构成一个轴对称图形，直线m为对称轴． (1)请仿照图2，用新方法在图3的棋盘格点上添加1个棋子，使4个棋子构成一个轴对称图形，并画出对称轴 (2)这样的添加方法共有_______种（含图2方法）． 【答案】(1)图见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键； （1）直接利用轴对称图形的性质得出对称轴位置； （2）直接利用轴对称图形的性质求解． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：这样的添加方法共有4种，如下图： 镜面对称 【例1】（25-26七年级下·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【答案】C 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 利用镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称， 则该汽车的号码是E6395， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东聊城·期中）小明从镜子中看到身后电子钟的示数如图所示，则此时的时间应是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了镜面对称．掌握镜面对称是解题的关键． 利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，所以这时的时刻应是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称． 根据镜子的图像得到原图像，作答即可． 【详解】解：∵镜子对面电子钟示数为，镜面对称后为， ∴这时的时刻应是， 故答案为：． 尺规作垂直平分线、角平分线 【例1】（24-25七年级下·河南信阳·期中）如图，中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，若，则的周长为 _______cm． 【答案】12 【分析】根据垂直平分线的性质得边相等，由结合三角形的周长公式即可得求得．解题的关键是利用垂直平分线的性质． 【详解】解：∵边的垂直平分线交边于点D，边的垂直平分线交边于点E， ∴，， ∵， ∴的周长 ＝12， 故答案为：12． 【变式1】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，校园有两条路和，在交叉口附近有两块宣传牌、，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你画出灯柱的位置（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟练掌握“垂直平分线上的点到线段两端距离相等，角平分线上的点到角两边距离相等”是解题的关键． 先作线段的垂直平分线（到、距离相等的点的集合），再作的角平分线（到、距离相等的点的集合），两线的交点即为点． 【详解】解：如图，连接，作的垂直平分线； 作的角平分线，两线交于，点为所求灯柱的位置． 【变式2】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，已知，点D为的延长线上的一点． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法）：作的角平分线． (2)在（1）的条件下，若，恰好与平行，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）利用平行线的性质角平分线的定义求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）尺规作图：按下列要求用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图①，在四边形内找一点，使得点到、的距离相等，并且点到点、的距离相等．（不需要证明）           (2)如图②，点在射线上，使用尺规作图法在上求一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作垂直平分线，角平分线，作一个角等于已知角，垂直平分线的性质，角平分线的性质． （1）作的角平分线与的垂直平分线，交于点，则点即为所求； （2）作，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所作； ． （2）解：所求图形如图所示． 折叠问题 【例1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，将一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，则，由折叠的性质得到，所以，然后通过平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得到， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）如图，长方形纸带，，将纸带沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为________． 【答案】/36度 【分析】根据平行线的性质可得，根据折叠的性质可得，最后根据平角的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵折叠， ∴ ∴ 【变式2】（25-26七年级下·河南开封·期中）如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质及平角的意义．根据折叠的性质和平角的意义，得出关于的方程，求解方程即可得出答案． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵， ∴． ∴． 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，（且），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则______，______； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）； (3)当和的度数之和为时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查折叠中角度的计算，平行线的性质： （1）根据折叠的性质，平行线的性质，求出的度数，对顶角即可得出的度数，再根据平行线的性质，求出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可； （3）分和两种情况，利用（2）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，如图， ∵将长方形纸带沿折叠， ∴， ∴， ∴； ∴当时， ； （2）解：当时： 由（1）可知：，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 当时，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 综上：或； （3）解：当时， ， 解得； 当时， ， 解得； 故：或． 旋转中心、旋转角、对应点 【例1】（25-26七年级下·山西忻州·期中）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义和性质，构造旋转对应点连线的垂直平分线，找出旋转中心是解题的关键． 设中点H与中点为对应点，连接、，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心． 【详解】解：∵将绕某个点旋转，得到， ∴E与为对应点，中点H与中点为对应点， 连接、， 分别作和的垂直平分线，交于点B，如图所示， 故点B为旋转中心． 理由：∵垂直平分，垂直平分， ∴点B是旋转中心， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图1，在俄罗斯方块游戏中，小方块可先逆时针旋转_______度，再向_______（填“左”或“右”）平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形（如图2），达到所有方格都消失的特效． 【答案】 90 左 【分析】此题考查了旋转以及平移的定义，只要熟悉游戏和旋转以及平移的定义，即可根据图形作出正确解答． 根据旋转和平移的性质即可解答． 【详解】解：小方块可先逆时针旋转90度，再向左平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形，达到所有方格都消失的特效． 故答案为：90，左． 【变式2】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是______点 【答案】 【分析】本题考查了旋转图形的性质，，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·河北邢台·期中）如图，三角形逆时针旋转到三角形，其中，点、、在同一直线上． (1)旋转中心是点___________． (2)求旋转角的大小． 【答案】(1) (2)旋转角大小是 【分析】此题考查旋转的性质，解题关键在于掌握其性质定义结合图形进行解答． （1）根据经过旋转得到，可得旋转中心为点； （2）根据点在同一直线上，可得旋转角为，结合即可求出旋转度数； 【详解】（1）解：依题意，经过旋转得到， ∴旋转中心为点， 故答案为：． （2）解：点在同一直线上，， ， 旋转角大小是． 根据旋转的性质求解 【例1】（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵把绕点顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级下·江苏·期中）如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是________． 【答案】2 【分析】根据旋转的性质得出，再由求出即可． 【详解】解：∵旋转后到达的位置，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边 、也在同一条直线上，以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转半周， 以每秒5°的速度绕点O逆时针旋转，当停止运动时，也停止运动，设运动时间为t秒，当t=___________________时， 的一边垂直于斜边CD． 【答案】1或4或10或13或16 【分析】根据中，，中，，在t秒时，转过，转过，两个三角形共转过，分当时，当时，当时，当再次时，当再次时，解答． 【详解】解：在中，，在中，， ∵以每秒的速度绕点O顺时针旋转半周，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，运动时间为t秒， ∴在t秒时，转过，转过， ∴两个三角形共转过， 当时，设垂足为点M，交于点E， 则， ∴， ∴， ∴转过, ∴， 解得： 当时，设垂足为F， 则， ∴， ∴转过， ∴， 解得； 当时，设垂足为N， 则， ∴， ∴， ∴转过， ∴， 解得； 当再次时，设垂足为点G，在射线上取点P， 则， ∴ ， ∴转过， ∴， 解得； 当再次时，设垂足为点H， 则， ∴转过， ∴， 解得. 综上，t的值为1、4、10、13、16. 故答案为：1、4、10、13、16. 【点睛】本题考查三角板中角度的计算．熟练掌握直角三角板的性质，平行线性质，旋转的性质，三角形的外角性质，角的和差计算，分类讨论，是解答本题的关键． 【变式3】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转恰好得到，其中，是对应点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的三要素． 由旋转得到旋转角，再由角度和差计算求解． 【详解】解：∵把绕点A逆时针旋转恰好得到， ∴， ∵， ∴． 画旋转对称图形 【例1】（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．点为网格线的交点． (1)画出关于点的对称的图形； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—旋转作图和中心对称作图，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，即可得到答案． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； 【变式1】（25-26七年级下·河北廊坊·期中）如图，，线段均在由小正方形组成的方格纸中（点A，B，C，，均在方格纸的格点上）．按要求完成下列各小题． (1)若与关于点O成中心对称（点A，B的对称点分别为点，），在图中画出点O，并补全； (2)在（1）的基础上，在图中画出绕点O逆时针旋转90°的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称图形，旋转作图，掌握中心对称图形的性质是解题的关键． （1）连接，，它们的交点即为对称中心O，进而可画出点C的对称点，即可解答； （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示． （2）解：如图，为所求． 【变式2】（25-26七年级下·湖北·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度， 的顶点都在格点上． (1)将．向右平移4个单位长度，点A，B，C的对应点分别为 画出平移后的 (2)将 绕点逆时针旋转，点的对应点分别为画出旋转后的 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了作图—平移变换、旋转变换等知识点，熟悉平移和旋转作图的方法是解题的关键． （1）先将的三个顶点A，B，C分别向右平移4个单位长度得到再顺次连接即可； （2）把的顶点两点以点为中心逆时针旋转得到，然后连接再连接即可解答． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． 【变式3】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）作图题： (1)如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图． ①画直线； ②作射线，与直线交于点； ③连接； ④找到一点，使到、、、四点的距离和最短， 作图的依据是___________． (2)用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，以点为顶点、射线为一边，作，使． (3)已知：如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点，，分别对应点． ①在图中画出； ②是以点___________（填“”，“”或“”）为旋转中心，将___________时针旋转___________度得到的． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析；④作图见解析；，两点之间线段最短 (2)见解析 (3)①见解析；②，顺，． 【分析】本题主要考查了基本作图、尺规作图、旋转作图及性质等知识点，掌握相关作图方法是解题的关键． （1）①根据直线的定义作图即可；②根据射线的定义作图即可；③根据线段的定义作图即可；④根据两点之间线段最短作图即可． （2）根据尺规作图作相等的角即可解答； （3）①连接对应点找到旋转中心，进而画出点，再顺次连接即可求解．②利用旋转变换的性质判断即可． 【详解】（1）解：①如图：直线即为所求； ②如图：射线和点即为所求； ③如图：线段即为所求； ④如图：点P即为所求；作图依据：两点之间线段最短． （2）解：如图：即为所求． （3）解：①如图：即为所求； ②是以点为旋转中心，将顺时针旋转度得到的． 故答案为：，顺，． 中心对称图形的性质求面积、长度、角度 【例1】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，灵活运用中心对称图形的性质是解题的关键． 根据中心对称图形的性质解答即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，，， ∴A，B，C都不合题意． ∵与不是对应角， ∴不成立． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（   ） A．点A与点D是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称．根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与点D是对称点，，，， 而不一定成立． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·江西上饶·期中）如图，与关于点O成中心对称，若，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，成中心对称的两个图形的对应点与对称中心的连线的长度相等，据此可得答案． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 【答案】（1）；（2）详见解析 【分析】本题考查了复杂作图，中心对称图形性质，掌握中心对称图形的性质是解题的关键 （1）根据中心对称图形的性质作答； （2）根据中心对称图形的性质作图． 【详解】解：（1）∵四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O， ， 故答案为：； （2）如图②：直线即为所求． 方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【例1】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图所示是的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】本题考查设计中心对称图形，根据中心对称图形的定义，进行设计，即可得出结果． 【详解】解：由题意，选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形的涂法只有如图所示的一种方法： 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 故答案为：3． 【变式2】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是__________．    【答案】② 【分析】根据中心对称图形的定义求解即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【详解】解：由中心对称图形的定义可知选择标有序号②的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形， 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求画图． (1)如图1，画出关于点成中心对称的图形，并标上对应的字母； (2)如图2，绕旋转中心顺时针旋转得到，直接标出旋转中心点，写出旋转角的度数为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）作出点A的对应点D，连接，即可； （2）线段，的垂直平分线的交点P即为所求，直接根据旋转角即可得出答案． 【详解】（1）如图1中， 即为所求． （2）如图2中，点即为所求． 根据图可知旋转角． 忽略平移的性质 【例1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形． (1)若，则的度数为_____； (2)若是的中点，，，，连接． 求三角形的面积； 已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（）根据平移的性质进行求解即可； （）根据平移的性质，结合三角形面积公式求出结果即可； 过点作于点，根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据平移性质可得，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，，， ∴ ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； 如图，过点作于点， 由等面积法可求得， 即点到的距离为． 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，三角形和三角形的三个顶点均在“格点”处． (1)如图1，三角形可以看成三角形向右平移__________格，再向__________平移3格得到的； (2)如图2，连接和． ①则线段和的位置关系是__________，数量关系是__________； ②若，，求的度数． 【答案】(1)5；上 (2)①平行；相等；② 【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质．熟练掌握平移的定义与性质是解题的关键． （1）结合图象以及平移的性质可得答案． （2）①由平移可知，和平行且相等． ②由平行线的性质可得，则，再根据可得答案． 【详解】（1）解：由图可知，三角形可以看成三角形向右平移5格，再向上平移3格得到的． 故答案为：5；上． （2）解：①由题意知，线段和的位置关系是平行，数量关系是相等． 故答案为：平行；相等． ②， ， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，将沿着射线的方向平移到的位置．已知，，阴影部分的面积为． (1)梯形的面积为______． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质可得，即得； （2）求出，即可求出，根据平移的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将沿着射线的方向平移到的位置， ， ， 即梯形的面积阴影部分的面积； 故答案为：； （2），， ∴由平移可得， ， ， 解得：， ． 【变式3】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图所示，已知直角三角形，，个单位长度，将直角三角形沿着由点到点的方向平移6个单位长度，得到三角形． (1)画出平移后的三角形； (2)若与相交于个单位长，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，结合图形能清楚观察平移的方向、距离及其对应点，关键明确平移的两个性质：①连接对应点的线段平行且相等，②平移前后图形的形状、大小完全相同． （1）根据题意，利用平移的定义作图即可； （2）根据平移的性质得到四边形的面积等于梯形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：由平移的性质得，，，， ∵， ∴ ， ∵ ∴， ∴四边形的面积． 根据轴对称的性质求最值 【例1】（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在长方形中，边，，对角线，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查动点最值问题，熟练掌握动点最值问题的求解步骤，根据题意按步骤逐步分析是解决问题的关键．根据动点最值问题求解步骤，①分析所求线段端点（A定，M、N动）；②动点轨迹为直线；③模型方法（类比将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点）；④确定最值对应的定线段；⑤求定线段长，按步骤进行即可求解． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，连接，过作于点E， ，即当三点共线且时，的最小值为， 在中，， 连接， 则， ， 在长方形中，，， ， 则的最小值为， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级下·山东日照·期中）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式，熟练掌握利用轴对称转化线段求最短路径的方法是解题的关键． 利用角平分线的对称性，将转化为到的距离，再根据垂线段最短和三角形面积公式求解． 【详解】解：过点作的对称点，连接， ∵平分， ∴点关于的对称点在上， ∴， ∴． 当、、共线且时，最小，最小值为的长． ∵，， ∴，即， 解得． ∴的最小值为． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，在直角中，，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， 即 ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 折叠问题中的分类讨论问题 【例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图1，在长方形纸片中，点P在上，点Q在上，将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．交于点G．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为．    （1）若，则_____°． （2）沿继续折叠纸片，若恰好是的三等分线，则_____°． 【答案】 或36 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而利用平行线的性质得，然后根据折叠的性质可得，即可得出答案； （2）根据折叠的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后分两种情况：当时，当时，分别得出结果． 【详解】解：（1）如图：      ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， 故答案为：； （2）如图：    由折叠得：， ∵， ∴， ∵是的三等分线， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 综上所述， 或， 故答案为：或36． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角的计算，翻折的变换，熟练掌握平行线的性质，以及折叠的性质是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图（1）是由两块形状相同的三角板拼成，已知，，点E是边上的动点，连结，将三角形沿直线翻折，点C，D的对应点分别为N，M，则： （1）如图（2），当点N恰好落在边上时，的度数是___________； （2）当与三角形的一边平行时，的度数为________． 【答案】 75° 105°或60°或45° 【分析】（1）利用折叠的性质判断出AD∥BC，利用平行线的性质可得结果； （2）分MN∥AC，MN∥AB，MN∥BC，三种情况，分别求解． 【详解】解：（1）当点N落在AB上时，由折叠可知： ∠DAC=∠MAN=60°，∠CAE=∠BAE=45°， ∵∠ACB+∠ACD=60°+30°=90°，∠D=90°， ∴AD∥BC， ∴∠AEC=180°-∠DAE=180°-45°-60°=75°； （2）由（1）可得：AD∥BC， 如图3，MN∥AC， ∠AMN+∠BAC=90°+90°=180°， 可知点M在AB上， ∴∠CAN=90°-60°=30°， 由折叠可知：∠CAE=∠NAE=30°÷2=15°， ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°+15°=75°， ∴∠AEC=180°-75°=105°； 如图4，MN∥AB， ∴∠BAM=90°，∠BAN=∠N=30°， ∴∠NAC=30°+90°=120°， 由折叠可知：∠CAE=∠NAE=60°， ∴∠AEC=180°-∠CAE-∠CAD=60°； 如图5，MN∥BC， ∴∠M=∠MAD=90°， ∴∠NAC=360°-∠MAN-∠DAC-∠MAD=150°， 由折叠可知：∠NAE=∠CAE=75°， ∴∠AEC=180°-∠CAE-∠DAC=45°； 综上：∠AEC的度数为105°或60°或45°， 故答案为：（1）75°；（2）105°或60°或45°． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是根据图形的变形分类讨论． 【变式2】（24-25七年级下·浙江金华·期末）东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F在边上，点E，G在其它三边上，和为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现随着点E，G的位置变化而变化，为了研究方便，把记为，记为． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当点F，，在同一直线上（即）时，探究和的数量关系，并说明理由． (3)在和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据折叠的性质解题即可； （2）根据折叠的性质计算即可解题； （3）分三种情况分别画图，列方程进行计算解题． 【详解】（1）解：由折叠可得：，， ∴； （2）解：，理由为： 由折叠可得：，， ∴， ∴； （3）如图1所示，由折叠可得：，， ∴ ， 当时，， 解得； 如图3，， 当时，， 解得：； 如图4所示，， 当时，， 解得：； 综上所述，的度数为或或时，和中，当其中一个角是另一个角的3倍时． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·期末）若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图1，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点；，若与互为“伙伴角”，求的度数； (3)如图2，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 【答案】(1) (2)的值为或． (3) 【分析】本题主要考查了新定义、折叠以及角的和差运算等知识点，一元一次方程的应用，掌握折叠的性质以及方程思想的应用是解答本题的关键． （1）按照“互优角”的定义，建立方程求解即可； （2）按照“互优角”的定义可得或，再建立方程解答即可； （3）按照“互优角”的定义可得，再结合轴对称的性质，平角的定义建立方程解答即可； 【详解】（1）解：∵和互为“伙伴角”，当时， ∴，即 ∴或， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴． （2）∵与互为“伙伴角”， ∴， ∴或， 当时，则， 由对折可得，而， ∴， 解得：， 当时，则， 同理可得：， ∴， 综上所述，的值为或． （3）∵点E、、P在同一直线上，且与互为“伙伴角”， ∴，， ∴， 由对折可得：，，而， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 三角板中的角度旋转问题 【例1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，若与的某一边平行（不共线）时，的值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、、分别根据旋转的定义以及平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图：当时，的值为； 如图：当时，， ∵， ∴， ∴的值为． 如图：当时， ∴的值为（不符合题意）． 综上，当与的某一边平行（不共线）时，的值为或． 故答案为：或． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当______时，与三角板的直角边平行． 【答案】5或35或65或95或125 【分析】根据题意，分6种情况讨论：当时，当时，当第二次平行于时，当第二次平行于时，当第三次平行于时，当第三次平行于时，画出对应的图形，利用平行线的性质，计算得到答案． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解答本题的关键． 【详解】解：如图， 时， 延长交于D点， 则，， ， ， ， ， ， 解得； ②如图：时， ，， ， ， ， 解得； ③如图第二次平行于时， 设与的交点为E， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； ④如图第二次平行于时， ，， ∵， ∴， ∴， 解得； ⑤如图：第三次平行于时， 则，， ， ， 又， ， ∴， 解得； ⑥如图：第三次平行于时， ，， ， ， ∴， 解得（舍去）． 综上，所有满足条件的t的值为：5或35或65或95或125． 故答案为：5或35或65或95或125 【变式2】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）已知点O为直线上一点，过点O在的上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，三角板的边落在射线上，且． ①直接写出的度数； ②如图2，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分时，旋转的时间是多少秒？ (2)如图3，设，射线平分，，请你通过计算说明的值是否会随的取值不同而发生改变． 【答案】(1)①；②当直线恰好平分钝角时，旋转的时间是2秒或14秒 (2)，是定值，见解析 【分析】本题主要考查旋转的性质，角的运算，角平分线 ； （1）①根据计算即可；②分两种情况：第一种：当线段在内部时，第二种：当线段在外部时，分别计算即可． （2）根据题意得到，计算出，得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②因为直线恰好平分钝角、且，所以分以下两种情况： 第一种：当线段在内部时，，旋转的度数为． 由题意知（秒）； 第二种：当线段在外部时，旋转的度数为， 由题意知（秒）， 综上所述，当直线恰好平分钝角时，旋转的时间是2秒或14秒． （2）解：是定值．理由如下： 当时，， ∴， ∵，射线平分， ∴， ∴． ∴． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则________； 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当________秒时，边落在边上． ②当平分时，________秒． 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 【答案】（1）；（2）①3，②；（3）秒或秒 【分析】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，直角三角形，角的计算，角平分线，掌握角平分线的定义及旋转时间的计算是解决本题的关键． （1）利用角的和及平角可得结论； （2）①②先计算旋转角，再利用“角的度数旋转速度旋转时间”可得结论； （3）利用“角的度数旋转速度旋转时间”，分两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 故答案为：； （2）①边旋转落在边上时，如图： ∴其旋转角， ∵的旋转速度为每秒， ∴（秒）； ②作平分， ∵， ∴， ∴， 当旋转到时，旋转了． ∵的旋转速度为每秒， ∴（秒）； 故答案为：①3，②； （3）由（1）知两个三角尺旋转前， 设各三角尺都旋转了秒，此时边旋转了，边旋转了． ①当边与边相遇前，可得， 解得； ②当边与边相遇后，可得． 解得， ∴为秒或秒时， 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的变换 平移及其性质 1.平移的概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移 2.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离 3.平移的特点： (1)图形是整体移动的：(2)沿某一直线方向移动：(3)移动前后图形的形状、大小完全相同 【要点提示】 (1)图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小： (2)确定一个图形平移的方向和距离，只跨确定其上一个点平移的方向和距离即可， 4.平移的性质 性质1：平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同；对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等 性质2：连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 平移作图 利用平移作图的一般步骤 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出图形的关键点； (3)作：过这些关键点作与平移方向平行的线段， 使这些平行线段的长度都等于平移的距离： (4)连：按原图形顺序连接关键点的对应点. 轴对称的相关概念 1.轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． 2.轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 3.轴对称的基本性质 1.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 2.轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 4.轴对称图形 1.轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3.常见的轴对称图形： 等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等． 线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线． 旋转的概念与性质 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 中心对称与中心对称图形 中心对称 1.中心对称的定义      把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． 2.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分  3.中心对称的性质的两点注意 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；  ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 中心对称图形 1.中心对称图形的定义      把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 2.常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 平移、轴对称、旋转现象 【例1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）在现实生活中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形方格中，阴影部分是5张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片到其它空白方格，使得到的新图案变成中心对称图形的移法有______种． 利用平移的性质求解（应用） 【例1】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，直角和直角重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置．若，图中阴影部分的面积为，，则的长为____ ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，已知，，，将三角形沿方向平移个单位长度，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为__________ 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，若小路的宽为2m，则绿化面积为___________？ 【变式3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的价格为每平方米20元，升旗台的台阶宽为2米，其侧面如图所示，则该学校买地毯至少需要花多少元？ 平移作图 【例1】（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)过点作直线． (2)画出将三角形先向下平移3格，再向右平移5格后得到的三角形（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知在网格中，每个小格均为边长是1的正方形，和线段的位置如图所示，小睿想利用这两个图形画出一个跷跷板，于是他按照以下两个步骤来画： ①将平移，使得顶点平移至，画出平移后的． ②过做线段和线段平行且相等，使得恰好为线段的中点． 请按照小睿的画法画出图形． 【变式2】（24-25七年级下·福建厦门·期中）在如图所示的网格图（每个小网格都是边长为1个单位长度的小正方形中，P，A分别是的边，上的两点且P，A在格点上． (1)将线段向右平移，使点O与点A重合，画出线段平移后的线段，连接，不添加其他字母，不连接其他线段的情况下，写出图中相等的线段______； (2)请在射线上找出一点D，使点P与点D的距离最短，并写出依据______； (3)连接，求出的面积． 【变式3】（24-25七年级下·江苏常州·期中）利用方格纸画图： (1)画出图中正方形向右平移2格后所得的图形； (2)第（1）小题中平移前、后的两个大正方形公共部分是个小正方形（位于图中央），这个小正方形的周长是原来大正方形周长的____________（填分数），面积是大正方形的____________（填分数） 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例1】（24-25七年级下·广东云浮·期中）如图，与关于直线对称，连接交直线于点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D．直线 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为_______ ． 【变式2】（25-26七年级下·江苏·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形ABCD和四边形关于直线成轴对称． (1)在图①中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想：延长线段AB与，交点__________对称轴上；（填“在”或“不在”） (3)如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴． 轴对称中的角度计算 【例1】（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，内有一点点关于的对称点是点关于的轴对称点是分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线的对称点恰好落在线段上，点与点关于直线对称，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为________． 【变式3】（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）如图，点P在内部，E，F分别是点P关于直线的对称点．若，则的度数为________． 对称轴 【例1】（24-25七年级下·山东烟台·期中）在如图所示的方格纸中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做格点三角形．请在下列方格纸中，分别画出不同的与原成轴对称的格点三角形，并画出对称轴． 【变式1】（24-25七年级下·河南漯河·期中）下列图形具有两条对称轴的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河南商丘·期中）圆是轴对称图形，它有_____条对称轴，每条对称轴都是这个圆的_____所在的直线． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图1，棋盘上已经摆放好了3个棋子，如图2所示，再添加一个棋子后，这4个棋子恰好构成一个轴对称图形，直线m为对称轴． (1)请仿照图2，用新方法在图3的棋盘格点上添加1个棋子，使4个棋子构成一个轴对称图形，并画出对称轴 (2)这样的添加方法共有_______种（含图2方法）． 镜面对称 【例1】（25-26七年级下·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·期中）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【变式2】（24-25七年级下·山东聊城·期中）小明从镜子中看到身后电子钟的示数如图所示，则此时的时间应是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·湖北黄冈·期中）从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，所以这时的时刻应是_______________． 尺规作垂直平分线、角平分线 【例1】（24-25七年级下·河南信阳·期中）如图，中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，若，则的周长为 _______cm． 【变式1】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，校园有两条路和，在交叉口附近有两块宣传牌、，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你画出灯柱的位置（保留作图痕迹）． 【变式2】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，已知，点D为的延长线上的一点． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法）：作的角平分线． (2)在（1）的条件下，若，恰好与平行，求的度数． 【变式3】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）尺规作图：按下列要求用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图①，在四边形内找一点，使得点到、的距离相等，并且点到点、的距离相等．（不需要证明）           (2)如图②，点在射线上，使用尺规作图法在上求一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 折叠问题 【例1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，将一张长方形纸条沿折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）如图，长方形纸带，，将纸带沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为________． 【变式2】（25-26七年级下·河南开封·期中）如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为多少？ 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，（且），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则______，______； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）； (3)当和的度数之和为时，求的值． 旋转中心、旋转角、对应点 【例1】（25-26七年级下·山西忻州·期中）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图1，在俄罗斯方块游戏中，小方块可先逆时针旋转_______度，再向_______（填“左”或“右”）平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形（如图2），达到所有方格都消失的特效． 【变式2】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是______点 【变式3】（25-26七年级下·河北邢台·期中）如图，三角形逆时针旋转到三角形，其中，点、、在同一直线上． (1)旋转中心是点___________． (2)求旋转角的大小． 根据旋转的性质求解 【例1】（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏·期中）如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是________． 【变式2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边 、也在同一条直线上，以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转半周， 以每秒5°的速度绕点O逆时针旋转，当停止运动时，也停止运动，设运动时间为t秒，当t=___________________时， 的一边垂直于斜边CD． 【变式3】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转恰好得到，其中，是对应点，若，求的度数． 画旋转对称图形 【例1】（25-26七年级下·湖北孝感·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．点为网格线的交点． (1)画出关于点的对称的图形； (2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的； 【变式1】（25-26七年级下·河北廊坊·期中）如图，，线段均在由小正方形组成的方格纸中（点A，B，C，，均在方格纸的格点上）．按要求完成下列各小题． (1)若与关于点O成中心对称（点A，B的对称点分别为点，），在图中画出点O，并补全； (2)在（1）的基础上，在图中画出绕点O逆时针旋转90°的． 【变式2】（25-26七年级下·湖北·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度， 的顶点都在格点上． (1)将．向右平移4个单位长度，点A，B，C的对应点分别为 画出平移后的 (2)将 绕点逆时针旋转，点的对应点分别为画出旋转后的 【变式3】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）作图题： (1)如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图． ①画直线； ②作射线，与直线交于点； ③连接； ④找到一点，使到、、、四点的距离和最短， 作图的依据是___________． (2)用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，以点为顶点、射线为一边，作，使． (3)已知：如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点，，分别对应点． ①在图中画出； ②是以点___________（填“”，“”或“”）为旋转中心，将___________时针旋转___________度得到的． 中心对称图形的性质求面积、长度、角度 【例1】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（   ） A．点A与点D是对称点 B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江西上饶·期中）如图，与关于点O成中心对称，若，则的长为_________． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【例1】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图所示是的正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑使图中阴影部分是一个中心对称图形，这样的涂法有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有______个． 【变式2】（24-25七年级下·广东中山·期中）如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是__________．    【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求画图． (1)如图1，画出关于点成中心对称的图形，并标上对应的字母； (2)如图2，绕旋转中心顺时针旋转得到，直接标出旋转中心点，写出旋转角的度数为______． 忽略平移的性质 【例1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形． (1)若，则的度数为_____； (2)若是的中点，，，，连接． 求三角形的面积； 已知，请直接写出点到的距离．（用含的代数式表示） 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，三角形和三角形的三个顶点均在“格点”处． (1)如图1，三角形可以看成三角形向右平移__________格，再向__________平移3格得到的； (2)如图2，连接和． ①则线段和的位置关系是__________，数量关系是__________； ②若，，求的度数． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，将沿着射线的方向平移到的位置．已知，，阴影部分的面积为． (1)梯形的面积为______． (2)求的长． 【变式3】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图所示，已知直角三角形，，个单位长度，将直角三角形沿着由点到点的方向平移6个单位长度，得到三角形． (1)画出平移后的三角形； (2)若与相交于个单位长，求四边形的面积． 根据轴对称的性质求最值 【例1】（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在长方形中，边，，对角线，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．10 【变式1】（25-26七年级下·山东日照·期中）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，在直角中，，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 折叠问题中的分类讨论问题 【例1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图1，在长方形纸片中，点P在上，点Q在上，将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．交于点G．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为．    （1）若，则_____°． （2）沿继续折叠纸片，若恰好是的三等分线，则_____°． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图（1）是由两块形状相同的三角板拼成，已知，，点E是边上的动点，连结，将三角形沿直线翻折，点C，D的对应点分别为N，M，则： （1）如图（2），当点N恰好落在边上时，的度数是___________； （2）当与三角形的一边平行时，的度数为________． 【变式2】（24-25七年级下·浙江金华·期末）东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F在边上，点E，G在其它三边上，和为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现随着点E，G的位置变化而变化，为了研究方便，把记为，记为． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当点F，，在同一直线上（即）时，探究和的数量关系，并说明理由． (3)在和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·期末）若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图1，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点；，若与互为“伙伴角”，求的度数； (3)如图2，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 三角板中的角度旋转问题 【例1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，若与的某一边平行（不共线）时，的值为______． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当______时，与三角板的直角边平行． 【变式2】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）已知点O为直线上一点，过点O在的上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，三角板的边落在射线上，且． ①直接写出的度数； ②如图2，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分时，旋转的时间是多少秒？ (2)如图3，设，射线平分，，请你通过计算说明的值是否会随的取值不同而发生改变． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则________； 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当________秒时，边落在边上． ②当平分时，________秒． 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $