6.4.3 余弦定理、正弦定理(10分钟课前预习)-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

7.5如图所示，由题意可得Aò=2(A店+AC)→AD= 2.C3.C4.B 5.2由余弦定理得b2=a2+c2一2 accos B=4+12-2X }(A+A衣+2A店.AC)=只，即号+子Ac 2X25×5=4,所以6=2. 是AC=2,解得AC=5. 6号由B=C,26=5a,可得b=c=a,所以0sA= 3 b21c2-a24a十42a2 1 2bc 3 6.4.3余弦定理、正弦定理 2a 6.4.3.1余弦定理 6.4.3.2正弦定理 【自主学习】 【自主学习】 一、平方平方的和余弦的积的两倍b十c2一2 bccos A 6 一~sinB sin C 正弦 a+c-2accos B a+6-2abcos C b2+c2-a2 2bc 【牛刀小试】 a2+c2-b2a2+b2-c2 1.(1)×(2)/(3)×(4)/ 2ac 2ab 2.A3.B4.B 二、1.直角钝角锐角2.(1)三角(2)两边一角 【牛刀小试】 5.5或15由正孩定理品A品B得nA- 21 1.(1)/(2)/(3)×(4) .a>b,∴.A=60°或A=120°，.C=75°或15° ·91· 6.1:√3：2.A+B+C=π，A:B:C=1:2:3,.A= 6.南偏西60°方向 如图，在 30°，B=60°，C=90°，由正弦定理可知a:b:c=sinA: △ABD中，B=45°，由正弦定理 sin B:sin C=1:3:2. AD sin 456= AB1 sin60° 7.45由题意可得△ABC的面积为S=号csin A= 2 24√2，AD=24,在△ACD中，由余弦定理得CD2=AC十 合×23×8x合=45 AD2-2 ACXADXc0s30°，因为AC=12W3,AD=24,所 4 8. 由(a+b)2一c2=4,得a2+b2一c2+2ab=4,由余弦 以解得CD=12,由正弦定理得CD AC sin30°-sin∠CDA' 定理得a2十b2一c2=2 abcos C=2 abcos60°=ab,则ab+ ∠CDA=g,故∠CDA=60浅∠CDA=12,图为 2ab=4,所以ab= 3 AD>AC,故∠CDA为锐角，所以∠CDA=60°，此时灯 6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例 塔C位于游轮的南偏西60°方向. 【牛刀小试】 第七章复数 1.(1)×(2)×(3)× 7.1复数的概念 2.B3.C4.D 5.30V2由题图可得∠B=45°，∠BAC=30°，故BC= 7.1.1数系的扩充和复数的概念 AC·sin∠BAC_60sin30°=30V2(m). 【自主学习】 sin B sin45° 一、1.虚数单位一13.之=a十bi(a,b∈R) ·92·6.4.3余弦定理、正弦定理 6.4.3.1余弦定理 ⊙自主学习 一、余弦定理 三角形中任何一边的 ,等于其他两边 文字语言 诚去这两边与它们夹角的 a2= :b2= 符号语言 c2 推论 cos A= ;cos B= ;cos C= 二、余弦定理及其推论的应用 1.利用余弦定理的变形判定角 在△ABC中，c2=a2+b2台C为 ；c2>a2+ b9C为 ;c2<a2+b2台C为 2.应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题， (1)已知三边，求 (2)已知 及 ,求第三边和其他两 个角 点拨：(1)余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是 19 余弦定理的特例 (2)余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于 已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦定理的 推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是 锐角还是钝角. ⊙牛刀小试 1.辨析（对的打“/”，错的打“×”） (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此， 它适应于任何三角形.() (2)利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问 题.() (3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一. () (4)在△ABC中，若a2>b2十c2,则△ABC不一定为钝角 三角形.() 2.在△ABC中，已知a2=b2十c2十bc,则角A为() A.3 B C.3 x D.或 3.在 △ABC 中，已知 $$A = 3 0 ^ { \circ } ，$$ 且 $$3 a = \sqrt 3 b = 1 2 ，$$ ，则c的值为 B.直角三角形 () C.等腰直角三角形 A.4 D.等边三角形 B.8 5.在 △ABC 中，角A，B，C所对边的长分别为 a，b b，c.若a= C.4或8 $$2 ， B = \frac { \pi } { 6 } ， c = 2 \sqrt 3 ，$$ 则b=. D.无解 6.在 △ABC 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 B= 4.在 △ABC 中，若 $$\overrightarrow { A B } ^ { 2 } - \overrightarrow { B C ^ { 2 } } = \overrightarrow { A B } \cdot \overrightarrow { A C } ，$$ 则 △ABC 是() $$C ， 2 b = \sqrt 3 a ，$$ 则 cosA= . A.等腰三角形 ·20· 6.4.3.2正弦定理 ⊙自主学习 一、正弦定理 条件 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c 结论 a sin A 文字描述 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等 二、正弦定理的变形 bsin A a sin B sin C,6-csin Bd csin A asin B asin C sin C sin A bsin C sin Bi sin A:sin B:sin C=a:b:c; R为△ABC外接圆的半径：a b C sin A sin B sin C a+b+c sin A+sin B+sin C=2R. 三、利用正弦定理可以解两类有关三角形的问题 1.已知两角及一边，解三角形，此时有唯一解，三角形 被唯一确定. 2.已知两边及一边的对角，解三角形，此时有可能出现 一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. 从代数角度分析三角形解的情况，以已知a,b和A,解 三角形为例，用代数法探究如下： ①若sinB=bsin A.>1,则三角形解的个数为0； a ②若sinB=sinA=1,则三角形解的个数为1； ③若sinB=sinA<1,则三角形解的个数为1或2. a 显然由0<sinB=bsin A<I可得B有两个值，一个为 钝角，一个为锐角，考虑到“大边对大角”“三角形内角和等 于180°”等，此时需进行讨论. 点拨：三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角” 来判定.不妨设A为锐角，若a≥b,则A≥B,从而B为锐 角，有一解；若a<b,则A<B,由正弦定理得sinB= bsin A.若sinB>l,即a<bsinA,无解；若sinB=1,即a= a bsin A,有一解；若sinB<1,即bsin A<a<b,有两解. ①牛刀小试 3.在△ABC中，a=43,b=12,A=石，则此三角形() A.无解 B.两解 1.辨析（对的打“/”，错的打“X”) C.一解 D.解的个数不确定 (1)正弦定理不适用于直角三角形.() 4.△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sinA: (2)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是 sinB:sinC=3:4:5,则△ABC的形状是() 一定值.() A.锐角三形直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 (3)在△ABC中必有asin A=bsin B.() 5.在△ABC中，a=√6，b=2,B=45°，则C= (4)在△ABC中，若sinA=sinB,则必有A=B.() 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A:B: 2.已知△ABC中，且a=1,b=2,sinA=号，则sinB= C=1:2:3,则a:b:c= 7.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b= () 2√3，c=8,A=30°，则△ABC的面积为 B. 3 8.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a十b)2 c c2=4,且C=60°，则ab的值为 ·22· 6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例 ⊙自主学习 一、基线 1.定义 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段 叫做基线。 2.性质 在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度， 使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精 确度越高. 二、测量距离问题 1.测量距离问题的基本类型及解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下 三种类型： 类型 简图 计算方法 测得AC=b,BC=a,角C, A,B两点间不 再由余弦定理得 可达或不可视 AB=a?+6-2abcos C 续表 类型 简图 计算方法 测得BC=a,角B,C,则 B,C与A可视 A=π一(B十C),再由正弦 但不可达 B 定理得AB= asin C sin(B+C) 测得CD=a,∠BDC, ∠ACD,∠BCD,∠ADC, C,D与A,B可 在△ACD中，用正弦定理 视但不可达 求AC;在△BCD中，用正 弦定理求BC;在△ABC 中，用余弦定理求AB 2.涉及有关角的术语 术语名称 术语意义 图形表示 北 B 指从正北方向顺时针转到目 方位角 标方向线的水平角，如点B 西一 东 的方位角为a 南 东南方向 23 续表 术语名称 术语意义 图形表示 相对于某一正方向的水平角， 即从指定方向线到目标方向 北 线的水平角.方向角小于90°， 方向角 通常表达成：正北或正南，北 偏东30°，南偏西30°等.如图， 60° 东 点C位于点B的北偏东60° 或东偏北30°方向上 三、测量高度问题 1.测量距离问题的基本类型及解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下 三种类型： 类型 简图 计算方法 A 底部可达，顶部 测得BC=a,角C,AB= 不可达 atan C B A 测得 CD=a,角C, 部不可达 点B与C, ∠ADB,先由正弦定理求 D共线 出AC或AD,再解直角三 a D 角形得AB的值 2 续表 类型 简图 计算方法 A 测得CD=a,∠BDC,∠ACB, 底部不 点B与C, ∠BCD,在△BCD中，用正弦 D不共线 定理求BC;再通过解直角三 达 角形求AB a 2.涉及有关角的术语 术语名称 术语意义 图形表示 与目标视线在同一铅直 视线 平面内的水平线和目标 视线的夹角，当目标视线 仰角、俯角 仰角水平线（目标 在水平线上方时叫做仰 线 俯角 视线) 角，当目标视线在水平线 下方时叫做俯角 视线 坡面与水平面的夹角叫 做坡角(a) 坡角、坡度 坡面的垂直高度(h)与水 平宽度()的比()叫做 坡角a 坡度 坡度i=h 点拨：仰角、俯角、方位角的区别：三者的参照不同，仰 角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方 向而言的. 4 ⊙牛刀小试 1.辨析（对的打“/”，错的打“X”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边.() (2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得.() (3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向. () 2.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为B,则 a,3的关系为( ) A.aB B.a=3 C.a+B=90° D.a+B=1809 3.某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为300米和500 米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B 在观察站C的正西方向上，则两灯塔A,B间的距离为 A.500米 B.600米 C.700米 D.800米 4.一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30° 的方向，且与它相距8√2海里，之后它继续沿正北方向 匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在 它的北偏东75°的方向，此船的航速是( A.8(√6+√2)海里/时 B.8(√6一√2)海里/时 C.16(w√6+√2)海里/时 D.16(√6一√2)海里/时 5.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得 AC=60m,天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C 的仰角为15°，则天文台BC的高为 m. B C D 6.一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离 为12√6海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为12√3海 里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔 B在其南偏东60°方向，求此时灯塔C的方向角. 25·