预习专题15 余弦定理、正弦定理应用举例7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题15 余弦定理、正弦定理应用举例7题型分类 一、距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 二、高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 三、角度问题 测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解. （一） 距离问题 求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形. 题型1：距离问题 1．（2024高三上·全国·专题练习）如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？ 2．（2024高一下·广东东莞·阶段练习）如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，则两点间的距离为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024高一下·湖南郴州·阶段练习）如图所示，为了测量湖中两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲､乙两位测量人员，甲测量员在处测量发现亭子位于北偏西亭子位于东北方向，乙测量员在处测量发现亭子位于正北方向，亭子位于北偏西方向，则两亭子间的距离为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2024高三上·全国·专题练习）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C＝120°，米，米，则A，B间的直线距离约为（    ） A．60米 B．130米 C．150米 D．300米 5．（2024高一上·江苏无锡·阶段练习）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里．    6．（2024高三上·北京·期中）如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为 km. （二） 高度问题 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题. 题型2：高度问题 7．（2024高二上·江西九江·开学考试）灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（    ） A．45米 B．50米 C．55米 D．60米 8．（2024高一下·浙江嘉兴·期中）如图所示，某数学兴趣小组为了测量嘉兴某地“智标塔”高度，在地面上点处测得塔顶点的仰角为，塔底点的仰角为. 已知山岭高为米，则塔高为（    ）    A．米 B．米 C． 米 D． 米 9．（2024·山西·模拟预测）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（       ）    A．74m B．60m C．52m D．91m 10．（2024高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）高邮镇国寺是国家级旅游景区地处高邮市京杭大运河中间，东临高邮市区，西近高邮湖实属龙地也，今有“运河佛城”之称某同学想知道镇国寺塔的高度,他在塔的正北方向找到一座建筑物,高约为，在地面上点C处（B，C，N三点共线） 测得建筑物顶部A镇国寺塔顶部M的仰角分别为和在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，镇国寺塔的高度约为 （   ）（参考数据： ） A． B． C． D． 11．（2024高三上·全国·专题练习）消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂（20米30米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动张角，转动点距离地面的高度为4米．当起重臂的长度为24米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为 米． 12．（2024高三上·河北邢台·阶段练习）邯郸丛台又名武灵丛台，相传始建于战国赵武灵王时期，是赵王检阅军队与观赏歌舞之地，是古城邯郸的象征.如图，某学习小组为了测量邯郸丛台的高度AB，选取了与台底在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得，，米，在点D处测得丛台台顶的仰角为，则丛台的高度为 米（结果精确到0.1米，取，）.    （三） 角度问题 根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解. 题型3：角度问题 13．（2024高一下·广东惠州·阶段练习）如图，在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为20海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间． 14．（2024高一下·河北保定·期末）一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024高一下·湖北武汉·阶段练习）已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（    ） A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向 16．（2024高一下·重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 17．（2024高一·全国·随堂练习）如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.      (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 18．（2024高一下·河南周口·期中）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇. 19．（2024高一下·浙江·期中）如图，A，B是某海城位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时. (1)求B，C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01） （四） 其他应用 正余弦定理应用广泛。判断三角形形状时，能借边角关系定类型；解多边形问题，可分割成三角形求解；处理三角形中最值范围问题，通过定理结合三角函数性质，挖掘条件找临界，就能巧妙化解难题， 题型4：判断三角形形状 20．（山东省临沂市蒙阴县第一中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题）已知的内角，，所对的边分别为，，，下列说法中不正确的是（ ） A．若，则一定是等腰三角形 B．若，则一定是等边三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是钝角三角形 21．（2024高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 22．（2024高一下·天津·期末）已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 23．（2024高一下·吉林白城·阶段练习）已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 题型5：解多边形问题 24．（2024高三上·广东珠海·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)已知，D为边上的一点，若，，求的长． 25．（2024高一下·广东湛江·期中）在中，是上的点，平分，. (1)求的值； (2)若，，求的长. 26．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在△ABC中，已知，，，BC边上的中线AM与的角平分线相交于点P． (1)的余弦值． (2)求四边形的面积. 27．（2024高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.      (1)求的度数； (2)求的面积. 题型6：三角形中最值范围问题 28．（2024高一上·河北保定·期中）已知锐角内角及对边，满足. (1)求的大小； (2)若，求周长的取值范围. 29．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 30．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 31．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围. 32．（24-25高二上·贵州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 题型7：正余弦定理的实际应用 33．（2024高三上·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 34．（2024高一下·云南曲靖·期中）夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站位于点处（离地面高度忽略不计），观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友，正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距离为，假设三点在同一水平面上． (1)求此时钓友与小孩之间的距离． (2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因． 35．（2024高一下·重庆沙坪坝·期末）重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.    (1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：） 36．（2024高一下·广东茂名·期中）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台，另一部分是三角形观赏台现计划在弧上选取一点，作平行交于点，以为边在水池中修建一个矩形观赏台，长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台，记. (1)当时，过点作的垂线，交于点， 过点作OA的垂线，交于点， 求， 及矩形观赏台的面积； (2)求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值. 一、单选题 1．（2024高二上·陕西铜川·期末）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·江苏南京·阶段练习）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度，且能直接观测到，设点的维度（与赤道平面所成角的度数）的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道长度为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三上·山东聊城·阶段练习）泰姬陵于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在A处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（    ）      A． B． C． D． 5．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·贵州六盘水·模拟预测）盘兴铁路全长98.309公里，是贵州省“市市通高铁”的最后一个项目，盘兴铁路全线桥隧长为89.13公里，是目前贵州高铁中桥隧比最高的线路.如图所示，施工队为了估计盘兴铁路某隧道DE的长度，在山顶P点处测得三点A，B，C的俯角依次为，，，其中A，B，C，D，E为山脚两侧共线的五点.现预沿直线AC挖掘一条隧道，测得米，米，米，估计隧道DE的长度为（    ） A．米 B．300米 C．350米 D．400米 7．（2024高三上·山东烟台·期中）某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼M₁顶部N之间的距离，已知旗杆AM高15m，教学楼BN高21m，在与A,B同一水平面C处测得的旗杆顶部M的仰角为，教学楼顶部N的仰角为，，则M,N之间的距离为（    ）    A． B． C． D． 8．（2024高一下·广东深圳·期中）海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 9．（江苏省南京师范大学附属实验学校2023-2024学年高一下学期期中数学试题）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100，则该球体建筑物的高度约为（    ）（cos10°≈0.985）    A．45.25 B．50.76 C．56.74 D．58.60 二、多选题 10．（2025届江西省“三新”协同教研共同体高三联考模拟预测数学试题）设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（    ） A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是 C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西 12．（2024高一下·江西·期末）一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 13．（2024高一下·山东潍坊·期末）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图 1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形DEF拼成的一个大等边三角形ABC，则（    ）      A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B．若，则 C．若，则 D．若，则三角形的面积是三角形面积的19倍 三、填空题 14．（黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学（理科）试题）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达B处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度 . 15．（24-25高二上·重庆·阶段练习）台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市（如图）的东偏南方向350km的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km，并以的速度不断增大， 小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．    16．（24-25高三上·江西·阶段练习）如图，在中，，，、是边上的两点，且，则 ． 17．（2024高一下·重庆荣昌·阶段练习）为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km处不能收到手机信号，检查员抽查某区一考点，在考点正西km有一条北偏东方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，如果以每小时12km的速度沿公路行驶，则最长需要 分钟检查员开始收不到信号. 18．（2024高三上·上海徐汇·期中）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD；已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟；若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长为 （精确到1米）    19．（2024高三上·福建厦门·期中）我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的正弦值是 . 四、解答题 20．（重庆市万州纯阳中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学（A卷）试题）要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10000米，速度为900km/h，航测员先测得对山顶的俯角为，经过飞过M点后又测得对山顶的俯角为，    (1)求BM的长度；（结果带根号） (2)求山顶的海拔高度．（精确到m） （可能要用到的数据：） 21．（2024高一下·广东东莞·期中）“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”.春天来了，在研学的基地里，小明观察一棵桃树.如图所示，他在点处发现桃树顶端点的仰角大小为，往正前方走后，在点处发现桃树顶端点的仰角大小为.    (1)求的长； (2)若小明身高为，求这棵桃树顶端点离地面的高度（精确到，其中）. 22．（2024高一·全国·课后作业）如图，一船由西向东航行，测得某岛的方位角为，前进5km后测得此岛的方位角为．已知该岛周围3km内有暗礁，如果继续东行，有无触礁危险？（） 23．（2024高二·全国·假期作业）如图，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东40°的方向驶离码头，下午3：00到达地．下午1：00乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头，下午3：00到达地．若在的正南方向，则乙船的航行速度是多少？（精确到1km/h）    24．（2024高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 25．（2024高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 26．（24-25高一上·河北·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 27．（2024高一下·四川成都·期末）高新体育中心体育馆（图1）是成都大运会乒乓球项目比赛场馆，该体育馆屋顶近似为正六边形，屋底近似为正六边形．    (1)如图2，已知该体育馆屋顶上有三点用电缆围成了三角形形状，测得，米，求该电缆的长度； (2)如图3，若在建造该体育馆时在馆底处的垂直方向上分别有号塔吊，若1号塔吊（点处）驾驶员观察2号塔吊（点处）驾驶员的仰角为号塔吊驾驶员观察3号塔吊（点处）驾驶员的仰角为，且1号塔吊高米，2号塔吊比1号塔吊高米，则3号塔吊高多少米?（塔吊高度以驾驶员所在高度为准）． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题15 余弦定理、正弦定理应用举例7题型分类 一、距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 二、高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 三、角度问题 测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解. （一） 距离问题 求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形. 题型1：距离问题 1．（2024高三上·全国·专题练习）如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？ 【答案】米 【分析】根据正弦定理，分别在和中求出AC，BC，然后在中，由余弦定理求得AB. 【详解】根据正弦定理， 在中，有(米)， 在中，有(米)． 在中，由余弦定理得AB＝＝(米)． 所以A，B两点间的距离为米． 2．（2024高一下·广东东莞·阶段练习）如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，则两点间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理求得正确答案. 【详解】， 由正弦定理得. 故选：C 3．（2024高一下·湖南郴州·阶段练习）如图所示，为了测量湖中两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲､乙两位测量人员，甲测量员在处测量发现亭子位于北偏西亭子位于东北方向，乙测量员在处测量发现亭子位于正北方向，亭子位于北偏西方向，则两亭子间的距离为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据已知，结合图形，利用三角形的性质以及正弦定理、余弦定理求解. 【详解】   连接，在中，由条件可得，则， ， 在中，由正弦定理得， 在中，由条件得，且， 在中，由余弦定理得 ， ，故A，C，D错误. 故选：B. 4．（2024高三上·全国·专题练习）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C＝120°，米，米，则A，B间的直线距离约为（    ） A．60米 B．130米 C．150米 D．300米 【答案】B 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由题设，在中， 由余弦定理， 所以米. 故选：B. 5．（2024高一上·江苏无锡·阶段练习）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里．    【答案】 【分析】利用四点共圆及正余弦定理计算即可. 【详解】由于四点共圆， 所以， 由正弦定理可知， 在中，， 解之得， 显然不合题意. 故答案为：. 6．（2024高三上·北京·期中）如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为 km. 【答案】 【分析】由已知数据，在中用正弦定理求出，中用余弦定理求出即可. 【详解】， ， ，，， 中，由正弦定理，有，则， 中，由余弦定理， 有， 得，即，两点间的距离为. 故答案为：. （二） 高度问题 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题. 题型2：高度问题 7．（2024高二上·江西九江·开学考试）灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（    ） A．45米 B．50米 C．55米 D．60米 【答案】B 【分析】设，进而可得，由余弦定理得：，可求． 【详解】设米，在中，，则， 在中，，则， 因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得(米). 故选：B 8．（2024高一下·浙江嘉兴·期中）如图所示，某数学兴趣小组为了测量嘉兴某地“智标塔”高度，在地面上点处测得塔顶点的仰角为，塔底点的仰角为. 已知山岭高为米，则塔高为（    ）    A．米 B．米 C． 米 D． 米 【答案】B 【分析】中求出，再在中求得，从而可得． 【详解】在中，， 在中，， 所以． 故选：B． 9．（2024·山西·模拟预测）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（       ）    A．74m B．60m C．52m D．91m 【答案】A 【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度. 【详解】在中，， ，， 在中，， 由，， 在中，. 故选：A 10．（2024高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）高邮镇国寺是国家级旅游景区地处高邮市京杭大运河中间，东临高邮市区，西近高邮湖实属龙地也，今有“运河佛城”之称某同学想知道镇国寺塔的高度,他在塔的正北方向找到一座建筑物,高约为，在地面上点C处（B，C，N三点共线） 测得建筑物顶部A镇国寺塔顶部M的仰角分别为和在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，镇国寺塔的高度约为 （   ）（参考数据： ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合已知条件先用正弦定理求得，再在中，运用正弦定理可以得到，最后再一次运用正弦定理可得，由两角和的正弦公式结合即可求解. 【详解】如图所示： 由题意，，， 因为在中，有，，， 所以， 在中，运用正弦定理有， 即，化简得， 又因为在中，有，，， 所以有， 因为， 所以， 由题意， 所以， 综上所述：镇国寺塔的高度约为. 故选：C. 11．（2024高三上·全国·专题练习）消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂（20米30米）是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内上下转动张角，转动点距离地面的高度为4米．当起重臂的长度为24米，张角时，云梯消防车最高点距离地面的高度的长为 米． 【答案】 【分析】通过解直角三角形来求得. 【详解】如图，过点作，由题意的：，， ， ， 在中， ， ， 米． 故答案为： 12．（2024高三上·河北邢台·阶段练习）邯郸丛台又名武灵丛台，相传始建于战国赵武灵王时期，是赵王检阅军队与观赏歌舞之地，是古城邯郸的象征.如图，某学习小组为了测量邯郸丛台的高度AB，选取了与台底在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得，，米，在点D处测得丛台台顶的仰角为，则丛台的高度为 米（结果精确到0.1米，取，）.    【答案】26.4 【分析】应用正弦定理得出BD,最后由正切计算即可. 【详解】在中，，， 则米.在中，， 则米. 故答案为：26.4. （三） 角度问题 根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解. 题型3：角度问题 13．（2024高一下·广东惠州·阶段练习）如图，在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为20海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间． 【答案】缉私艇沿北偏东行驶才能最快追上走私船，所需时间小时 【分析】设缉私艇在点D处追上走私船，所需t小时，在中，利用余弦定理求得，再利用正弦定理求得，从而可得，在中，由正弦定理即可得出答案. 【详解】解：设缉私艇在点D处追上走私船，所需t小时， 则海里，海里， 因为， 在中，由余弦定理得， 即， 所以， 由正弦定理得， 所以， 所以BC为东西方向，所以， 在中，由正弦定理得， 所以，所以， 所以，即，即（小时）， 所以缉私艇沿北偏东行驶才能最快追上走私船，所需时间小时. 14．（2024高一下·河北保定·期末）一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知的值，利用正弦定理即可求解. 【详解】解：由题意可知，，海里， 由正弦定理可得=，代入数据得. 故选：A. 15．（2024高一下·湖北武汉·阶段练习）已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（    ） A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向 【答案】C 【分析】结合题意画出相应图形，即可得答案. 【详解】由题，1小时后，甲船来到C处，则，则.又由题可知，此时，乙船来到D处，，结合BD是北偏东60°方向，则.又，则，即此时乙在甲的北偏东30°方向，甲在乙的南偏西30°方向. 故选：C    16．（2024高一下·重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案. 【详解】如图，在中，，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以解得， 由正弦定理得，故或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向. 故选：C 17．（2024高一·全国·随堂练习）如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.      (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 【答案】(1)航行速度为 (2)航行方向为北偏东30°，航行速度为30,理由见解析 【分析】（1）利用余弦定理和二次函数的最值求解； （2）要用时最小，则首先速度最高，然后是距离最短，则由(1)利用余弦定理得到方程解得对应的时间，再解得相应角，即可求解. 【详解】（1）   如图设小艇的速度为，时间为相遇， 则由余弦定理得:, 叩:, 当时，取得最小值，此时速度， 此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为. （2）要用时最小，则首先速度最高，即为:30 ， 则由(1)可得: , 即:,解得:， 此时, 此时，在中，， 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30°，航行速度为30，小艇能以最短时间与轮船相遇. 18．（2024高一下·河南周口·期中）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇. 【答案】(1)海里/时 (2)航行方向为北偏东，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇 【分析】（1）根据小艇与轮船的方位关系，应用余弦定理确定小艇航行的距离与航行的时间的函数关系，进而求小艇的航行距离最小时小艇航行速度； （2）由余弦定理得，结合题设列不等式求小艇最快方式与轮船相遇时所用的时间，进而设计航行方案. 【详解】（1）设相遇时小艇航行的距离为海里，则 ， 当时，（海里），此时（海里/时）. ∴小艇以海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. （2）设小艇与轮船在处相遇，则， 故，又， ∴，即，解得. 又时，海里/时，即海里/时时，取得最小值为. 此时，在△中，有海里， 故可设计航行方案：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇. 19．（2024高一下·浙江·期中）如图，A，B是某海城位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时. (1)求B，C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01） 【答案】(1)60海里 (2)方向是南偏东，需要的时间为小时. 【分析】（1）求得度数，根据正弦定理即可求得答案； （2）确定的度数，由余弦定理即可求得的长，即可求得救援时间，利用余弦定理求出的值，即可求得应该沿南偏东多少度的方向航行. 【详解】（1）依题意得，， 所以， 在中，由正弦定理得, , 故（海里）， 所以求两点间的距离为60海里. （2）依题意得， 在中，由余弦定理得， 所以（海里）， 所以救搜船到达C处需要的时间为小时， 在中，由余弦定理得 , 因为， 所以， 所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒ （四） 其他应用 正余弦定理应用广泛。判断三角形形状时，能借边角关系定类型；解多边形问题，可分割成三角形求解；处理三角形中最值范围问题，通过定理结合三角函数性质，挖掘条件找临界，就能巧妙化解难题， 题型4：判断三角形形状 20．（山东省临沂市蒙阴县第一中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题）已知的内角，，所对的边分别为，，，下列说法中不正确的是（ ） A．若，则一定是等腰三角形 B．若，则一定是等边三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是钝角三角形 【答案】A 【分析】对于A：利用正弦定理得到或，即可判断；对于B：由余弦函数的有界性求出，即可判断；对于C：由余弦定理求出，即可判断；对于D：利用三角公式判断出或，即可得到答案. 【详解】 对于A：因为，由正弦定理得：， 所以. 因为，为的内角，所以或， 所以或. 所以是等腰三角形或直角三角形.故A错误； 对于B：由余弦函数的有界性可知：若. 因为，所以或. 当时，有且，所以,所以是等边三角形. 当时，有且，不符合题意. 所以一定是等边三角形.故B正确； 对于C：因为，由余弦定理得：， 所以，所以 则一定是等腰三角形.故C正确； 对于D：在中，，所以, . 所以, 所以，即,所以或. 所以一定是钝角三角形. 故选：A 21．（2024高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利二倍角公式展开，再由正余弦定理角化边，然后因式分解可得. 【详解】因为， 所以， 由正余弦定理可得， 整理得， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 22．（2024高一下·天津·期末）已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状. 【详解】由， 得， 整理得， 则， 因为，所以， 又由及正弦定理得： ，化简得， 所以为等边三角形， 故选：C. 23．（2024高一下·吉林白城·阶段练习）已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状. 【详解】由，得， 整理得，则， 因为，所以， 又由及正弦定理，得，化简得， 所以为等边三角形， 故选：B 题型5：解多边形问题 24．（2024高三上·广东珠海·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)已知，D为边上的一点，若，，求的长． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据正弦定理边角化结合三角恒等变换即可求解， （2）根据余弦定理求解，即可由正弦定理求解，进而由锐角三角函数即可求解. 【详解】（1）∵，根据正弦定理得，， 即， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以． （2）因为，，，根据余弦定理得 ，∴． ∵，∴． 在中，由正弦定理知，，∴， ∴，，所以 ∴，∴． 25．（2024高一下·广东湛江·期中）在中，是上的点，平分，. (1)求的值； (2)若，，求的长. 【答案】(1)； (2) 【分析】 （1）由题意结合正弦定理即可求得最终结果； （2）结合（1）的结论和同角三角函数基本关系整理计算即可求得的大小，在中，由正弦定理求的长． 【详解】（1） 在中，是上的点，平分，， 由内角平分线定理可得：，由正弦定理有：． （2） 由结合（1）的结论有： ，则：， 整理可得：，由，得， 在中，，则， 由正弦定理可得，，即，得． 26．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在△ABC中，已知，，，BC边上的中线AM与的角平分线相交于点P． (1)的余弦值． (2)求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理可求出边BC的长度，然后判断出三角形ABC为等腰三角形，进而可得中线AM的长度，再由余弦定理可求出余弦值，进而根据两角和的余弦公式即可求解. （2）由三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理可知：,即 故 , ,是等腰三角形，故 在中，由余弦定理可知： 即, 在中，由正弦定理可知： 因为为锐角，所以 （2）由（1）知： 是的重心，所以 ,故 所以四边形的面积为 27．（2024高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.      (1)求的度数； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和的关系求解即可； （2）先利用两角和的正弦公式求出，再根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由已知得， ，， 所以 是等腰三角形，， 所以， 所以. （2）由（1）知中，，， 又， 所以. 题型6：三角形中最值范围问题 28．（2024高一上·河北保定·期中）已知锐角内角及对边，满足. (1)求的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合，可得的值． （2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由已知求出的取值范围，再利用正弦函数的性质即可求解其范围． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 所以，， 可得，由，可得. （2）因为，由正弦定理， 可得， 可得 ， 因为锐角三角形中，所以，解得，所以， 所以，可得. 周长的取值范围为. 29．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由商数关系结合两角和得正弦公式化简即可得解； （2）先利用正弦定理求出，再利用三角函数即可得解. 【详解】（1）由， 得， 即， 又，则，所以， 又，所以； （2）由正弦定理得， 所以， 所以， 由为锐角三角形， 得，所以， 所以， 所以. 30．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由余弦定理可得出，求出角的取值范围，利用正弦定理结合两角和的正弦公式求出的取值范围，再利用双勾函数的基本性质以及反比例函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即，即， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）由（1）得， 所以，， 因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，，则， 则， 因为双勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 当或时，， 所以，函数在上的值域为， 因为，则， 故. 因此，的取值范围为. 31．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，结合三角恒等计算； （2）运用正弦定理，结合三角函数计算值域即可. 【详解】（1）由正弦定理得：， 即， ， ， ，又； （2）由正弦定理得：, , ， 在锐角中：，解得：， ， ,， 则. 32．（24-25高二上·贵州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先应用正弦定理再应用两角和的正弦公式计算化简得出角； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的值域求解. 【详解】（1）由题及正弦定理可知：， ， 又，， ，， ，. （2）由（1）及余弦定理得：，即，① 又因为，则， 所以，② 由得：， 所以． （3）由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以． 因为为锐角三角形，所以，， 即，，则，即， 则，故的周长的取值范围为． 题型7：正余弦定理的实际应用 33．（2024高三上·湖北武汉·期中）某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设. (1)求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）； (2)求修建道路的总费用的最小值. 【答案】(1) (2)80万元 【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得，，进而可得解析式； （2）利用三角恒等变换整理可得，换元令，结合函数单调性求最值. 【详解】（1）在中，因为，可得， 在中，可知， 由正弦定理，可得， 所以. （2）由（1）可知： ， 因为，则， 令，则， 且在上单调递增，可知在上单调递增， 所以在上单调递减， 当，即时，修建道路的总费用取到最小值万元. 34．（2024高一下·云南曲靖·期中）夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站位于点处（离地面高度忽略不计），观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友，正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距离为，假设三点在同一水平面上． (1)求此时钓友与小孩之间的距离． (2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因． 【答案】(1)距离为100或200米； (2)钓友这次救援有成功的可能，救援成功的最短时间为. 【分析】（1）作出图形，利用余弦定理即可得到答案； （2）根据（1）中的结论得，求出，设，根据余弦定理得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意得，，， 在三角形中，根据余弦定理有， 即，解得或100，    故钓友与小孩之间的距离为100或200米. （2）因为钓友到点处比到点处的距离更近，则，      设钓友在最短时间内救援到地点为点，， 则， 所以， 整理得，解得（负根舍去）， 因为，所以钓友这次救援有成功的可能， 且成功的最短时间为. 35．（2024高一下·重庆沙坪坝·期末）重庆市某区政府计划在一处栀子花种植地修建花海公园.如图，公园用栅栏围成等腰梯形形状，其中，长为米；在上选择一点作为公园入口，从公园入口出发修建两条观光步道、，其中步道终点、两点在边界、上，且.    (1)观光步道的总长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (2)金沙天街的“奇遇集市”凭借其地理优势及花样百出的“小摊摊”，吸引了众多周围的游客、学生以及上班族；该区政府决定效仿金沙天街的做法，在花海公园原有规划基础上增添一条商业步道用于建设“偶遇集市”，若建设观光步道平均每米需花费元，建设商业步道平均每米需花费元，试求建设步道总花费的最小值.（参考数据：） 【答案】(1)是，且定值为米 (2)元 【分析】（1）求出，结合正弦定理可求得的长； （2）利用余弦定理结合（1）中的结论求出的最小值，再结合题意可求得建设步道总花费的最小值. 【详解】（1）解：因为四边形为等腰梯形，则， 在中，，，则， 由正弦定理可得，则， 同理可得， 因此， （米）. （2）解：在中，， 由余弦定理可得 ， 所以，， 当且仅当米，即当为的中点时，等号成立， 因此，建设步道总花费的最小值为（元）. 36．（2024高一下·广东茂名·期中）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台，另一部分是三角形观赏台现计划在弧上选取一点，作平行交于点，以为边在水池中修建一个矩形观赏台，长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台，记. (1)当时，过点作的垂线，交于点， 过点作OA的垂线，交于点， 求， 及矩形观赏台的面积； (2)求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值. 【答案】(1)，，平方米 (2)212.5平方米 【分析】（1）根据题意画出图形，在由已知条件结合图形即可求出， 及矩形观赏台的面积； （2）由题意可知，，利用正弦定理表示出各边，把观赏台面积表示为的函数，，利用三角函数求最值. 【详解】（1）由题意如图所示： 则由题意知， 当时， 则. . ∵，， ∴. 因为. 矩形的面积平方米. 所以矩形观赏台的面积平方米. （2）由题意可知，，，，， 在中，由， 得. 矩形MNPQ的面积：. 观赏台的面积：. 整个观赏台面积. 设，， ∴. . ∴. ∴   当时，整个观赏台观赏台S取得最大值为212.5平方 ∴整个观赏台的面积S的最大值为212.5平方米. 一、单选题 1．（2024高二上·陕西铜川·期末）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知, 由余弦定理可得， 故选：D 2．（2024高一下·江苏南京·阶段练习）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度，且能直接观测到，设点的维度（与赤道平面所成角的度数）的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造直角三角形的方法求得. 【详解】设表示卫星，过作截面，截地球得大圆， 过作圆的切线，，线段交圆于，如图， 则，，，， 则. 故选：B 3．（2024高一下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理得出隧道长度. 【详解】由余弦定理可得： ． 故选：C 4．（2024高三上·山东聊城·阶段练习）泰姬陵于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在A处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到各角度及，在中利用正弦定理得到，进而得到. 【详解】由题设且， 过点作平行于，则，，      故， 所以，， 在中，由勾股定理可得， 在中，由正弦定理得，，即， 所以，故. 故选：A 5．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，即可根据等腰三角形求解. 【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，， 因为，所以， 在中，由得， 故选：C 6．（2024·贵州六盘水·模拟预测）盘兴铁路全长98.309公里，是贵州省“市市通高铁”的最后一个项目，盘兴铁路全线桥隧长为89.13公里，是目前贵州高铁中桥隧比最高的线路.如图所示，施工队为了估计盘兴铁路某隧道DE的长度，在山顶P点处测得三点A，B，C的俯角依次为，，，其中A，B，C，D，E为山脚两侧共线的五点.现预沿直线AC挖掘一条隧道，测得米，米，米，估计隧道DE的长度为（    ） A．米 B．300米 C．350米 D．400米 【答案】C 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，，结合长度关系可得，进而可得结果. 【详解】如图，过点作，垂足为， 由题意可知：， 则均为等腰直角三角形，可得， 且，可得， 因为，则，解得， 所以， 即隧道DE的长度为350米. 故选：C. 7．（2024高三上·山东烟台·期中）某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼M₁顶部N之间的距离，已知旗杆AM高15m，教学楼BN高21m，在与A,B同一水平面C处测得的旗杆顶部M的仰角为，教学楼顶部N的仰角为，，则M,N之间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，利用余弦定理求出旗杆与教学楼的距离，即可得出M,N之间的距离. 【详解】由题意， 过点作于点，    则， 在中， ∴， 在中， ∴， 在中，，由余弦定理得， ， ∴, 在Rt中，，由勾股定理得， , 故选：D. 8．（2024高一下·广东深圳·期中）海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】根据给定信息作出图形，在中用正弦定理求AD，用余弦定理计算作答. 【详解】如图所示，，，    在中，，由正弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 灯塔与处之间的距离为海里. 故选：C 9．（江苏省南京师范大学附属实验学校2023-2024学年高一下学期期中数学试题）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100，则该球体建筑物的高度约为（    ）（cos10°≈0.985）    A．45.25 B．50.76 C．56.74 D．58.60 【答案】B 【分析】数形结合，根据三角函数解三角形求解即可； 【详解】      设球的半径为R， ，， 故选:B. 二、多选题 10．（2025届江西省“三新”协同教研共同体高三联考模拟预测数学试题）设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，由正弦定理可得，从而得或，即可判断；对于B，由正弦定理可知，即有，即可判断；对于C，由三角形内角和为及诱导公式可得，即可判断；对于D，由正弦定理及两角和差公式可得，从而得，即可判断. 【详解】解：对于A，由正弦定理可知，即， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不符合题意； 对于B，由正弦定理可知， 又因为，所以， 所以， 所以是等腰三角形，符合题意； 对于C，因为，解得， 所以，是直角三角形，不符合题意； 对于D，由正弦定理可知， 所以， 即， ， 即， 所以，是等腰三角形，符合题意. 故选：BD. 11．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（    ） A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是 C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西 【答案】AC 【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可. 【详解】在中，由已知得，， 则，由正弦定理得， 所以A处与D处之间的距离为，故A正确； 在中，由余弦定理得， 又，解得．所以灯塔C与D处之间的距离为，故B错误； ，，灯塔C在D处的西偏南，故C正确； 灯塔B在D的南偏东，D在灯塔B的北偏西，故D错误； 故选：AC 12．（2024高一下·江西·期末）一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 【答案】BC 【分析】根据题意利用正弦定理运算求解. 【详解】如图所示，由题意得，，， 则，解得， 且，所以或， 如图所示：则有： 当货轮在处时，，所以； 当货轮在处时，，所以； 综上所述：灯塔S在处的北偏东或南偏东方向. 故选：BC.    13．（2024高一下·山东潍坊·期末）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图 1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形DEF拼成的一个大等边三角形ABC，则（    ）      A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B．若，则 C．若，则 D．若，则三角形的面积是三角形面积的19倍 【答案】BCD 【分析】根据三个全等的钝角三角形及一个小等边三角形DEF，应用正弦定理及余弦定理分别判断各个选项即可. 【详解】选项A，若三个全等的钝角三角形是等腰三角形，则， 从而三点重合，不合题意，故A错误； 在中,不妨设， 由余弦定理， 解得，,故B正确； 在中，，而， 所以， ， 由正弦定理得，解得， 又因为，所以，故C正确； 若,设 在中, ， ， 所以,故D正确. 故选:BCD. 三、填空题 14．（黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学（理科）试题）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达B处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度 . 【答案】 【分析】由图，设此山高为，后利用几何知识结合正弦定理可得答案. 【详解】设此山高为，则， 在中，. 则. 在中，利用正弦定理则有.解得： 故答案为： 15．（24-25高二上·重庆·阶段练习）台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市（如图）的东偏南方向350km的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km，并以的速度不断增大， 小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．    【答案】8 【分析】设在小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点，利用两家和差公式求得，在结合余弦定理运算求解即可. 【详解】设在小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点，    则，且， 因为，则， 可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得或， 故8小时后该海滨城市开始受到台风侵袭． 故答案为：8. 16．（24-25高三上·江西·阶段练习）如图，在中，，，、是边上的两点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】设，用余弦定理求出，分析可知，，可得出，利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，，则， 不妨设，则， 因为，则， 所以，，同理可得， 因为，则， 故， 由二倍角的余弦公式可得，可得， 所以，. 故答案为：. 17．（2024高一下·重庆荣昌·阶段练习）为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km处不能收到手机信号，检查员抽查某区一考点，在考点正西km有一条北偏东方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，如果以每小时12km的速度沿公路行驶，则最长需要 分钟检查员开始收不到信号. 【答案】5 【分析】根据题意作出示意图，得到，利用正弦定理求得，进而求得，从而求得检查员行驶所需时间，由此得解. 【详解】依题意，设为考点，为公路， 设检查员行驶到公路上点之间时收不到信号， 即公路上两点到考点的距离为1千米， 在中，千米，千米，， 由正弦定理，得， （不合题意）， ，， ，最长经过5分钟检查员开始收不到信号. 故答案为：. 18．（2024高三上·上海徐汇·期中）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD；已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟；若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长为 （精确到1米）    【答案】445米 【分析】假设该扇形的半径为米，在中，利用余弦定理求解； 【详解】设该扇形的半径为米，连接. 由题意， 得(米)，（米）， 在中， 即， 解得（米).    19．（2024高三上·福建厦门·期中）我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的正弦值是 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理、同角三角函数的基本关系式求得，再利用二倍角公式求得正确答案. 【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，，因为为的中点， 所以，，当伞完全收拢时，， 所以，， 在中，， 则为锐角，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题 20．（重庆市万州纯阳中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学（A卷）试题）要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10000米，速度为900km/h，航测员先测得对山顶的俯角为，经过飞过M点后又测得对山顶的俯角为，    (1)求BM的长度；（结果带根号） (2)求山顶的海拔高度．（精确到m） （可能要用到的数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理和三角形内角和定理、结合两角和的正弦公式进行求解即可； （2）在三角形中，作边上的高，通过锐角三角函数定义进行求解即可. 【详解】（1）因为飞机的速度为900km/h，经过飞过M点， 所以， 在三角形中， ， 由正弦定理可知：； （2）如下图所示：    过 作，垂足为， 因为，所以， 因此山顶的海拔高度为. 21．（2024高一下·广东东莞·期中）“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”.春天来了，在研学的基地里，小明观察一棵桃树.如图所示，他在点处发现桃树顶端点的仰角大小为，往正前方走后，在点处发现桃树顶端点的仰角大小为.    (1)求的长； (2)若小明身高为，求这棵桃树顶端点离地面的高度（精确到，其中）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求解即可； （2）利用正弦定理和两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）在中，，， 则，. 由正弦定理得,即， 解得.即的长为.    （2）在中，， 所以. 因为，           则. 所以. 即这棵桃树顶端点离地面的高度为. 22．（2024高一·全国·课后作业）如图，一船由西向东航行，测得某岛的方位角为，前进5km后测得此岛的方位角为．已知该岛周围3km内有暗礁，如果继续东行，有无触礁危险？（） 【答案】无触礁危险 【分析】解直角三角形，求出MC的长度，即可得出答案. 【详解】由题意得在中，， 在中，， 因为，所以， 即， 故该船继续东行，无触礁危险. 23．（2024高二·全国·假期作业）如图，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东40°的方向驶离码头，下午3：00到达地．下午1：00乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头，下午3：00到达地．若在的正南方向，则乙船的航行速度是多少？（精确到1km/h）    【答案】 【分析】画出平面图形，求出角度，再利用正弦定理即可解决． 【详解】由题可知，，，， 设乙船速度为，则. 于是在中，由正弦定理可得：， 即，解得， 所以，乙船的航行速度大约是.    24．（2024高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【答案】(1)1小时 (2)3小时 【分析】（1）根据含直角三角形的性质即可得到路程，再除以速度即可； （2）设t小时后恰与货船在C处相遇，在中利用余弦定理即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意知，在中，，，，则 于是，而加油船的速度为60海里/小时， 所以加油船从港口A到小岛B的航行时间为1小时； （2）由（1）知，加油船从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合， 为使航行的时间最少，加油船从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与货船在C处相遇， 在中，，，， 所以，而在中，，，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得或，故． 即加油船驶离港口A后，最少经过3小时能和货船相遇． 25．（2024高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时. (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】(1) (2)2小时 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【详解】（1）由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. （2）在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． 26．（24-25高一上·河北·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 【答案】(1) (2)为等边三角形，证明见解析 【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：利用正弦定理得出，推导出，求出的值，结合角的值，可得出结论； 解法二：利用正弦定理和余弦定理可得出，化简该等式，结合角的值，可得出结论. 【详解】（1）由，可得， 因为，所以. （2）解法一：为等边三角形，证明如下： 由三角形内角和定理得，， 故，由已知条件，可得， 整理得，所以， 因为、，则，所以， 又由（1）知，所以为等边三角形； 解法二：为等边三角形，证明如下： 因为，由正弦定理和余弦定理，得， 整理得，即. 又由（1）知，所以为等边三角形. 27．（2024高一下·四川成都·期末）高新体育中心体育馆（图1）是成都大运会乒乓球项目比赛场馆，该体育馆屋顶近似为正六边形，屋底近似为正六边形．    (1)如图2，已知该体育馆屋顶上有三点用电缆围成了三角形形状，测得，米，求该电缆的长度； (2)如图3，若在建造该体育馆时在馆底处的垂直方向上分别有号塔吊，若1号塔吊（点处）驾驶员观察2号塔吊（点处）驾驶员的仰角为号塔吊驾驶员观察3号塔吊（点处）驾驶员的仰角为，且1号塔吊高米，2号塔吊比1号塔吊高米，则3号塔吊高多少米?（塔吊高度以驾驶员所在高度为准）． 【答案】(1)米. (2)米. 【分析】（1）根据正弦定理求出三角形边长，可得三角形周长； （2）在直角梯形中，过作，垂足为，求出米，在直角梯形中，过作，垂足为，求出米，再由可得结果. 【详解】（1）因为，，所以， . 由正弦定理得，得米， ，米， 所以该电缆的长度为米. （2）在直角梯形中，过作，垂足为， 则米，，米， 所以米，所以米，    所以正六边形的边长为米， 在直角梯形中，过作，垂足为， 则米，，所以米， 所以3号塔吊高为米.    学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$