6.2.3 向量的数乘运算(10分钟课前预习)-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

【牛刀小试】 1.(1)/(2)× (3)× (4)X 2.C3.B4.B5.A 6.ACAC BC(或AD) 解析利用三角形法则和平行四边形法则求解. 6.2.2向量的减法运算 【自主学习】 一、相等相反 ①0 ②-b0 二、相反向量BA 终点终点 三、1.1la-|b1|1la|+|b1|2.a-1bl|al-li 3.a+b 【牛刀小试】 1.(1)/(2)×(3)/(4)/ 2.C3.D4.A 5.b-c EF=OA=CB=OB-OC=b-c. 6.(1)AD(2)AF(3)0(4)A1A (1)AB+BC+CD-AC+CD-AD: (2)AB+BC+CD+DE+EF-AC+CD+DE+EF- AD+D龙+E市=A龙+E京=A市； (3)AB-CB-AC-AB+BC-AC=AC-AC-0; (4)A1A,+AA,十…十A-1A=AA,+…+A-1A=… AA1+AA=AA 6.2.3向量的数乘运算 【自主学习】 一、1.向量a (1)λ|a(2)相同 相反0 2.(1)(u)a(2)a+2a(3)a+λb 3.线性运算a士b 二、1.b=a 【牛刀小试】 1.(1)/(2)× (3)/(4)/ 2.C3.C4.D5.AB 6解(1a=3e,6=-号e,所以a=-2b,所以a,b共线. ·87· (2)a=-2e1-2e2,b=e1十e2,所以b=-2a,所以a,b 6.3平面向量基本定理及坐标表示 共线 (3)因为a= 号e,b=3a-哥e,所以=2-e=-e, 6.3.1平面向量基本定理 【自主学习】 所以a=一 3b.所以a,b共线. 不共线向量 a=λ1e1十入2e2 6.2.4向量的数量积 【牛刀小试】 【自主学习】 1.(1)×(2)/ (3)/(4)/ 一、①同向②垂直③反向 2.A3.C4.C 二、非零数量积内积0 3x-4y=6, x=6, 5.3e1,e2不共线， 解得 x 三、ae0-ae 2x-3y=3, y=3. 四、(1)lalcos0(2)a·b=0(3)|al bl-|allbl|a2 y=3. 五、(1)a·b=b·a(2)(a)·b=λ(a·b)=a·(b) 6.解法一：设AC,BD交于点O(图略)，则有Aò=O元 (3)(a十b)·c=a·c+b·c 2A-合a,B0=0i=2励=}6.所以A店-A0+ 【牛刀小试】 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/ oi=A0-B0-7a-2b,BC=B0+0心=2a+2b, 2.D3.A4.A5.D6.C 法二：设AB=x,BC=y,则AD=BC=y, ·88·6.2.3向量的数乘运算 ⊙自主学习 一、向量的数乘运算 1.向量的数乘运算的概念 一般地，规定实数入与向量a的积是一个 ,这 种运算叫做向量的数乘，记作 ,它的长度与方向规 定如下： (1)|λa|= (2)当入>0时，λa的方向与a的方向 ;当λ< 0时，a的方向与a的方向 ；当入=0时，λa= 注意：入是实数，a是向量，它们的积a仍然是向量.实 数与向量可以相乘，但是不能相加减，如入十a,入一a均没有 意义. 2.向量数乘的运算律 设入，4为实数，那么： (1)λ(a)=.(2)(a+)a=.(3)x(a+ b)= 3.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的 .对于 任意向量a,b,以及任意实数入，h12,恒有入(a士b)= 二、共线向量定理 1.向量a(a≠0)与b共线的充要条件：存在唯一一个实数 入，使 注意：(1)定理中，向量a为非零向量； (2)要证明向量a,b共线，只需证明存在实数入，使得 b=Aa即可； (3)由定理知，若向量AB=入AC,则AB,AC共线.又 AB,AC有公共点A,从而A,B,C三点共线，这是证明三点 共线的重要方法. 2.三点共线的性质定理 若平面内三点A,B,C共线，O为不同于A,B,C的任意 一点，设O元=入OA+uOB,则存在实数入4使得十u=1. ⊙牛刀小试 1.辨析（对的打“/”，错的打“×”） (1)实数入与向量a的积还是向量.() (2)若ma=mb,则a=b.() (3)(m-n)a=ma-a.( (4)若向量a和b不共线，且a=b,则必有λ==0. 2.已知入，4∈R,则下列判断正确的是( A.a与a同向 B.0·a=0 C.A(a-b)=Aa-Ab D.若b=a,则|b1=入a 3.在口ABCD中，AB=2a,AD=3b,则AC等于() A.a+b B.a-b C.2a+3b D.2a-3b 4.化简6(a-b+c)一4(a一2b+c)一2(-2a+c)为() A.6a+2b+8c B.6a-14b C.-2a-14b D.6a-+2b 5.(多选)如图，设P,Q两点把线段AB三等分，则下列向 量表达式正确的是( A P Q B A.A护=号A店 BAà=号A店 c.前-号a D.AQ=BP 6.判断下列各小题中的向量a,b是否共线： (1)a=3e,b=- 2e (2)a=一2e1一2e2,b=e1十e2(其中两个非零向量e1和e2 不共线)； (3a=号e,b=3a- 8·