第10章 概率学业质量评估卷-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

标准轮胎宽度为 0.7>0.5,所以中位数位于(95,105)， 195,194,193,194,195,193,其平均数 质量指标值的样本中位数为95十08 0.38 为号(195+194+193+194+195+ 10≈99.7， 193)=194, 质量指标值的样本平均数为 其方差为后1+0+1+0+1+1)= x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+ 39 110×0.22+120×0.08=100: 乙厂提供的10个轮胎中所有标准轮胎 (3)质量指标值不低于95的产品所占 宽度为 比例的估计值为0.38十0.22十0.08= 195,193,195,194,195,195,193,其平 0.68<0.8, 均数为号(195+193+195+194十 所以不能认为该企业生产的这种产品 2 195+195+193)=1947, 符合“质量指标值不低于95的产品至 少要占全部产品80%”的规定. 共方差为（++++ 5 19.解：(1)由题意得，就餐高峰期时选择选餐 50 25 的总人数为200×50+30+20-100人； 从平均数上来看：乙厂提供的10个轮 这100人平均分布在12个选餐窗口， 胎中所有标准轮胎宽度高于甲厂提供 平均每个富口等特就餐的人数为9、 的10个轮胎中所有标准轮胎宽度，但 9人， 乙厂提供的10个轮胎中所有标准轮胎 所以选择选餐同学的最长等待时间为 宽度方差较大，不够稳定」 2×9=18分钟， 18.解：(1)频率分布直方图如下图所示： 由可接受等待时长的频率分布直方图 ↑频率组距 可知，分组为[5,10)，[10,15)，[15， 0.040 0.038 0.036 20),[20,25)的频率分别为0.15， 0.034 0.032 0.030 0.028 0.45,0.35,0.05, 0.026 0.024 所以可接受等待时长在15分钟以上的 0.018 0.016 同学占0.05十0.35=40%<80%， 0.014 0.012 0.010 故设置12个选餐窗口，4个套餐窗口， 0.008 0.006 0.004 4个面食窗口，不能让80%的同学感到 0.002 0 75 85 95 105 115 125质量指标 满意； (2)前2个矩形面积之和为0.06十 (2)假设设置m个选餐窗口，n个套餐 0.26=0.32<0.5, 窗口，k个面食窗口，则各队伍的同学 前3个矩形面积之和为0.32十0.38= 最长等待时间如下： 207 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计 类别 选餐 套餐 面食 200 高峰期就 0.2, 100 60 40 为1000 餐总人数 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计 各队伍 100 60 40 长度（人） m n 为100+200+300=0.6， 1000 最长等待 2X10 m /0.5×60 1X40 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计 时间（分钟） 100 为1000=0.1. 依题意，从等待时长和公平的角度上考 虑，则要求每个队伍的最长等待时间大 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同 时购买丙的可能性最大 致相同， 16.解：(1)因为第三、四、五组的频率之和 即得2×10=0.5×0=1×架，即有 m 71 为0.7， m:n:k=20:3:4, 所以(0.045+0.020十a)×10=0.7,解 而m+n十k=20,故m~≈15，n≈2，k≈3， 得a=0.005, 因此建议设置选餐、套餐、面食三个类 所以前两组的频率之和为1一0.7= 别的窗口数分别为15,2,3个. 0.3,即(a十b)×10=0.3, 第十章学业质量评估卷 所以b=0.025; 前两个分组频率之和为0.3，前三个分 1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C 组频率之和为0.75， 8.D 9.BCD 10.BCD 11.ACD 所以中位数在第三组，且为65十 12.号13器140器 29 0.5-0.3×10≈69.4； 0.45 15.解：（1)从统计表中可以看出，在这 (2)第四、第五两组志愿者分别有20 1000位顾客中有200位顾客同时购买 人，5人， 了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者 概率可以估计为1000 200 0.2. 人数为4，分别设为a,b,c,d,第五组志 (2)从统计表中可以看出，在这1000 愿者人数为1，设为e, 位顾客中有100位顾客同时购买了甲、 这5人中选出2人，所有情况有(a,b), 丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、 (a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d), 乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品， (b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共有10种 情况， 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3 其中选出的两人来自同一组的有 种商品的概率可以估计为100+200 1000 (a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d), 0.3. (c,d),共6种情况， (3)与(1)同理，可得： 故选出的两人来自同一组的概率为 208 17.解：(1)“是奇数”与“是偶数”的概率均 为品=0.5；“是4的整数倍”的概率为 名=0,2，“不是4的整教倍”的概率为 品。=0.8；“是大于4的数”的概率为 100.6,“不是大于4的教”的概率为 6 品-0,4为了尽可能茨胜，可以选择方 案B,猜“不是4的整数倍”. (2)由(1)知，为了保证游戏的公平性， 应当选择方案A,因为方案A中猜“是 奇数”或“是偶数”，猜中的概率均为 0.5. (3)可以设计方案：猜“是大于5的数” 或“不是大于5的数”，该方案两种猜法 猜中的概率均为0.5，所以可以保证游 戏的公平性. 18.解：(1)该同学这次水平测试中物理、化 学、生物成绩的所有可能结果有8种， 分别为(W1,W2,W3),(W1,W2,W3), (W1,W2,W3),(W1,W2,W3), (W,W2,W3),(W,W2,W3), (W1,W2,W3),(W1,W2,W3) (2)由(1)可知，有两个A的情况为 (W1,W2,W3),(W1,W2,W3),(W1, W,网，)，共3种，故其概率为P=日 (3)方案一：该同学参加这次水平测试 中物理、化学、生物成绩不全为A的概 率大于85%，理由如下：该同学参加这 次水平测试中物理、化学、生物成绩不 全为A的事件有(W1,W2,W3),(W1, W2,W3),(W1,W2,W3),(W1,W2, 考察角度二： W3),(W1,W2,W3),(W1,W2,W3), 投资A项目利润率的方差为(10% (而1，W2,而3)，共7种情况，概率P 6.5%)2×50%+(5%-6.5%)2× 40%+(-5%-6.5%)2×10%= 号-0.875>85%. 2.025×10-3, 方案二：该同学参加这次水平测试中物 投资B项目利润率的方差为(10% 理、化学、生物成绩至少一个为A的概 6.5%)2×40%+(5%-6.5%)2× 率大于85%，理由如下：该同学参加这 55%+(-5%-6.5%)2×5%= 1.275×10-3, 次水平测试中物理、化学、生物成绩至 所以投资A项目利润率的方差大于投 少一个为A的事件有(W1,W2,W3), 资B项目利润率的方差， (W1,W2,W3),(W1,W2,W3),(W1, 即投资B项目的利润比较稳定，为此 W2,W3),(W1,W2,W3),(W1,W2, 建议投资B项目】 而3)，(W1,W2,W3),共7种情况，概率 模块综合质量评估卷 P=日=0.875>85%. 1.B2.A3.A4.A5.B6.D7.D 19.解：(1)投资项目A的平均利润率为 8.A 9.BCD 10.ABC 11.BC 12.3 10%×50%+5%×40%一5%×10%= 13.16厄+1614.-】x=受成登或段 0.065, 或豐或元或安或或 投资项目B的平均利润率为10%× 15.解：(1)由已知得0.70=a+0.20+ 40%+5%x一5%y=10%×40%+ 0.15,故a=0.35. 5%[x-(60%-x)]=10%×40%+ b=1-0.05-0.15-0.70=0.10 5%(2x-60%), (2)甲离子残留百分比的平均值的估计 因为投资A,B这两个项目的平均利润 值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+ 率相同， 5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 所以10%×40%+5%(2x一60%)= 乙离子残留百分比的平均值的估计值 0.065, 为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6× 解得x=0.55,y=0.05, 0.35+7×0.20+8×0.15=6.00. 所以投资A项目不亏损的概率为50%+ 16.解：(1)记“甲线路的公交车停运”为事 40%=90%, 件A,“乙线路的公交车停运”为事件 投资B项目不亏损的概率为40%十 B,“丙线路的公交车停运”为事件C. 55%=95%; 由题意知A,B,C相互独立， (2)考察角度一： P(AB)=P(A)P(B)=0.05, 由(1)得，投资B项目不亏损的概率比 且P(AC)=P(A)P(C)=0.1,可得 较大，故建议投资B项目， P(BC)=P(B)P(C)=0.125, 209 P(A)=0.2, (2)证明：设AC,BD交于点O,连接PO, P(B)=0.25, 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥ P(C)=0.5, BD, 故甲、乙、丙三条线路的公交车停运的 DO=OB. 概率分别是0.2,0.25,0.5. 因为PB=PD,所以PO⊥BD, (2)由(1)，得P(A)=0.8,P(B)= 因为AC∩PO=O,PO,ACC平面 0.75,P(C)=0.5, PAC, 1-P(A B C)=1-P(A)P(B)P(C)= 所以BD⊥平面PAC. 0.7. (3)解：①过F作FG∥DC交PC于G, 故这一天至少有一条线路的公交车停 连接BG. 运的概率为0.7. 17.解：(1)由已知得 sin2B+sin2C-sin2A sin Bsin C, 故由正弦定理得b2十c2-a2=bc. 由余弦定理得 在菱形ABCD中，AB=DC,AB∥DC, cos A-bite-a1 2bc 2 所以FG∥AB,所以E,F,G,B共面. 因为0°<A<180°，所以A=60°. 因为EF∥平面PBC,平面FEBG∩平 (2)由(1)知B=120°-C,由题设及正 面PBC=BG, 弦定理得 所以EF∥BG. √2sinA+sin(120°-C)=2sinC, 所以四边形FEBG为平行四边形， 9+停sc+合nC=2anC, 所以EB=FG. 因为AE=2EB, 可得cos(C+60)=-2 所以5--器子 由于0°<C<120°， ②△PAD不是等腰三角形，理由如下： 所以sin(C+60)=2 , 故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+ 60)cos60°-cos(C+60)sin60°= √6+√2 4 作BQ⊥AD交AD于点Q,连接PQ. 18.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形， 因为平面PAD⊥平面ABCD, 所以AD∥BC. 平面PAD∩平面ABCD=AD,BQC 因为AD中平面PBC,BCC平面PBC, 平面ABCD, 所以AD∥平面PBC. 所以BQ⊥平面PAD. 210 所以BQ⊥PD. 因为PD⊥PB,PB∩BQ=B, 所以PD⊥平面PBQ.所以PD⊥PQ. 所以AD>PD,AD>PA,QD>PD, ∠PQD<90°. 所以∠PQA>90°，所以PA>AQ. 在菱形ABCD中，∠DAB=60°，所以 △ABD是等边三角形. 所以Q为AD的中点，所以AQ=QD, 所以PA>PD. 所以△PAD不可能为等腰三角形. 19.解：(1)由已知a=(W5,1),得a=2, 由a·b=|a|b|cos0=4cos0=2√3， 可得cos0=汽， 又0≤0≤π，sin0=2, 1 a⑧b=1a1b1sing=2×2×2=2. (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则|a=√x十y,|b|=√x十y, a·b x2十M2 os0a·1b√G+·√+ .sin20=1- x1x2+yy +听·√+y, 又0≤≤π， ∴.sin0= x1y2-xay1 √x十y·√x十y .'.ab=la blsin 0=x1y2-x2y11. (3)A(-2,1),B(-1,2),C(0,4), ∴.AB=(1,1),AC=(2,3), .由(2)知AB8AC=|1×3-2X1|=1. SAAABACIsin (AB,AC)= 合×8t-2挑战自己，练练速度吧！ 第十章学业质量评估卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.对于同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关 系是() 域 A.互斥不对立 B.对立不互斥 C.互斥且对立 D.不互斥、不对立 2.某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表： 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 物 % 新生婴儿数 5544 9013 13520 17191 龄 男婴数 2716 4899 6812 8590 始 这一地区男婴出生的概率约是( A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7 3.假设P(A)=0.3,P(B)=0.4且A与B相互独立，则P(AUB)=() A.0.3 B.0.4 C.0.7 D.0.58 4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”， B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子 正面向上的点数之和是7”，则( A.A与B互斥 B.B与C互为对立 C.A与B相互独立 D.A与C相互独立 童 如 5.掷一枚骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数 邮 出现”，则一次试验中，事件A+B发生的概率为() 长 A号 c号 D号 6.如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌（事件A)的概率为 指 子，取到方片牌（率件B)的概率是，则取到红色牌（事件○的餐率和取到果色牌（事件D) 和 的概率分别是( 原 A品昌 B品品 c n号 7.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种可能性大 小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为( ) A号 R号 c D吉 8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个 球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 6”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之 差的绝对值是3”，则( 147 A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 选择题 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 答题栏 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 1 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的有() A.对任意的事件A,都有P(A)>0 3 B.随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 C.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0 4 D.若事件A二事件B,则P(A)≤P(B) 10.连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为p,第二次向上的点数为q,设A= [],其中[x]表示不超过x的最大整数，则( 6 A.P(p+q=5)- B.事件=6与A=0互斥 7 C.P(p>q-j2 D.事件q=1与A=0对立 8 11.某评分是将用户评价的一到五星转化为010的分值（一星2分，二星4分，三星 9 6分，以此类推)，以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.某影片的评分情况 10 如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的有 ( 11 ★★★★★[ ☐24.0% ★★★★[ ☐32.9% 得分 ★★★[ ★★[ ]8.7% ★工 A.m的值是32% B.随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星 C.随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56 D.若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有 2人评价五星”是互斥且不对立事件 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.事件A,B互斥，它们都不发生的概率为号，并且P)=2P(B),则PA) 13.计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”， 只有两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”.甲、乙两人在理论考试中 “合格”的概率分别为号，号，在操作考试中“合格”的概率分别为2吾所有考试是否 合格相互之间没有影响，则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格 证书”的概率是 14.某景区内有10个景点，其平面图如图所示，当t=0时甲在A地，乙在B 地，若每经过一个单位时间，他们都将随机走向与之相邻的任意一个景区， 记某时刻甲、乙出现在同一景区的概率为P(t),则P(2)= P(3)= 148 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4 种商品的情况，整理成如统计表，其中“/”表示购买，“×”表示未购买 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 商品 甲 顾客人数 乙 丙 100 217 200 300 85 98 X × × 16.(本小题满分15分)某学校承办了2024年某次大型体育 频率 组距 比赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者0.045 的面试成绩并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)， 第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成0.020 如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之 和为0.7，第一组和第五组的频率相同， 0455565758595分数 (1)求a,b的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数； (2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2 人，求选出的两个来自同一组的概率.（要求列出样本空间进行计算） 17.（本小题满分15分)有一个转盘游戏，转盘被分成10等份，如图所示，转动转盘，当 转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（指针指到分界线上时重转）.游戏规 则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出 的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下三种中选一种： A.猜“是奇数”或“是偶数”； 149 B.猜“是4的整数倍”或“不是4的整数倍”； C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”. (1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，怎样猜？ 10 为什么？ (2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？ (3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性. 踪 18.（本小题满分17分)某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A和获 得等级不是A的机会相等.物理、化学、生物获得等级A的事件分别为W1,W2,W3, 物理、化学、生物获得等级不是A的事件分别为W1,W2,W3. (1)试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩的所有可能结果[如三科成 绩均为A记为(W1,W2,W3)]; 术 (2)求该同学参加这次水平测试获得两个A的概率； 喷 (3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩情况的事件， 使该事件的概率大于85%，并说明理由. 歌 19.(本小题满分17分)小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下 些 得到如下的两张表格： 擗 顶目A利润占投入的百分比10%5%-5% 频率 50% 40%10% B 项目B利润占投入的百分比10% 5% 5% 频率 40% x y 参 项目B的表格中的两个数据丢失，现用x,y代替，但调研时发现：投资A,B这两个 迁 项目的平均利润率相同.以下用频率代替概率，A,B两个项目的利润情况互不影响. 驾 (1)求x,y的值，并分别求投资A,B项目不亏损的概率； (2)小张在进行市场调研的同时，拿到了100万人民币的风险投资，现在小张与投资 方决定选择投资其中的一个项目进行投资，请你从统计学的角度给出一个建议，并 阐述你的理由. 150