第8章 立体几何初步学业质量评估卷-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

桃战自己，练练速度吧！ 第八章学业质量评估卷 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 然 1.直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是() 幽 A.相交 B.平行 C.异面 D.以上都有可能 2.已知a,3是平面，m,n是直线.下列命题中不正确的是( A.若m∥n,m⊥a,则n⊥a B.若m∥a,a∩B=n,则m∥n C.若m⊥a,m⊥3，则a∥3 D.若m⊥a,m3,则a⊥3 i 的 教 3.已知水平放置的△ABC,按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BO'= C0=1,A-,那么原△ABC的面积是( ) 始 A.√3 B.2√2 ￥ ag D3 4 型 4.庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶. 单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①、图②），若四边 形ABCD是矩形，AB∥EF,且AB=CD=2EF=2BC=4,EA=ED=FB=FC=3, 则五面体FE-ABCD的表面积为( ) 垂脊 正脊 童 如 长 ① ② A.48 B.32√5 C.16+16√5 D.32+16√5 5.如图所示，在正三角形ABC中，D,E,F分别为各边的中点，G,H,I,J 米 分别为AF,AD,BE,DE的中点，将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱 和 锥A'-DEF,则HG与IJ所成角的大小为() 原 A.90° B.60° C.45° D.0° 6.下列四个正方体图形中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中 点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( ) ① © ③ A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 139 7.已知S,A,B,C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC=√2， 选择题 若球O的表面积为4π，则SA=() 答题栏 A号 1 B.1 C.√2 D 3 8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F在CC1上， 且CF=2FC1,点P是侧面AA1D1D(包括边界)上一动点，且PB1∥ A 平面DEF,则tan∠ABP的取值范围是() D A[3,] B.[0,1] 6 c[g,] [ 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 8 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9 9.已知圆台上、下底面的圆心分别为O,O2,半径为2,4，圆台的母线与下底面所成角的 10 正切值为3，P为O1O2上一点，则() A.圆台的母线长为6 11 B.当圆锥PO1与圆锥PO2的体积相等时，PO1=4PO2 得分 C.圆台的体积为56π D.当圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上时，该球的表面积为80π 10.在菱形ABCD中，AB=1,∠ABC=120°，将△ABD沿对角线BD折起，使点A至点 P(P在平面ABCD外)的位置，则() A.在折叠过程中，总有BD⊥PC B.存在点P,使得PC=2 C.当PC=1时，三棱锥P-BCD的外接球的表面积为 D,当三棱锥PBCD的体积最大时，PC=g 2 11.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，翻折△ABD和 △ACD,使得平面ABD⊥平面ACD.下列结论正确的有() A.BD⊥AC B.△ABC是等边三角形 C.三棱锥D-ABC是正三棱锥 D.平面ACD⊥平面ABC 140 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.圆柱形玻璃容器内盛有高度为12cm的水，若放人三个相同的球（球的半径与圆柱的 底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm 13.已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距 离均为√3，那么P到平面ABC的距离为 第12题图 第14题图 14.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PC⊥AD,底面ABCD为梯形， AB∥DC,AB⊥BC,AB=BC,点E在棱PB上，若PD∥平面EAC,则 PE EB 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)在①AD=6;②四边形ABCD的面积为24；③四边形ABCD的 周长为20这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. 问题：如图，四边形ABCD是圆柱的一个轴截面，AB=4,且 (1)求该圆柱的体积； (2)若用一细绳从点A绕圆柱一周后到达D处（如图），求细绳的最短长度. 16.(本小题满分15分)如图，已知平面PAB⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形， PA=AB,点E,F分别是BC,PB的中点 (1)若点M为线段AD中点，求证：PM∥平面AEF; (2)求证：AF⊥平面PBC. 141 17.(本小题满分15分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC,且△ABC为正 三角形，D为AC中点. (1)求证：直线AB1∥平面BC1D; (2)求证：平面BCD⊥平面ACC1A1. 必 莽 举 18.(本小题满分17分)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E 在棱AA1上，BE⊥EC. (1)证明：BE⊥平面EB1C; 嘛 游 (2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥EBB1CC的体积. 1 串 歌 19.(本小题满分17分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， 些 擗 ∠BAD=S,△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF. a (1)求证：AD⊥PB; 斗 (2)若E在线段BC上，且EC=BC,能否在棱PC上找到-点G,使平面DEG1平 多 哨 面ABCD?若存在，求出三棱锥D-CEG的体积；若不存在，请说明理由， 閣 142所以5-方XQ-aF开2s' 50 所以√(x-2)2+(y-1)2= 因为(sinB+2cosβ)2≤5， √/x2十(y-3)产，整理得y=x十1. 所以S△PoR的最小值为10m2. |z2|=√x2十y2=√x2+(x十1)= 综上，应选用方案二 vx+2z+-√2(e-+, 第七章学业质量评估卷 1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.B 故当=时，取得爱小值号 8.D 9.ABD 10.BCD 11.ABC 17.解：(1).b是方程x2一(6十i)x十9十 12.-113.4π14.3或5 ai=0(a∈R)的实根， 15.解：选①：z=(m2-3m十2)-(m-1)i, ∴.(b2-6b+9)+(a-b)i=0, 由z+z=4得(t-3+2)+(m-1)i+ b2-6b+9=0, (m-3m+2)-(m-1)i=2(t-3m十2)=4， la=b, 解得m=0或m=3; 解得a=b=3. 选②：之为纯虚数， (2)设之=x十yi(x,y∈R). (m2一3m+2=0, 由|z-3-3i=2|x1,得(x-3)2+ 所以 解得m=2; (m-1≠0， (y十3)2=4(x2+y2), 选：由名产得-t-3t2+m- 即(x十1)2+(y-1)2=8, 1-i ∴.之点的轨迹是以O1(一1,1)为圆心， _Gt-4+3)+Gmt-2m十10i 2 2√2为半径的圆，如图， 又之1对应的点在第一象限内，则 m2-4m+3>0, 故m<1或m>3. m2-2m+1>0. 16.解：(1)依题意得，(2十ai)2+b(2十ai)十 5=0,即(4-a2+2b+5)+(4a+ab)i=0, 当之点在OO1的连线上时，之有最大 4-a2+2b+5=0 值或最小值， 所以4a十a.b=0 |OO=√2，半径r=2√2， a>0 .当之=1一i时，z有最小值且zmn= 解得a=1,b=-4; √2. (2)由(1)可得x1=2+i,设2=x十 18.解：(1)z=cosA+-isin A,z-1|= yi(x,y∈R), √(cosA-1)2+sinA=√2-2cosA, 则|之2-之1|=√/(x-2)2+(y-1)2, 因为|之-1川=1， |z2-3i=√x2+(y-3), 因为z2-1|=z2-3训， 所以V2-2cosA=1,所以cosA=2, 203 又因为角A为△ABC的一个内角，所 √4a2+3=√4b+1 以A=，iA=9,所以=+号 4ab-√3=0 a2+b=1 所以1++2=1-（侵+）十 \a2 (号+9，)‘-0， 解得 或 6- % 2 (2)因为z= +,由复复的肌何毫义。 因为OB递时针旋转90°后与OA重 求复数x对应的向量O立递时针旋转子 合，所以a=日6=-停 2 得到02-(-日9》， 法二：设|OA|=|O范1=r,a是以x轴 正半轴为始边，OB为终边的角，则 则0Z对应的复数为之'=一号+3： 221, ,c0sa=26, sin a=1 则…=（合+(-是+）=-1 rcos(a+2)-2a 19.解：(1)因为复数之1=2a-√3i,2= 所以 2b+i,a,b∈R, rsin(a+受)=-5 所以1-2=(2a-2b)-(W3+1)i, -rsin a=2a 即 而之1一之2为纯虚数，因此2a一2b=0, rcos ai=-√3 即a=b. -.1=2a a=- 又因为3=a十bi,且|x3=1, 所以 ,所以 所以a2十b2=1, .26=- a2+b2=1 a 2 且a=- 时，满足1之31= 由 ，解得 或 la=b 6=- ② 2 √a2+b=1. a=n 所以a=-1, 2 b=、 2 ②因为复数之1，之2对应的向量分别是 OA,OB(为坐标原点)，且O,A,B三点 所以=一 -号咨+ 不共线， (2)①存在，理由如下： 所以设向量OA,O克的夹角为0,0≤0≤ (oA=0B π，设复数所对应的向量为O心， 法一：由题意知：OA·O范=0，得 则0A=(2a,-√3)，0i=(2b,1),oC 1x31=1 (a,b)且1OC1=1, 204 因此△40B的面积Sa,b)=号1O sin 0, =21Oi1·10iV1-os0 =子o2·1o-(0·0i0m =VoAP·1o8P-(oM·1o =之V4c+3)·(4w+1)-(4a-3 =|a+√3b1, 设n=(1,w3),则S(a,b)=|n·OC1≤ |n·1o心1=2， 当且仅当b=√3a且a2+b2=1,即 2 b-V3 或 时等号成立， a=-2 1 1 a=2 所以S(a,b)=|a+√3b|,其最大值 为2. 第八章学业质量评估卷 1.D2.B3.A4.D5.B6.C7.B 8.D9.BCD10.AC11.ABC12.6 13.W214.2 15.解：(1)选择①， 由题意可得圆柱的底面圆的半径r= 合AB=2,高为A=AD=6, 则该圆柱的体积为V=Sh=πX22X 6=24π. 选择②， 由题意可得圆柱的底面圆的半径r= 合AB-2,高为A-AD学-6， 4 则该圆柱的体积为V=Sh=πX2X 6=24π. 选择③， 所以BC⊥平面PAB. 由题意可得圆柱的底面圆的半径r= 因为AFC平面PAB,所以BC⊥AF. 2AB=2,高为h=AD=20 4=6, 因为PA=AB,点F是PB的中点， 2 所以PB⊥AF! 则该圆柱的体积为V=Sh=πX2X 又因为BC∩PB=B,所以AF⊥平面 6=24元. PBC. (2)将圆柱沿AD侧面展开，如图所示， 17.证明：(1)连接B1C交BC1于点O, AD=6,AA'=4π， 连接OD,则点O为B1C的中点. 则AD'=√/(4π)2+62=2/4π2+9. D为AC中点，得DO为△ABC中 故细绳的最短长度为2√/4π2十9. 位线， D ∴.AB∥OD. ,ODC平面AB1C,A1B中平面AB1C, B .直线AB1∥平面BCD; 16.（1)证明：连接BM交AE于N,连接 PM,FN. (2),AA1⊥底面ABC,BDC平面 ABC, 因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥ ∴.AA1⊥BD, BC,且AD=BC, ,底面ABC为正三角形，D是AC的 又M,E分别为AD,BC的中点， 中点，.BD⊥AC 所以四边形AMEB是平行四边形，所 ,AA∩AC=A, 以N为BM的中点， .BD⊥平面ACC1A1, 又因为F是PB的中点，所以PM∥ ,BDC平面BCD, FN, .平面BCD⊥平面ACC1A1. 因为PM￠平面AEF,NFC平面 18.（1)证明：由已知得B1C1⊥平面 AEF,所以PM∥平面AEF. ABB1A1,BEC平面ABB1A1,故 (2)证明：在矩形ABCD中， B1C1⊥BE. (BC⊥AB 又因为BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,所 平面PAB⊥平面ABCD 以BE⊥平面EB1C1. 平面PAB∩平面ABCD=AB (2)解：由(1)知∠BEB1=90°.由题设 BCC平面ABCD 知Rt△ABE≌Rt△A1B1E, 205 所以∠AEB=∠A1EB1=45°， ∴.GH⊥平面ABCD. 故AE=AB=3,AA1=2AE=6. 又GHC平面DEG,∴.平面DEG⊥平 作EF⊥BB,垂足为F,则EF⊥平面 面ABCD. BB1C1C,且EF=AB=3. .AD∥BC,∴.△DFH∽△ECH, 器鼎 所以，四棱锥E-BB1C1C的体积V aGH=子PF=, Γ3 号×8X6×8=18 ∴.VD-EG=Vc-cDE= 3SacE·GH= 19.(1)证明：连接PF,:△PAD是等边三 3×号Dc.CEsn吾·GH=2 角形， ∴.PF⊥AD. 第九章学业质量评估卷 :底面ABCD是菱形，∠BAD=否， 1.D2.B3.C4.C5.C6.C7.D 8.D 9.ABD 10.ABC 11.ABD .BF⊥AD. 12.1313.(1)A(2)B14.<> 又PF∩BF=F,.AD⊥平面BFP, 15.解：(1)因为各组的频率之和等于1， 又PBC平面BFP,∴AD⊥PB. 所以分数在[60,70)内的频率为 f=1-10(0.005+0.015+0.030+ 0.025+0.010)=0.15, 所以第三组[60,70)的频数为180× 0.15=27(人)； (2)解：能在棱PC上找到一点G,使平 (2)因为众数的估计值是频率分布直方 面DEG⊥平面ABCD. 图中最高矩形的中点， 由(1)知AD⊥BF, 从图中可看出众数的估计值为75分； .PD⊥BF,AD∩PD=D, 因为(0.05+0.15+0.15)×10= .BF⊥平面PAD. 0.35<0.5,(0.05+0.15+0.15+ 又BFC平面ABCD,,.平面ABCD 0.3)×10>0.5, 平面PAD, 所以中位数位于[70,80)上，所以中位 又平面ABCD∩平面PAD=AD,且 数的估计值为70+0.50,35=75； PF⊥AD, 0.030 ∴.PF⊥平面ABCD 又根据频率分布直方图，样本的平均数 连接CF交DE于点H,过H作HG∥ 的估计值为45×(10×0.005)+55× PF交PC于G, (10×0.015)+65×(10×0.015)+ 206 75×(10×0.03)+85×(10×0.025)+ 95×(10×0.01)=73.5; 所以，样本的众数为75分，中位数为75 分，平均数为73.5分. 16.解：(1)根据产值增长率频数分布表得， 所调查的100个企业中产值增长率不 低于40%的金频率为1607=0.21. 产位负增长的企业频率为品0-0,02， 用样本频率分布估计总体分布得这类 企业中产值增长率不低于40%的企业 比例为21%，产值负增长的企业比例为 2%. (2)y=0(-0.10×2+0.10×24+ 0.30×53+0.50×14+0.70×7)= 0.30, =而含(-列=高[2× (-0.40)2+24×(-0.20)2+53×02+ 14×0.202+7×0.402]=0.0296, s=√0.0296=0.02×√/74≈0.17. 所以这类企业产值增长率的平均数与 标准差的估计值分别为30%和17%. 17.解：(1)由题，甲厂轮胎宽度的平均值为 195+194+196+193+194+197+ 196+195+193+197)=195; 乙厂轮胎宽度的平均值为 0195+196+193+192+195+194+ 195+192+195+193)=194; 所以甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的 平均值分别为195,194. (2)由题，甲厂提供的10个轮胎中所有