第9章 统计学业质量评估卷-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

桃战自己，练练速度吧！ 第九章学业质量评估卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.某植物种植商购进了一批花的球根，从中随机选取了200个球根种植，调查这批花的 然 球根发芽情况，最后有4个不发芽.则下面说法正确的是( 幽 A.调查方式是普查 B.样本是200个球根 C.这批花只有196个球根发芽 D.这批花约有2%的球根不发芽 2.高一(1)班30名学生的一次数学考试成绩按从小到大排序结果如下： 51545960646868707172 h 的 72747576798080818283 858788909192939598100 教 则估计这次数学考试成绩的第75百分位数为( A.87 B.88 C.90 D.87.5 絲 3.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情况，采用分层随 机抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( A.30 B.25 C.20 D.15 半 4.学校为了解学生每月在购买学习用品方面的支出情况，抽取了n名 墨 学生进行调查，结果显示这些学生的支出（单位：元）都在[10,50] 0.037 内，其频率分布直方图如图所示.其中支出在[10,30)内的学生有 0.02 66人，则支出在[40,50]内的学生人数是() 0.010 A.30 B.40 01020304050支出元 C.60 D.120 最 5.一学习小组10名学生的某次数学测试成绩的名次由小到大分别是2,4,5，x,11,14,15,39, 如 41,50,已知该小组数学测试成绩名次的40%分位数是9.5，则x的值是() 童 A.6 B.7 C.8 D.9 邮 6.某城市收集并整理了该市2024年1月份至10 35 1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月 长 月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数 30 据，绘制了右面的折线图.已知该市的各月最 25 0 K 低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根 15 10 ◆最高气温 据该折线图，下列结论错误的是( 5 ·最低气温 数 A.最低气温与最高气温为正相关 0 和 B.10月的最高气温不低于5月的最高气温 分 -10 C.最低气温低于0℃的月份有4个 -15 原 D.月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 7.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图(1)和图(2)所示.为了解该地区中小 学生近视形成的原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量 和抽取的高中生近视人数分别为( ↑近视率% 小学生 3500名/高中生 2000名 50 初中生 30 4500名 10叶 0小学初中高中年级 图(1) 图(2) A.100,20 B.200,10 C.100,10 D.200,20 143 8.记样本，x2,…,xm的平均数为x,样本，y2,…,yn的平均数为y(x≠y).若样本， 选择题 看，…，以的平均数为=2计则贤的值为( ) 答题栏 n ci D号 1 A.3 B.4 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门 为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一 个容量为2000的样本，得到小学生、初中生、高中生的近视率分别为30%，70%， 80%.下列说法中正确的有( A.从高中生中抽取了440人 B.每名学生被抽到的概率为125 1 6 C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60% 7 D.估计高中学生的近视人数约为44000 10.某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛 8 后进入决赛，他们的7场初赛成绩如下 甲选手：78848585868892乙选手：72848687899394 则以下结论正确的有() A.甲成绩的极差比乙成绩的极差小 B.甲成绩的众数比乙成绩的中位数小 10 C.甲成绩的方差比乙成绩的方差小 D.甲成绩的平均数比乙成绩的平均数大 11.为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃 y/吨 11 圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类 的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误 得分 分类情况进行了调查.经整理绘制了如图所示的有 害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时 间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积 4 78x/周 重量（单位：吨），根据统计图分析，下列结论正确的 有() A.当x∈[0,2)时有害垃圾错误分类的重量加速增长 B.当x∈[2,4)时有害垃圾错误分类的重量匀速增长 C.当x∈[4,6)时有害垃圾错误分类的重量相对于当x∈[2,4)时增长了25% D.当x∈[6,8)时有害垃圾错误分类的重量相对于当x∈[0,2)时减少了1.8吨 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位 ↑频率组距 工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45， 0.040 55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95),由此得到的频率 882 分布直方图如图所示，则这20名工人中一天生产该产品数 36$方839巧产品数量 量在[55,75)的人数是 13.某广告公司招聘广告策划人员，对A,B,C三名候选 A 夕 C 人进行了三项素质测试，测试成绩如下表（单位：分）： 创新 72 85 67 (1)如果根据三项测试的平均成绩确定录取人选，那 么候选人 将被录用； 综合知识 50 74 70 (2)如果公司将创新、综合知识、语言三项测试分数按 语言 88 6 4：3：1的比例确定个人的测试成绩，此时候选人 将被录用. 144 14.某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老 师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下： 教师：6063656769757777797982838687899293969696 学生：474952545557636566667474757780828384 9596 设数据中教师和学生评分的平均值分别为山和，方差分别为和内 1 .(填“>”“<”或“=”) 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分)某城市在进行新冠疫情防控中，为了 4频率 解居民对新冠疫情防控的满意程度，组织居民给活动打0.030 组距 分（分数为整数，满分为100分），从中随机抽取一个容量0.025 为180的样本，发现所有数据均在[40,100]内.现将这 0.020 0.015 些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图， 0.010 但不小心污损了部分图形，如图所示.观察图形，回答下0.005 列问题： 0405060708090100分数 (1)算出第三组[60,70)的频数； (2)请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数.（每组数据以区间的 中点值为代表) 16.（本小题满分15分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查 了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数 分布表： y的分组[-0.20,0) [0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80) 企业数 9% 24 分 14 1 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区 间的中点值为代表).（精确到0.01） 附：√74≈8.602 17.(本小题满分15分)为了了解甲、乙两 甲厂轮胎宽度 乙厂轮胎宽度 198 198 个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分 别从两厂随机选取了10个轮胎，将每 个轮胎的宽度（单位：mm)记录下来并 192 绘制出折线图： 191 191 12345678910 112345678910 (1)分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值； (2)轮胎的宽度在[193,195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、乙两厂分别提 供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平 均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好. 145 18.(本小题满分17分)从某企业生产的某种产品抽取100件，测量这些产品的一项指 标值，由测量结果得到如下频数分布表： 质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105)[105,115)[115,125] 频数 6 26 38 22 8 (1)在下图中作出这些数据的频率分布直方图； ↑频率/组距 0.040F- 0.038 0.036 0.034 0.032 必 0.030--- 0.028--- 0.022 0.020 0.018---- 0.016 0.014-- 0.012 0.010 烨 0.008 0.006 0.004 朵 0.002 0 15 85 95 105115125质量指标 (2)估计这种产品质量指标值的中位数（精确到0.1）、平均数（同一组中的数据用该 组区间的中点值代表)； 雪 (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低 于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？ 串 19.(本小题满分17分)某中学新建了学校食堂，每天有近2000名学生在学校食堂用午 餐，午餐开放时间约40分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做 好的大约6种菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可 多 直接取餐；第三类是面食，如煮面、炒粉等，为了更合理地设置窗口布局，增加学生的 用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择、各类餐食的平均每份取餐时 些 长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表. 擗 频率 组距 母 类别 选餐 套餐 面食 0.09 0.07 斗 选择人数 50 30 0 烟 平均每份取餐时长（单位：分钟） 2 0.5 1 0.03 0.01 哦 510152025可接变等待时长 閣 (单位：分钟) 已知食堂的售饭窗口一共有20个，就餐高峰期时有200名学生在等待就餐 (1)根据以上的调查统计，如果设置12个选餐窗口，4个套餐窗口，4个面食窗口，就 餐高峰期时，假设大家在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队 伍长度各自相同)，问：选择选餐的同学最长等待时间是多少？这能否让80%的同学 感到满意（即在接受等待时长内取到餐）？ (2)根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口 数更优化，并给出你的求解过程. 146选择③， 所以BC⊥平面PAB. 由题意可得圆柱的底面圆的半径r= 因为AFC平面PAB,所以BC⊥AF. 2AB=2,高为h=AD=20 4=6, 因为PA=AB,点F是PB的中点， 2 所以PB⊥AF! 则该圆柱的体积为V=Sh=πX2X 又因为BC∩PB=B,所以AF⊥平面 6=24元. PBC. (2)将圆柱沿AD侧面展开，如图所示， 17.证明：(1)连接B1C交BC1于点O, AD=6,AA'=4π， 连接OD,则点O为B1C的中点. 则AD'=√/(4π)2+62=2/4π2+9. D为AC中点，得DO为△ABC中 故细绳的最短长度为2√/4π2十9. 位线， D ∴.AB∥OD. ,ODC平面AB1C,A1B中平面AB1C, B .直线AB1∥平面BCD; 16.（1)证明：连接BM交AE于N,连接 PM,FN. (2),AA1⊥底面ABC,BDC平面 ABC, 因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥ ∴.AA1⊥BD, BC,且AD=BC, ,底面ABC为正三角形，D是AC的 又M,E分别为AD,BC的中点， 中点，.BD⊥AC 所以四边形AMEB是平行四边形，所 ,AA∩AC=A, 以N为BM的中点， .BD⊥平面ACC1A1, 又因为F是PB的中点，所以PM∥ ,BDC平面BCD, FN, .平面BCD⊥平面ACC1A1. 因为PM￠平面AEF,NFC平面 18.（1)证明：由已知得B1C1⊥平面 AEF,所以PM∥平面AEF. ABB1A1,BEC平面ABB1A1,故 (2)证明：在矩形ABCD中， B1C1⊥BE. (BC⊥AB 又因为BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,所 平面PAB⊥平面ABCD 以BE⊥平面EB1C1. 平面PAB∩平面ABCD=AB (2)解：由(1)知∠BEB1=90°.由题设 BCC平面ABCD 知Rt△ABE≌Rt△A1B1E, 205 所以∠AEB=∠A1EB1=45°， ∴.GH⊥平面ABCD. 故AE=AB=3,AA1=2AE=6. 又GHC平面DEG,∴.平面DEG⊥平 作EF⊥BB,垂足为F,则EF⊥平面 面ABCD. BB1C1C,且EF=AB=3. .AD∥BC,∴.△DFH∽△ECH, 器鼎 所以，四棱锥E-BB1C1C的体积V aGH=子PF=, Γ3 号×8X6×8=18 ∴.VD-EG=Vc-cDE= 3SacE·GH= 19.(1)证明：连接PF,:△PAD是等边三 3×号Dc.CEsn吾·GH=2 角形， ∴.PF⊥AD. 第九章学业质量评估卷 :底面ABCD是菱形，∠BAD=否， 1.D2.B3.C4.C5.C6.C7.D 8.D 9.ABD 10.ABC 11.ABD .BF⊥AD. 12.1313.(1)A(2)B14.<> 又PF∩BF=F,.AD⊥平面BFP, 15.解：(1)因为各组的频率之和等于1， 又PBC平面BFP,∴AD⊥PB. 所以分数在[60,70)内的频率为 f=1-10(0.005+0.015+0.030+ 0.025+0.010)=0.15, 所以第三组[60,70)的频数为180× 0.15=27(人)； (2)解：能在棱PC上找到一点G,使平 (2)因为众数的估计值是频率分布直方 面DEG⊥平面ABCD. 图中最高矩形的中点， 由(1)知AD⊥BF, 从图中可看出众数的估计值为75分； .PD⊥BF,AD∩PD=D, 因为(0.05+0.15+0.15)×10= .BF⊥平面PAD. 0.35<0.5,(0.05+0.15+0.15+ 又BFC平面ABCD,,.平面ABCD 0.3)×10>0.5, 平面PAD, 所以中位数位于[70,80)上，所以中位 又平面ABCD∩平面PAD=AD,且 数的估计值为70+0.50,35=75； PF⊥AD, 0.030 ∴.PF⊥平面ABCD 又根据频率分布直方图，样本的平均数 连接CF交DE于点H,过H作HG∥ 的估计值为45×(10×0.005)+55× PF交PC于G, (10×0.015)+65×(10×0.015)+ 206 75×(10×0.03)+85×(10×0.025)+ 95×(10×0.01)=73.5; 所以，样本的众数为75分，中位数为75 分，平均数为73.5分. 16.解：(1)根据产值增长率频数分布表得， 所调查的100个企业中产值增长率不 低于40%的金频率为1607=0.21. 产位负增长的企业频率为品0-0,02， 用样本频率分布估计总体分布得这类 企业中产值增长率不低于40%的企业 比例为21%，产值负增长的企业比例为 2%. (2)y=0(-0.10×2+0.10×24+ 0.30×53+0.50×14+0.70×7)= 0.30, =而含(-列=高[2× (-0.40)2+24×(-0.20)2+53×02+ 14×0.202+7×0.402]=0.0296, s=√0.0296=0.02×√/74≈0.17. 所以这类企业产值增长率的平均数与 标准差的估计值分别为30%和17%. 17.解：(1)由题，甲厂轮胎宽度的平均值为 195+194+196+193+194+197+ 196+195+193+197)=195; 乙厂轮胎宽度的平均值为 0195+196+193+192+195+194+ 195+192+195+193)=194; 所以甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的 平均值分别为195,194. (2)由题，甲厂提供的10个轮胎中所有 标准轮胎宽度为 0.7>0.5,所以中位数位于(95,105)， 195,194,193,194,195,193,其平均数 质量指标值的样本中位数为95十08 0.38 为号(195+194+193+194+195+ 10≈99.7， 193)=194, 质量指标值的样本平均数为 其方差为后1+0+1+0+1+1)= x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+ 39 110×0.22+120×0.08=100: 乙厂提供的10个轮胎中所有标准轮胎 (3)质量指标值不低于95的产品所占 宽度为 比例的估计值为0.38十0.22十0.08= 195,193,195,194,195,195,193,其平 0.68<0.8, 均数为号(195+193+195+194十 所以不能认为该企业生产的这种产品 2 195+195+193)=1947, 符合“质量指标值不低于95的产品至 少要占全部产品80%”的规定. 共方差为（++++ 5 19.解：(1)由题意得，就餐高峰期时选择选餐 50 25 的总人数为200×50+30+20-100人； 从平均数上来看：乙厂提供的10个轮 这100人平均分布在12个选餐窗口， 胎中所有标准轮胎宽度高于甲厂提供 平均每个富口等特就餐的人数为9、 的10个轮胎中所有标准轮胎宽度，但 9人， 乙厂提供的10个轮胎中所有标准轮胎 所以选择选餐同学的最长等待时间为 宽度方差较大，不够稳定」 2×9=18分钟， 18.解：(1)频率分布直方图如下图所示： 由可接受等待时长的频率分布直方图 ↑频率组距 可知，分组为[5,10)，[10,15)，[15， 0.040 0.038 0.036 20),[20,25)的频率分别为0.15， 0.034 0.032 0.030 0.028 0.45,0.35,0.05, 0.026 0.024 所以可接受等待时长在15分钟以上的 0.018 0.016 同学占0.05十0.35=40%<80%， 0.014 0.012 0.010 故设置12个选餐窗口，4个套餐窗口， 0.008 0.006 0.004 4个面食窗口，不能让80%的同学感到 0.002 0 75 85 95 105 115 125质量指标 满意； (2)前2个矩形面积之和为0.06十 (2)假设设置m个选餐窗口，n个套餐 0.26=0.32<0.5, 窗口，k个面食窗口，则各队伍的同学 前3个矩形面积之和为0.32十0.38= 最长等待时间如下： 207 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计 类别 选餐 套餐 面食 200 高峰期就 0.2, 100 60 40 为1000 餐总人数 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计 各队伍 100 60 40 长度（人） m n 为100+200+300=0.6， 1000 最长等待 2X10 m /0.5×60 1X40 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计 时间（分钟） 100 为1000=0.1. 依题意，从等待时长和公平的角度上考 虑，则要求每个队伍的最长等待时间大 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同 时购买丙的可能性最大 致相同， 16.解：(1)因为第三、四、五组的频率之和 即得2×10=0.5×0=1×架，即有 m 71 为0.7， m:n:k=20:3:4, 所以(0.045+0.020十a)×10=0.7,解 而m+n十k=20,故m~≈15，n≈2，k≈3， 得a=0.005, 因此建议设置选餐、套餐、面食三个类 所以前两组的频率之和为1一0.7= 别的窗口数分别为15,2,3个. 0.3,即(a十b)×10=0.3, 第十章学业质量评估卷 所以b=0.025; 前两个分组频率之和为0.3，前三个分 1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C 组频率之和为0.75， 8.D 9.BCD 10.BCD 11.ACD 所以中位数在第三组，且为65十 12.号13器140器 29 0.5-0.3×10≈69.4； 0.45 15.解：（1)从统计表中可以看出，在这 (2)第四、第五两组志愿者分别有20 1000位顾客中有200位顾客同时购买 人，5人， 了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者 概率可以估计为1000 200 0.2. 人数为4，分别设为a,b,c,d,第五组志 (2)从统计表中可以看出，在这1000 愿者人数为1，设为e, 位顾客中有100位顾客同时购买了甲、 这5人中选出2人，所有情况有(a,b), 丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、 (a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d), 乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品， (b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共有10种 情况， 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3 其中选出的两人来自同一组的有 种商品的概率可以估计为100+200 1000 (a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d), 0.3. (c,d),共6种情况， (3)与(1)同理，可得： 故选出的两人来自同一组的概率为 208 17.解：(1)“是奇数”与“是偶数”的概率均 为品=0.5；“是4的整数倍”的概率为 名=0,2，“不是4的整教倍”的概率为 品。=0.8；“是大于4的数”的概率为 100.6,“不是大于4的教”的概率为 6 品-0,4为了尽可能茨胜，可以选择方 案B,猜“不是4的整数倍”. (2)由(1)知，为了保证游戏的公平性， 应当选择方案A,因为方案A中猜“是 奇数”或“是偶数”，猜中的概率均为 0.5. (3)可以设计方案：猜“是大于5的数” 或“不是大于5的数”，该方案两种猜法 猜中的概率均为0.5，所以可以保证游 戏的公平性. 18.解：(1)该同学这次水平测试中物理、化 学、生物成绩的所有可能结果有8种， 分别为(W1,W2,W3),(W1,W2,W3), (W1,W2,W3),(W1,W2,W3), (W,W2,W3),(W,W2,W3), (W1,W2,W3),(W1,W2,W3) (2)由(1)可知，有两个A的情况为 (W1,W2,W3),(W1,W2,W3),(W1, W,网，)，共3种，故其概率为P=日 (3)方案一：该同学参加这次水平测试 中物理、化学、生物成绩不全为A的概 率大于85%，理由如下：该同学参加这 次水平测试中物理、化学、生物成绩不 全为A的事件有(W1,W2,W3),(W1,