模块综合质量评估卷-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

桃战自己，练练速度吧！ 模块综合质量评估卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 然 1.复数z满足乏·(1+2i)=4十3i,则之等于() 幽 A.2-i B.2+i C.1+2i D.1-2i 2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为2：3：5，现按型号用分层随 机抽样的方法随机抽取容量为n的样本.若抽到24件乙型号产品，则n等于() i 部 A.80 B.70 C.60 D.50 龄 3.已知向量a,b满足|a-|b1=a·b=2,a-b=√10，则cos〈a,b〉=( 带 A号 R合 c号 D. 常 4.在△ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若A庐=xAB+2yAC(x>0, y>0),则上+2的最小值为() 2 2 A.9 B.8 C.4 D.2 5.如图是一个古典概型的样本空间2和随机事件A,B,其中n(2)= 30,n(A)=15,n(B)=10,n(AUB)=20,则P(AB)=( 童 如 A B c 号 长 6.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内 K 的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=15°，∠BDC=135°，CD= 郑 20m,在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=( ) 和 A.30m B.20√2m 点 C.20√3m D.20√6m 7.在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知c=2,a+2cosA=b十2cosB, a≠b,则△ABC面积的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.不存在 8.已知正四面体ABCD中，E是棱AC上一点，过E作平面a,满足AB∥a,CD∥a,若 AB,CD到平面a的距离分别是3和9，则正四面体ABCD的外接球被平面a截得的 截面面积为( A.99π B.100π C.103π D.108π 151 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 选择题 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 答题栏 9.中华人民共和国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口 1 数据如图所示.根据该图数据判断，下列选项中正确的有( 万人 100000 63.89 70 90000 80000 60 49.68 70000 50 60000 36.21 40 50000 40000 26.44 56 30000 3.2618.3020.g1 20 20000 10000 10 0 0 1953196419821990200020102020 ☐城镇人口☐乡村人口·城镇人口比重 A.乡村人口数均高于城镇人口数 B.城镇人口数达到最高峰是第7次 8 C.城镇人口比重的极差是50.63% 9 D.和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次 10 10.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1=√6，AB=BC=2,AC= 2√2，点M是棱AA1的中点，则下列说法正确的有() 11 A.异面直线BC与B1M所成的角为90 得分 B.在B1C上存在点D,使MD∥平面ABC C.二面角B1-ACB的大小为60° D.BM⊥CM 11.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b-2a十4asin2AB=0, 2 则下列结论正确的有() A.角C一定为锐角 B.a2+2b2-c2=0 C.3tan A+tan C=0 D.,tanB的最小值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） an,则 12.△ABC的面积为S,角A,B,C的对边分别为，b,c,若+2=3十4S a= 13.如图，展现的是一种被称为“旋四角反棱柱”的十面体ABCD- EFGH,其上下底面平行且均为正方形，上下底面的中心所在直线 垂直于两底面.已知此多面体上下底面的边长为2√2，上下底面之 间的距离为3√2，则此十面体体积的最大值为 152 14.欧拉公式ei=cosx+isin x是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函 数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数 函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天 桥”.利用欧拉公式解决问题，ei= ;关于x的方程cos4x十sin3x=1, x∈(0,2π)的解为 四、解答题（共T7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验： 将200只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时 间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到 如下直方图： 「组蹈 0.30 02 829 0.051------ 0.05- 075233345556575i分比 2.53.54.55.56.57.58.5i分比 甲离子残留百分比直方图 乙离子残留百分此直方图 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估 计值为0.70 (1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值； (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表). 16.(本小题满分15分)某市由于大雪使得路面出现积雪和冰冻，城市公交车运行深受 影响.已知某天甲、乙、丙三条线路的公交车中，甲、乙两条线路同时停运的概率为 0.05,甲、丙两条线路同时停运的概率为0.1，乙、丙两条线路同时停运的概率为 0.125.假设每条线路的公交车是否停运相互独立. (1)甲、乙、丙三条线路的公交车停运的概率分别是多少？ (2)求这一天至少有一条线路的公交车停运的概率. 153 17.(本小题满分15分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2= sin2A-sin Bsin C. (1)求A; (2)若√2a+b=2c,求sinC. 18.(本小题满分17分)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形. 举 (1)求证：AD∥平面PBC; (2)若PB=PD,求证：BD⊥平面PAC; (3)下面两问任选一问作答， 醉 ①E,F分别是AB,PD上的点，若EF∥平面PBC,AE=2EB,求需的值： ②若∠DAB=60°，平面PAD⊥平面ABCD,PB⊥PD,判断△PAD是不是等腰三 津 角形，并说明理由. 耀 斗 姆 19.（本小题满分17分)设平面内两个非零向量m,n的夹角为0，定义一种运算“☒”： 哦 m☒n=|m n sin0.试求解下列问题： 閻 (1)若向量a=(√3,1)，|b|=2,a·b=2√3，求a☒b的值； (2)试探求a☒b的值与平面向量a,b的坐标的关系； (3)设点A(-2,1),B(-1,2),C(0,4),求△ABC的面积 154W2,W3),(W1,W2,W3),(W1,W2, 考察角度二： W3),(W1,W2,W3),(W1,W2,W3), 投资A项目利润率的方差为(10% (而1，W2,而3)，共7种情况，概率P 6.5%)2×50%+(5%-6.5%)2× 40%+(-5%-6.5%)2×10%= 号-0.875>85%. 2.025×10-3, 方案二：该同学参加这次水平测试中物 投资B项目利润率的方差为(10% 理、化学、生物成绩至少一个为A的概 6.5%)2×40%+(5%-6.5%)2× 率大于85%，理由如下：该同学参加这 55%+(-5%-6.5%)2×5%= 1.275×10-3, 次水平测试中物理、化学、生物成绩至 所以投资A项目利润率的方差大于投 少一个为A的事件有(W1,W2,W3), 资B项目利润率的方差， (W1,W2,W3),(W1,W2,W3),(W1, 即投资B项目的利润比较稳定，为此 W2,W3),(W1,W2,W3),(W1,W2, 建议投资B项目】 而3)，(W1,W2,W3),共7种情况，概率 模块综合质量评估卷 P=日=0.875>85%. 1.B2.A3.A4.A5.B6.D7.D 19.解：(1)投资项目A的平均利润率为 8.A 9.BCD 10.ABC 11.BC 12.3 10%×50%+5%×40%一5%×10%= 13.16厄+1614.-】x=受成登或段 0.065, 或豐或元或安或或 投资项目B的平均利润率为10%× 15.解：(1)由已知得0.70=a+0.20+ 40%+5%x一5%y=10%×40%+ 0.15,故a=0.35. 5%[x-(60%-x)]=10%×40%+ b=1-0.05-0.15-0.70=0.10 5%(2x-60%), (2)甲离子残留百分比的平均值的估计 因为投资A,B这两个项目的平均利润 值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+ 率相同， 5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 所以10%×40%+5%(2x一60%)= 乙离子残留百分比的平均值的估计值 0.065, 为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6× 解得x=0.55,y=0.05, 0.35+7×0.20+8×0.15=6.00. 所以投资A项目不亏损的概率为50%+ 16.解：(1)记“甲线路的公交车停运”为事 40%=90%, 件A,“乙线路的公交车停运”为事件 投资B项目不亏损的概率为40%十 B,“丙线路的公交车停运”为事件C. 55%=95%; 由题意知A,B,C相互独立， (2)考察角度一： P(AB)=P(A)P(B)=0.05, 由(1)得，投资B项目不亏损的概率比 且P(AC)=P(A)P(C)=0.1,可得 较大，故建议投资B项目， P(BC)=P(B)P(C)=0.125, 209 P(A)=0.2, (2)证明：设AC,BD交于点O,连接PO, P(B)=0.25, 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥ P(C)=0.5, BD, 故甲、乙、丙三条线路的公交车停运的 DO=OB. 概率分别是0.2,0.25,0.5. 因为PB=PD,所以PO⊥BD, (2)由(1)，得P(A)=0.8,P(B)= 因为AC∩PO=O,PO,ACC平面 0.75,P(C)=0.5, PAC, 1-P(A B C)=1-P(A)P(B)P(C)= 所以BD⊥平面PAC. 0.7. (3)解：①过F作FG∥DC交PC于G, 故这一天至少有一条线路的公交车停 连接BG. 运的概率为0.7. 17.解：(1)由已知得 sin2B+sin2C-sin2A sin Bsin C, 故由正弦定理得b2十c2-a2=bc. 由余弦定理得 在菱形ABCD中，AB=DC,AB∥DC, cos A-bite-a1 2bc 2 所以FG∥AB,所以E,F,G,B共面. 因为0°<A<180°，所以A=60°. 因为EF∥平面PBC,平面FEBG∩平 (2)由(1)知B=120°-C,由题设及正 面PBC=BG, 弦定理得 所以EF∥BG. √2sinA+sin(120°-C)=2sinC, 所以四边形FEBG为平行四边形， 9+停sc+合nC=2anC, 所以EB=FG. 因为AE=2EB, 可得cos(C+60)=-2 所以5--器子 由于0°<C<120°， ②△PAD不是等腰三角形，理由如下： 所以sin(C+60)=2 , 故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+ 60)cos60°-cos(C+60)sin60°= √6+√2 4 作BQ⊥AD交AD于点Q,连接PQ. 18.(1)证明：因为四边形ABCD是菱形， 因为平面PAD⊥平面ABCD, 所以AD∥BC. 平面PAD∩平面ABCD=AD,BQC 因为AD中平面PBC,BCC平面PBC, 平面ABCD, 所以AD∥平面PBC. 所以BQ⊥平面PAD. 210 所以BQ⊥PD. 因为PD⊥PB,PB∩BQ=B, 所以PD⊥平面PBQ.所以PD⊥PQ. 所以AD>PD,AD>PA,QD>PD, ∠PQD<90°. 所以∠PQA>90°，所以PA>AQ. 在菱形ABCD中，∠DAB=60°，所以 △ABD是等边三角形. 所以Q为AD的中点，所以AQ=QD, 所以PA>PD. 所以△PAD不可能为等腰三角形. 19.解：(1)由已知a=(W5,1),得a=2, 由a·b=|a|b|cos0=4cos0=2√3， 可得cos0=汽， 又0≤0≤π，sin0=2, 1 a⑧b=1a1b1sing=2×2×2=2. (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则|a=√x十y,|b|=√x十y, a·b x2十M2 os0a·1b√G+·√+ .sin20=1- x1x2+yy +听·√+y, 又0≤≤π， ∴.sin0= x1y2-xay1 √x十y·√x十y .'.ab=la blsin 0=x1y2-x2y11. (3)A(-2,1),B(-1,2),C(0,4), ∴.AB=(1,1),AC=(2,3), .由(2)知AB8AC=|1×3-2X1|=1. SAAABACIsin (AB,AC)= 合×8t-2