第7章 复数学业质量评估卷-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

桃战自己，练练速度吧！ 第七章学业质量评估卷 (时间：120分钟满分：150分)》 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 然1.已知之1=2十i,2=1一2i,则复数之=2一1对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 名 C.第三象限 D.第四象限 2.设复数之满足（之一2i)(2一i)=5,则之=( h 的 和 A.2+3i B.2-3i C.3+2i D.3-2i 3.若i为虚数单位，a,bCR,且a十2i=b+i,则复数a十6i的模等于( ) i “ A.√2 B.3 C.5 D.√6 是 4.已知复数之满足之=1十(a一x)i(a>0),且|x=√5，则复数之的共轭复数2=( 思 A.1+i B.1-i C.2+i D.2-i 0 6 1 5.定义运算 ad-bc,则符合条件 4十2i(i为虚数单位)的复数之在复 平面内对应的点位于( 最 A.第一象限 B.第二象限 童 如 C.第三象限 D.第四象限 瞞 长 6.已知z是复数，且p:之=} 会：9：z+∈R则p是g的( E A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 城 7.已知之1，之2为复数，且|1=2，若之1十2=2i,则|之1一2的最大值是( 和 A.5 B.6 C.7 D.8 版 8.实数x,y,0满足关系式：x+yi=3+5cos0十i(-4十5sin0)(其中i是虚数单位)，则 x2+y2的最大值为( A.10 B.16 C.25 D.100 新 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.实数x,y满足(1+i)x十(1一i)y=2,设之=x十yi,则下列说法正确的有() A.之在复平面内对应的点在第一象限 B.|x|=√2 C.之的虚部是1 D.之的实部是1 135 10.已知复数z=-1十cos20+isin20(-乃<0<)（其中i为虚数单位），下列说法正确 选择题 答题栏 的有() 1 A.复数之在复平面上对应的点可能落在第二象限 B.之可能为实数 C.=2cos 0 D.的实部为2 4 11.已知复数=2一2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P,复数2满足|2一i=1,则 下列结论正确的有() 6 A.P1点的坐标为(2，一2) B.之1·1=8 C.|x2一之1的最大值为√13+1 D.2一1|的最小值为2√2 7 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 8 12.设复数z=(a2一1)+(a2一3a+2)i,若z2<0,则实数a的值为 13.若复数之满足①|z|≥1；②|之十i≤|一1一2i,则之在复平面内所对应的图形的面 9 积为 10 14.关于x的实系数方程x2十4x十m=0的两个复数根为a,B,且|a一B|=2,则 11 m= 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 15.(本小题满分13分)在①x十=4，②x为纯虚数，③x=二且对应的点在第一象 限内，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 已知复数z=(m2一3m十2)+(m一1)i(i为虚数单位)，之为之的共轭复数，若 ,求 实数的值或取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分） 136 16.(本小题满分15分)已知复数1=2十ai是方程x2+bx十5=0(a>0,b∈R)的一 个解。 (1)求a,b的值； (2)若复数之2满足|2一1|=|2一3i,求|z2的最小值. 17.(本小题满分15分)已知关于x的方程：x2一(6+i)x+9十ai=0(a∈R)有实数 根b. (1)求实数a,b的值； (2)若复数之满足之一a一bi一2z=0,求之为何值时，z有最小值，并求出z的 最小值. 137 18.（本小题满分17分)已知A为△ABC的内角，O为坐标原点，复数z=cosA十isin A (i为虚数单位)，且满足z一1|=1. (1)求1-之+22； (2)复数之对应的向量0立绕0逆时针旋转晋得到OZ,02对应的复数为x, 主 求之·之 举 1 多 19.（本小题满分17分)已知i是虚数单位，a,b∈R,设复数z1=2a一√3i,22=2b十i,z3= a+bi,且3=1. (1)若之1一之2为纯虚数，求3； (2)若复数1，之2在复平面上对应的点分别为A,B,且O为复平面的坐标原点. 北 ①是否存在实数α，b,使向量OB逆时针旋转90°后与向量OA重合，如果存在，求实数 潋 a,b的值；如果不存在，请说明理由； 烯 ②若O,A,B三点不共线，记△ABO的面积为S(a,b),求S(a,b)及其最大值， 斗 姆 閣 138所以5-方XQ-aF开2s' 50 所以√(x-2)2+(y-1)2= 因为(sinB+2cosβ)2≤5， √/x2十(y-3)产，整理得y=x十1. 所以S△PoR的最小值为10m2. |z2|=√x2十y2=√x2+(x十1)= 综上，应选用方案二 vx+2z+-√2(e-+, 第七章学业质量评估卷 1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.B 故当=时，取得爱小值号 8.D 9.ABD 10.BCD 11.ABC 17.解：(1).b是方程x2一(6十i)x十9十 12.-113.4π14.3或5 ai=0(a∈R)的实根， 15.解：选①：z=(m2-3m十2)-(m-1)i, ∴.(b2-6b+9)+(a-b)i=0, 由z+z=4得(t-3+2)+(m-1)i+ b2-6b+9=0, (m-3m+2)-(m-1)i=2(t-3m十2)=4， la=b, 解得m=0或m=3; 解得a=b=3. 选②：之为纯虚数， (2)设之=x十yi(x,y∈R). (m2一3m+2=0, 由|z-3-3i=2|x1,得(x-3)2+ 所以 解得m=2; (m-1≠0， (y十3)2=4(x2+y2), 选：由名产得-t-3t2+m- 即(x十1)2+(y-1)2=8, 1-i ∴.之点的轨迹是以O1(一1,1)为圆心， _Gt-4+3)+Gmt-2m十10i 2 2√2为半径的圆，如图， 又之1对应的点在第一象限内，则 m2-4m+3>0, 故m<1或m>3. m2-2m+1>0. 16.解：(1)依题意得，(2十ai)2+b(2十ai)十 5=0,即(4-a2+2b+5)+(4a+ab)i=0, 当之点在OO1的连线上时，之有最大 4-a2+2b+5=0 值或最小值， 所以4a十a.b=0 |OO=√2，半径r=2√2， a>0 .当之=1一i时，z有最小值且zmn= 解得a=1,b=-4; √2. (2)由(1)可得x1=2+i,设2=x十 18.解：(1)z=cosA+-isin A,z-1|= yi(x,y∈R), √(cosA-1)2+sinA=√2-2cosA, 则|之2-之1|=√/(x-2)2+(y-1)2, 因为|之-1川=1， |z2-3i=√x2+(y-3), 因为z2-1|=z2-3训， 所以V2-2cosA=1,所以cosA=2, 203 又因为角A为△ABC的一个内角，所 √4a2+3=√4b+1 以A=，iA=9,所以=+号 4ab-√3=0 a2+b=1 所以1++2=1-（侵+）十 \a2 (号+9，)‘-0， 解得 或 6- % 2 (2)因为z= +,由复复的肌何毫义。 因为OB递时针旋转90°后与OA重 求复数x对应的向量O立递时针旋转子 合，所以a=日6=-停 2 得到02-(-日9》， 法二：设|OA|=|O范1=r,a是以x轴 正半轴为始边，OB为终边的角，则 则0Z对应的复数为之'=一号+3： 221, ,c0sa=26, sin a=1 则…=（合+(-是+）=-1 rcos(a+2)-2a 19.解：(1)因为复数之1=2a-√3i,2= 所以 2b+i,a,b∈R, rsin(a+受)=-5 所以1-2=(2a-2b)-(W3+1)i, -rsin a=2a 即 而之1一之2为纯虚数，因此2a一2b=0, rcos ai=-√3 即a=b. -.1=2a a=- 又因为3=a十bi,且|x3=1, 所以 ,所以 所以a2十b2=1, .26=- a2+b2=1 a 2 且a=- 时，满足1之31= 由 ，解得 或 la=b 6=- ② 2 √a2+b=1. a=n 所以a=-1, 2 b=、 2 ②因为复数之1，之2对应的向量分别是 OA,OB(为坐标原点)，且O,A,B三点 所以=一 -号咨+ 不共线， (2)①存在，理由如下： 所以设向量OA,O克的夹角为0,0≤0≤ (oA=0B π，设复数所对应的向量为O心， 法一：由题意知：OA·O范=0，得 则0A=(2a,-√3)，0i=(2b,1),oC 1x31=1 (a,b)且1OC1=1, 204 因此△40B的面积Sa,b)=号1O sin 0, =21Oi1·10iV1-os0 =子o2·1o-(0·0i0m =VoAP·1o8P-(oM·1o =之V4c+3)·(4w+1)-(4a-3 =|a+√3b1, 设n=(1,w3),则S(a,b)=|n·OC1≤ |n·1o心1=2， 当且仅当b=√3a且a2+b2=1,即 2 b-V3 或 时等号成立， a=-2 1 1 a=2 所以S(a,b)=|a+√3b|,其最大值 为2. 第八章学业质量评估卷 1.D2.B3.A4.D5.B6.C7.B 8.D9.BCD10.AC11.ABC12.6 13.W214.2 15.解：(1)选择①， 由题意可得圆柱的底面圆的半径r= 合AB=2,高为A=AD=6, 则该圆柱的体积为V=Sh=πX22X 6=24π. 选择②， 由题意可得圆柱的底面圆的半径r= 合AB-2,高为A-AD学-6， 4 则该圆柱的体积为V=Sh=πX2X 6=24π.