第6章 易错排查矫正练-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

、第六章平面向量及其应用 易错排查 易错点①概念理解错误 1.给出下列三个命题：①若|a=0,则a=0; ②若|a=b1,则a=b或a=一b:③若a∥b, 则|a=b|.其中，是真命题的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.已知e1≠0，入∈R,a=e1十e2,b=2e1,则a 与b共线的条件为() A.λ=0 B.e2=0 C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0 3.（多选)下列关于平面向量的说法中，正确的 有() A.已知a,b均为非零向量，若a∥b,则存在 唯一实数入，使得a=b B.在△ABC中，若AD-A+号AC,则点 D为BC边上的中点 C.已知a,b均为非零向量，若|a十b|=|a b,则a⊥b D.若a·c=b·c且c≠0，则a=b 4.已知e1,e2是平面a内的一组基底，那么下 列说法中正确的有 （只填序号). ①e,e2两个向量可以共线，也可以是零 向量； ②λe1十e2可以表示平面a内的所有向量； ③对于平面a内的任意向量a,使a=e1十 e2的实数，μ有无数对. 28 ·数学· 矫正练 易错点2混淆概念而致错 5.如图所示，已知△ABC中， |BC=5,|CAI=8,∠ACB= 60°，则BC.CA= 6.在锐角三角形ABC中，b=1,c=2,则a的 取值范围是 7.在某次军事演习中红方为了准确分析战场 形势，在两个相距为的军事基地C和D, 测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B 处，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA= 60°，∠ACB=45°.如图所示，则蓝方这两支 精锐部队的距离为 30 451 D230°60凡 8.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若A户= AB十λAC(λ∈R),试求当点P在第三象限 时，入的取值范围. 小题限时强化练了 9.在△ABC中，B=3A,求的取值范围. 10.在△ABC中，内角A,B,C及其所对应边 a,b,c满足：角C为钝角，c-b=2 bcos A. (1)求证：A=2B; (2)若6=？，求a的取值范围。 小题限时 强化练 (时间：45分钟 分值：73分) 1.在△ABC中，AC=√6，BC=2,B=60°，则角 A号 B C-3D.-号 C的值为() 4.如图所示，为了测量某湖泊两侧A,B间的距 A.45 B.30° C.75 D.90° 离，李宁同学首先选定了与A,B不共线的一 2.已知a=3,b|=2,向量a,b的夹角为60°， 点C(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为 如果(3a+5b)⊥(ma一b),那么m的值为 a,b,c),然后给出了三种测量方案：①测量 A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a.则一 A器 器 定能确定A,B间的距离的所有方案的序号 为( c器 n号 3.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD 2D,CD-3CA+aCB,则入=() A.①②B.②③ C.①③ D.①②③ ·数学· 29因为A市=入AB,AO=(1-)AC, 因为6+c≥2V,所以e≤b+c)2 4 所以B0-（1-2)AC-AB,C市-xA亩- 所以12≥3(6+c)2,得6十c≤4， 4 AC, 当且仅当b=c=2时取等号.（点拔：运 所以动.C市=[(1-)A心-A边]： 用基本不等式求最值时，注意等号是否 可以取到) aA范-AC)=(分-1)A衣-AA市+ 所以b十c的最大值是4. (1+x-号)A庙·A心， 法二：12=+2+k=(b+）°+子2， 因为AC=|AC12=9,AB=|AB12= 令6+号=25cos0,9c 2c-23sin 0, 4,Ai.AC=|AB1·1AC1cos60°=2X 则b=2√3cos0-2sin0,c=4sin0, 3×2=3, 所以b+c=2sin0+2V3cos0=4sin（0+ 所以Bà·C=(合-1）×9-4以+ 5)≤4， 3(1+A-)=-是+号A-6, 当且仅当0=若十2kx(质∈D,即6=c=2 函数y=-+号X-60<<1)开口 时等号成立.（点拨：三角函数的有界性) 所以b十c的最大值为4. 向下，对称轴为入= 2 跟踪训练6解：(1)由余弦定理推论可得 2x(-) 3 cas60=名安分×8即b=1+点 当X-号时，取最大值y=一多×（号）十 :D为BC边的中点，所以A市=号A市+ ×号6=一6=故选N 号C 例6解：(1由题可得，sin C=(合sinA+ 即41AD12=A2+|AC12+ 2AB11AC1cos60°， 5osA,结合正孩定理可得si咖Asi咖C 所以1A市1=√10+4√3 2 名如Asmc+9 sin Ccos A, (2)不妨设AD=x, 因为sinC≠0，所以号sinA=c。 ,AD为∠BAC的角平分线，由面积公 2 cos A, 式有S△ABC=S△ABD十S△ACD, 得tanA=√3， 合×2x1+5)×sin60=合×2z× 因为A∈(0，π)，所以A= 3 sin30°+2×(1+3 zXsin30°， (2)易知A市=2（站+A心，（技巧：向 得x=2, 量的平行四边形法则) .AD=2. 两边同时平方得A市=寻(A市+A心+ 易错排查矫正练 2AB.AC),12=c2+62+6c. 易错点1概念理解错误 法一：12=c2+b2+bc可化为12= 1.A解析：根据相关概念可知，这三个结 (b+c)2-bc, 论都不正确. 163 定，其表示是唯一的，所以②正确，③ 本题易对概念理解不正确或不全面而错选.如 错误， 认为①正确是忽略了0与0的区别，由|a=0 可知a是零向量；认为②正确是把两个向量的 对平面向量基本定理的学习要把握以下几点： 模相等和两个实数的绝对值相等混淆了，两个 (1)e1,e2是同一平面内的两个不共线 向量的模相等，只能说明它们的长度相等，并 向量； 不意味着它们的方向是相同或相反的；认为③ (2)②该平面内的任意向量a都可用e1,e2 正确是因为对两个向量平行的意义理解不透 线性表示，且这种表示是唯一的； 分 彻造成的，两个向量平行，可以得到它们的方 (3)③对基底的选取不唯一，只要是同一平 向相同或相反，不能得到它们的模相等， 面内的两个不共线向量都可以作为一组 基底 2.D解析：设a=kb,则e1十e2=2ke1,所 易错点2混淆概念而致错 以(1-2k)e1+e2=0, 5.-20解析：因为1BC1=5,1CA1=8, 所以(2k-1)e1=ae2. BC与CA的夹角0=180°-∠ACB= 因为e1≠0，所以若2k一1≠0，则e1= 120°，所以BCCA=|BC1|CA|cos0= 2k-,此时0∥e2;若2k-1=0,则 5×8×c0s120°=-20. 如果没有准确把握两个向量的夹角这一概 λ=0或e2=0. 易 念，在解答本题时，就会误认为武与C方的 因为0与任意向量平行，所以e2≠0， 夹角为∠ACB,从而得到错误答案20.根据 所以a与b共线的条件为e1∥e2或入= 分 图形求两个向量的数量积时，要注意根据 0.故选D. 析 图形特点分析向量的夹角是相应线段所成 的角还是该角的补角。 若没有准确把握基底的概念，解答本题时 就容易得到下面的错解：设a=b,则e十 6.(W3W5)解析：，锐角三角形ABC中， Ae2=2ke1,所以(1-2k)e1+e2=0,所以 b=1,c=2, 易 1一2k=0或A=0,故选A. ∴，分两种情况考虑；①若C为三角形 分 平面内任意一对不共线的向量都可以作为 ABC中的最大角，即a≤c,可得a> 表示该平面内所有向量的一组基底，一定 要注意“不共线”这一条件，在做题时容易 √c2-b=√3，此时a的取值范围为√3< 忽略此条件而导致错误，同时还要注意零 a≤2；②若A为三角形ABC中的最大 向量不能作为基底. 角，即a>c,可得a<Vc2十b=√5，此时 3.ABC解析：A选项，根据向量共线的知 a的取值范围为2<a<√5.综上，满足条 识可知，A选项正确，B选项，AD= 件的实数a的取值范围是V3<a<√5. 合A店+2A衣-号(A$+A心，根据向量 在解答中易忽略题目中对锐角三角形的限 加法的运算可知点D为BC边上的中 易错分 制，而根据两边之和大于第三边，两边之差 小于第三边求解而出错；也易忽略C也可 点，B选项正确.C选项，由|a十b= 能为最大角而出错 |a一b两边平方并化简得a·b=0,所 以a⊥b,C选项正确.D选项，a·c=b· 7.6 解析：（法一）由题意知∠ADC c是一个数量，无法得到两个向量a,b相 ∠ADB+∠BDC=60°， 等，D选项错误 又因为∠ACD=60°，所以∠DAC=60°. 4.②解析：由平面向量的基本定理知，只 有不共线的两个向量才能作为平面向量 所以AD=CD=AC= 2a. 的一组基底，所以①错误；任一平面向量 在△BCD中，∠DBC=180°-30°-105°= 都可以用一组基底线性表示，且基底确 45°， 164 BD CD 由正孩定理得sin∠BCD一sin/DBC' 所以BD=CD·sinBCD=。 sin∠DBC 2a. √6+2 4-3+3 4a, 2 在△ADB中，由余弦定理得 AB2=AD2+BD2-2AD·BD· cos∠ADB=子a+(3+。厂-2： 4 所以AB=√ 4. (法二)在△BCD中，∠CBD=180°一 30°-105°=45°， 由正孩定理得BC CD sin 30 sin 45, 则BC=CD sin30°_V6 sin45° 4a, 在△ACD中，∠CAD=180°-60°-60°=60， 所以△ACD为等边三角形.因为∠ADB= ∠BDC, 所以BD为正△ACD的中垂线，所以 AB=BC= 4a. 在解含有两个或两个以上三角形的问题时 应先根据条件应用正弦、余弦定理或三角 易 形内角和定理在一个三角形中求解边和 角，再在此基础上求解另一个三角形，以此 分 类推，首选哪一个三角形至关重要，原则是 首选三角形与其他三角形有一定联系，且 方便求解，该题图中三角形较多，若审题不 细的话易导致计算复杂或者无从下手 8.解：由已知得A产=AB+λAC=(5-2, 4-3)十λ(7-2,10-3)=(3,1)+λ(5， 7)=(3+5λ，1+7λ)， 设点P(x,y),则A户=(x-2,y-3), 于是(x-2,y-3)=(3+5λ，1+7λ)，即 x-2=3+5λ， y-3=1+7λ. 又因为点P在第三象限，所以 x=5+5λ0， 解得λ<-1. y=4+7λ<0， 横范因为（停，小 所以入的取值范围为(-∞，一1) 分 本题易忽略角C的范围，从而得出角 错 B的错误范围而致误， 本题易混淆向量的坐标和点的坐标而 易错 致误，向量的坐标反映的是向量的长 小题限时强化练 度和向量的方向，与终点坐标无关， 9,解：由正弦定理得b=sinB-sin3A 1.C2.C3.A4.D5.C6.B7.D a sin A sin A 8.A 9.BCD 10.AD 11.ACD sin (A+2A)sin Acos 2A+cos Asin 2A 12.2√5 sin A sin A 13.30°14.-18 5 cos 2A++2cosA=4cos2A-1. 大题冲关规范练 A+B+C=180°，B=3A...A十B=4A 180°， 1.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得 0A号sA AB BD Sin∠BDA-sin∠BAD' 在△ACD中，由正弦定理得，sin/CDA AC 1<40os2A-1<3,1<b<3. a DC 易忽略三角形内角和为180°及角A的取 sin∠CAD 易 值范围，从而导致台的取值范围求错。解 因为∠CDA+∠BDA=元， 错 三角问题，角的取值范围至关重要.一些问 可得sin∠CDA=sin∠BDA, 分 题中，角的取值范围隐含在题目的条件中， 又因为AB=λAC,BD=λDC,所以 若不仔细审题，深入挖据，往往易疏漏而导 LAB 致解题错误. BD sin∠BDA sin∠CAD' 10.(1)证明：由c一b=2 bcos A, 所以 BD BD 得sinC-sinB=2 sin Bcos A.① sinZCAD=sin∠BAD'可得 在△ABC中，因为C=元-(A十B), sin∠CAD=sin∠BAD,所以∠CAD= 所以sinC=sin(A+B), ∠BAD 所以sin(A+B)-sinB=sin Acos B十 又因为∠BAC=经，所以∠CAD sin Bcos A-sin B=2sin Bcos A, 整理得sin(A一B)=sinB. ∠BAD=x …6分 因为C为纯角，所以0<B<受，一受< (2)在△ABD中，由正弦定理得 2 AB+AD sin∠ADB+sinB A-B<受， BD sin∠BAD 所以A一B=B,故A=2B. sin (B+)+sin B sin等 2( sin B+ (2②)解：由正孩定里及1)得品B sinA2sinB”cosB,因为6=2，所 a 7cosB)=2sin(B+若）： 以a=2 bcos B=cosB.因为角C为钝 因为∠BAC-,可得B∈(O,), 角，所以0<A+B=2B+B<5,即0< 所以B+晋∈（答，受），可得sin(B十 B<吾，所以号<cosB<1,所以a的取 )∈(2,1)， 165 所以AB+AD∈1,2)，即ABLAD的取 BD BD IBCm2mn cos 值范围为(1,2).… 13分 (m2+n2+mn)x2, 故由|AC|2+|AB|2=|BC12得(n2+ n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+ B D mn)x2, 2.解：(1)由已知△ABC中cos2B+cos2C- 即m十n十2=mn,而m>0,n>0,故m十 cos 2A=1,Ep 1-2 sin2 B+1-2 sin2C- 1+2sin2A=1, n+2=mm≤(m士）， 故sin2A=sinB十sinC,由正弦定理可 当且仅当m=n,结合m十十2=mn,解 得a2=b2+c2, 得m=n=1十√3时，等号成立， 故△ABC直角三角形，即A=T」 2 ，·4分 又m十n=t,即有t-4t-8≥0，解得t≥ (2)由(1)A=受，所以三角形ABC的三 2十23或t≤2-2√3（舍去）， 故实数t的最小值为2十2√3.…15分 个角都小于120°， 则由费马点定义可知：∠APB=∠BPC 第七章 复 数 ∠APC=120°， 设|PA|=x,|PB|=y,|P心|=x,由 课时夯基过关练 S△APB十S△BPC十S△APC=S△ABC得 7.1复数的概念 2 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 号×2，整理得xy十z十x8=4 3 核心素养达标·夯实基础 则PA·P克+P克.P心+P才.P心 1.A 2.C 3.C4.A 5.ACD 6.ABC =xw·(-）+z(-2)+xx… 7.c8-1299号 2 10.②③ (-2）=-×45-2 · …9分 m2-2m=0, 11.解：(1)当 即m=2时，复 m≠0， 数之是实数 (2)当m2-2m≠0，即m≠0，且m≠2 时，复数之是虚数 A (3),点P为△ABC的费马点，则∠APB= (m2+m-6=0 (3)当 n 即m=一3时， ∠BPC-∠CPA-, m2-2m≠0， PBI=m PAl,PC=n PA, 复数之是纯虚数 |PA|=x,m>0,n>0,x>0, 利用复数的分类求参数的值或取值范围 则由|PB|+|PC=t|PA|得m+n=t. 的一般步骤： 由余弦定理得|AB|2=x2十m2x2 (1)判定复数是否为a+bi(a,b∈R)的形 规 式，实部与虚部分别为哪些； r=(m2+m+1)x, 2mx'cos3 律总结 (2)依据复数的有关概念将复数问题转化 =(n+ 为实数问题； ACl2=x2+n2x2-2nx2cos 3 (3)解相应的方程（组）或不等式（组）； n+1)x2, (4)求出参数的值或取值范围 166 核心素养培优·拓展提升 1.ABC2.-13.-3或号 4.解：由题意，知P=Q, 所以(m2-2m)十(m2十m一2)i=4i, m2-2m=0, 所以 解得m=2. m2+m-2=4, 7.1.2复数的几何意义 核心素养达标·夯实基础 1.D 2.B 3.B 4.C 5.AD 6.ABD 7.C8日+4i9.3-i(答案不唯-） 10.(0,1U[8,+oy 11.解：(1)由题意3a-2=0,a= 3； (2)由已知z|=√(3a)2+(3a-2)2= 0,解得a=1或a=- 3 (3)复数之对应，点坐标为(3a,3a-2),它 3a<0 在第三象限，则 解得a<0. 3a-2<0 .a的范围是(-∞，0). 12.解：(1)由题意可得f(x)=3x十(x2一 x)=x2+2x, 因为f(x)=8,所以x2十2x=8, 又x>0,所以x=2,即之=6-2i, 所以之在复平面内对应的点的坐标为 (6,-2). (2)因为f(x)=(x十1)2-1，所以当 x=一1时，f(x)取得最小值，此时，之= -3-2i,则之=-3十2i. 核心素养培优·拓展提升 1c263843(-5,-1-V1 5.解：(1)因为zo=lg(a2-4a十4)+(a2- 3a十2)i为纯虚数， lg(a2-4a+4)=0 所以 a2-3a+2≠0 「a2-4a+4=1 即a2-3a+2≠0 ,解得a=3,