第10章 小题限时强化练&大题冲关规范练-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

、第十章概率 小题限时 (时间：50分钟 1.下面四个选项中，是随机现象的是( A.守株待兔 B.水中捞月 C.流水不腐 D.户枢不蠹 2.打靶3次，事件A:表示“击中i发”，其中i= 0,1,2,3.那么A=A1UA2UA3表示( ) A.全部击中 B.至少击中1发 C.至少击中2发D.以上均不正确 3.同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5 点且不是6点”的对立事件为( A.一个是5点，另一个是6点 B.一个是5点，另一个是4点 C.至少有一个是5点或6点 D.至多有一个是5点或6点 4.从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取 出的两个数不连续的概率为() A号 B c号 5.某射箭运动员进行射箭训练，射箭60次，统 计结果如下： 环数 45 6 910 击中的 4461012138 次数 则估计他击中的环数不小于8的概率为 A.0.46B.0.55C.0.57D.0.63 6.设甲、乙两个厂家生产同一款产品的市场占 有率分别为子和子，且甲、乙两厂生产该款 产品的合格率分别为80%和90%.则从市 场上买到一个合格品的概率为() A. B C.o D.s 128 ·数学· 强化练 分值：73分) 7.利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表 示产生的随机数为1，出现反面表示产生的 随机数为2.小王抛两次，则出现的随机数之 和为3的概率为() c D 8.已知事件A,B,且P(A)=0.6,P(B)=0.7, 如果A与B互斥，那么P(AB)=1;如果A 与B相互独立，那么P(A十B)=2,则1， p2分别为() A.1=0,2=0.9 B.p1=0.42,p2=0.9 C.p1=0,p2=0.72 D.p1=0.42,p2=0.45 9.（多选)张明与李华两人做游戏，则下列游戏 规则中公平的有() A.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数 为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数 则李华获胜 B.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚 正面向上则张明获胜，两枚都正面向上 则李华获胜 C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑 克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑 色的则李华获胜 D.张明、李华两人各写一个数字6或8，两 人写的数字相同则张明获胜，否则李华 获胜 10.(多选)已知事件A,B是相互独立事件，且 P(AB)=6,P(AB)=2,则() A.P(A) B.P(B)- C.P(AB)- D.P(AB)= 11.（多选)当下，通过直播带货来助农，不仅为 更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当 地农民销售出了农产品，促进了当地的经 济发展.某直播平台的主播现要对6种不 同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6 种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为 1~6,然后将其放入一个箱子中，从中有放 回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一 次取出的脐橙的标号为a1,第二次为a2,设 A=[品]，其[]表示不超过x的最大整 数，则( A.Pa+a,=5)=号 B.事件a1=6与A=0互斥 C.P(a1>a2)=i D.事件a2=1与A=0对立 大题冲关 1.(本小题满分15分)某中学根据学生的兴趣 爱好，分别创建了“书法”“诗词”“理学”三个 社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这 三个社团成功与否相互独立.2023年某新 生人学，已知他通过考核选拔进人该校的 “书法”“诗词”“理学”三个社团的概率依 次为m,3,n,三个社团他都能进人的概 率为4至少进入一个社团的概率为， 且m>n. 大题冲关规范练了 12.已知A,B是独立事件，P(AUB)=0.6, P(A)=0.4,则P(B)= 13.如图，由甲、乙两人在5次综合测评中的成 绩茎叶图可知，两人的成绩如下：甲：88， 89,90,91,92;乙：83,83,87,9●，99，其中 乙的一个数字被污损，则甲的平均成绩超 过乙的平均成绩的概率是 甲乙 988337 2109●9 14.如图，甲、乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、 石头、布)比赛决胜谁首先登上第3个台 阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方 登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时 两人都上一个台阶.如果一方连续赢两次， 那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除 非已经登上第3个台阶，当有任何一方登 上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时 恰好划拳3次的概率为 3 2 1 平地 规范练 (1)求m与n的值； …数学· 129 、第十章概率 (2)该校根据三个社团活动的安排情况，对 进入“书法”社的同学增加校本选修学分1 分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学 分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选 修学分3分.求该新同学在社团方面获得校 本选修课学分分数不低于4分的概率。 130 ·数学· 2.(本小题满分15分)第24届冬奥会于2022 年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥 热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥 会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A (滑雪)，B(滑冰)，C(冰球)三类问题中选择 一类.该类题库随机提出一个问题，该选手 若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余 下两类问题中选择一类继续回答.该类题库 随机提出一个问题，该选手若回答正确则取 得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需 要回答由最后一类题库随机提出的两个问 题，两个问题均回答正确该选手才可取得复 赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回 答A,B两类问题的概率均为子，能正确回 答C类问题的概率为2，每题是否回答正确 与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互 独立 (1)已知选手甲先选择A类问题且回答正 确，接下来他等可能地选择B,C中的一类 问题继续回答，求他能取得复赛资格的 概率； (2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲 应如何选择各类问题的回答顺序？请说明 理由，P(AB)=P(A)·P(B), (d,e),(e,A),(e,B),(e,C),(e,d). 事件A与B是独立事件，故①正确； 共20个. 对于②，事件B与事件C不能同时发 其中甲抽中选择题、乙抽中填空题的结 生，.事件B与事件C是互斥事件，故 果有(A,d),(A,e),(B,d),(B,e),(C, ②正确； d),(C,e),共6个. 对于③，事件C与事件D不能同时发 所以甲抽中选择题、乙抽中填空题的概 生，但能同时不发生，是互斥但不对立事 率为P=20=10 63 件，故③错误； 对于④，D口A∩B,故④错误.故选B. 该题易忽略“甲、乙依次抽取”的限制，误认为 “一次抽取两道试题”，导致基本事件数求错.在 本题产生错误的原因在于把“互斥”和“对 易 列举基本事件时，首先要搞清基本事件是否与 立”混淆.要搞清对立事件与互斥事件的联 错 顺序有关，如该题中(A,B)与(B,A)是两个不同 系与区别，这两者的联系与区别主要体现 分 的基本事件，因为“甲选A,乙选B”与“甲选B, 在以下三个方面： 析 乙选A”显然是不同的结果.破解此类问题最有 (1)两事件对立，必定互斥，但互斥不一定 效的方法就是交换次序，看是否对结果造成影 对立； 响，有影响就是“有序”，无影响就是“无序” (2)互斥的概念适用于多个事件，但对立的 示 概念只适合于两个事件： 5.解：(1)一共可能出现“两枚正面”“两枚 (3)两个事件互斥只表明这两个事件不能 反面”“第一枚正面，第二枚反面”“第一 同时发生，即至多只能发生其中一个，但可 枚反面，第二枚正面”，4种不同的结果 以都不发生；而两个率件对立则表示它们 (2)出现“一枚正面，另一枚反面”的情况 有且仅有一个发生 有2种。 3.解：记事件“出现1点”“出现2点”“出现 误 本题易将“一正，一反”“一反，一正”两种情 3点”“出现5点”分别为A1,A2,A3,A4, 区 形错认为“一正，一反”一种情形，在题干中 由题意知这四个事件彼此互斥。 警 若强调了“先后”“依次”“顺序”“前后”，就 P(AUB)=P(A)+P(A2)+P(A)+ 必须注意领序问题。 PA)-++后+日-号 6.解：考虑顺序时，所有的基本事件可以表 6 示为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)， 该题容易误以为事件A与事件B是互斥 (2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), 错 事件导致错误地使用互斥事件的概率加法 分 (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3), 公式求解，从而得到错误的结果 (4,4),基本事件共有16个，其中符合题 易错点2混淆“有序”“无序”致误 意的如划线所示，共有6个.所以P(两张 4 牌点数之和不小于6)=16=8 63 解析：记选择题为A,B,C,填空题 为d,e,则甲、乙两人依次抽取，不同的 易 本题易忽视“顺序性”，其中(1,2)与(2,1) 结果有 是不同的基本寧件，也是互斥事件.对于有 (A,B),(A,C),(A,d),(A,e),(B,A), 分 放回地抽取而出现(1,1)这样重复的事件 析 (B,C),(B,d),(B,e),(C,A),(C,B) 时，基本率件必须看作和顺序有关. (C,d),(C,e),(d,A),(d,B),(d,C),7.解：每次游戏时，所有可能出现的结果如 199 下表： 10.解：任意抛掷两枚骰子，由于骰子质地 y 口 均匀，因此可以看成是等可能事件其 (土，土) (土，口) (土，木) 结果可表示为数组(i,j)(i,j=1,2,…, 口 (口，土) (口，口) (口，木) 6),其中i,j分别表示两枚骰子出现的 木 (木，土) (木，口) (木，木) 点数，共有6×6=36（种）. 共有9种结果，且每种结果出现的可能 (1),点数相同的数组为(i,i)(i=1, 性相同.其中，能组成上下结构的汉字的 2,·,6),共有6种结果，故出现点数相 结果有4种：（土，土）“圭”，（口，口) 可的就率为品一方 “吕”，（木，口）“杏”或“呆”，（口，木）“呆” (2)出现，点数之和为奇数的有(1,2)， 或“杏”，所以小敏获胜的概率为号，小慧获 (1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5), 胜的概率为号，所以这个辩戏对小慧有利。 (3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3), (4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1), 在计算基本事件总数时，如果分不清“有 (6,3),(6,5),共18个 误 序”和“无序”，那么就会出现“重算”或“漏 区 因此点教之和为专数的概率为器=司 算”的错误.突破这一思维障碍的有效方法 警 示 是交换次序，看是否对结果造成影响，有影 (3)点数之和为偶教的概率为1一2=2， 11 响就是“有序”，无影响就是“无序” 利用古典概型的概率公式求解时， 易错点3混淆“等可能性”与“非等可能性” 误 不仅应满足所有的基本事件只有有 8 解析：选出1人的所有可能结果有8 示 区 限个，而且应满足试验的每个基本 事件是等可能发生的. 种，即共有8个基本事件，其中选中女生 的基本事件有3个，故选中女生的概率 小题限时强化练 1.A2.B3.C4.C5.B6.C7.A 利用古典概型的概率公式求解时，不仅应 8.C 9.ACD 10.ACD 11.BC12.3 易 满足基本事件的有限性，还要满足“等可能 性”.该题易出现的问题就是误认为选出的 4 分 13. 14.2品 结果只有两种：男生、女生，所以误认为所 析 求概率为号 大题冲关规范练 1 1.解：(1)由题意，得 9.9 解析：从每个口袋中各取一张卡片， 1 组成62=36种有序卡片对，其中两数之 3mn=24' 和为7的卡片对为(2,5)，(3,4)，(4,3)， 112 (1-m)(1-n)=3 4 (5,2)共4种情况，所以，两数之和为7 m>n, 的概率为P= 41 3691 m= 2 分 解得 …7分 易忽视事件的“等可能性”要求 错 200 (2)设该新同学在社团方面获得校本选 修课学分的分数为i（i=0,1,2,3,4, 5,6), 获得课本选修课学分分数不低于4分为 事件A, 则P=40=×号×-： Pi=5=×日× P(i=6)=×号×号 11 故P(A)=+1+11 12十24十24=6…15分 2.解：(1)甲接下来选择回答B类问题并取 得复赛责格的就率为号×（号+号× 甲接下来选择回答C类问题并取得复赛 资格的概率为2×（合+号×号×号） 13 36’ “所表挺率为号十品-器 …7分 (2)由于甲回答A,B两类问题的概率相 同，故只需考虑ABC,ACB,CAB这三种 回答顺序， 按ABC顺序回答，取得复赛资格的概率 为号×（号+3×号×2）-2， 按ACB顺序回答，取得复赛资格的概率 为号×合+2×号×号)=号 按CAB顺序回答，取得复赛资格的概率 为2×（号+号×号×号）-品 >景品 .按ABC或BAC顺序回答问题取得复 赛资格的概率最大.…15分