第6章 小题限时强化练&大题冲关规范练-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

小题限时强化练了 9.在△ABC中，B=3A,求的取值范围. 10.在△ABC中，内角A,B,C及其所对应边 a,b,c满足：角C为钝角，c-b=2 bcos A. (1)求证：A=2B; (2)若6=2，求u的取值范围。 小题限时 强化练 (时间：45分钟 分值：73分) 1.在△ABC中，AC=√6，BC=2,B=60°，则角 A号 B C-3-号 C的值为() 4.如图所示，为了测量某湖泊两侧A,B间的距 A.45 B.30° C.75° D.90° 离，李宁同学首先选定了与A,B不共线的一 2.已知a=3,b|=2,向量a,b的夹角为60°， 点C(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为 如果(3a+5b)⊥(ma一b),那么m的值为 a,b,c),然后给出了三种测量方案：①测量 A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a.则一 A器 器 定能确定A,B间的距离的所有方案的序号 为( c器 n号 3.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD 2Di,C市=号ci+AC弦，则入=() A.①②B.②③ C.①③ D.①②③ …数学· 29 、第六章平面向量及其应用 5.已知向量a,b满足|a|=1,b|=2,且a在b10.(多选)在△ABC中，角A,B,C的对边分别 方向上的投影与b在a方向上的投影相等， 为a,b,c,若b=2√3，c=3,A十3C=元，则下 则|a一b1=() 列结论正确的有() A.1 B.√3 A.cos C=3 3 B.sin B=2 C.√5 3 D.3 C.a=3 D.S△ABC=√2 6.已知向量a=(2,0),b=(如，)，若向量b在 11.（多选)已知平行四边形ABCD的面积为4， 向量a上的投影向量c=(分0)，则a+b1= coS∠BAD=- 号，且D位=3C,萨- 一2F心，则( ) A.√3 B.7 1 5 A流十市的最小值为2 C.3 D.7 B.当AB在AD上的投影向量为-AD时，AB· 7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b, c,且△ABC的面积S△ABC=√3，SAABC= 心-片 停a+-).则ai,B-() C.EA·F团的最小值为56-5 2 A.√3 B.-√3 D.当AB在AD上的投影向量为一AD时，EA· C.2 D.-2 i-号 8.在△ABC中，D为边BC上一点，∠DAC= 12.已知a=4,a与b的夹角0为30°，则a在b 号AD=4,AB=2BD,且△ADC的面积为 方向上的投影为 4√3，则sin∠ABD=( ) 13.在△ABC中，a2-=√3bc,sinC=2√3sinB, A.5-3 B.⑤+3 则A= 8 8 14.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利 C,5-3 D.5+3 用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人 4 4 称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角 9.（多选)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c= 三角形与一个小正方形拼成的一个大正方 (m一2，一n),其中m,n均为正数，且(a 形，如图所示，在“赵爽弦图”中，大正方形边 b)∥c,下列说法正确的有( 长为2，A户=3A它，则A方.G谚= A.a与b的夹角为钝角 B向量a在b方向上的投影向量为号 C.2m+n=4 D.mn的最大值为2 30·数学· 大题冲关规范练 大题冲关规范练 1.(本小题满分13分)在△ABC中，AB=λAC|2.(本小题满分15分)“费马点”是由17世纪法 Q>0),∠BAC-2,且励-ADC 国数学家费马提出并征解的一个问题.该问 题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此 (1)求∠CAD的大小； 三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利 (2)求AB+AD, BD的取值范围。 数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三 个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC =∠COA=120°的点O即为费马点；当 △ABC有一个内角大于或等于120°时，最大 内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下 面问题：已知△ABC的内角A,B,C所对的 边分别为a,b,c,且cos2B+cos2C-cos2A =1. (1)求A; (2)若bc=2,设点P为△ABC的费马点，求 PA·P+Pi·PC+PC.PA; (3)设点P为△ABC的费马点，|PB|+ |PC=tPA,求实数t的最小值. ·数学· 31x=5+5λ0， 解得λ<-1. y=4+7λ<0， 横范因为（停，小 所以入的取值范围为(-∞，一1) 分 本题易忽略角C的范围，从而得出角 错 B的错误范围而致误， 本题易混淆向量的坐标和点的坐标而 易错 致误，向量的坐标反映的是向量的长 小题限时强化练 度和向量的方向，与终点坐标无关， 9,解：由正弦定理得b=sinB-sin3A 1.C2.C3.A4.D5.C6.B7.D a sin A sin A 8.A 9.BCD 10.AD 11.ACD sin (A+2A)sin Acos 2A+cos Asin 2A 12.2√5 sin A sin A 13.30°14.-18 5 cos 2A++2cosA=4cos2A-1. 大题冲关规范练 A+B+C=180°，B=3A...A十B=4A 180°， 1.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得 0A号sA AB BD Sin∠BDA-sin∠BAD' 在△ACD中，由正弦定理得，sin/CDA AC 1<40os2A-1<3,1<b<3. a DC 易忽略三角形内角和为180°及角A的取 sin∠CAD 易 值范围，从而导致台的取值范围求错。解 因为∠CDA+∠BDA=元， 错 三角问题，角的取值范围至关重要.一些问 可得sin∠CDA=sin∠BDA, 分 题中，角的取值范围隐含在题目的条件中， 又因为AB=λAC,BD=λDC,所以 若不仔细审题，深入挖据，往往易疏漏而导 LAB 致解题错误. BD sin∠BDA sin∠CAD' 10.(1)证明：由c一b=2 bcos A, 所以 BD BD 得sinC-sinB=2 sin Bcos A.① sinZCAD=sin∠BAD'可得 在△ABC中，因为C=元-(A十B), sin∠CAD=sin∠BAD,所以∠CAD= 所以sinC=sin(A+B), ∠BAD 所以sin(A+B)-sinB=sin Acos B十 又因为∠BAC=经，所以∠CAD sin Bcos A-sin B=2sin Bcos A, 整理得sin(A一B)=sinB. ∠BAD=x …6分 因为C为纯角，所以0<B<受，一受< (2)在△ABD中，由正弦定理得 2 AB+AD sin∠ADB+sinB A-B<受， BD sin∠BAD 所以A一B=B,故A=2B. sin (B+)+sin B sin等 2( sin B+ (2②)解：由正孩定里及1)得品B sinA2sinB”cosB,因为6=2，所 a 7cosB)=2sin(B+若）： 以a=2 bcos B=cosB.因为角C为钝 因为∠BAC-,可得B∈(O,), 角，所以0<A+B=2B+B<5,即0< 所以B+晋∈（答，受），可得sin(B十 B<吾，所以号<cosB<1,所以a的取 )∈(2,1)， 165 所以AB+AD∈1,2)，即ABLAD的取 BD BD IBCm2mn cos 值范围为(1,2).… 13分 (m2+n2+mn)x2, 故由|AC|2+|AB|2=|BC12得(n2+ n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+ B D mn)x2, 2.解：(1)由已知△ABC中cos2B+cos2C- 即m十n十2=mn,而m>0,n>0,故m十 cos 2A=1,Ep 1-2 sin2 B+1-2 sin2C- 1+2sin2A=1, n+2=mm≤(m士）， 故sin2A=sinB十sinC,由正弦定理可 当且仅当m=n,结合m十十2=mn,解 得a2=b2+c2, 得m=n=1十√3时，等号成立， 故△ABC直角三角形，即A=T」 2 ，·4分 又m十n=t,即有t-4t-8≥0，解得t≥ (2)由(1)A=受，所以三角形ABC的三 2十23或t≤2-2√3（舍去）， 故实数t的最小值为2十2√3.…15分 个角都小于120°， 则由费马点定义可知：∠APB=∠BPC 第七章 复 数 ∠APC=120°， 设|PA|=x,|PB|=y,|P心|=x,由 课时夯基过关练 S△APB十S△BPC十S△APC=S△ABC得 7.1复数的概念 2 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 号×2，整理得xy十z十x8=4 3 核心素养达标·夯实基础 则PA·P克+P克.P心+P才.P心 1.A 2.C 3.C4.A 5.ACD 6.ABC =xw·(-）+z(-2)+xx… 7.c8-1299号 2 10.②③ (-2）=-×45-2 · …9分 m2-2m=0, 11.解：(1)当 即m=2时，复 m≠0， 数之是实数 (2)当m2-2m≠0，即m≠0，且m≠2 时，复数之是虚数 A (3),点P为△ABC的费马点，则∠APB= (m2+m-6=0 (3)当 n 即m=一3时， ∠BPC-∠CPA-, m2-2m≠0， PBI=m PAl,PC=n PA, 复数之是纯虚数 |PA|=x,m>0,n>0,x>0, 利用复数的分类求参数的值或取值范围 则由|PB|+|PC=t|PA|得m+n=t. 的一般步骤： 由余弦定理得|AB|2=x2十m2x2 (1)判定复数是否为a+bi(a,b∈R)的形 规 式，实部与虚部分别为哪些； r=(m2+m+1)x, 2mx'cos3 律总结 (2)依据复数的有关概念将复数问题转化 =(n+ 为实数问题； ACl2=x2+n2x2-2nx2cos 3 (3)解相应的方程（组）或不等式（组）； n+1)x2, (4)求出参数的值或取值范围 166 核心素养培优·拓展提升 1.ABC2.-13.-3或号 4.解：由题意，知P=Q, 所以(m2-2m)十(m2十m一2)i=4i, m2-2m=0, 所以 解得m=2. m2+m-2=4, 7.1.2复数的几何意义 核心素养达标·夯实基础 1.D 2.B 3.B 4.C 5.AD 6.ABD 7.C8日+4i9.3-i(答案不唯-） 10.(0,1U[8,+oy 11.解：(1)由题意3a-2=0,a= 3； (2)由已知z|=√(3a)2+(3a-2)2= 0,解得a=1或a=- 3 (3)复数之对应，点坐标为(3a,3a-2),它 3a<0 在第三象限，则 解得a<0. 3a-2<0 .a的范围是(-∞，0). 12.解：(1)由题意可得f(x)=3x十(x2一 x)=x2+2x, 因为f(x)=8,所以x2十2x=8, 又x>0,所以x=2,即之=6-2i, 所以之在复平面内对应的点的坐标为 (6,-2). (2)因为f(x)=(x十1)2-1，所以当 x=一1时，f(x)取得最小值，此时，之= -3-2i,则之=-3十2i. 核心素养培优·拓展提升 1c263843(-5,-1-V1 5.解：(1)因为zo=lg(a2-4a十4)+(a2- 3a十2)i为纯虚数， lg(a2-4a+4)=0 所以 a2-3a+2≠0 「a2-4a+4=1 即a2-3a+2≠0 ,解得a=3,