第8章 小题限时强化练&大题冲关规范练-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

在解答关于空间几何体概念的判断题时， 异面直线所成的角小于或等于90°，所以 要注意紧扣定义，这就需要我们熟悉各种 m,n所成的角为60°，故选B. 空间儿何体概念的内涵和外延，切忌只凭 图形主观臆断，如本例若意识不到棱台各 不 侧棱延长后交于一点则会致误 易错点2求表面积时考虑不全致误 3.A解析：设圆柱的母线长为1，底面圆 易 的半径为r,则当l=2a时，2πr=a, 错 求异面直线所成的角时要注意两条异面直 线所成的角的取值范围 不 6.解：如图，连接BD,并取其中，点E,连接 当l=a时，2xr=2a,r=4,这时 EN,EM,则EN∥BC,ME∥AD,且 v-a(- .综上，该圆柱的 EN=合BC,EM=合AD,故∠ENM(或 其补角)为BC与MN所成的角， ∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的 易 角.由AD=BC,知ME=EN,∴.∠EMN= 错 解答本题时易想当然的漏掉一种情况，忘 记分类讨论。 ∠ENM=30°， 析 .∠MEN=180°-30°-30°=120°， 4.81π解析：，正四棱锥P-ABCD的五 BC与AD所成的角为60°. 个顶点在同一球面上，∴.正四棱锥 P-ABCD的外接球的球心在它的高 PO1所在的直线上，记球心为O,PO= AO=R.,'正四棱锥的底面边长为4，侧 易 两条异面直线所成的角转化为一个三角形 棱长为3A0,=号V16+I5=2V区， 错 的内角时，容易忽略这个三角形的内角可 分 能等于两条异面直线所成的角，也可能等 .P0=√9-8=1,0O1=|R-1.在 于其补角。 Rt△AOO中，R2=8+R-1|2,解得 7.解：如图，过E作EO∥AB,交BD于点 R=号，球的表面西积S=4r×(侣) 2 O,连接OF. 81π 所以 ED OD' 所以 BO OD 本题易错误判断外接球的球心的 BE 易错分析 位置， FC' 易错点3忽略异面直线所成角的范围致误 所以OF∥CD. 所以∠EOF(或其补角)是AB和CD所 5.B解析：如图，设m⊥a于点A,过点m 上的，点P(异于点A)作n的平行线交B 成的角. (易错提醒：此处易忽略指出异面直线所 于点B,设平面PAB与l交于点O,连接 成的角或所成角的补角) AO,BO.由m⊥a,n⊥B,得m⊥l,n⊥l, 则1⊥平面PAB,所以1⊥AO,l⊥BO,所 在△B0F中，OE=号AB=2. 以∠AOB是二面角，clB的平面角，所 以∠AOB=60°，可得∠APB=120°.又 OF-CD-1, 183 又因为EF=√5， 条直线没有公共点，所以可能平行，也 所以EF2=OE2+OF2, 可能异面，所以③正确；④中a与B也 所以∠EOF=90°. 可能平行. 即异面直线AB和CD所成的角为90°. 对没有公共点的两条直线的位置关系考 (易错提醒：此处易漏掉异面直线AB和 虑不全面而误选①或②，解决这类问题的 易 CD所成的角为90) 基本思路：一是逐个判断，利用空间线面 错 关系证明正确的结论，寻找反例否定错误 在求两条异面直线所成的角的大小时，一 警 的结论；二是结合几何体模型或实际空间 定要严格遵循一找二证三求值的步骤进 示 位置作出判断，但要注意在应用定理时要 行，否则易出现错误，再者要注意两条异面 准确，考虑问题要全面 错 直线所成的角应该是锐角或直角，在找角 心 的过程中，由于是空间几何体的直观图，所 小题限时强化练 以看似锐角但结果可能不是锐角，所以一 定要注意你所找的角，否则就会造成错解，： 1.C2.B3.D4.D5.A6.C7.B 进而被扣分 8.C 9.BCD 10.ACD 11.ABD 易错点4对线、面位置关系考虑不全面 12.5+1 4 13.CD∥EF14.16π 致误 8.C解析：如图所示，有相交和异面两种 大题冲关规范练 情况 1.(1)证明：在直角梯形ABCD中，因为 ∠ABC=∠BAD=,故DA⊥AB, BC⊥AB. …………………………4分 在判断两条直线的位置关系时，要考 因为EF∥BC,所以EF⊥AB. 误 警 虑全面，可通过画出相关图形帮助分 所以在折叠后的几何体中，有EF⊥AE, 区 析，从而防止遗漏. EF⊥BE, 9.D解析：对于A,当点在已知直线上时， 而AE∩BE=E,故EF⊥平面ABE. 不存在过该，点的直线与已知直线平行， …………7分 故A错；对于B,由于垂直包括相交垂直 (2)解：如图，在平面AEFD中，过D作 和异面垂直，因而过一点与已知直线垂 DG⊥EF交EF于G 直的直线有无数条，故B错；对于C,过 平面外一，点与已知平面平行的直线有无 数条，如过正方体的上底面的中心任意 作一条直线（此直线在上底面内），此直 在平面DBF中，过D作DH⊥BF交 线均与下底面平行，故C错；对于D,过 BF于H,连接GH. 平面外一点与已知平面平行的平面有且 因为平面AEFD⊥平面EBCF,平面 只有一个，故D对. AEFD∩平面EBCF=EF,DGC平面 没有考虑到点可能在已知直线上而误 AEFD,所以DG⊥平面EBCF. 警 选A;对垂直包括相交垂直和异面垂 因为BFC平面EBCF,所以DG⊥BF, 直考虑不全面而误选B. 而DG∩DH=D, 10.③解析：分别在两个平行平面内的两 所以BF⊥平面DGH,又GHC平面 184 DGH,则GH⊥BF, 所以∠DHG为二面角DBF-E的平面角. ……………………9分 在平面AEFD中，因为AE⊥EF,DG⊥ EF, 所以AE∥DG. 又在直角梯形ABCD中，EF∥BC且 EF-7(BC+AD)=3, 所以EF∥AD,所以四边形AEGD为平 行四边形， 所以DG=AE=2,GF=1. 在Rt△BEF中，tan∠BFE=名」 3· ………………………12分 因为∠BFE为三角形的内角， 所以sin∠BFE=2 ,所以GH=1X √W13 sin∠BFE=2 √13' 所以tan∠DHG= 2=√3， 2 √13 因为∠DHG为三角形的内角， 所以cos∠DHG=14 14· 故二面角DBFE的平面角的余弦值为 V14 14· ……………15分 2.(1)证明：在斜三棱柱ABCA1B1C中， 四边形ABB1A1是平行四边形， 且D为AB的中点，D1为A1B的中点， ∴.A1D1∥BD且A1D1=BD, .四边形A1DBD1为平行四边形，则 A1D∥D1B.…2分 ,AD丈平面BDC,DBC平面 BDCI. AD∥平面BDC,连接DD,如图所示， ∴.DD∥AA1∥CC,且DD=AA1= CC, 则四边形DDCC为平行四边形， .DC∥DC1,且DC中平面BDC, DCC平面BD1C, ∴.VA-ACD= 3SA4An·CD ∴.DC∥平面BD1C. ……5分 ,A1D∩DC=D,且A1D,DCC平面 =x·√36-x2 3 ADC, ∴.平面A1DC∥平面BD1C.…7分 V4Ac=2x·V36-x 3 ∴VAB,GABc=3 VA -ABC=2x·√36-x (0<x<6),设y=2x√36-x2, 即y=2√36.x2-x=2√x2(36-x2)≤ 2.t+(36-)=36,当x2=18时，即 (2)解：AC=BC,D为AB的中点， 2 .CD⊥AB. x=3√2，三棱柱ABCA1B1C1的体积最 平面A1B1C1⊥平面ABB1A1, 大，VAB,C,-ABc=36.…15分 .平面ABC⊥平面ABB1A1, 且平面ABC∩平面ABB,A=AB,CD⊥ AB,CDC平面ABC, CD⊥平面ABB1A1,CC1∥平面 ABBA1, .CC1与平面ABB1A1的距离x=CD. 第九章统 计 又ADC平面ABBA1,∴.CD⊥AD, 在Rt△A1DC中，AC=6,则AD= 课时夯基过关练 √36-x(0<x<6), 9.1随机抽样 .BD1=√36-x2.…9分 9.1.1简单随机抽样 ,CD⊥平面ABB1A1,则CD1⊥平面 ABB1A1,而AB1C平面ABB1A1, 核心素养达标·夯实基础 ∴.CD1⊥AB1, 1.D 2.C 3.B 4.A 5.ACD 且AB1⊥BC.又C1D1∩BC1=C1, 6.D7.2008.0.21 CD1,BC1C平面BDC1,∴.AB1⊥平面 9.解：文科生抽样用抽签法，理科生抽样用 BD1C,且BD1C平面BD1C,.AB⊥ 随机数法，抽样过程如下： BD1,记交点为E,则三角形AEB为直 (1)先抽取10名文科同学： 角三角形 ①将80名文科同学依次编号为1,2， '△BDE∽△ABE,且AE=AB 3,…,80 BEBD ②将号码分别写在形状、大小均相同的 器=，AB,=6,BD,=V56 纸片上，制成号签； ③把80个号签放入一个不透明的容器 B.E-2,DE-,San m,= 中，搅拌均匀，每次从中不放回地抽取一 2BE·DE-5V36-x, 个号签，连续抽取10次； ④与号签上号码相对应的10名同学的 ∴.SAA,AD=S△BB,D,=3SAB,ED1 考试情况就构成一个容量为10的样本. =√36-x2, (2)再抽取50名理科同学： 185 ①将300名理科同学依次编号为1， 9.2用样本估计总体 2,…,300; 9.2.1 ②在电子表格软件的任一单元格中，输 总体取值规律的估计 入“=RANDBETWEEN(1,300)”,生成 核心素养达标·夯实基础 一个1~300范围内的整数随机数，再利1.BCD2.C3.ABC4.A 用电子表格软件的自动填充功能得到5.0.320.366.811 50个没有重复的随机数； 7.解：(1)由频率分布直方图知组距为10， ③这50个号码所对应的同学的考试情 频率总和为1，可得(2a十2a+3a十6a十 况就构成一个容量为50的样本. 7a)×10=1,解得a=0.005. 核心素养培优·拓展提升 (2)由图可知成绩落在[50,60)分的频率 1.B2.B3.D4.30 7 为2a×10=0.1. 5.63 由频数=总数X频率，从而得到成绩落 9.1.2 分层随机抽样 在[50,60)分内的人数为20×0.1=2. 同理，成绩落在[60,70)分内的人数为 9.1.3 获取数据的途径 20×0.15=3. 对总体估计要掌握： 核心素养达标·夯实基础 (1)“表”（频率分布表）； 1.C2.C3.AD4.C5.AD6.B (2)“图”（频率分布直方图）. 7.53.5328.375009.800 规 要熟悉样本颜率分布直方图的作法： 10.解：由于学生的身高会随着年龄的增长 总 (l)求数据极差xms一xmin； 而增高，校医务室想了解全校高中学生 结 (2)决定组距和组数； 的身高情况，在抽样时应当关注高中各 (3)将数据分组； (4)列频率分布表； 年级学生的身高，并且还要分性别进行 (5)画频率分布直方图 抽查.如果只抽取高一的学生，结果一 8.解：(1)以4为组距，列表如下： 定是片面的. 分组 频数累计频数频率 这个问题涉及的调查对象的总体是某 [41.5,45.5) 2 20.0455 校全体高中学生的身高，其中准备抽取 [45.5,49.5) 9 7 0.1591 49.5,53.5) 17 8 0.1818 的50名学生的身高是样本. [53.5,57.5) 33 160.3636 57.5,61.5) 38 5 0.1136 11.解：(1)由题意，得200十100 6 [61.5,65.5) 42 4 0.0909 [65.5,69.5) 44 20.0455 合计 441.00 n 200+400+800+100+100+400,解得 频率分布直方图及频率分布折线图如图所示： n=40. ↑频率/组距 0.10 5 0.08 (2)35岁以下的人数为400100×400=4， 0.06 0.04 35岁以上（含35岁）的人数为00十100 5 0.02 041545549.553.557.561.565.569.5年龄/岁 100=1. (2)从频率分布表可以看出，选择太极拳的 核心素养培优·拓展提升 中老年人的年龄在50岁至60岁之间较 1.2492.63.404.5.7% 多，45岁以下及65岁以上中老年人较少. 186 核心素养培优·拓展提升 1.C2.D3.B 4.解：(1)，(0.015十0.025+0.050+ 0.065+0.085+0.050+0.020+0.015+ 0.005+a)×3=1, 1 .a=300 用水量在(9,12]的频率为0.065×3= 39 0.195,n=0.195=200(户） (2).(0.015+0.025+0.050+0.065+ 0.085)×3=0.72<0.8, (0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+ 0.050)×3=0.87>0.8, 15+3x89-8:7得=16.6®) (3)设该市居民月用水量最多为m吨，因 为16.6×3=49.8<70，所以m>16.6, 则w=16.6×3十(m-16.6)×5≤70， 解得m≤20.64， 答：该市居民月用水量最多为20.64吨. 9.2.2总体百分位数的估计 9.2.3总体集中趋势的估计 核心素养达标·夯实基础 1.B2.B3.D4.C5.D6.BD 7.x+3,m+3,n+38.1809.78.510.9 11.解：(1)由题意，得10×(0.032十0.03+ a+0.01+0.008)=1, 解得a=0.02. (2)因为(0.01+0.02+0.032)×10= 0.62<0.8, 0.62+0.03×10=0.92>0.8, 所以第80百分位数应位于[30,40)内. 由0+10×80-8.号=36， 可以估计这一年度的空气质量指数的 第80百分位数约为36.、第八章立体几何初步 4.正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面 上，若正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为 3,则此球的表面积为 易错点3忽略异面直线所成角的范围致误 5.已知二面角arl3的大小为60°，m,n为异面 线，且m⊥a,n⊥B,则m,n所成的角为() A.30°B.60°C.90°D.120 6.已知空间四边形ABCD中，AD=BC,M,N 分别为AB,CD的中点，且直线BC与MN 所成的角为30°，求BC与AD所成的角. 7.如图所示，空间四边形ABCD中，两条对边 AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边 MD,Bc上的点，器-既=合E5-5, 求AB和CD所成的角的大小. 小题限时 （时间：45分钟 1.如图是用斜二测画法画出的 A ∠AOB的直观图∠A'OB', 则∠AOB是() A.锐角 B.直角 C.钝角 D.无法判断 2.若m,n是两条不同的直线，a,B,Y是三个不 同的平面，则下列命题中的真命题是( 80·数学· 易错点④对线、面位置关系考虑不全面致误 8.分别和两条异面直线相交的两条不同直线 的位置关系是() A.相交 B.异面 C.异面或相交 D.平行 9.下列说法中正确的是() A.过一点有且只有一条直线与已知直线 平行 B.过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直 C.过平面外一点有且只有一条直线与该平 面平行 D.过平面外一点有且只有一个平面与该平 面平行 10.给出下列说法： ①若两个平面a∥B,aCa,bCB,则a∥b; ②若两个平面a∥B,aCa,bCB,则a与b 是异面直线； ③若两个平面a∥B,aCa,bC3,则a与b 平行或异面； ④若两个平面a∩B=b,aCa,则a与B一 定相交， 其中正确的是 .(将你认为正确 的说法的序号都填上) 强化练 分值：73分) A.若mCB,a⊥B,则m⊥a B.若m⊥β，m∥a,则a⊥3 C.若a⊥Y,a⊥B,则B⊥Y D.若a∩y=m,β∩y=n,m∥n,则a∥3 3.《九章算术》是中国古代的数学专著，在卷五 《商功》中有一问题：今有沟，上广一丈五尺， 下广一丈，深五尺，袤七丈.问积几何？答 曰：四千三百七十五尺.意思是说现在有一 条水沟，截面是梯形，梯形上底长一丈五尺， 下底长一丈，水沟的深为五尺，长七丈.问水 沟的容积是多大？答案是4375立方尺.若 此沟两坡面坡度相同，某人想给此沟表面铺 上水泥进行固定，不计水泥厚度，则需要水 泥多少平方尺？（一丈等于十尺）( ) A.4375 B.1875+350√5 C.1750+350√5 D.700+350√5 4.如图所示，将无盖正方体纸盒展 开，直线AB,CD在原正方体中 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.相交成60° 5.如图，“蘑菇”形状的几何体是由 半个球体和一个圆柱体组成，球 的半径为2，圆柱的底面半径为 1,高为3，则该几何体的表面积 为() A.18π B.20π c.22号 D.26π 6.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB=2, M,N分别为A1D1,B1C 的中点，E,F分别为棱 AB,CD上的动点，则三棱锥MNEF的体积 A存在最大值，最大值为号 B存在最小值，最小值为号 C为定值t导 D.不确定，与E,F的位置有关 7.如图，PD垂直于正方形 ABCD所在的平面，连接 小题限时强化练了 PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂直的平 面有() A.8对B.7对C.6对D.5对 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=√6，CB= √3，CD是斜边的高线，现将ACD沿CD折 起，使平面ACD⊥平面BCD,则折叠后AB 的长度为() A.2 B.√3C.√5 D.3 9.（多选)截角四面体是一种半正八面体，可由四 面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶 点所产生的多面体，如图，将棱长为3的正四 面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得 到所有棱长均为1的截角四面体，则() A.该截角四面体一共有12条棱 B.该截角四面体一共有8个面 C.该截角四面体的表面积为7√3 D.该截角四面体的体积为232 12 10.(多选)如图，已知a∩B=l,A,C∈a,B,D∈B, 且A,B,C,DtL,M,N分别是线段AB,CD的 中点，则下列结论一定成立的有( ) /D A.当直线AC与BD相交时，交点一定在 直线L上 B.当直线AB与CD异面时，MN可能与l 平行 C.当A,B,C,D四点共面且AC∥1时，BD∥L D.当M,N两点重合时，直线AC与l不可 能相交 ·数学·81 、第八章立体几何初步 11.(多选)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P在线段BC1上运动，则 下列结论中正确的有 A.平面PB1D⊥平面ACD B.A1P∥平面ACD C.异面直线A1P与AD1所成角的取值范 围是(0，] D.三棱锥D1-APC的体积不变 12.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之 一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四 棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱 锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角 形底边上的高与底面正方形的边长的比值 为 大题冲关 1.(本小题满分15分)已知在梯形ABCD中， AD∥BC,∠ABC=∠BAD=,AB=BC- 2AD=4,E,F分别是AB,CD上的点，EF∥ BC,AE=2,沿EF将梯形ABCD翻折，使平 面AEFD⊥平面EBCF(如图). (1)证明：EF⊥平面ABE; (2)求二面角DBF-E的余弦值. 82 ·数学· 13.如图，a∩=CD,a∩Y=EF,β∩y=AB,AB∥ a,则CD与EF的位置关系为 14.如图，在正四棱台ABCD A1B1C1D1中，A1B1= √2，AB=2√2，该棱台 体积V=143 ,则该棱 台外接球的表面积为 规范练 2.(本小题满分15分)如图，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，AC=BC,D为AB的中点，D1为 A1B1的中点，平面A1B1C1⊥平面ABB1A1, 异面直线BC1与AB,互相垂直. (1)求证：平面A1DC∥平面BD1C1; (2)已知A1C=AB1=6,设CC1到平面 ABB1A1的距离为x,试问x取何值时，三棱 柱ABCA1B1C1的体积最大？并求出最 大值.