第8章 专题强化练10 平面图形的翻折问题（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

专题强化练10　平面图形的翻折问题 1.(2025北京中关村中学期中)将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,折起后点D记为D'.若BD'=1,则三棱锥D'-ABC的体积为(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 2.(2025江西丰城中学月考)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别为AB,BC的中点,将△ADE,△BEF,△CDF分别沿DE,EF,DF折起,使A,B,C三点重合于点A',则三棱锥A'-DEF的外接球的体积为(　　) A.8π　　B.6π　　 C.4π　　D.2π 3.(2025江苏无锡第一中学期中)在等腰梯形ABCD中,已知AD∥BC,AD=AB=DC=BC=1,将△ABD沿直线BD翻折成△A'BD,则当三棱锥A'-BCD的体积最大时,以A'C为直径的球被平面A'BD所截的截面面积为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.(多选题)(2025北京第二中学月考)如图,将一副三角尺拼成平面四边形,将等腰直角△ABC沿BC向上翻折,得三棱锥A-BCD,设CD=2,点E,F分别为棱BC,BD的中点,M为线段AE上的动点,下列说法正确的是(　　) A.在翻折过程中,不存在某个位置使得AC⊥CD B.若AB⊥CD,则AD与平面BCD所成角的正切值为 C.当三棱锥A-BCD的体积取得最大值时,AD与平面ABC所成角的正弦值为 D.当AB=AD时,CM+FM的最小值为 5.(2025上海大学附属中学期中)如图所示,在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,沿BD将△BCD折起,使得点C在平面ABD上的射影落在AB上,则直线BC与平面ABD所成的角为　　　　.  6.(2025江苏南通海门月考)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,E是AD的中点,且AB=BC=AE=a,设AC∩BE=O,将△ABE沿BE折起向C点旋转(旋转过程中A点记为A1,且A1与C不重合),则CD与平面A1OC所成角的大小为　　　　,点C到平面A1OD的距离的最大值是　　　　.  答案与分层梯度式解析 专题强化练10　平面图形的翻折问题 1.A 2.A 3.B 4.BC 1.A　设正方形ABCD的对角线交点为O, 易知D'O⊥AC,BO⊥AC,平面ACD'∩平面ABC=AC,D'O⊂平面ACD',BO⊂平面ABC,∴二面角D'-AC-B的平面角为∠D'OB, ∵BD'=1,D'O=BO=, ∴D'O2+BO2=BD'2,∴∠D'OB=90°, ∴平面ACD'⊥平面ABC,又D'O⊂平面ACD',D'O⊥AC,∴D'O⊥平面ABC, ∴三棱锥D'-ABC的体积为××1×1×=. 2.A　依题意得A'D⊥A'E,A'E⊥A'F,A'D⊥A'F,且A'D=4,A'E=A'F=2, 于是三棱锥A'-DEF可以补形成以A'D,A'E,A'F为相邻三条棱的长方体,该长方体的外接球与三棱锥A'-DEF的外接球相同, 设三棱锥A'-DEF的外接球的半径为R,则2R为长方体的体对角线长,即2R==2,所以R=, 所以三棱锥A'-DEF的外接球体积为π×()3=8π. 3.B　如图1,因为AD=AB=DC=BC=1,所以梯形的高h==, 所以sin C==,则C=, 故BD==, 所以BD2+CD2=BC2,即BD⊥CD. 　 易知当平面A'BD⊥平面BCD时,三棱锥A'-BCD的体积最大. 又平面A'BD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD,CD⊥BD,所以CD⊥平面A'BD.又A'D⊂平面A'BD,所以CD⊥A'D,则A'C==,即球的直径为. 如图2,取A'C的中点O,则O为球心,取A'D的中点E,连接OE,则OE为△A'CD的中位线,所以OE∥CD,故OE⊥平面A'BD,OE=CD=<(验证球心到平面的距离小于半径长),故以A'C为直径的球被平面A'BD所截得的截面为圆面,且圆心为E,半径为A'D=,故该圆面的面积为π×=. 解后反思 　　平面图形翻折后,一般在折线同一侧的关系不会发生变化,不在折线同一侧的关系可能会发生变化.解决平面图形翻折问题要充分利用翻折前后不变的位置关系和长度解题. 4.BC　对于A,当平面ABC⊥平面BCD时, ∵CD⊥BC,平面ABC∩平面BCD=BC,CD⊂平面BCD,∴CD⊥平面ABC, 又AC⊂平面ABC,∴CD⊥AC,故A错误; 对于B,连接DE,∵AB⊥CD,BC⊥CD,AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,∴CD⊥平面ABC, 又AE⊂平面ABC,∴AE⊥CD, ∵AB=AC,E为BC的中点,∴AE⊥BC, 又BC∩CD=C,BC,CD⊂平面BCD,∴AE⊥平面BCD,则∠ADE即为AD与平面BCD所成角, 在Rt△BCD中,CD=2,∠BDC=60°,则BC=2,CE=BC=,DE==,故AE=BC=, 故tan∠ADE==,即AD与平面BCD所成角的正切值为,故B正确; 对于C,当三棱锥A-BCD的体积取得最大值时,顶点A到底面BCD的距离最大,此时平面ABC⊥平面BCD, 由A可知,CD⊥平面ABC,故AD与平面ABC所成的角为∠CAD, 由BC=2,可得AB=AC=, ∴AD==, ∴sin∠CAD===,即AD与平面ABC所成角的正弦值为,故C正确; 对于D,连接EF,AF,当AB=AD时,∵F为BD的中点,∴AF⊥BD,则AF==, 易得EF=CD=1, 又AE=,∴EF2+AF2=AE2,∴AF⊥EF, 将△AEF绕AE所在直线旋转,使其与△ACE在同一平面内,如图,则CM+MF≥CF,当且仅当C,M,F三点共线时取等号, 在Rt△AEF中,sin∠AEF==, 则cos∠CEF=cos(∠AEF+∠AEC)=-sin∠AEF=-,故CF==, ∴CM+FM的最小值为,故D错误. 解后反思 　　计算多面体或旋转体的表面上折线段的长度的最值问题时,一般将侧面展开化为平面图形,即“化折为直”或“化曲为直”来解决,要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状. 5.答案　45° 解析　作CE⊥AB于E,由题意知CE⊥平面ABD,故∠CBE即为BC与平面ABD所成的角,∵BD⊂平面ABD,∴BD⊥CE, 作CO⊥BD于O,连接OE, ∵CE∩OC=C,CE,OC⊂平面COE,∴BD⊥平面COE,∵OE⊂平面COE,∴BD⊥OE. 易得BD==2,OC==,OB==, ∵BE=,cos∠OBE==,∴BE=, ∴cos∠CBE==,故∠CBE=45°,即直线BC与平面ABD所成的角为45°. 一题多解 　　由上述分析以及三余弦定理得cos∠CBD=cos∠ABD·cos∠CBE,即=·cos∠CBE, 故cos∠CBE=,∴∠CBE=45°, ∴直线BC与平面ABD所成的角为45°. 熟记结论 　　三余弦定理:设A为平面α外一点,过A的斜线AO在平面α上的射影为OB,OC为平面α内的一条直线,如图, 则cos∠AOC=cos∠AOB·cos∠BOC. 6.答案　;a 解析　连接EC,如图1,在梯形ABCD中, 由题意得BC∥AE,BC=AE,则四边形ABCE是平行四边形, 又AB⊥AE,且AB=AE,所以四边形ABCE是正方形. 则AC⊥BE,如图2,可知A1O⊥BE,OC⊥BE, 又A1O,OC⊂平面A1OC,且A1O∩OC=O, 所以BE⊥平面A1OC. 由题意知ED=BC,ED∥BC,则四边形BCDE为平行四边形,所以CD∥BE,则CD⊥平面A1OC, 即CD与平面A1OC所成角的大小为. 如图2,在平行四边形BCDE中,过点C作CH⊥OD,垂足为H,延长CH交BE于F. 设点C到平面A1OD的距离为d,则d≤CH,当且仅当CH⊥平面A1OD时等号成立. 若CH⊥平面A1OD,由A1O⊂平面A1OD,得CH⊥A1O, 又A1O⊥BE,CH∩BE=F,CH,BE⊂平面BCDE, 所以A1O⊥平面BCDE,又A1O⊂平面A1BE,所以平面A1BE⊥平面BCDE. 故当A1旋转至满足平面A1BE⊥平面BCDE(即二面角A1-BE-C为直二面角)时,点C到平面A1OD的距离能取到最大值,最大值即为CH的长. 在直角梯形ABCD中,AC⊥BE,又BE∥CD,所以AC⊥CD,所以OC⊥CD. 在Rt△OCD中,CH====a. 故点C到平面A1OD的距离的最大值是a. 　　 7 学科网（北京）股份有限公司 $