8.5.2 直线与平面平行-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

12.证明：如图所示， 在Rt△AOB中，OB=√AB2-OA2= √5，故BD=2OB=2√3， 所以SaD=2BD·0A=2X2V3X 1=3. 因为PA⊥平面ABC,所以PA为三棱 连接AC,由正方体的性质可知，AA' 锥P-ABD的高， CC,AA'∥CC,.四边形AA'C'C为 平行四边形，.A'C'=AC,A'C'∥AC. 所以三棱锥的体积V=3 SAABD·h= 又，M,N分别是CD,AD的中点， 号×8x2-2g 3 MN/AC,且MN=2AC.∴MN∥ (2)证明：取PA的中点G,连接GE,GB, A'C'且MN≠A'C'.∴.四边形MNA'C 是梯形. 核心素养培优·拓展提升 1,D2.D3.3y2 4 4.4 因为E为PD的中点，所以GE∥AD 5.证明：因为在梯形ABCD中，AB∥CD, E,F分别为BC,AD的中点， 且GE=2AD, 所以EF∥AB且EF=2(AB+CD), 又因为F为BC的中点，四边形ABCD 又因为CD∥EF,EF∥AB,所以CD∥AB. 为菱形，所以BF∥AD且BF=号AD, 因为G,H分别为AD',BC的中点， 所以BF∥GE且BF=GE. 故四边形BFEG为平行四边形，所以 BG∥EF. 因为BGC平面PAB,EF亡平面PAB, 所以EF∥平面PAB. 所以GH∥AB且GH=2(AB+CD) 证明线面平行的步骤 (AB+CD), 在平面内找到或作出一条 找 与已知直线平行的直线 所以GHLEF,所以四边形EFGH为平 证明已知直线与该直线平行 行四边形. 结论→由判定定理得出结论 8.5.2直线与平面平行 11.证明：AD∥BC,AD中平面BCEF, 核心素养达标·夯实基础 BCG平面BCEF, 1.D2.B3.B4.A5.D6.ABC ∴.AD∥平面BCEF 7.平行8.SE=AE9.6 又.ADC平面ADEF,且平面ADEF∩ 10.(1)解：设AC与BD的交点为O, 平面BCEF=EF, 因为底面ABCD是边长为2的菱形， .AD∥EF. 所以ACLBD,且OB=OD=BD, 规应用线面平行的性质定理可以得到线线 律 平行.解题关键是着力寻找过已知直线的 平面与已知平面的交线，有时为了得到交 因为AC=2,所以0A=0C=2AC=1. 结 线常需要作出辅助平面. 175 核心素养培优·拓展提升 又EF∩FG=F,即平面EFG∥平面 1.C2.W23.6 PAC, 4.(1)证明：菱形ABCD 综上，G为AB中，点时平面EFG∥平 .AB∥CD,又AB中平面PCD,CDC 面PAC. 平面PCD, ∴AB∥平面PCD,又ABC平面PAB, 平面PAB∩平面PCD=L, .AB∥L,.AB∥CD,∴.l∥CD (2)解：当F是棱PC的中点时，BF∥平 常见面面平行的判定方法： 面AEC (1)定义法：两个平面没有公共点. 证明如下，如图取PE的中点M,连接 (2)判定定理法：转化为线面平行 FM,由于M为PE中，点，F为PC中，点， (3)平行平面的传递性：两个平面都和第 ∴.FM∥CE, 伞 三个平面平行，则这两个平面平行. 由M为PE中点，得EM=PE=DE, 律 (4)利用平面与平面平行的判定定理的 总 推论：如果一个平面内的两条相交直线 知E是MD的中点， 分别平行于另一个平面内的两条相交直 连接BM,BD,设BD∩AC=O, 线，则这两个平面平行，即 ,四边形ABCD是平行四边形，则O为 aCa.bCa,aNb=P, a'CB,6'CB,a'Nb'=P',a//B. BD的中点， a∥a',b∥b ∴.BM∥OE, 核心素养培优·拓展提升 又FM∩BM=M,CE∩OE=E, ∴.平面BFM∥平面AEC, 1.D2.D3.√/14 又BFC平面BFM,.BF∥平面AEC. 4.证明：(1)取AC的中，点M,连接EM, GM, 在△ABC中，因为E,M分别为AB,AC 的中点， 所以EM/BC且EM=2BC 又G为B1C的中点，B1C1∥BC,所以 8.5.3平面与平面平行 B,C/BC且B,G=2BC, 核心素养达标·夯实基础 即B1G∥EM且B1G=EM, 1.A2.AD3.C4.BC5.A6.D 故四边形EMGB1为平行四边形，所以 7.1或08.①②③④9.④10.12 B1E∥GM, 11.解：存在G为AB中点，使得平面 又MGC平面ACG,B1EC平面ACG,所 EFG∥平面PAC,理由如下： 以B1E∥平面ACG. 当G为AB中点，连接FG,GE,EF,AC, 又F是PB的中点，E是BC的中点， 所以EF∥PC,FG∥PA, 而EF中平面PAC,PCC平面PAC, 所以EF∥平面PAC, 同理可证FG∥平面PAC, (2)当N为CC1的中，点时，平面NEF∥ 176 平面A1BC1. 证明如下：连接NE,NF. 因为N,F分别是CC1和BC的中点，所 以NF∥BC1. 因为NF中平面A1BC1,BC1C平面 ABC1,所以NF∥平面A1BC. 因为EF∥AC,AC∥AC,所以EF∥ AC1. 因为EFC平面A1BC1,A1C1C平面 A1BC1,所以EF∥平面A1BC. 又因为EFC平面NEF,NFC平面 NEF,NF∩EF=F, 所以平面NEF∥平面A1BC. 5.(1)证明：，PM:MA=PQ:QD, ∴.QM∥AD, AD∥BC,∴.QM∥BC, QM中平面PBC,BCC平面PBC, ∴.MQ∥平面PBC; BN:ND=PQ:QD,.QN∥PB, QNt平面PBC,PBC平面PBC, 又QM∩QN=Q,∴.平面MNQ∥平面 PBC; (2)解：连接AC,交BD于O,连接OQ, 取PQ的中点G,连接BG,则BG∥OQ, ,QOC平面AQC,BG中平面AQC, ∴.BG∥平面AQC, 取PA中，点M,连接GM,则GM∥AQ, ,AQC平面AQC,GM寸平面AQC, ∴.GM∥平面AQC, 又BG∩GM=G,∴.平面BGM∥平面 AQC, 则BM∥平面AQC,此时M为PA的 中点。 PM=IPA,= 1课时夯基过关练， 8.5.2直线与平面平行 素养目标 1.掌握直线与平面平行的判定与性质定理； 2.能熟练应用直线与平面平行的判定和性质定理证明平行问题； 3.培养学生逻辑推理和直观想象的核心素养， 核心素养达标夯实基础 一、选择题 1.能保证直线a与平面a平行的条件是 D. ( A.bCa,a∥b 5.如图所示，在三棱锥A-BCD中，E,F,G,H B.bCa,c∥b,a∥c 分别是AB,BC,CD,DA上的点，当BD∥ C.bCa,A,B∈a,C,D∈b,且AC=BD D.ata,bCa,a∥b 平面EFGH时，下面结论正确的是() 2.已知在棱长均为2的正三棱柱ABC A1B1C1中，点D为B1C1的中点，若在棱 AB上存在一点P,使得BP∥平面ACD, 则B1P的长度为() A.E,F,G,H一定是所在边的中点 A.2 B.√5 C.6 D.3 B.G,H一定分别是CD,DA的中点 3.如图，四棱锥P-ABCD中，M,N分别为AC, C.EB:AE-BF:FC,E DH:HA-DG:GC PC上的点，且MN∥平面PAD,则( D.AE:EB=AH:HD,BF:FC=DG:GC 6.（多选)若三个不同的平面a,β，Y两两相交， 且a∩B=1,a∩y=l2,β∩y=,则交线l1, A.MN∥PD B.MN∥PA 2,l3的位置关系可能有() C.MN∥AD D.以上均有可能 A.重合 4.如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体 B.相交于一点 的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点，则在 C.两两平行 这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不 D.恰有两条交线平行 平行的是( ) 二、填空题 7.如图，EB∥DC,EB=2DC,P,Q分别为 AE,AB的中点.则直线DP与平面ABC的 位置关系是 ·数学· 65 、第八章立体几何初步 (1)求三棱锥PABD的体积； (2)证明：EF∥平面PAB. 8.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为 平行四边形，E为SA上的点，当E满足条 件 时，SC∥平面EBD. 9.空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD 11.如图，在五面体EF-ABCD中，已知四边形 所成角为30°，设AC=6,BD=8.则过AB ABCD为梯形，AD∥BC.求证：AD∥EF 的中点E且平行于BD,AC的截面四边形 的面积为 三、解答题 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是边长为2的菱形，PA=AC=2,PA⊥平 面ABC,E,F分别为PD,BC的中点. 核心素养培优拓展提升 1.如图，在三棱锥PABC中，点D,E分别为 3.在三棱锥PABC中，AB+2PC=9,E为线 棱PB,BC的中点.若点F在线段AC上，且 段AP上更靠近P的三等分点，过E作平行 满足AD/平面PEP,则二的值为( 于AB,PC的平面，则该平面截三棱锥P ABC所得截面的周长为 4.已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD, 点E在PD上，且PE:ED=2:1,记平面 PAB与平面PCD的交线. (1)证明：l∥AB; (2)在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平 A.1 B.2 C. 面AEC?证明你的结论，并说出点F的 2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 位置. 点E,F分别是棱C1D,B1C的中点，P是 上底面A1B1CD1内一点（含边界），若 AP∥平面BDEF,则P点的轨迹长 为 66 ·数学·