8.5.2直线与平面平行课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第2课时 直线与平面平行 在前面学习直线与平面的位置关系时，我们是如何定义直线与平面平行的呢？ 问题1 提示　直线与平面没有公共点. 据直线与平面公共点的情况，空间中直线与平面有几种位置关系？ （1）直线在平面内——有无数个公共点． （2）直线和平面相交——有且只有一个公共点． （3）直线和平面平行——无公共点． 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 图形 表示 符号 表示 如图，门扇的两边是平行的.当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？ 问题2 提示　无论门扇转到什么位置，因为转动的一边与固定的一边总是平行的，所以它与墙面没有公共点，且与墙面是平行的. 直观感知 怎样判定直线与平面平行呢? 根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点。但是，直线是无限延伸的，平面是无限延展的，如何保证直线与平面没有公共点呢? 直线与平面平行 如图将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线(AB离开桌面)与桌面所在的平面有什么样的位置关系？该如何判定直线与平面平行呢？ 问题3 提示　AB平行于桌面所在平面，由翻动过程中，封面另一边缘始终在桌面所在平面内，故可知：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 定理应用 牛刀小试 直线与平面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果_________一条直线与此_________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 图形语言   简记 线线平行，线面平行 平面外 平面内   空间问题 平面问题 高维度向低维度转化思想 降维转化 　能保证直线a与平面α平行的条件是 A.b⊂α，a∥b B.b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C.b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC=BD D.a⊄α，b⊂α，a∥b 例 1 √ A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α； B错误，若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α； C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交； D正确，恰好是定理所具备的不可缺少的三个条件. 9 (1)平行问题是以无公共点为主要特征的，直线与平面平行即直线与平面没有公共点，紧紧抓住这一点，平行的问题就可以顺利解决. (2)正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线与平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法. 反 思 感 悟 平行问题的实质 10 　下列说法正确的是 A.若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α B.若直线a在平面α外，则a∥α C.若直线a与直线b不相交，直线b⊂α，则a∥α D.若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线 跟踪训练 1 √ A错误，直线l还可以在平面α内； B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交； C错误，直线a还可以与平面α相交或在平面α内. 11 定理应用 解后反思 反思1：要证明直线与平面平行可以运用判定定理； 线线平行 线面平行 反思2：能够运用定理的条件是要满足六个字： 反思3：运用定理的关键是找平行线；找平行线经常会用到三角形中位线定理. “面外、面内、平行” 直线与平面平行的判定定理 　如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点.求证：PD∥平面MAC. 例 2 角度1　中位线 13 如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO， 则MO为△BDP的中位线， ∴PD∥MO. ∵PD⊄平面MAC， MO⊂平面MAC， ∴PD∥平面MAC. 14 　如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD. 例 3 角度2　平行四边形 15 方法一　如图，取PD的中点G，连接GA，GN. ∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点， ∴GN∥DC，GN=DC. ∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点， ∴AM=DC，AM∥DC， ∴AM∥GN，AM=GN， ∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG. 16 问题探究 【探究1】一条直线a与平面α平行， 则它与α内的所有直线的位置关系是怎样的呢？ 答：平行或异面. 直线与平面平行的性质 问题探究 【探究2】一条直线a与平面α平行， α内满足什么条件的直线能与a平行呢？ 解：经过直线a的平面β，与平面α的交线b与直线a平行. 直线与平面平行的性质 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面______，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与______平行. 符号语言 a∥α，_______________⇒a∥b 图形语言   简记 线面平行，线线平行 平行 交线 a⊂β，α∩β=b 反 思 感 悟 利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤 定理应用 牛刀小试 O 直线与平面平行的性质定理 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明. 跟踪训练 2 22 直线l∥平面PAC.证明如下： 因为E，F分别是PA，PC的中点， 所以EF∥AC. 又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l， 所以EF∥l. 因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC， 所以l∥平面PAC. 23 直线与平面平行 直线与平面平行 判定定理 性质定理 判定定理及性质定理的应用 线线平行→线面平行 线线平行→线面平行 归纳小结·提高认识 EV录屏5.4.2软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn EV录屏5.4.2软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn 平面 与平面 平面 与平面 平面 与平面 如图，在长方体 中， （1） 平行的平面是_________________________； （2） 平行的平面是_________________________； （3） 平行的平面是_________________________； 证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点O是AC的中点． 又∵点M是PC的中点， ∴AP∥OM. 又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM， ∴AP∥平面BDM. ∵平面PAHG∩平面BDM＝GH， AP⊂平面PAHG， ∴AP∥GH. 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH. $