第7章 专题集训突破练&易错排查矫正练-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

、第七章复数 专题集训 专题①复数的概念 例1已知复数之=a2-a一6十 Q2+2a一15i,分别求出满足下列条件的实数a a2-4 的值： (1)之是实数； (2)x是虚数； (3)之是0. 跟踪训练1已知关于x,y的方程组 (x+)+2(y+1)i=y+4i, 有实数解， (2x+ay)-(4x-y+b)i=9-8i 求实数a,b的值， 专题2掌握复数的运算 例2已知之是复数，心-3i为实数，2日 为纯虚数(i为虚数单位).求： 42 ·数学· 突破练 （1)复数； (2)2的模。 跟踪训练2已知之=1十i,i为虚数单位. (1)若w=z2+3z-4,求|w的值； (2)老法曾-1一i,求实数a,6的位 专题3理解复数的几何意义 例3已知等腰梯形OABC的顶点A,B 在复平面内对应的复数分别为1+2i,一2十6i, OA∥CB,求顶点C所对应的复数x. 跟踪训练3已知x∈C,x+3i,3产均为 实数，且复数（之十ai)2在复平面内对应的点在 第一象限，求实数a的取值范围. 易错排查矫正练了 易错排查矫正练 a b 易错点①对复数的概念把握不准致误 5.定义运算 c d ad-k若复数 1.（多选)若复数之满足(1十i)之=3+i(其中i 2 z+i ,则z= ,y= 是虚数单位)，复数之的共轭复数为之，则下 面结论正确的有() 6计算：2一 1-√2i A.|x|=√5 B.之的实部是2 C.之的虚部是1 D.复数之在复平面内对应的点在第一象限 2.已知关于x的方程x2+(1一2i)x+3m一i= 0有实根，则实数m满足() A.m<- B.m>-1 4 7.已知关于x的方程x2十kx+2一2k=0有 C.m= 1 Dm= 一个模为1的虚根，求实数k的值. 12 3.使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+ 10成立的实数m= 易错点2复数的运算错误 4.M={zl|x+1|=1},N={x|之+i=|x-i}, 则M∩N= 小题限时 强化练 （时间：45分钟分值：73分) 1.设z=(2t+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则 1一i,2+2i,则点D对应的复数为() 以下结论中正确的是( ) A.4-i B.-3-2i A.之在复平面内对应的点在第一象限 C.5 D.-1+4i B.之一定不是纯虚数 2 2 C.之在复平面内对应的点在实轴上方 3.已知复数=1二十(1一2是：的共轭复 D.之一定是实数 数，则的虚部等于() B.2i 2.已知四边形ABCD是复平面内的平行四边 A.2 形，A,B,C三点对应的复数分别是一2+i, C.-2 D.-2i ·数学·4310.1+写：解析：设-0，则- -2(co isin) 1 核心素养培优·拓展提升 ,arg2=3, 1.B 2.AC a=2(os吾+sin）+唱. 3.解：(1)=i(1-i)3=2-2i,将1化为三 1-+解得起=1+ 角形式，得a=2(cos还+in7）, 11.解：（1)由观察得(cos0+isin0)” arg-7牙，l=2vE。 cos no+isin no; (2)由于复数之满足|z=1,设之=cosa十 2=5-=2-1·2） isin a,则之-名=(cosa-2)+(sina十2)i, |z-1|2=(cosa-2)2+(sina十2)2= 2(coisin) 9+42sin (a-), 由1)得2”=2“(c0s 11十 当sin(a-平）=1时，x-x2取得最 1sin1）” 大值9十4√2. =2(cos10×g+isin10×1g） 所以|之一之1|的最大值为2√2+1. 专题集训突破练 =2"(cos要+isin5要） 专题1复数的概念 =2[cos(18x+号）+isin(18x+ 例1解：(1)由题意，得a2+2a-15=0,且 a2-4≠0，解得a=一5或a=3,所以当 )] a=一5或a=3时，之为实数. =2(cos5+isin3） (2)由题意，得a2十2a-15≠0，且a2 4≠0，解得a≠-5，且a≠3，且a≠士2， =2(合+刳) 所以当a≠-5，且a≠3，且a≠士2时，之 是虚数。 =512+5123i. (3)由题意，得a2-a-6=0,且a2十 12.解：依题意得(-1十i)(c0s暂十 2a-15=0,且a2-4≠0，解得a=3,所 isin） 22 以当a=3时，2=0. (cos+isim） 深刻理解复数的有关概念（如实部、虚部、 所以&=（一1+i(cos经+in经） 名师点 纯虚数等)及两个复数相等的含义（实部与 虚部分别相等) (coisin) 跟踪训练1解：设(x0,y)是方程组的实 =2(cos7+isn）(cos7+isin） 数解. 由已知及复数相等， (os经+in） x+2-0 -2[os(学+经+经）+isin(学+ 得2（十1）=4x,② 警+门 2x+ay=9,③ -(4x0-y0+b)=-8,④ 169 x0 、5 为之十3i=x十(y+3)i为实数，所以y= 由①②得 一2’代入③④得 a=1, yo=4, b=2, -8.又周为写产=号0-303+ 所以实数a,b的值分别为1,2， 》=0(3x+3)+(x-9)门为实数，所以 专题2掌握复数的运算 例2 解：(1)设之=a十bi(a,b∈R).因为 x=9,所以之=9-3i.因为（之+ai)2= x一3i=a+(b一3)i为实数，所以b=3. 81-(a-3)2+18(a-3)i=72+6a- 又周为多1--2a十2牛a-01 a2+18(a-3)i, 6 f72+6a-a2>0, 由已知，得 解得3< 为纯虚数，所以a=一1，即之=一1十3i. 18(a-3)>0, (2》国为己=告-共0 a<12,故实数a的取值范围是(3,12). (1-i)(1+i) 二4-2+i,所以1产=一2+i= 易错排查矫正练 2 易错点1对复数的概念把握不准致误 √/（-2)2+1=5 1ABD解折：1十i2=3+i,得- 名师点 复数的运算（加、减、乘、除）与多项式的运 算相类似. 3+iD1-D=2-iz=5,故A正 (1+i)(1-i) 确；之的实部为2，故B正确；之的虚部是 ””””””””””””” 跟踪训练2解：(1)已知之=1十i,所以乏 一1，故C错误；复数之在复平面内对应的 1-i,所以w=(1+i)2+3(1-i)-4= 点的坐标为(2,1)，在第一象限，故D -1-i,所以|w=√2. 正确。 (2)因为十az+b-(a+)+(a+2i 2.C解析：设实根为，则号十(1一2i)x十 z2-x+1 i 3m-i=0,即(x6+x+3m)-(2+1)i=0, 1-i,所以(a+b)+(a+2)i=1+i,所以 x0=一 a+b=1, a=-1, x6+x0+3m=0 2 解得 所以 解得 a+2=1, b=2. 2x0+1=0 m12 专题3理解复数的几何意义 故选C. 例3解：设之=x十yi(x,y∈R),则顶点C 3.3解析：.m2-(m2-3m)i<(m2 的坐标为(x,y).因为OA∥BC,所以 4m十3)i十10，且虚数不能比较大小， kaA=k,OC=BA,又BA2=(6-2)2十 m2<10, 2=y-6」 (-2-1)2=25,所以 1x+2’ 解得 .{m2-3m=0, 解得m=3. x2+y2=25, (m2-4m+3=0, x=-5, x=-3, 易 分 若忽视虚数不能比较大小，会得出错 或 因为OA≠BC,所 (y=0 y=4. 错 析 误答案. 以x=一3，y=4舍去，故之=一5. 易错点2复数的运算错误 复数的几何意义包括复数本身的几何意义 4.{0,一2}解析：利用复数的几何意义解 名师 (与复平面内的点及从原点出发的向量建 决问题，在复平面内，|之十1川=1的几何 立一一对应关系)，以及复数运算的几何 睛 意义是以点（一1,0）为圆心，1为半径的 意义. 圆，|之十i=|之一i的几何意义是到点 跟踪训练3解：设之=x十yi(x,y∈R).因 A(0,1)和点B(0,-1)距离相等的点的 170 集合，是线段AB的垂直平分线，也就是 x轴，M∩N的几何意义是x轴与圆的 公共点对应的复数，故之=0或之=一2. .M∩N={0,-2}. 易 本题若混淆复数运算与代数运算的不同， 错 则会错误的将集合M和N化简为M= 分 {z|z+1=±1}，N={xlz+i=±(zx-i)}从 而造成解题错误， (1-i)2 5.1 -2 解析：之= 1-i 1+i1+D(1-D 2i=-i,z=1; 由定义可知，y= 4 4i1 2 x+i20 4i×0-1×2=-2. 6.解：2-=2+i-W2+D1+2D 1-√2i1-√2i(1-√2i)(1+√2i) 2+2i+i+2-31=i 3 易分本题易错用运算法则和i的性质从而 错析造成解题错误. 7.解：由题意，得△=k2-4(k2一2k)= -3+8张<0，即k<0成k>号 设两根分别为1,22，则2=，之2= z1=1,得1·2=1. 又因为名·22=k2一2k,所以k2一2k=1, 即k1=1-√2，k2=1十√2（舍去）， 所以k=1-√2. 复数范围内解方程的二般思路是依据题意」 设出方程的根，代入方程，利用复数相等的 误 充要条件求解.对于一元二次方程，也可以 区 警 利用求根公式求解，要注意在复数范围内 示 负数是能开方的，此外，根与系数的关系也 是成立的.注意求方程中参数的取值时，不 能利用判别式求解， 小题限时强化练 1.C2.D3.C4.A5.B6.D7.B 8.D 9.ACD 10.AB 11.BD 12.-1,513.-6+8i14.-4