第7章 小题限时强化练&大题冲关规范练-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

易错排查矫正练了 易错排查矫正练 a b 易错点①对复数的概念把握不准致误 5.定义运算 c d adk若复数 1.（多选)若复数之满足(1十i)之=3+i(其中i 4i zi 2 z+i ,则z= ,y 是虚数单位)，复数之的共轭复数为之，则下 面结论正确的有() 6计算：2一 1-√2i A.|x|=√5 B.之的实部是2 C.之的虚部是1 D.复数之在复平面内对应的点在第一象限 2.已知关于x的方程x2+（1一2i)x+3m一i= 0有实根，则实数m满足() A.m<- B.m>-1 4 7.已知关于x的方程x2十kx+2一2k=0有 C.m= 1 Dm= 一个模为1的虚根，求实数k的值. 12 3.使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+ 10成立的实数m= 易错点2复数的运算错误 4.M={zl|x十1|=1}，N={x|z+i=x-i}, 则M∩N= 小题限时 强化练 （时间：45分钟分值：73分) 1.设z=(2t+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则 1一i,2+2i,则点D对应的复数为() 以下结论中正确的是( ) A.4-i B.-3-2i A.之在复平面内对应的点在第一象限 C.5 D.-1+4i B.之一定不是纯虚数 2 2 3.已知复数x=二十a二是z的共轭复 C.之在复平面内对应的点在实轴上方 D.之一定是实数 数，则的虚部等于() B.2i 2.已知四边形ABCD是复平面内的平行四边 A.2 形，A,B,C三点对应的复数分别是一2十i, C.-2 D.-2i ·数学·43 、第七章复数 4.若复数之满足|z十3i十|之一3i=6,则|之十10.（多选）瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数 1+i的最小值是() 学家之一，他发现了被人们称为“世界上最 A.1 B.√2 完美的公式”-欧拉公式：e9=cos0+isin0 (其中i是虚数单位，e是自然对数的底数)， C.2 D.√5 它也满足实数范围内指数的运算性质，下列 5.复数=3十2i(1为虚数单位)是方程之2一6z+ 结论正确的有( b=0(b∈R)的根，则b的值为() A.4e5i|=4 A.√13 B.13 B.i2020+2021i=e2 C.√5 D.5 C,若复数e·ei的虚部为号，0c(0,x),则 6.大数学家欧拉发现了一个公式：ex=cosx十 isin x,i是虚数单位，e为自然对数的底数.此 (e)的实部为1-2⑤ 18 公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式， D.已知1=e,z2=e0,在复平面内对应的 (os至+isin) “等于() 点分别为Z1,Z2,则三角形OZ1Z2面积的 A.1 B.-1 敲大值为 C.i D.-i 7.已知复数2十i是关于x的方程x2一ax一b= 1.(多选)已知复数%-卉，则下列结论中 0(a,b∈R)的一个解，则复数之=a十bi的虚 正确的有() 部为() A.o的虚部为i A.-5i B.-5 B.在复平面内对应的点位于第一象限 C.5i D.5 C.=-3-i 8.在复数范围内，下列命题是真命题的为( D.若|z-|=√10，则0≤|z≤2√10 A.若之≠0，则之一之是纯虚数 12.满足方程片十'3的实数xy的 B.若22=一之2，则之是纯虚数 值分别为 C.若十=0，则1=0，且之2=0 13.复数之对应的向量OZ与a=(3,4)共线，对 D.若之1，之2为虚数，则之12十12∈R 应的点在第三象限，且|z=10,则之= 9.（多选)设之是复数，则下列说法正确的有 14.在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数 A.若z2≥0，则之是实数 B.若之是虚数，则≥0 分别为0=0,4=2+号i,a=一2a十3i, C.若2<0，则之是虚数 c=-b十ai,其中a,b∈R,则a-b= D.若之是纯虚数，则x2<0 44 ·数学· 大题冲关规范练了 大题冲关规范练 1.(本小题满分13分)已知复数之=bi(b∈R),2.(本小题满分13分)已知之是复数，之一2i和 i是虚数单位 1产都是实数 （1)若是实数，求的值： (1)求复数之； (2)在①点P在实轴上，②点P在虚轴上， (2)设关于x的方程x+x(1十2)-(3m-1)i=0 ③点P在第一、三象限的角平分线上，这三个 有实根，求纯虚数m. 条件中任选一个，补充在下面问题中，并 解答， 问题：若=一2，复数（加十）在复平面内 对应的点为P,且 ,求实数m的值. 注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解 答记分 …数学·4510.1+写：解析：设-0，则- -2(co isin) 1 核心素养培优·拓展提升 ,arg2=3, 1.B 2.AC a=2(os吾+sin）+唱. 3.解：(1)=i(1-i)3=2-2i,将1化为三 1-+解得起=1+ 角形式，得a=2(cos还+in7）, 11.解：（1)由观察得(cos0+isin0)” arg-7牙，l=2vE。 cos no+isin no; (2)由于复数之满足|z=1,设之=cosa十 2=5-=2-1·2） isin a,则之-名=(cosa-2)+(sina十2)i, |z-1|2=(cosa-2)2+(sina十2)2= 2(coisin) 9+42sin (a-), 由1)得2”=2“(c0s 11十 当sin(a-平）=1时，x-x2取得最 1sin1）” 大值9十4√2. =2(cos10×g+isin10×1g） 所以|之一之1|的最大值为2√2+1. 专题集训突破练 =2"(cos要+isin5要） 专题1复数的概念 =2[cos(18x+号）+isin(18x+ 例1解：(1)由题意，得a2+2a-15=0,且 a2-4≠0，解得a=一5或a=3,所以当 )] a=一5或a=3时，之为实数. =2(cos5+isin3） (2)由题意，得a2十2a-15≠0，且a2 4≠0，解得a≠-5，且a≠3，且a≠士2， =2(合+刳) 所以当a≠-5，且a≠3，且a≠士2时，之 是虚数。 =512+5123i. (3)由题意，得a2-a-6=0,且a2十 12.解：依题意得(-1十i)(c0s暂十 2a-15=0,且a2-4≠0，解得a=3,所 isin） 22 以当a=3时，2=0. (cos+isim） 深刻理解复数的有关概念（如实部、虚部、 所以&=（一1+i(cos经+in经） 名师点 纯虚数等)及两个复数相等的含义（实部与 虚部分别相等) (coisin) 跟踪训练1解：设(x0,y)是方程组的实 =2(cos7+isn）(cos7+isin） 数解. 由已知及复数相等， (os经+in） x+2-0 -2[os(学+经+经）+isin(学+ 得2（十1）=4x,② 警+门 2x+ay=9,③ -(4x0-y0+b)=-8,④ 169 x0 、5 为之十3i=x十(y+3)i为实数，所以y= 由①②得 一2’代入③④得 a=1, yo=4, b=2, -8.又周为写产=号0-303+ 所以实数a,b的值分别为1,2， 》=0(3x+3)+(x-9)门为实数，所以 专题2掌握复数的运算 例2 解：(1)设之=a十bi(a,b∈R).因为 x=9,所以之=9-3i.因为（之+ai)2= x一3i=a+(b一3)i为实数，所以b=3. 81-(a-3)2+18(a-3)i=72+6a- 又周为多1--2a十2牛a-01 a2+18(a-3)i, 6 f72+6a-a2>0, 由已知，得 解得3< 为纯虚数，所以a=一1，即之=一1十3i. 18(a-3)>0, (2》国为己=告-共0 a<12,故实数a的取值范围是(3,12). (1-i)(1+i) 二4-2+i,所以1产=一2+i= 易错排查矫正练 2 易错点1对复数的概念把握不准致误 √/（-2)2+1=5 1ABD解折：1十i2=3+i,得- 名师点 复数的运算（加、减、乘、除）与多项式的运 算相类似. 3+iD1-D=2-iz=5,故A正 (1+i)(1-i) 确；之的实部为2，故B正确；之的虚部是 ””””””””””””” 跟踪训练2解：(1)已知之=1十i,所以乏 一1，故C错误；复数之在复平面内对应的 1-i,所以w=(1+i)2+3(1-i)-4= 点的坐标为(2,1)，在第一象限，故D -1-i,所以|w=√2. 正确。 (2)因为十az+b-(a+)+(a+2i 2.C解析：设实根为，则号十(1一2i)x十 z2-x+1 i 3m-i=0,即(x6+x+3m)-(2+1)i=0, 1-i,所以(a+b)+(a+2)i=1+i,所以 x0=一 a+b=1, a=-1, x6+x0+3m=0 2 解得 所以 解得 a+2=1, b=2. 2x0+1=0 m12 专题3理解复数的几何意义 故选C. 例3解：设之=x十yi(x,y∈R),则顶点C 3.3解析：.m2-(m2-3m)i<(m2 的坐标为(x,y).因为OA∥BC,所以 4m十3)i十10，且虚数不能比较大小， kaA=k,OC=BA,又BA2=(6-2)2十 m2<10, 2=y-6」 (-2-1)2=25,所以 1x+2’ 解得 .{m2-3m=0, 解得m=3. x2+y2=25, (m2-4m+3=0, x=-5, x=-3, 易 分 若忽视虚数不能比较大小，会得出错 或 因为OA≠BC,所 (y=0 y=4. 错 析 误答案. 以x=一3，y=4舍去，故之=一5. 易错点2复数的运算错误 复数的几何意义包括复数本身的几何意义 4.{0,一2}解析：利用复数的几何意义解 名师 (与复平面内的点及从原点出发的向量建 决问题，在复平面内，|之十1川=1的几何 立一一对应关系)，以及复数运算的几何 睛 意义是以点（一1,0）为圆心，1为半径的 意义. 圆，|之十i=|之一i的几何意义是到点 跟踪训练3解：设之=x十yi(x,y∈R).因 A(0,1)和点B(0,-1)距离相等的点的 170 集合，是线段AB的垂直平分线，也就是 x轴，M∩N的几何意义是x轴与圆的 公共点对应的复数，故之=0或之=一2. .M∩N={0,-2}. 易 本题若混淆复数运算与代数运算的不同， 错 则会错误的将集合M和N化简为M= 分 {z|z+1=±1}，N={xlz+i=±(zx-i)}从 而造成解题错误， (1-i)2 5.1 -2 解析：之= 1-i 1+i1+D(1-D 2i=-i,z=1; 由定义可知，y= 4 4i1 2 x+i20 4i×0-1×2=-2. 6.解：2-=2+i-W2+D1+2D 1-√2i1-√2i(1-√2i)(1+√2i) 2+2i+i+2-31=i 3 易分本题易错用运算法则和i的性质从而 错析造成解题错误. 7.解：由题意，得△=k2-4(k2一2k)= -3+8张<0，即k<0成k>号 设两根分别为1,22，则2=，之2= z1=1,得1·2=1. 又因为名·22=k2一2k,所以k2一2k=1, 即k1=1-√2，k2=1十√2（舍去）， 所以k=1-√2. 复数范围内解方程的二般思路是依据题意」 设出方程的根，代入方程，利用复数相等的 误 充要条件求解.对于一元二次方程，也可以 区 警 利用求根公式求解，要注意在复数范围内 示 负数是能开方的，此外，根与系数的关系也 是成立的.注意求方程中参数的取值时，不 能利用判别式求解， 小题限时强化练 1.C2.D3.C4.A5.B6.D7.B 8.D 9.ACD 10.AB 11.BD 12.-1,513.-6+8i14.-4 大题冲关规范练 第八章 立体几何初步 1.解：(1)因为之=bi(b∈R), 课时夯基过关练 所以计=2= (bi-1)(2-i) (2+i)(2-i) 8.1基本立体图形 (b-2)+(2b+1)i …4分 核心素养达标·夯实基础 因为品是实数，所以26十1=0解得 1.C2.C3.B4.ABD5.B6.B 7.A8.D9.2√210.6√2+4√5 b=-2 …6分 11.2/1+π 12.解：(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱， (2)x=- 因为以长方体相对的两个面作底面，是 选①：因为P在实轴上，所以一m=0,解 互相平行的，其余各面都是矩形，且四条 得m=0.…13分 侧棱互相平行，符合棱柱的定义. 选②：因为，点P在虚轴上， (2)各部分形成的几何体还是棱柱，截 所以m一}-0，解得m=±分…13分 面BCNM右上方部分是三棱柱 BB1MCC1N,左下方部分是四棱柱 选③：因为点P在一、三象限的角平分线上， ABMA-DCND. 所以m2-子=-m,即4m十4m-1= 13.解：选择从长方体的A,点出发，沿表面 0,解得m=一1±2 运动到C点.长方体ABCD-A1BCD …13分 2 的表面可以有如下三种展开方式，A到 2.解：(1)设z=a十bi(a,b∈R), C两点的距离分别是：如图1，AC1 之-2i=a-bi-2i=a-(b+2)i∈R,所以 √(3十4)2+5=√74；如图2，AC= 一(b十2)=0，b=一2，…2分 √(5十3)2+4=4√5；如图3，AC 后-书 √(5+4)2+32=3√10.因为√74< -士ait+促-2+eR, 4√5<3√10，所以其最短路程为√74. 2 (D1 1 所以4b=0,a=2. 2 所以之=2一2i.…6分 B(B1) (2)设m=ki(∈Z,k≠0)，又x∈R, 图1 图2 x2+x(1+z)-(3m-1)i=x2+x(1+ 2-2i)-(3ki-1)i=x2+3x+3k+(1 2x)i=0,……………………8分 --(C) 1-2x=0 图3 所以 x2+3x十3k=0’ 核心素养培优·拓展提升 1 红一2 1.D 2.C3正方形号 解得 4.解：(1)四棱锥有5个顶点，4个三角形 面，1个凸四边形面，故其总曲率为2πX .1 所以m=一3.…13分 5-4×π-2π=4元. (2)设多面体有M个面，给组成多面体 171 的多边形编号，分别为1,2，…，M号.设 (3)如图(2)所示，建立平面直角坐标系 第i号(1≤i≤M)多边形有L:条边，则 xOy,在x轴上，y轴的右侧取OE= 多面体共有L=L十L十…十L“条棱 OE',过点E在第一象限内作EF∥y 2 轴，在EF上截取AE=2A'E',AD= 由题意，多面体共有D=2一M十L=2一 2A'D',再在EF的右侧分别过点D作 M+十L+L出个顶点.i号多边 DC∥x轴，过点A作AB∥x轴，并且 2 DC=D'C',AB=A'B'. 形的内角之和为πL:一2π，故所有多边 形的内角之和为π(L1十L2十…十LM)一 (4)连接BC,则直角梯形ABCD就是所 2πM,故多面体的总曲率为2πD 求作的梯形A'B'CD对应的平面图形. 将水平放置的平面图形的直观图还原成 [π(L1+L2+…+LM)-2πM]=2π2 规 原来的图形时，注意平行于x轴的线段长 律 M4L+Lt+L)-[xL,+Le+…十 总 度不变，平行于y轴的线段长度变为原来 2 结 的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次 LM)一2x=4π，所以满足题目要求的多 连接即可， 面体的总曲率为4π. 核心素养培优·拓展提升 5.解：将三棱锥V-ABC的 1.D2.D3.C 侧面沿侧棱VA剪开，如 4.解：如图所示 图所示，则△AEF的周 长≥AE+EF+FA,= AA1,所以线段AA1(A, E,F,A1四，点共线)的长 8.3简单几何体的表面积与体积 即为所求△AEF周长的最小值.作VD ⊥AA1,垂足为点D.由VA=VA1,知D 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的 为AA1的中点.由已知可得∠AVB= 表面积和体积 ∠BVC=∠CVA1=40°，得∠AVD= 核心素养达标·夯实基础 60°.在Rt△AVD中，AD=Asin60°=2 1.A2.B3.B4.D5.B6.B7.C ×号-=3，故AA=2AD=6,所以△AEF 8.B9.56a210.3 11.解：(1)连接AC,BD相交于O,连接 周长的最小值是6. S0, 8.2立体图形的直观图 过点S作SE」BC于点E,连接OE,则 核心素养达标·夯实基础 SE是斜高， 1.D2.D3.D4.A5.C6.D 在直角三角形SOB中，SO=√SB一OB= 7.AB8.49.1024 2 10.解：(1)建立∠x'O'y'为45°的坐标系 V5-(9)-, x'O'y',如图(1)所示，使A'B'∥x'轴. 在直角三角形SOE中，SE= √S0+(合AB)'-√7+(9)'=4， 0A∠ 58s=7BC,SE=2×6X4=12, 图(1) 图(2) S泰=S刚+S底=4S△0s十62=48+36=84. (2)在直观图中延长DA',交x轴于点E. 所以正四棱锥SABCD的表面积为84. 172 A (2)V= 5m·50=号(6X6)×w7= 12√7， 所以正四棱锥SABCD的体积为12√7. 12.解：(1)根据题意可知正方体的体积为 V正方体=(2a)3=8a3,又截去的每个四 西体体款为V。a=号X日0Xa= 6 ∴，石凳的体积V=V正方体一8V四面依= 8a3-8Xa=20a3 63 (2),石凳的每个正方形面的面积为 S正方形=(W2a)=2a2,又石凳的每个正三 角形面的面椒为5s4=合62a如60= 「Y32,石凳的全面积为S=6S方#十 85A=12r+8X3@-(12+4Vd. 2 核心素养培优·拓展提升 1.B2.B3.C4.B5.C6.2√3 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的 表面积和体积 核心素养达标·夯实基础 1.A2.C3.A4.B5.D6.B 7,ABD8C9,1610.80011. 12.解：(1)圆锥的侧面展开图为半圆，母线 长为2√3，沿母线AB剪开，侧展图如 图所示： B 25B 2πR 设OB=R,在半圆⊙A中，AB=2√3，孤 长BB=2√3π，这是圆锥的底面周长， 所以2πR=2√3π，