7.3 复数的三角表示-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

2ǎ+b=3+2i 此时=21，由韦达定理得 (2)由(1)可得AB1=√2，|BC1=√10， 0b=6i |AC=2√2，.AB12+1AC12=|BC2, b=3. △ABC为直角三角形. (2)复数之满足1≤|z≤|a+bi,即1≤ (3)由(2)可知，三角形ABC为直角三 |z≤3√2， 角形，∠A为直角， 不等式之≥1的解集是圆|之=1的外 部（包括边界）所有点组成的集合， ∴S=号A恋AC=2×w2×2=2 不等式之≤3√2的解集是圆|之=3√2 核心素养培优·拓展提升 的内部（包括边界）所有点组成的集合， 1.CD2.B3.44.2√2 所以所求，点Z的集合是以原，点为圆心， 5.解：1=cosa+isin a,z2=cosB-isin, 以1和3√2为半径的两个圆所夹的圆 .z1-z2=(cos a-cos B)+i(sin a+ 环，包括边界」 simm=高+导， S围环=x[(3√2)2-12]=17元. cos a-cos -13 5 7.2复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及 sin a+sin 其几何意义 两式平方相加得2-2cos(a十B)=1, 核心素养达标·夯实基础 i.cos( 1.C 2.A 3.A 4.C 5.ACD 6.ABC 7.A8.}+79.号+3i10.1,3] 6据：号+ 11.解：之=之1-2=(3x十y)+（y-4x)i 》+( [(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+ 设1，之2，之1十22对应的向量分别为 y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+ Oi,o谚，0心，因为1Oi1=1Oi1=1O心1=1， 3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i, A,B,C三点均在以原点为圆心，1为 (5x-3y=13, ,z=13-2i,. 半径的圆上，如图所示，由平行四边形法 x+4y=-2, 则和余弦定理易得 解得2， y=-1, cos∠A0C=1Oi2+10C2Ad 210AOC .%1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i, 急=(-1×4-2×2)-(5×2-3×1)i= 2, 一8-7i. 复数的加减法，相当于多项式加减 争 总 结 法中的合并同类项，即实部与实部 律 相加减，虚部与虚部相加减。 12.解：(1)AB对应的复数为(2+i)-1= 故∠AOC=60°，.□OACB为菱形，且 1+i. △BOC,△COA都是等边三角形，即 BC对应的复数为(-1+2i)-(2+i)= ∠AOB=120°. -3+i. 又O心与x轴正半轴的夹角为60°，故点A AC对应的复数为(-1+2i)-1=-2+2i. 在x轴上，即A(1,0),而xB=1O1· 167 c0s120°=- 2y%=Oi·sin120°-3， (m-2<0, 2 2 所以 m+2∠0， 解得-2<m<2. 点B的坐标为(-是，），点A与点 m的取值范围为（一2,2）. B位置互换后，A(-,受)，B1,0. 核心素养培优·拓展提升 1=1, 1.D2.ACD3.D4.3 =+ 21 5.(1)解：设之1=a十bi,(a,b∈R,且b≠0)， 2=1, 则2=十1=(a+bi)十，1 --+ 1 aTbi=(a+ a-bi bi(abi)(a-bi) 3. =(a+)+g=(a+。4F)+ 7.2.2 复数的乘除运算 b 核心素养达标·夯实基础 (ba+6)i. 1.C2.B3.C4.A5.BD6.AC b 因为是实数，所以6一a十=0，即 7.D8.69.2-i10.21og52-2 1.解：原或=[1+)·+[1 。）… i)2].1--8(3-4)(1+i)2(1+D 因为b≠0，所以a2十b2=1,即1|=1， 1+i (3-4i)i 且2=2a, (2i)3·i+(-2i)3·(-i) 由-1<<1，得-12a<1,解得-2≤ 8·2i,(1+D=8+8-16-16i=-16i (2》原式=42+}+=16i-i i 即的实那的取位范国为[一之] i=14i (2)证明：.a2+b=1, 规 题中既有加、减、乘、除、乘方运算，又有括 =1-x=1-a-6i=1-a2-6-2bi 总 号，同实数的运算顺序一样，先算括号内 w=1+名=i+a+6i=(1+a)2+B 结 的，再算乘方、乘、除，最后算加、减。 bi a+1 12.解：(1)由复数1=1+i,之2=m 2i(m∈R), 因为-2<a≤分b≠0，所以w1 1 1一21 则之12=(1十i)(m一2i)=m+2十 为纯虚数， (m一2)i,由之2为纯虚数， (3)解：2-w2=(a十a千)+(6- m-2≠0所以m=一2. [m+2=0 所以 a年ei-(-a7 (2)丝=m-2i=（m-2)(1-D 21 1+i (1+i)(1-i) =2a+(b-b)i+ (a+1)2 m-2-(m+2)i 2 =2a+,1-a2 (a+1)2=2a+1-a a+1 由兰在复平面上对应的，点位于第三象限 =2a(a+1)+(1-a)_2a2+a+1 21 a+1 a+1 168 =1+2a2 'a+1 =1+2(a+1)2-4a-2 a+1 =1+2(a+1)2-4(a+1)+2 a+1 =1+2(a+1)-4+2 +1 -2a+D+a子-3a+1e[合2]， 当2a+1）=g子1时，即a=0时，-云 取最小值1. 7.3*复数的三角表示 1.D2.B3.D4.A5.BD 6.ABC解析：因为e=cosx+isinπ= 一1，故er十1=0，故A正确.er=cosx十 isin x,e-is cos(-x)isin(-z)= cosx-isin,所以e+eiz=2cosx, er-ei证=2 isin x,故C正确，D错误.而 (侵+)=（吾+}- (e3i)2o22=e74d=cos674π+isin674π= 1.故B正确，故选ABC. 7.号(cos暂+in）解折：-1十 1 =-(合别 =2(cos+isin） 8.cos60°+isin60° 日-解析： 号+9i=cos60+isin60, 3(cos 120-isin 300)-(cos 60+ 之 isin60)÷3(cos120°+isin120) =专cs(60-1200+5m(60-1209] =号[c0s(-60)+isin(-60] 66 9.b-ai 10.1+写：解析：设-0，则- -2(co isin) 1 核心素养培优·拓展提升 ,arg2=3, 1.B 2.AC a=2(os吾+sin）+唱. 3.解：(1)=i(1-i)3=2-2i,将1化为三 1-+解得起=1+ 角形式，得a=2(cos还+in7）, 11.解：（1)由观察得(cos0+isin0)” arg-7牙，l=2vE。 cos no+isin no; (2)由于复数之满足|z=1,设之=cosa十 2=5-=2-1·2） isin a,则之-名=(cosa-2)+(sina十2)i, |z-1|2=(cosa-2)2+(sina十2)2= 2(coisin) 9+42sin (a-), 由1)得2”=2“(c0s 11十 当sin(a-平）=1时，x-x2取得最 1sin1）” 大值9十4√2. =2(cos10×g+isin10×1g） 所以|之一之1|的最大值为2√2+1. 专题集训突破练 =2"(cos要+isin5要） 专题1复数的概念 =2[cos(18x+号）+isin(18x+ 例1解：(1)由题意，得a2+2a-15=0,且 a2-4≠0，解得a=一5或a=3,所以当 )] a=一5或a=3时，之为实数. =2(cos5+isin3） (2)由题意，得a2十2a-15≠0，且a2 4≠0，解得a≠-5，且a≠3，且a≠士2， =2(合+刳) 所以当a≠-5，且a≠3，且a≠士2时，之 是虚数。 =512+5123i. (3)由题意，得a2-a-6=0,且a2十 12.解：依题意得(-1十i)(c0s暂十 2a-15=0,且a2-4≠0，解得a=3,所 isin） 22 以当a=3时，2=0. (cos+isim） 深刻理解复数的有关概念（如实部、虚部、 所以&=（一1+i(cos经+in经） 名师点 纯虚数等)及两个复数相等的含义（实部与 虚部分别相等) (coisin) 跟踪训练1解：设(x0,y)是方程组的实 =2(cos7+isn）(cos7+isin） 数解. 由已知及复数相等， (os经+in） x+2-0 -2[os(学+经+经）+isin(学+ 得2（十1）=4x,② 警+门 2x+ay=9,③ -(4x0-y0+b)=-8,④ 169 x0 、5 为之十3i=x十(y+3)i为实数，所以y= 由①②得 一2’代入③④得 a=1, yo=4, b=2, -8.又周为写产=号0-303+ 所以实数a,b的值分别为1,2， 》=0(3x+3)+(x-9)门为实数，所以 专题2掌握复数的运算 例2 解：(1)设之=a十bi(a,b∈R).因为 x=9,所以之=9-3i.因为（之+ai)2= x一3i=a+(b一3)i为实数，所以b=3. 81-(a-3)2+18(a-3)i=72+6a- 又周为多1--2a十2牛a-01 a2+18(a-3)i, 6 f72+6a-a2>0, 由已知，得 解得3< 为纯虚数，所以a=一1，即之=一1十3i. 18(a-3)>0, (2》国为己=告-共0 a<12,故实数a的取值范围是(3,12). (1-i)(1+i) 二4-2+i,所以1产=一2+i= 易错排查矫正练 2 易错点1对复数的概念把握不准致误 √/（-2)2+1=5 1ABD解折：1十i2=3+i,得- 名师点 复数的运算（加、减、乘、除）与多项式的运 算相类似. 3+iD1-D=2-iz=5,故A正 (1+i)(1-i) 确；之的实部为2，故B正确；之的虚部是 ””””””””””””” 跟踪训练2解：(1)已知之=1十i,所以乏 一1，故C错误；复数之在复平面内对应的 1-i,所以w=(1+i)2+3(1-i)-4= 点的坐标为(2,1)，在第一象限，故D -1-i,所以|w=√2. 正确。 (2)因为十az+b-(a+)+(a+2i 2.C解析：设实根为，则号十(1一2i)x十 z2-x+1 i 3m-i=0,即(x6+x+3m)-(2+1)i=0, 1-i,所以(a+b)+(a+2)i=1+i,所以 x0=一 a+b=1, a=-1, x6+x0+3m=0 2 解得 所以 解得 a+2=1, b=2. 2x0+1=0 m12 专题3理解复数的几何意义 故选C. 例3解：设之=x十yi(x,y∈R),则顶点C 3.3解析：.m2-(m2-3m)i<(m2 的坐标为(x,y).因为OA∥BC,所以 4m十3)i十10，且虚数不能比较大小， kaA=k,OC=BA,又BA2=(6-2)2十 m2<10, 2=y-6」 (-2-1)2=25,所以 1x+2’ 解得 .{m2-3m=0, 解得m=3. x2+y2=25, (m2-4m+3=0, x=-5, x=-3, 易 分 若忽视虚数不能比较大小，会得出错 或 因为OA≠BC,所 (y=0 y=4. 错 析 误答案. 以x=一3，y=4舍去，故之=一5. 易错点2复数的运算错误 复数的几何意义包括复数本身的几何意义 4.{0,一2}解析：利用复数的几何意义解 名师 (与复平面内的点及从原点出发的向量建 决问题，在复平面内，|之十1川=1的几何 立一一对应关系)，以及复数运算的几何 睛 意义是以点（一1,0）为圆心，1为半径的 意义. 圆，|之十i=|之一i的几何意义是到点 跟踪训练3解：设之=x十yi(x,y∈R).因 A(0,1)和点B(0,-1)距离相等的点的 170 集合，是线段AB的垂直平分线，也就是 x轴，M∩N的几何意义是x轴与圆的 公共点对应的复数，故之=0或之=一2. .M∩N={0,-2}. 易 本题若混淆复数运算与代数运算的不同， 错 则会错误的将集合M和N化简为M= 分 {z|z+1=±1}，N={xlz+i=±(zx-i)}从 而造成解题错误， (1-i)2 5.1 -2 解析：之= 1-i 1+i1+D(1-D 2i=-i,z=1; 由定义可知，y= 4 4i1 2 x+i20 4i×0-1×2=-2. 6.解：2-=2+i-W2+D1+2D 1-√2i1-√2i(1-√2i)(1+√2i) 2+2i+i+2-31=i 3 易分本题易错用运算法则和i的性质从而 错析造成解题错误. 7.解：由题意，得△=k2-4(k2一2k)= -3+8张<0，即k<0成k>号 设两根分别为1,22，则2=，之2= z1=1,得1·2=1. 又因为名·22=k2一2k,所以k2一2k=1, 即k1=1-√2，k2=1十√2（舍去）， 所以k=1-√2. 复数范围内解方程的二般思路是依据题意」 设出方程的根，代入方程，利用复数相等的 误 充要条件求解.对于一元二次方程，也可以 区 警 利用求根公式求解，要注意在复数范围内 示 负数是能开方的，此外，根与系数的关系也 是成立的.注意求方程中参数的取值时，不 能利用判别式求解， 小题限时强化练 1.C2.D3.C4.A5.B6.D7.B 8.D 9.ACD 10.AB 11.BD 12.-1,513.-6+8i14.-4、第七章复数 7.3*复数的三角表示 7六素养目标 1.了解复数的模和辐角的定义，会求复数的模和辐角的主值； 2.会进行复数的代数形式与三角形式的互化； 3.能进行简单的复数三角形式的乘除运算： 核心素养达标夯实基础 一、选择题 C.复数之1,2的辐角的主值分别是9,02，则 1.设复数5十6i的辐角的主值是0，则12一10i 之12的辐角的主值是01十02 的辐角的主值为( D.复数1,2的辐角的主值分别是0,02，且 A.-0 B.8-0 日>2，则的辐角的主值是0-02 c-0 D.+ 6.（多选)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复 指数函数和三角函数的关系，并写出以下公 2.已知复数z=V2+6i,则arg上是( 式er=cosx十isin x,这个公式在复变论中 占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天 A弩 桥”.根据此公式，下列结论正确的有() C. n A.er+1=0 3.复数x=月(sim竖+icos受)化为代数形式 C.2cos x=ei+e-iz 为( ) D.2sin x=eir-e-iz A. 二、填空题 c-多- D多-停 7.1 的三角形式为 -1+√3i 4.计算(cos36°十isin36)-5的结果为( 8复数女号+的三角形式为 A.-1 B.1 2 C.2 n 3(cos120°-isin300) 9.把复数a十bi(a,b∈R)在复平面内对应的向 5.（多选)下列命题中正确的有( ) 量绕O点按顺时针方向旋转90°后所得向量 A.复数x的辐角的主值是0，则z2的辐角的 对应的复数为 主值是20 B.复数z的辐角的主值是0，则之的辐角的 10若复数x满足2=ag(）=, 主值是2π-0 则之的代数形式是之= 40 ·数学· 课时夯基过关练 三、解答题 12.设复数之1,2对应的向量为OZ,OZ2,0为 11.设i为虚数单位，n为正整数，0∈[0,2π). 坐标原点，且1=一1十√3i,若把OZ绕原 (1)观察(cos0+isin0)2=cos20+isin20, 点逆时针旋转红，把O乙，绕原点顺时针旋 (cos 0+isin 0)3=cos 30+isin 30,(cos 0+ isin0)4=cos40+isin40,…猜测：(cos0+ 转平，所得两向量恰好重合，求复数， isin)"(直接写出结果)； (2)若复数之=√3一i,利用(1)的结论计 算z10. 核心素养培优拓展提升 1.若复数( 为实数，则正整数n的最小 3.已知复数之1=i(1一i)3. (1)求arg1及； 值是() (2)当复数之满足之=1，求|之一1|的最 A.1 B.2 大值 C.3 D.4 2.（多选)任何一个复数z=a十bi(其中a,b∈R,i 为虚数单位)都可以表示成：z=r(cos0十isin) 的形式，通常称之为复数之的三角形式.法国 数学家棣莫弗发现：之=[r(cos0十isin0)]r= (cosn0+isin no)(n∈N+),我们称这个结论 为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确 的有() A.|z2|=|z|2 B.当r=1,0=5时，2=1 C当=1,6时=}-8 D.当r=1,0=元时，若n为偶数，则复数” 4 为纯虚数 ·数学· 41