第七章 复数 小结导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修二导学案 第七章 复 数 第七章 复数 第七章 复数 复数--知识小结【导学】【解析】 【导学目标】 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义． 【导学重点】理解复数的概念，理解复数相等的充要条件及复数代数形式的四则运算 【导学难点】理解复数乘除法的运算律，会在复数范围内解方程. 【知识要点】 复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)． (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0 a＋bi为虚数⇔b≠0 a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0 a＋bi为非纯虚数⇔a≠0且b≠0 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 复数的几何意义 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量＝(a，b) 复数的运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. 1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)； i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． 4．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x＝.②当Δ<0时，x＝. (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．　 【典型例题】 题型一:复数的有关概念 【例1-1】(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi． (　×　) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． (　×　) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数． (　×　) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. (　√　) 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√. 【例1-2】(多选)已知复数z1=x+yi(x,y∈R)，z2=cosθ+isinθ(θ∈R)，则下列说法正确的是（ ）A.(z1+z2)2=|z1+z2|2； B.复平面内z22对应的点的集合是单位圆； C.；​ D.复平面内满足∣z1−i∣=1的点的集合是线段. 【答案】BC 【例1-3】已知复数． （1）若为实数，求实数的值； （2）若为纯虚数，求实数的值； （3）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值． 【答案】（1）-2；（2）2；（3）-1. 题型二:数学运算--复数的运算 ►考法1　复数的乘法运算 【例2-1】　(1)(1＋i)(2－i)＝ . (2)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝ . (3)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝ . 【答案】（1）3+i；（2）-3；（3）0. ►考法2　复数的除法运算 【例2-2】　(1)i是虚数单位，复数＝ . 【答案】4-i. (2)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为 . 【答案】2. ►考法3　复数的综合运算 【例2-3】设复数z满足＝i，则z的共轭复数为 . 【答案】i. 【例2-4】若复数z满足 2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于 . 【答案】1-2i. 【例2-5】若复数为纯虚数，其中i为虚数单位， （1）求实数m的值； （2）若用mi为实系数方程的根，求实数a的值． 【答案】（1）m=2；（2）实数a的值2. 【例2-6】（多选题）若复数，其中为虚数单位，则下列结论不正确的是（ ） A． 的虚部为 B． C． 的共轭复数为 D．为纯虚数 【答案】ABC. 题型三:直观想象--复数的几何意义 【例3-1】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 . 【答案】第四象限. 【例3-2】若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 . 【答案】a<-1. 题型四:逻辑推理--复数、向量、点的对应关系 【例4-1】已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若＝2＋，则a＝ ，b＝ . 【答案】a＝-3，b＝-10. 题型五:在复数范围内解方程 【例5-1】在复数范围内解下列方程． (1)x2＋5＝0； (2)x2＋4x＋6＝0. 【答案】（1）；（2）. 【例5-2】已知6＋7i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值． 【答案】实数p，q的值分别为-24，170. 【例5-3】已知复数（为虚数单位） （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）1+i；（2）a=-3,b=4. 【例5-4】已知复数()的实部与虚部的差为． （1）若，且，求复数在复平面内对应的点的坐标； （2）当取得最小值时，求复数的实部． 【答案】（1）(2,6)；（2）. ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修二导学案 第七章 复 数 第七章 复数 第七章 复数 复数--知识小结【导学】 【导学目标】 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义． 【导学重点】理解复数的概念，理解复数相等的充要条件及复数代数形式的四则运算 【导学难点】理解复数乘除法的运算律，会在复数范围内解方程. 【知识要点】 复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)． (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0 a＋bi为虚数⇔b≠0 a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0 a＋bi为非纯虚数⇔a≠0且b≠0 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 复数的几何意义 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量＝(a，b) 复数的运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. 1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)； i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． 4．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x＝.②当Δ<0时，x＝. (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．　 【典型例题】 题型一:复数的有关概念 【例1-1】(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi． (　　) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． (　　) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数． (　　) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. (　　) 【例1-2】（多选）已知复数z1=x+yi(x,y∈R)，z2=cosθ+isinθ(θ∈R)，则下列说法正确的是（ ）A.(z1+z2)2=|z1+z2|2； B.复平面内z22对应的点的集合是单位圆； C.；​ D.复平面内满足∣z1−i∣=1的点的集合是线段. 【例1-3】已知复数． （1）若为实数，求实数的值； （2）若为纯虚数，求实数的值； （3）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值． 题型二:数学运算--复数的运算 ►考法1　复数的乘法运算 【例2-1】　(1)(1＋i)(2－i)＝ . (2)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝ . (3)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝ . ►考法2　复数的除法运算 【例2-2】　(1)i是虚数单位，复数＝ . (2)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为 . ►考法3　复数的综合运算 【例2-3】设复数z满足＝i，则z的共轭复数为 . 【例2-4】若复数z满足 2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于 . 【例2-5】若复数为纯虚数，其中i为虚数单位， （1）求实数m的值； （2）若用mi为实系数方程的根，求实数a的值． 【例2-6】（多选题）若复数，其中为虚数单位，则下列结论不正确的是（ ） A． 的虚部为 B． C． 的共轭复数为 D．为纯虚数 题型三:直观想象--复数的几何意义 【例3-1】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 . 【例3-2】若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 . 题型四:逻辑推理--复数、向量、点的对应关系 【例4-1】已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若＝2＋，则a＝ ，b＝ . 题型五:在复数范围内解方程 【例5-1】在复数范围内解下列方程． (1)x2＋5＝0； (2)x2＋4x＋6＝0. 【例5-2】已知6＋7i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值． 【例5-3】已知复数（为虚数单位） （1）求； （2）若，求实数的值． 【例5-4】已知复数()的实部与虚部的差为． （1）若，且，求复数在复平面内对应的点的坐标； （2）当取得最小值时，求复数的实部． ( 第 1 页 共 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $