6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3 平面向量加，减运算的坐标表示&6.3.4 平面向量数运算的坐标表示-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

课时夯基过关练了 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 入素养目标 1.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有 关的运算； 2.培养学生利用“数”来处理“形”的问题的意识，加强数形结合数学思想的应用， 核心素养达标夯实基础 一、选择题 6.我国东汉末数学家赵爽在 1.已知点A(-1,1),B(2,-1),若直线AB上的 《周髀算经》中利用一幅“弦 点D满足AD=2BD,则点D坐标为( 图”给出了勾股定理的证明， 后人称其为“赵爽弦图”，它 A.(3o) B.(0,号) 是由四个全等的直角三角形 c(1,-》 与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E D.(5,-3) 为AF的中点，EC=λAB十μAD,则λ十u= 2.如图，在矩形ABCD中，E为 () CD中点，那么向量2A峦十 A号 B.5 c D.青 AD等于() 7.（多选)已知λ，μ∈R,AB=(,1),AC= A.A它 B.AC C.DC D.BC (-1,1),AD=(1,),那么() A.Ci+DC=(入-1,1-) 3.（多选)已知A(2,3),B(4,一3)，点P在直 线AB上，且A|=2P1,则点P的坐标 R若A/A,则A=2,=号 为() C.若A是BD的中点，则B,C两点重合 A.(6,-9) B(9-) D.若点B,C,D共线，则=1 二、填空题 C.(8,-15) D.(5,-6) 8.已知A,B,C三点共线，BA=AC,点A, 4.已知向量a=(-6,1),b=(7,-2),且(a+ B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为 mb)∥(3a-b),则m等于() A号 B-号c别 D.7 9.若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共 5.已知向量OA=(1,-3),Oi=(2,-1), 线，则。+名 O心=(+1，k-2),若A,B,C三点不能构 10.如图，在直角梯形ABCD中， 成三角形，则实数k应满足的条件是() AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC 2AB,E为AD的中点，若CA= A.k=-2 R及=司 入C它十μD克，则入= C.k=1 D.k=-1 ·数学·13 、第六章平面向量及其应用 三、解答题 11.已知平行四边形三个顶点的坐标为（一1， 12.设向量a=(a+2,a3-cos2a),6-(m,受十 0),(3,0),(1,一5)，求第四个顶点的坐标。 sina,其中入，m,a为实数，若a=2b,求入 的取值范围。 核心素养培优拓展提升 1.已知i,j分别是方向与x轴正方向、y轴正 A户=入AB十uAE,则下列判断正确的有 方向相同的单位向量，O为原点，设OA= () (x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R), A.满足入十μ=2的点P必为BC的中点 则点A位于() B.满足λ十4=1的点P有两个 A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.满足入十u=3的点P有且只有一个 C.第三象限 D.第四象限 2.如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,点 D十A=的点P有两个 P在以点C为圆心且与BD相切的圆上， 4.已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y一x)的 ∠BCP-3若A市-入A店+μAD,则入+P 对应关系用v=f(u)表示. (1)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)与 的值为( f(b)的坐标； (2)求使f(c)=(p,9)(p,q为常数)的向量 c的坐标； (3)证明：对任意的向量a,b及常数m,n,恒 有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立. A.2 B.2-10 10 C.3 D.3、10 10 3.(多选)如图，延长正方形 E ABCD的边CD至点E, 使得DE=CD,动点P 从点A出发，沿正方形 的边按逆时针方向运动一周后回到点A,若 14 ·数学·6.3.2 平面向量的正交分解及 坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的 则Dt-A=号A点=号a, 坐标表示 Bt-Nt-N随-A市-2A$=b-2a, 6.3.4 平面向量数乘运算的 MN=CN-CM=-A市-号c市- 坐标表示 -A市+}A点=a-b. 核心素养达标·夯实基础 1.D2.A3.AB4.B5.C6.B 用基底表示向量的关键是利用三角形或 平行四边形将基底和所要表示的向量联 7.Ac8109.210g号 总 系起来.解决此类题时，首先仔细观察所 11.解：设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5), 给图形.借助于平面几何知识和共线向 D(z,y). 量定理，结合平面向量基本定理解决， ①若平行四边形为ABCD1,则AD= 12.解：M=A市+A心， BC. AD=(x+1,y),BC=(-2,-5), ·AM=圣(Mi-M)+(M心 .由AD=BC,得 「x+1=-2, MA), 解得 y=-5, MB+MC-0..MC-3 BM. =-3D,(-3,-5. y=-5, -既 ②若平行四边形为ACD2B,则AB= 核心素养培优·拓展提升 CD,. 1.ABD2.B3.BD4.C5.2 Ai=(4,0),CD2=(x-1,y+5), 红一1=4解得 x=5, 6.1+@a+(2+②k7.8 y+5=0, y=-5. .D2(5,-5). 8.解：(1)因为励=}B心=(C-A市)= ③若平行四边形为ACBD,则AD 号就-号A恋，所以A动=A砧+动= CB. AD=(x+1,y),C克=(2,5)， A本+（传3AC-号A)-号A恋+号AC x=1, .D3(1,5). y=5. (2)依题意知，A市-号A市，A市=1A心， 综上所述，平行四边形第四个顶点的坐 AG-多a市-号A忘+日AC, 标为(-3，-5)或(5，-5)或(1,5). 12.解：由a=2b, 所以=-G-=号A心-居A站， 知+2=2m, 2-cos 2a=m+2sin a, Fi=A在-A本=AC-号A成】 因为E,F,G三点共线，所以F心=λF它， cosin 所以日-a,一品=-台，解得=号。 :.入=2m-2=2-2 m m 157 .'cos2 a+2sin a=-sin2a+2sin a+1 6.C7.B82而9.-号 10.6 =-(sina-1)2+2,-1≤sina≤1， ∴.-2≤cos2a+2sina≤2， 11.解：(1)因为a∥b,所以3x=4×9,所以 .-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2， x=12. 因为a⊥c,所以3×4+4y=0, ∴<m≤2， 所以y=-3,所以b=(9,12),c=(4,-3). -6≤2-2≤1， (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)= m (一3，-4)， 即-6≤分≤1， n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设m,n的夹角为0， 的取值范围为[-6,1]. m m·n= 核心素养培优·拓展提升 则c0s0=mm 1.D 2.B 3.BCD -3×7+(-4)×1 √(-3)2+(-4)2·√72+1 4.(1)解：.a=(1,1),b=(1,0), ∴.f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),f(b)= -25=-2 25√2 2 (0,2×0-1)=(0,-1). (2)解：设c=(x,y),则f(c)=(y,2y 因为0E[0,],所以0=3.即m,n的 x)=(p,q), ==2-g, 夫角为 (2y-x=q,y=p, 12.解：(1)点A(0,1),B(1,0),C(1,2), .c=(2p-9,p). D(3,0), (3)证明：设a=(a1,a2),b=(b1,b2), .Ai=(1,-1),C市=(2，-2). 则ma+nb=(ma1十nb1,ma2+nb2）, :A站=2市， .f (ma+nb)=(maz nb2,2maz+ AB∥CD.又直线AB,CD不重合，故 2nb2-ma1-nb1）. AB∥CD. 又，mf(a)=m(a2,2a2-a1),nf(b)= (2)Mp=4e1+2e2,P=2e1十e2, n(b2,2b2-b1), ∴.M巾=2P夜，即M∥P夜， .mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+ M巾，P夜有共同的起点P, n(b2,2b2-b1)=（ma2+nb2,2ma2+ M,P,Q三点共线. 2nb2-ma-nb). 核心素养培优·拓展提升 故对任意的向量a,b及常数m,n,恒有 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立. 1.BCD 2.B 3[2] 对于信息题的处理应注意以下两点： 4.解：以A为坐标原，点，建立平面直角坐 规 (1)要注意概念的内涵与外延，认真领会题 中所给信息： 标系，如图所示，则B(?,0,C(0,0, (2)注意题中的条件与结论，将所得到的信 Ap=(1,0)+4(0,1)=(1,4),即P(1, ,息应用到题目中去，即解块实际问题、 0,所以=(}-1，-4），心=(-1， 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 t-4),因此Pi.P℃-1-1-4+16 核心素养达标·夯实基础 1.ACD 2.BCD 3.A 4.B 5.ABD 17-(任+)，因为+4≥2√·4= 158 4,所以市，P元的最大值等于13，当 4,即=2时等号成立。 y个 (0,)C 、B A (,0) 5.(1)解：OA·Oi=4×2+0×2√3=8， 设OA与Oi的夹角为0， 0才.0i8=1 则0s0=粉品文4克 .OA在O范上的投影向量为|OA cos0· 毫=xg×2,2=1同 4 (2)证明：AB=O范-O才=(-2， 23), B武-O元-Oi=(1-)OA-(1-A)Oi= Q-1)AB,且2≠λ， A,B,C三点共线. 当AB=BC时，λ一1=1，解得λ=2. (3)解：OC12=(1-λ)2OA2+2(1-λ)· OA·0范+2O=162-16x+16= 16(a-）°+12， “当X=7时，0心取符最小值，为2w 6.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 6.4.2向量在物理中的应用举例 核心素养达标·夯实基础 1.D2.A3.B4.D5.AC6.-√5 将 8.解：以平行于斜坡方 F2 向为x轴，垂直于斜 坡方向为y轴，建立 30 G 如图所示的平面直