6.2.4 向量的数量积-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

、第六章平面向量及其应用 6.2.4向量的数量积 今素养目标 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.掌握数量积的公式，理解其几何意义及投影、投影向量的概念； 3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 4.使学生经历用向量法解决实际问题的过程，培养学生数学建模的核心素养. 核心素养达标夯实基础 一、选择题 1.在△ABC中，∠C=90,BC=2AB,则A店 与BC的夹角是() A.30°B.60° C.120° D.150° 2.如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三 图1 图2 角形，且AB=1,则A官·BC等于() A.OA.0D=2 2 120° B.Oi+Oi=-√2Oi C.Ai.Hò=BC.Bδ A.B. C.- D. D.A在AB向量上的投影为- 2 2 7.已知单位向量a,b满足|a十bl>1,则a与b 3.已知平面向量a,b满足|a=√3，|b=2, 夹角的取值范围是( a·b=-3,则|a十2b|=() A.1 B.√7 C.4+√3D.2√7 A[,)B[o,）C.(停]D(x] 4.已知向量a,b满足|a=4,bl=6,|a+b1= 8.已知点P是边长为2的正△ABC的内部 8,则a·b=() (不包括边界)的一个点，则A户·A的取值 A.3 B.6 C.9 D.12 范围为( ) 5.若平面向量a,b,c两两夹角相等，且a= A.(0,2)B.(1,2)C.(0,4)D.(2,4) 1,b1=1,c|=3,则a+b+c|=() 二、填空题 A.2 B.5 C.2或5D.√2或√5 9.已知a·b=16,若a在b方向上的投影为 6.（多选)八卦是中国文化的基本哲学概念，如 4,则|b1= 图1八卦模型图，其平面图形记为图2中的 10.已知a=3,|b|=4,且(a-2b)·(2a+b)≥ 正八边形ABCDEFGH,其中|OA|=1,则 4,则a与b的夹角0的取值范围 下列结论正确的有( 是 8 ·数学· 课时夯基过关练 11.定义：a×b=a·|b|·sin0,其中0为 13.(1)已知|a=2,|b=1,向量a,b的夹角 向量a与b的夹角，若|a=2,b|=5,a· 为60°，c=a十5b,d=ma-2b.求m为何值 b=一6，则|a×b1等于 时，c与d垂直； 三、解答题 (2)已知a|=1,|b=1,a,b的夹角为 12.已知e1,e2是夹角为120°的两个单位向量， 120°，计算向量2a一b在向量a+b方向上 a=3e1-2e2,b=2e1-3e2. 的投影 (1)求a·b的值； (2)求a十b与a一b的夹角的大小. 核心素养培优拓展提升 L.在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=否， C.[-162,162 D.-8,16√2 AM=2M范，则DM.D克=() 3.已知O为△ABC的外心，|AB|=4,则 B.5 A0.AB=() A.15 C.30 D.20 A.8 B.10 C.12 D.1 2.美术课对于陶冶人的情操、发 4.若O是△ABC所在平面内的一点，且满足 展学生的艺术兴趣和爱好、培 1Oi-O心1=|Oi+O心-2OA1,则△ABC 养学生的艺术特长、提高学生 的形状为() 的审美素养具有积极作用.如图，这是某学 A,等边三角形 B.等腰三角形 生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正 C.等腰直角三角形D.直角三角形 方形和三个半圆组成的，其中A,B是正方 5.已知平面上三点A,B,C满足|AB|=3, 形的两个顶点，P是三段圆弧上的动点，若 1BC1=4,|CA|=5,则AB·BC+BC· AB=4,则A克·A户的取值范围是() CA+CA·AB的值等于 A.[-24,24] B.[-8,24] 数学9课时训练答案与解析 第六章 平面向量及其应用 核心素养培优·拓展提升 1.B 2.B 3.ABC 4.C 课时夯基过关练 5.解：(1)如图，根据向量相等的定义，AB 与a的方向相同，长度相等，即|A|=2, 6.1平面向量的概念 即可得到向量AB; 核心素养达标·夯实基础 1.A2.B3.C4.A5.D6.ABD 7.菱形8.√39.④ 10.解：(1)因为E,F,D分别是AC,AB, BC的中点， (2)如图，画出一个满足条件的向量AM, 所以，EF∥BC,且EF=BD=DC. 点M的轨迹是以点A为圆心，半径r= 所以，与E市相反的向量为F它，B心，D心 √5的圆. (2)因为△ABC的三边均不相等， 又EF=BD=DC, 所以，与E泸的模相等的向量为F它， Bd,D克，DC,Ci. (3)由(1)(2)可知，与E疗相等的向量为 6.2平面向量的运算 DB.CD 11.解：(1)因为1OA|=3,点A在点O的 6.2.1向量的加法运算 正西方向，故向量OA的图示如下： 北 6.2.2向量的减法运算 -011- 核心素养达标·夯实基础 0 1.D2.B3.C4.D5.A6.D7.A 上达达 8.D9.P交10.30° +东 11.解：以OB,O心为邻边作平行四边形 (2)因为Oi|=3√2，点B在点O的北 OBDC,连接OD,AD, 偏西45°方向，故向量O克的图示如下： 所以O市=Oi+O心=b十c, 北 所以A市=O市-OA=b十c-a. 3 12.证明：由题知A0=O心，D0=Oi, 因此Ai=Aò+Oi=O心+Dò=D0+ O心=DC.所以AB,DC平行且相等，因 1AB1=√TOB2-1OA2=3. 此四边形ABCD是平行四边形. 155 核心素养培优·拓展提升 (3)结论：AA十AA,+AA+…+AA 1.C2.A3.AD4.B ="2a+b. 5.2 6.解：设OA,OB,OC三 13.解：B市=BC+C市=(a+mb)+3(a- b)=4a+(m-3)b, 根绳子所受的力分别 为a,b,c,则a十b十 若A,B,D三点共线，则存在实数入，使 B=λAB, c=0. 因为a,b的合力为c=a十b,所以c=|c1. 即4a+(m-3)b=λ(a+b), 如图在平行四边形OB'C'A'中， 4=λ， 所以〈 解得m=7. 因为OB⊥OC,BC=OA, m-3=λ， 所以1OA1>1OB1,1OA1>1OC1,即 故当m=7时，A,B,D三，点共线. la>bl,a>cl. 核心素养培优·拓展提升 1.D 2.B 3.ABD 故细绳OA受力最大】 4.解：(1)如图所示， 6.2.3向量的数乘运算 因为G为△ABC重心， 核心素养达标·夯实基础 所以AG= 1.B2.B3.C4.C5.C6.A7.A 8.C9-16+310.211.C +A0=号A6+号a6, 12.解：(1)当P,Q是线段BC的三等分，点 所以AG=号AM+A衣， 时，以AB,AC为邻边作平行四边形 因为M,G,N三点共线，所以号x十3y ABDC, 连接AD,交BC于点O,连接PD,QD, 1,即x+y=3. 如图所示， x>1, 1<x<2, 则Ai+AC=A方，因为OB=OC,BP= (2)由题意可知y>1, → (1<y2, CQ=号BC,所以OP=PQ且OA- x十y=3, x-1+y-1=1, OD, 所以四边形APDQ是平行四边形，所 以A市+A夜=AD=AB+A=a+b. a-1+y-1D=3+2g2+ y-1 3+2写3+2 (2)当P,Q,S是线段BC的四等分，点 当且仅当2一=即y-1 y-1 时，如图所示，则Q是BC的中点，AB+ √2(x一1)时取等号， AC-A市+A$=2A, 又x十y=3,所以x=√2，y=3一√2时， 所以A市+A边+A$=(A在+AC 马十，吕取得最小位为3+22 (a+b). 3 6.2.4向量的数量积 核心素养达标·夯实基础 1.C2.C3.B4.B5.C6.AB7.B 156 8c9,410[]18 12.解：(1)a·b=(3e-2e2)·(2e1-3e2)= 6e-13e1·e2+6e吃=6-13cos120°+ 637 2 (2)设a十b与a一b的夹角为0， 则cos9=（a+b):(a-b)_ la+blla-b (5e-5e2)·(e+2）=0, 5e1-5e2e1+e2 所以0=90°，即a十b与a一b的夹角为 90°. 13.解：(1)由已知得a·b=2×1Xcos60°=1. 若c⊥d,则c·d=0. ∴.c·d=(a+5b)·(ma-2b)=ma2+ (5m-2)a·b-10b2=4m+5m-2- 10=9m-12=0,.m=4 31 故当m=专时，6与d垂克. (2),(2a-b)·(a+b)=2a+2a·b-a· b-=2a2+a·b-b=2×12+1×1× s12w-1=含a+61=Va+bF= v√a2+2a·b十b2= W1+2×1×1×cos120°+1=1， ÷2a01ba+》-方，即向量2a a+b b在向量0十b方向上的投影为2： 核心素养培优·拓展提升 1.C2.B3.A4.D5.-25 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 核心素养达标·夯实基础 1.A2.A3.A4.C5.C6.ABC 7.A8A9.110.-2或号 11.解：如图所示，连接CN,则四边形 ANCD是平行四边形.