6.2.3 向量的数乘运算-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

、第六章平面向量及其应用 6.2.3向量的数乘运算 ⌒素养目标 1.理解并掌握向量数乘的定义及其运算律，能进行有关向量的数乘运算； 2.理解两个向量共线的含义，能利用向量共线定理解决简单平面几何问题； 3.培养学生利用转化和类比等方法解题的能力和向量的基本运算能力. 核心素养达标夯实基础 一、选择题 6.在四边形ABCD中，AB=a十2b,BC=-4a 1.已知m,n是实数，a,b是向量，对于命题： b,C方=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是 ①m(a-b)=ma-mb②(m-n)a=ma- () na③若ma=mb,则a=b④若ma=na, A.梯形 B.菱形 则m=n C.平行四边形 D.矩形 其中真命题的个数是( 7.已知向量a,b不共线，且向量a+b与a十 A.1 B.2 (2λ一1)b方向相同，则实数入的值为() C.3 D.4 2.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD A.1 交于点O,若A克+A市=入A可，则λ=() A司 c D. C1或司 D.1或司 B.2 8.如图，在△ABC中，点P是线 3.在平行四边形ABCD中，2AC-=( 段BC上一点，若A产=tAB十 AC,则实数：的值为( A.BD B.DiC.2B励D.D啦 A B. c号 D. 4.在△ABC中，点D为边BC的中点，记AB= 二、填空题 a,AC=b,则AD=() 9.若向量a=3i-4,b=5i计4j,则(3a-b A.gatb 1 B.2a-b 3(a+号b+(2b-a)= C.za+jb D.ga-6 10.在△ABC中，若点D满足BC=入C市， 5.已知a,b,c均为非零向量，且a=2b,b= AD-多AC-A市，则入= 一3c,则( ) A.a与c垂直 B.b与c同向 11.设G为△ABC的重心，则GA十2G第+ C.a与c反向 D.a与b反向 3 GC- 6 ·数学· 课时夯基过关练了 三、解答题 13.设两向量a与b不共线，若AB=a十b, 12.在△ABC中，若AB=a,AC=b. BC=a十mb,ci=3(a-b),则m为何值 (1)若P,Q是线段BC的三等分点，求证： 时，A,B,D三点共线？ A户+AQ=a+b; (2)若P,Q,S是线段BC的四等分点，求 证：A市+A动+-多(a+b): (3)如果A1,A2,A,…,Am-1是线段BC的 n(n≥3)等分点，你能得到什么结论？不必 证明.[已知1+2+3+…十n=n(n+1)7 2 核心素养培优 拓展提升 1.已知向量a,b,c中任意两个都不共线，并且 4.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点 a十b与c共线，b+c与a共线，那么a+b十 G作直线分别与边AB,AC交于M,N两点 c等于( (点M,N与点B,C不重合)，设A官= A.a B.b x AM,AC=yAN. C.c D.0 (1)求x+y的值； 2.已知O是△ABC所在平面内一点，若OA十 0B+OC=0,AM=x AB,AN=3 AC, (2求，，产7的最小值，并求此时， MO=λO,x,y均为正数，则xy的最小值 的值 为() A司 R号 C.1 D 3.(多选)在△ABC中，前=号耐+C,政- 耐十号成，以下结论正确的有( ) SAPBC-1 A.5 B S△QBc=1 S△ABC 4 e-= D SAONC5 S△ABc12 数学7课时训练答案与解析 第六章 平面向量及其应用 核心素养培优·拓展提升 1.B 2.B 3.ABC 4.C 课时夯基过关练 5.解：(1)如图，根据向量相等的定义，AB 与a的方向相同，长度相等，即|A|=2, 6.1平面向量的概念 即可得到向量AB; 核心素养达标·夯实基础 1.A2.B3.C4.A5.D6.ABD 7.菱形8.√39.④ 10.解：(1)因为E,F,D分别是AC,AB, BC的中点， (2)如图，画出一个满足条件的向量AM, 所以，EF∥BC,且EF=BD=DC. 点M的轨迹是以点A为圆心，半径r= 所以，与E市相反的向量为F它，B心，D心 √5的圆. (2)因为△ABC的三边均不相等， 又EF=BD=DC, 所以，与E泸的模相等的向量为F它， Bd,D克，DC,Ci. (3)由(1)(2)可知，与E疗相等的向量为 6.2平面向量的运算 DB.CD 11.解：(1)因为1OA|=3,点A在点O的 6.2.1向量的加法运算 正西方向，故向量OA的图示如下： 北 6.2.2向量的减法运算 -011- 核心素养达标·夯实基础 0 1.D2.B3.C4.D5.A6.D7.A 上达达 8.D9.P交10.30° +东 11.解：以OB,O心为邻边作平行四边形 (2)因为Oi|=3√2，点B在点O的北 OBDC,连接OD,AD, 偏西45°方向，故向量O克的图示如下： 所以O市=Oi+O心=b十c, 北 所以A市=O市-OA=b十c-a. 3 12.证明：由题知A0=O心，D0=Oi, 因此Ai=Aò+Oi=O心+Dò=D0+ O心=DC.所以AB,DC平行且相等，因 1AB1=√TOB2-1OA2=3. 此四边形ABCD是平行四边形. 155 核心素养培优·拓展提升 (3)结论：AA十AA,+AA+…+AA 1.C2.A3.AD4.B ="2a+b. 5.2 6.解：设OA,OB,OC三 13.解：B市=BC+C市=(a+mb)+3(a- b)=4a+(m-3)b, 根绳子所受的力分别 为a,b,c,则a十b十 若A,B,D三点共线，则存在实数入，使 B=λAB, c=0. 因为a,b的合力为c=a十b,所以c=|c1. 即4a+(m-3)b=λ(a+b), 如图在平行四边形OB'C'A'中， 4=λ， 所以〈 解得m=7. 因为OB⊥OC,BC=OA, m-3=λ， 所以1OA1>1OB1,1OA1>1OC1,即 故当m=7时，A,B,D三，点共线. la>bl,a>cl. 核心素养培优·拓展提升 1.D 2.B 3.ABD 故细绳OA受力最大】 4.解：(1)如图所示， 6.2.3向量的数乘运算 因为G为△ABC重心， 核心素养达标·夯实基础 所以AG= 1.B2.B3.C4.C5.C6.A7.A 8.C9-16+310.211.C +A0=号A6+号a6, 12.解：(1)当P,Q是线段BC的三等分，点 所以AG=号AM+A衣， 时，以AB,AC为邻边作平行四边形 因为M,G,N三点共线，所以号x十3y ABDC, 连接AD,交BC于点O,连接PD,QD, 1,即x+y=3. 如图所示， x>1, 1<x<2, 则Ai+AC=A方，因为OB=OC,BP= (2)由题意可知y>1, → (1<y2, CQ=号BC,所以OP=PQ且OA- x十y=3, x-1+y-1=1, OD, 所以四边形APDQ是平行四边形，所 以A市+A夜=AD=AB+A=a+b. a-1+y-1D=3+2g2+ y-1 3+2写3+2 (2)当P,Q,S是线段BC的四等分，点 当且仅当2一=即y-1 y-1 时，如图所示，则Q是BC的中点，AB+ √2(x一1)时取等号， AC-A市+A$=2A, 又x十y=3,所以x=√2，y=3一√2时， 所以A市+A边+A$=(A在+AC 马十，吕取得最小位为3+22 (a+b). 3 6.2.4向量的数量积 核心素养达标·夯实基础 1.C2.C3.B4.B5.C6.AB7.B 156 8c9,410[]18 12.解：(1)a·b=(3e-2e2)·(2e1-3e2)= 6e-13e1·e2+6e吃=6-13cos120°+ 637 2 (2)设a十b与a一b的夹角为0， 则cos9=（a+b):(a-b)_ la+blla-b (5e-5e2)·(e+2）=0, 5e1-5e2e1+e2 所以0=90°，即a十b与a一b的夹角为 90°. 13.解：(1)由已知得a·b=2×1Xcos60°=1. 若c⊥d,则c·d=0. ∴.c·d=(a+5b)·(ma-2b)=ma2+ (5m-2)a·b-10b2=4m+5m-2- 10=9m-12=0,.m=4 31 故当m=专时，6与d垂克. (2),(2a-b)·(a+b)=2a+2a·b-a· b-=2a2+a·b-b=2×12+1×1× s12w-1=含a+61=Va+bF= v√a2+2a·b十b2= W1+2×1×1×cos120°+1=1， ÷2a01ba+》-方，即向量2a a+b b在向量0十b方向上的投影为2： 核心素养培优·拓展提升 1.C2.B3.A4.D5.-25 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 核心素养达标·夯实基础 1.A2.A3.A4.C5.C6.ABC 7.A8A9.110.-2或号 11.解：如图所示，连接CN,则四边形 ANCD是平行四边形.