6.1 平面向量的概念-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

第六章平面向量及其应用 课时夯基过关练 6.1 平面向量的概念 “素养目标 1.了解向量产生的物理背景，理解向量、零向量、单位向量、共线向量、相等向量的意义， 培养学生数学抽象的核心素养； 2.使学生认识到用向量的方法从数学角度刻画现实问题的作用，培养学生观察、类比、联 想等发现规律的一般方法，激发学生的学习兴趣和钻研精神 核心素养达标夯实基础 一、选择题 A.sal 1.下列说法正确的个数是( B.s=lal (1)温度、速度、位移、功这些物理量是向量； C.s<al (2)零向量没有方向； D.s与|a不能比较大小 (3)向量的模一定是正数； 5.如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其 (4)非零向量的单位向量是唯一的 中心，则下列判断错误的是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列论述正确的个数是( ) (1)向量就是有向线段； (2)零向量是没有方向的向量； (3)零向量的方向是任意的； A.Ai=O心 B.AB∥Di (4)零向量的长度为0 C.AD=BE D.A方=F心 A.1 B.2 C.3 D.4 6.（多选)下列论述中，错误的有() 3.对下面图形的表示恰当的是() A.若a∥b,则a与b方向相同或相反 B(终点) B.若a∥b,c∥b,则a∥c C.若a=b,b=c,则a=c A(起点) D.若两个单位向量互相平行，则这两个单位 A.AB B.AB C.AB D.AB 向量相等 4.如果一架飞机向西飞行150km,再向南飞 二、填空题 行350km,记飞机飞行的路程为s,位移为 7.已知e是单位向量，在四边形ABCD中，AB= a,则( ) 2e,Ci=-2e,|AD|=2,则四边形ABCD …数学· 、第六章平面向量及其应用 的形状为 （填“矩形”“正方形” 11.在如图的方格纸中，画出下列向量. “菱形”或“梯形”) 8.已知AB1=1,|AC1=2,若∠ABC=90°，则 BCI= 9.已知O是正方形ABCD的中心，则向量 过过 →东 A0,Oi,c0,Oi是 (填序号) (1)1OA1=3,点A在点O的正西方向； ①平行向量；②相等向量；③有相同终点的 (2)1O庐1=3√2，点B在点O的北偏西45 向量；④模都相等的向量. 方向； 三、解答题 (3)求出AB的值. 10.如图所示，△ABC的三边均不相等，E,F, D分别是AC,AB,BC的中点，在以A,B, C,D,E,F为起点或终点的所有有向线段 表示的向量中： (1)写出与E下相反的向量； (2)写出与EF的模相等的向量； (3)写出与EF相等的向量. 2 数学· 课时夯基过关练了 核心素养培优拓展提升 1.设e是单位向量，AB=3e,C=-3e,AD1= 向线段表示的向量为AB,使AB=a. 3,则四边形ABCD是() (2)在图中画一个以A为起点的有向线段，设 A.梯形 该有向线段表示的向量为AM,且AM=√5， B.菱形 并说出点M的轨迹是什么？ C.矩形 D.正方形 2若a,b为非零向量，则“日=合”是“a,b 共线”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.（多选)下列关于向量的描述不正确的有( A.若向量a,b都是单位向量，则a=b B.若向量a,b都是单位向量，则a与b是共 线向量 C.任何非零向量都有唯一的与之共线的单 位向量 D.平面内起点相同的所有单位向量的终点 共圆 4.下列说法错误的是() A.CD=DC B.e1,e2是单位向量，则|e1=e2 C.若c市>D心1，则A>C市 D.任一非零向量都可以平行移动 5.在如图的方格纸上，已知向量a,每个小正方 形的边长为1. (1)试以B为终点画一个有向线段，设该有 ·数学·3课时训练答案与解析 第六章 平面向量及其应用 核心素养培优·拓展提升 1.B 2.B 3.ABC 4.C 课时夯基过关练 5.解：(1)如图，根据向量相等的定义，AB 与a的方向相同，长度相等，即|A|=2, 6.1平面向量的概念 即可得到向量AB; 核心素养达标·夯实基础 1.A2.B3.C4.A5.D6.ABD 7.菱形8.√39.④ 10.解：(1)因为E,F,D分别是AC,AB, BC的中点， (2)如图，画出一个满足条件的向量AM, 所以，EF∥BC,且EF=BD=DC. 点M的轨迹是以点A为圆心，半径r= 所以，与E市相反的向量为F它，B心，D心 √5的圆. (2)因为△ABC的三边均不相等， 又EF=BD=DC, 所以，与E泸的模相等的向量为F它， Bd,D克，DC,Ci. (3)由(1)(2)可知，与E疗相等的向量为 6.2平面向量的运算 DB.CD 11.解：(1)因为1OA|=3,点A在点O的 6.2.1向量的加法运算 正西方向，故向量OA的图示如下： 北 6.2.2向量的减法运算 -011- 核心素养达标·夯实基础 0 1.D2.B3.C4.D5.A6.D7.A 上达达 8.D9.P交10.30° +东 11.解：以OB,O心为邻边作平行四边形 (2)因为Oi|=3√2，点B在点O的北 OBDC,连接OD,AD, 偏西45°方向，故向量O克的图示如下： 所以O市=Oi+O心=b十c, 北 所以A市=O市-OA=b十c-a. 3 12.证明：由题知A0=O心，D0=Oi, 因此Ai=Aò+Oi=O心+Dò=D0+ O心=DC.所以AB,DC平行且相等，因 1AB1=√TOB2-1OA2=3. 此四边形ABCD是平行四边形. 155 核心素养培优·拓展提升 (3)结论：AA十AA,+AA+…+AA 1.C2.A3.AD4.B ="2a+b. 5.2 6.解：设OA,OB,OC三 13.解：B市=BC+C市=(a+mb)+3(a- b)=4a+(m-3)b, 根绳子所受的力分别 为a,b,c,则a十b十 若A,B,D三点共线，则存在实数入，使 B=λAB, c=0. 因为a,b的合力为c=a十b,所以c=|c1. 即4a+(m-3)b=λ(a+b), 如图在平行四边形OB'C'A'中， 4=λ， 所以〈 解得m=7. 因为OB⊥OC,BC=OA, m-3=λ， 所以1OA1>1OB1,1OA1>1OC1,即 故当m=7时，A,B,D三，点共线. la>bl,a>cl. 核心素养培优·拓展提升 1.D 2.B 3.ABD 故细绳OA受力最大】 4.解：(1)如图所示， 6.2.3向量的数乘运算 因为G为△ABC重心， 核心素养达标·夯实基础 所以AG= 1.B2.B3.C4.C5.C6.A7.A 8.C9-16+310.211.C +A0=号A6+号a6, 12.解：(1)当P,Q是线段BC的三等分，点 所以AG=号AM+A衣， 时，以AB,AC为邻边作平行四边形 因为M,G,N三点共线，所以号x十3y ABDC, 连接AD,交BC于点O,连接PD,QD, 1,即x+y=3. 如图所示， x>1, 1<x<2, 则Ai+AC=A方，因为OB=OC,BP= (2)由题意可知y>1, → (1<y2, CQ=号BC,所以OP=PQ且OA- x十y=3, x-1+y-1=1, OD, 所以四边形APDQ是平行四边形，所 以A市+A夜=AD=AB+A=a+b. a-1+y-1D=3+2g2+ y-1 3+2写3+2 (2)当P,Q,S是线段BC的四等分，点 当且仅当2一=即y-1 y-1 时，如图所示，则Q是BC的中点，AB+ √2(x一1)时取等号， AC-A市+A$=2A, 又x十y=3,所以x=√2，y=3一√2时， 所以A市+A边+A$=(A在+AC 马十，吕取得最小位为3+22 (a+b). 3 6.2.4向量的数量积 核心素养达标·夯实基础 1.C2.C3.B4.B5.C6.AB7.B 156 8c9,410[]18 12.解：(1)a·b=(3e-2e2)·(2e1-3e2)= 6e-13e1·e2+6e吃=6-13cos120°+ 637 2 (2)设a十b与a一b的夹角为0， 则cos9=（a+b):(a-b)_ la+blla-b (5e-5e2)·(e+2）=0, 5e1-5e2e1+e2 所以0=90°，即a十b与a一b的夹角为 90°. 13.解：(1)由已知得a·b=2×1Xcos60°=1. 若c⊥d,则c·d=0. ∴.c·d=(a+5b)·(ma-2b)=ma2+ (5m-2)a·b-10b2=4m+5m-2- 10=9m-12=0,.m=4 31 故当m=专时，6与d垂克. (2),(2a-b)·(a+b)=2a+2a·b-a· b-=2a2+a·b-b=2×12+1×1× s12w-1=含a+61=Va+bF= v√a2+2a·b十b2= W1+2×1×1×cos120°+1=1， ÷2a01ba+》-方，即向量2a a+b b在向量0十b方向上的投影为2： 核心素养培优·拓展提升 1.C2.B3.A4.D5.-25 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 核心素养达标·夯实基础 1.A2.A3.A4.C5.C6.ABC 7.A8A9.110.-2或号 11.解：如图所示，连接CN,则四边形 ANCD是平行四边形.