第15章分式：分式方程增根、无解、非负解等问题专题 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

2026年八年级下学期第15章分式：分式方程增根、无解、非负解等问题专题 一、单选题 1．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 3．若数使得关于的分式方程有正数解，且使得关于的不等式组有解，那么符合条件的所有整数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．若分式方程无解，则a的值是（ ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 5．若关于x的分式方程的解是负数，则实数m的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 6．已知是分式方程的解，则实数m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 7．若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 8．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 二、填空题 9．若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围为______． 10．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 11．若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 12．关于的方程的解为，则________． 13．若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 14．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为______． 15．分式方程无解，则a的值为________． 三、解答题 16．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 17．已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 18．已知关于的分式方程无解，求的值． 19．已知． (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 20．若关于的分式方程的解不小于2，求的取值范围． 21．已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程有增根，求的值； (3)若方程无解，求的值． 22．若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有正整数解，求满足条件的整数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年八年级下学期第15章分式：分式方程增根、无解、非负解等问题专题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B D C D B A 1．B 【分析】分式方程的增根是使分式分母为0的根，先确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴分母和为0，则增根为． 原方程两边同乘，得， 将代入上式，得， 解得． 2．B 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解的情况，把方程的增根代入去分母后的整式方程求解即可． 【详解】解：∵原分式方程为， ∴两边同乘（），得， 整理得， ∵分式方程无解，且整式方程必有解， ∴是原方程的增根， 将代入，得， 解得． 故答案为：B 3．B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为零得到a的初步范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到a的最终范围，最后找出范围内符合条件的整数a，统计个数即可． 【详解】解方程， 方程两边同乘得： 整理得 解得 ∵分式方程有正数解，且（分母不为0） ∴，且 解得，且 解不等式组 解第一个不等式得 解第二个不等式得 ∵不等式组有解 ∴ 解得 综上，a的取值范围是，且 符合条件的整数a为，共3个． 4．D 【分析】本题主要考查了分式方程无解．熟练掌握分式方程无解产生的原因和解法是解题的关键． 分式方程无解分两种情况讨论，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分别计算这两种情况对应的a值即可． 【详解】解：∵原分式方程为， 将方程变形为， 两边同乘得， 整理得： ①当整式方程无解时，的系数为0且常数项不为0， 即，解得，此时不成立，整式方程无解，原分式方程无解． ②当整式方程的解为原分式方程的增根时，即， 将代入得，， 解得． 综上，的值为1或2． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了解分式方程，正确计算是解题的关键．先解分式方程得到含的解，根据解为负数，结合分式分母不为零的条件，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 整理得 解得 ∵ 方程的解是负数， ∴ ∵ ， ∴ ， 解得. 又∵ 分式方程分母不能为， ∴ 且. ，分子为，故不可能为. 令，解得. 综上，的取值范围是且． 6．D 【分析】本题考查了分式方程的解，正确进行计算是解题关键．已知是分式方程的解，将代入原方程，即可求出的值． 【详解】解：∵是分式方程的解. ∴把代入原方程，得. 化简得. 解得. 7．B 【分析】先按解分式方程的步骤求出x关于a的表达式，再根据“解是非负数”和“分式分母不为0”两个条件列关于a的不等式组求解即可． 【详解】解：分式方程可化为：， ， ， ∵分式方程的解是非负数，且分母不能为0， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴的取值范围为且，即选项B符合题意． 8．A 【分析】先解分式方程得到，再根据“解为正数”得到，同时排除增根，综合得到的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 由分式方程的解为正数，则，解得， 由，则，，解得， 综上，的取值范围是且． 9． 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得到的表达式，再根据解为正数且分式有意义的条件列出不等式，求解即可，掌握分式方程的解法是解题的关键。 【详解】解： 去分母，化为整式方程得 展开并整理得 解得 ∵该分式方程的解为正数 ∴，且分母 解不等式得 由得，解得 ∵已满足 ∴的取值范围是． 10． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，因为不等式组有解，所以，因为分式方程有非负整数解，所以且为偶数，可得：或或或或，从而可得所有满足条件的整数的值之积． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 解分式方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程的解为非负整数， 且为偶数， ， ， 或或或或， 当时，， 当时，， ， 是分式方程的增根， 当时，， 当时，， 当时，， 或或或， ， 满足条件的整数的值之积为. 11． 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，根据增根的定义即可求解． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， 分式方程的增根使最简公分母为， 则， 解得． 12． 【分析】将代入分式方程，求出的值即可． 【详解】∵关于的方程的解为， ∴将代入方程，得， 即， 解得：． 13．， 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出m的范围即可. 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：, ∴当时，方程无解， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是：，． 14．且 【分析】先求出方程的解，再根据分式方程的解是负数求出范围，最后通过进行求解即可． 【详解】解： 解得， ∴ 解得：， 又∵，即， ∴， ∴． ∴的取值范围是且． 15．7 【分析】将分式方程化为整式方程，分式方程无解说明该解为原分式方程的增根，求出增根后代入整式方程即可求得参数a的值． 【详解】解：原分式方程可变形为， 方程两边同乘最简公分母，得， ∵原分式方程无解， ∴，即是原分式方程的增根， 将代入整式方程，得 ， 解得：． 16．(1)； (2)或． 【分析】（）先把原方程去分母并整理得，解得，然后把代入即可求解； （）根据方程无解可得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：原方程去分母并整理得：， 整理得，，即， ∴当时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：由（）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得或． 17．(1) (2) 【分析】（1）将代入分式方程，再解方程求出的值，最后检验即可； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，用表示出整式方程的解，由分式方程有增根得出，再解关于的一元一次方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， 去分母，得， 解得：． ∵该分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴当时，该分式方程有增根． 18． 【分析】先去分母求出，再根据无解的条件求解即可 【详解】解：原方程化为， 方程两边同时乘以，得， 解方程，得， 该分式方程无解， ，即， ． 【点睛】分式无解问题重点是根据最简公分母为求解． 19．(1) (2)且 【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程． （1）根据分式的除法进行计算即可求解； （2）先解分式方程，根据分式方程的解是非负数，得出，根据分式有意义的条件得出，进而解不等式即可得出的范围． 【详解】（1）解： （2）， ， ， ， ， 分式方程的解是非负数， ，且， 且 解得且， 的取值范围且． 20．且 【分析】先解分式方程，得到，根据方程的解不小于2，得到，由分式有意义的条件，得到，即，从而可求解． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得，， ∵方程的解不小于2， 且， 解得且． 21．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题． （1）原方程化为整式方程，然后代入增根求解即可； （2）由增根求出x的值，然后代入化简后的整式方程即可； （3）方程无解，可分为有增根和化简后的整式方程无解两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 方程整理，得． ∵是原分式方程的增根， ∴， 解得． （2）解：， 方程整理，得． 因为原分式方程有增根，所以或， 解得或． ∵不可能是整式方程的根， ∴原分式方程的增根为，所以， 解得． （3）解：， 方程整理，得． ①当时，整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解，则或． 由（2），得． 综上所述，或． 22．或2 【分析】本题考查了一元一次不等式组的无解条件，分式方程的解法及正整数解的限制，掌握不等式组无解的条件，分式方程去分母转化为整式方程的方法，解的限制条件是解题的关键． 先根据不等式组无解的条件确定的取值范围，再解分式方程并结合正整数解和分母不为零的条件，筛选出符合条件的整数． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ， 解得． 将分式方程去分母得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得． ∵分式方程有正整数解，且， 为10的正整约数，即或2或5或10， 解得或或2或7． 当时，， 此时分母，故舍去． ∴的整数值为或2或7 ， ∴满足条件的整数的值是或2． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $