第四单元 长方体（二）（易错专项讲义）数学北师大版五年级下册

第四单元 长方体（二）易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 1 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：体积与容积概念混淆。 2 易错点2：体积单位、容积单位进率记错。 4 易错点3：长方体和正方体体积公式应用错误。 6 易错点4：体积计算时单位不统一。 9 易错点5：排水法测体积应用错误。 12 易错点6：实际问题中体积与表面积混淆。 16 模块一 易错知识点梳理 1、混淆了体积与容积的概念。 若不是特别注明,容器的体积一般大于容积。有的物体有容积,有的没有容积,比如魔方只有体积没有容积。 2、混淆了表面积与体积的概念。 物体的形状不管怎样变化,它所占空间的大小都不会变化,也就是物体的体积不变。 3、误把单位名称不同的量进行大小比较。 体积和面积是不同类的单位,不能比较大小。 4、混淆了容积与体积的概念。 物体所占空间的大小,指的是体积;计量它能装多少物体,指的是容积。 5、对表面积和体积的意义理解不透彻。单位不同类,无法比较大小。 6、误认为正方体的棱长扩大到原来的几倍,体积也就扩大到原来的几倍。 正方体的棱长扩大到原来的n倍,则表面积扩大到原来的n2倍,体积扩大到原来的n3倍。 7、单名数换算成复名数去掉整数部分后没换算。 注意观察题目,单名数换算成复名数去掉整数部分后还要进行换算。 8、对测量较小物体的体积的方法不明确。 在测量体积较小的不规则物体的体积时,要先测量出一定数量该物体的体积,再计算出一个物体的体积。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：体积与容积概念混淆。 【典例1】判断:物体的体积越大,容积也越大。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】所有物体都有体积,但不是所有物体都有容积。 【正确答案】错误 【易错专练1】如下图，在正方体的顶点处挖去一个小正方体，剩下部分的表面积与原来正方体的表面积相比较，（）；体积与原来体积相比较，（）。 A．不变；原来大 B．不变；现在大 C．原来大；不变 【答案】A 【分析】在正方体顶点处挖去一个小正方体时，原来正方体表面减少3个小正方形面，同时又会新露出3个同样大小的小正方形面，所以表面积不变；挖去一部分后，所占空间变小，因此体积变小。 【解答】根据分析，在正方体的顶点处挖去一个小正方体，剩下部分的表面积与原来正方体的表面积相比不变；体积与原来体积相比原来大。 【易错专练2】蜡像厂把一个亚冬会吉祥物“滨滨”熔化后，又塑造成另一个亚冬会吉祥物“妮妮”（工艺品为实心，且无损耗），这两件工艺品的体积相比，（    ）。 A．“滨滨”的体积大 B．“妮妮”的体积大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】“滨滨”熔化后，又塑造成“妮妮”过程中因为是实心，且无损耗，所以体积没有变化。 【解答】工艺品为实心且熔化过程中无损耗，所以体积没有变化。 故答案为：C 【易错专练3】工人叔叔在装修过程中，为嵌入式烤箱预留空间的大小由烤箱的（    ）决定；烤箱一次能烤多少东西是由（    ）决定。 A．表面积；侧面积B．体积；容积 C．容积；体积 D．侧面积；容积 【答案】B 【分析】预留空间的大小由物体所占空间的大小决定，即体积；烤箱一次能烤多少东西由其内部能容纳物体的体积决定，即容积。 【解答】嵌入式烤箱预留空间的大小需要根据烤箱所占空间的大小确定，即由烤箱的体积决定； 烤箱一次能烤多少东西取决于其内部可容纳物体的体积，即由烤箱的容积决定。 故答案为：B 【易错专练4】家用的电器中，冰箱、微波炉和电磁炉这三种物品中，（ ）占的空间最大，（ ）的体积最小。 【答案】冰箱 电磁炉 【解答】比较三种物品的体积大小，体积指物体所占空间的大小。 根据生活常识，家用的电器中，冰箱、微波炉和电磁炉这三种物品中，冰箱占的空间最大，电磁炉的体积最小。 【易错专练5】一个玻璃罐所占空间的大小，是这个玻璃罐的（ ），这个玻璃罐里所能容纳物体的体积，是它的（ ）。 【答案】体积 容积 【分析】体积是指物体所占空间的大小；容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积。 【解答】根据分析可知，一个玻璃罐所占空间的大小，是这个玻璃罐的体积，这个玻璃罐里所能容纳物体的体积，是它的容积。 【点睛】此题主要考查学生对容积和体积含义的理解与区分，一个物体有体积，但它不一定有容积。 易错点2：体积单位、容积单位进率记错。 【典例2】3.5立方米 = （ ）立方分米 【错误答案】3.5立方米 = 35立方分米或 3.5立方米 = 350立方分米 【错解分析】把体积单位进率当成长度单位进率（10倍） 把体积单位进率当成面积单位进率（100倍） 【正确解答】3.5立方米 = 3500立方分米 【易错专练1】63m2＝（ ）dm2           5030mL＝（ ）dm3 【答案】6300 5.03 【分析】根据1m2＝100dm2，1dm3＝1000mL，大单位换算成小单位时乘进率，小单位换算成大单位时除以进率，据此解答。 【解答】（1）63×100＝6300（dm2） 63m2＝6300dm2 （2）5030÷1000＝5.03（dm3） 5030mL＝5.03dm3 【易错专练2】1.56立方分米＝（ ）立方厘米    4L20mL＝（ ）L 【答案】1560 4.02 【分析】根据进率：1立方分米＝1000立方厘米，1L＝1000mL；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【解答】1.56×1000＝1560（立方厘米），所以1.56立方分米＝1560立方厘米； 20÷1000＝0.02（L），4＋0.02＝4.02（L），所以4L20mL＝4.02L。 【易错专练3】3800cm3＝（ ）dm3     0.47m3＝（ ）dm3   18.7升＝（ ）毫升 【答案】3.8 470 18700 【分析】根据进率：1dm3＝1000cm3，1m3＝1000dm3，1升＝1000毫升；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【解答】3800÷1000＝3.8（dm3），所以3800cm3＝3.8dm3； 0.47×1000＝470（dm3），所以0.47m3＝470dm3； 18.7×1000＝18700（毫升），所以18.7升＝18700毫升。 【易错专练4】填上合适的数。 8500立方分米＝（ ）立方米    6780立方厘米＝（ ）立方分米（ ）立方厘米 1.2升＝（ ）立方厘米         2.7平方米＝（ ）平方厘米 【答案】8.5 6 780 1200 27000 【分析】因为1立方米＝1000立方分米，立方分米换算为立方米，是小单位换算为大单位，要除以进率1000； 6780立方厘米＝6000立方厘米＋780立方厘米，因为1立方分米＝1000立方厘米，立方厘米换算为立方分米，是小单位换算为大单位，要除以进率1000； 因为1升＝1立方分米＝1000立方厘米，升换算为立方厘米，是大单位换算为小单位，要乘进率1000； 因为1平方米＝100平方分米＝10000平方厘米，平方米换算为平方厘米，是大单位换算为小单位，要乘进率10000。 【解答】8500÷1000＝8.5，所以8500立方分米＝8.5立方米； 6780立方厘米＝6000立方厘米＋780立方厘米，6000÷1000＝6，所以6780立方厘米＝6立方分米780立方厘米； 1.2×1000＝1200，所以1.2升＝1200立方厘米； 2.7×10000＝27000，所以2.7平方米＝27000平方厘米。 【易错专练5】 3.6立方米＝（ ）立方米（ ）立方分米    8050毫升＝（ ）升（ ）毫升 2平方米5平方分米＝（ ）平方米      450毫升＝（ ）升＝（ ）立方分米 【答案】3 600 8 50 2.05 0.45 0.45 【分析】单位换算的方法：低级单位换算成高级单位除以进率，高级单位换算成低级单位乘进率，1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，1平方米＝100平方分米，1升＝1立方分米，据此换算单位即可。 【解答】0.6×1000＝600，3.6立方米＝3立方米600立方分米； 8000÷1000＝8，8050毫升＝8升50毫升； 5÷100＝0.05，2平方米5平方分米＝2.05平方米；         450÷1000＝0.45，450毫升＝0.45升＝0.45立方分米。 3.6立方米＝3立方米600立方分米；8050毫升＝8升50毫升； 2平方米5平方分米＝2.05平方米；450毫升＝0.45升＝0.45立方分米。 易错点3：长方体和正方体体积公式应用错误。 【典例3】一个长方体水箱，从里面量长8分米，宽5分米，高6分米。这个水箱的容积是多少升？ 【错误答案】8×5+8×6+5×6=118（错误用表面积公式） 【错解分析】混淆了体积公式和表面积公式 【正确解答】容积 = 长×宽×高 = 8×5×6 = 240（立方分米） = 240（升） 答：这个水箱的容积是240升。 【易错专练1】计算下面图形的表面积和体积。 【答案】122；84 294；343 【分析】根据公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出长方体的表面积和体积； 根据公式：正方体的表面积＝棱长×棱长×6、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可求出正方体的表面积和体积。 【解答】（1）表面积： （） 体积： （） （2）表面积： （） 体积： （） 【易错专练2】下面是一个长方体的展开图，请计算这个长方体的表面积和体积。 【答案】238平方厘米；195立方厘米 【分析】从图中可以看出，长13厘米，宽5厘米，但高并不是8厘米。先判断8厘米是哪两条棱的长度之和，从而求出隐藏的那条棱的长度； 找出长、宽、高后，表面积用（长×宽＋长×高＋宽×高）×2计算，体积用长×宽×高计算。 【解答】高＝8－5＝3（厘米）； 表面积：（13×5＋13×3＋5×3）×2＝（65＋39＋15）×2＝119×2＝238（平方厘米） 体积：13×5×3＝195（立方厘米） 【易错专练3】计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：3.5 体积：0.375 【分析】如图所示，图形的表面积等于一个长、宽、高分别为1、0.5、1的长方体的表面积减去两个边长为0.5的正方形面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2代入解答；图形的体积可以把图形沿中间水平方向分割成上面棱长为0.5的正方体和下面长、宽、高分别为1、0.5、0.5的长方体，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长和长方体体积＝长×宽×高分别计算两个立体图形的体积相加即可。 【解答】表面积：（1×0.5＋1×1＋0.5×1）×2－（1－0.5）×（1－0.5）×2 ＝（0.5＋1＋0.5）×2－0.5×0.5×2 ＝2×2－0.5×0.5×2 ＝4－0.5 ＝3.5（） 体积：1－0.5＝0.5（） 0.5×0.5×0.5＋1×0.5×0.5 ＝0.125＋0.25 ＝0.375（） 【易错专练4】如下图，从一个长方体上挖去一个棱长4厘米的正方体，求剩余部分的体积。 【答案】176立方厘米 【分析】从图中可知，剩余部分的体积＝长方体的体积－正方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 【解答】8×5×6－4×4×4 ＝240－64 ＝176（立方厘米） 剩余部分的体积是176立方厘米。 【易错专练5】仔细观察，正确计算。（单位：cm） 组合体体积：             组合体表面积： 【答案】117cm3；126cm2 【分析】（1）组合体的体积＝棱长为5cm的正方体的体积－棱长为2cm的正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 （2）从图中可知，3个棱长为3cm的正方体拼成一个长为（3×3）cm、宽为3cm、高为3cm的长方体，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解。 【解答】（1）5×5×5－2×2×2 ＝125－8 ＝117（cm3） 组合体的体积是117cm3。 （2）长：3×3＝9（cm） （9×3＋9×3＋3×3）×2 ＝（27＋27＋9）×2 ＝63×2 ＝126（cm2） 组合体的表面积是126cm2。 易错点4：体积计算时单位不统一。 【典例4】一个长方体木箱，长2米，宽80厘米，高5分米。这个木箱的体积是多少立方米？ 【错误答案】2×80×5=800（立方米） 【错解分析】没有统一单位就直接相乘，计算结果单位错误。 【正确解答】统一单位：2米=2米，80厘米=0.8米，5分米=0.5米 体积 = 2×0.8×0.5 = 0.8（立方米） 答：这个木箱的体积是0.8立方米。 【易错专练1】乐乐家牛棚的水槽坏掉了，爷爷准备用铁皮做一个长1.9米，宽6分米、高4分米的无盖长方体水槽。至少需要多少平方分米的铁皮？这个水槽的容积是多少升？（铁板厚度不计） 【答案】314平方分米； 456升 【分析】无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2；长方体的容积＝长×宽×高；计算之前需统一单位，将1.9米换算为19分米。计算容积时需将结果的单位立方分米换算为升。 【解答】1.9米＝19分米 （平方分米） 答：至少需要314平方分米的铁皮。 （立方分米） （升） 答：这个水槽的容积是456升。 【易错专练2】一辆汽车的油箱里面长8dm，宽5dm，高3.5cm，这个油箱可以装多少升汽油？ 【答案】14 升 【分析】长方体容积＝ 长×宽×高，注意统一单位； 1 立方分米 ＝ 1 升 【解答】3.5 厘米 ＝ 0.35 分米 8 × 5 × 0.35 ＝ 14（立方分米） 14 立方分米 ＝ 14 升 答：这个油箱可以装 14 升汽油。 【易错专练3】小明爸爸准备开车带一家人去自驾游。爸爸汽车的油箱长50厘米、宽40厘米、高30厘米。如果每行驶17千米耗1升汽油，这辆汽车最多行驶多少千米就能耗光油箱中的汽油？ 【答案】1020千米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出油箱容积，根据1立方分米＝1升，1立方分米＝1000立方厘米，统一单位，油箱容积×1升汽油行驶路程＝行驶总路程，据此列式解答。 【解答】50×40×30＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60立方分米＝60升 60×17＝1020（千米） 答：这辆汽车最多行驶1020千米就能耗光油箱中的汽油。 【易错专练4】一个游泳池长50米，宽20米，高1.8米，在游泳池的墙壁和底面铺上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？如果在池中注水到120厘米高，应注水多少升？ 【答案】1252平方米；1200000升 【分析】已知游泳池贴砖的表面积只有底面、左面、右面、前面和后面的表面积，则游泳池的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据即可求出贴砖的面积；先把120厘米化为1.2米，然后根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据即可求出水的体积，然后把单位换算成升。 【解答】50×20＋50×1.8×2＋20×1.8×2 ＝1000＋180＋72 ＝1252（平方米） 120厘米＝1.2米 50×20×1.2 ＝1000×1.2 ＝1200（立方米） 1200立方米＝1200000升 答：至少需要1252平方米的瓷砖；应注水1200000升。 【易错专练5】一个长方体铁皮水箱的长是25厘米，宽是16厘米，高是40厘米。 （1）如果要制作这个水箱，至少需要多少平方分米的铁皮？ （2）现用容积为4升的水桶（每次均装满）往水箱里注水，多少次才能注满水？（水箱厚度忽略不计）。 【答案】40.8平方分米；4次 【分析】（1）要求制作这个水箱，至少需要多少平方分米的铁皮，就是求这个长方体的表面积，，据此计算即可，再根据低级单位化高级单位除以进率，因为1平方分米＝100平方厘米，最后用得到的结果除以100即可得解。 （2）要求将水箱注满需要多少升的水，也就是求长方体的容积，长方体容积的算法和体积相同，，据此可求出长方体的体积，再根据低级单位化高级单位除以进率，1升＝1立方分米＝1000立方厘米，再用结果除以1000即可将单位立方厘米换算成升，最后再除以4即可得解。 【解答】由分析可知： （1）（25×16＋16×40＋25×40）×2÷100 ＝（400＋640＋1000）×2÷100 ＝4080÷100 ＝40.8（平方分米） 答：如果要制作这个水箱，至少需要40.8平方分米的铁皮。 （2）25×16×40÷1000÷4 ＝400×40÷1000÷4 ＝16÷4 ＝4（次） 答：现用容积为4升的水桶（每次均装满）往水箱里注水，4次才能注满水。 【点睛】本题考查长方体表面积和体积公式的应用，注意长方体容积的求法和体积一样。 易错点5：排水法测体积应用错误。 【典例5】一个长方体容器，从里面量长20厘米，宽15厘米，水深8厘米。把一个铁块完全浸没在水中后，水深变为10厘米。这个铁块的体积是多少？ 【错误答案】20×15×10=3000（立方厘米） 【错解分析】错误计算了后来水的总体积，而不是铁块的体积。 【正确解答】铁块体积=上升的水的体积 =容器底面积×水面上升高度 = 20×15×(10-8) = 300×2 = 600（立方厘米） 答：这个铁块的体积是600立方厘米。 【易错专练1】博物馆有一个长15分米、宽12分米的长方体水箱，里面有10分米深的水。如果在水中放入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？ 【答案】10.15 分米 【分析】先将正方体铁块的棱长单位厘米换算成分米。根据排水法原理，铁块完全浸没在水中，水面上升部分的体积等于铁块的体积。先求出铁块的体积，再求出水箱的底面积，用铁块体积除以水箱底面积得到水面上升的高度，最后加上原来的水深即为现在的水深。（正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的底面积＝长×宽） 【解答】30 厘米 = 3 分米 （立方分米） （分米） 答：水箱中水深10.15分米。 【易错专练2】笑笑家豆浆机的盛豆浆容器是一个长方体，从里面量长10厘米、宽8厘米、高15厘米，一天妈妈要做豆浆，先在容器中放了6厘米高的水，然后把一些黄豆陆续放入水中。水面不断升高，当妈妈停止放黄豆时，水面第一次出现两个相对面是正方形的长方体，你算一算妈妈放入水中的黄豆体积是多少立方厘米？ 【答案】160立方厘米 【分析】由“水面第一次出现两个相对面是正方形的长方体”可知，当水面高度为8厘米时，左右两个面会首次成为边长8厘米的正方形。由此水面上升高度为8－6＝2厘米，再用长方体体积公式算上升的水的体积，即黄豆体积。 【解答】8－6＝2（厘米） 10×8×2 ＝80×2 ＝160（立方厘米） 答：妈妈放入水中的黄豆体积是160立方厘米。 【点睛】关键点是理解“两个相对面是正方形”对应的水面高度等于容器宽，再通过“上升的水的体积＝黄豆体积”这一关系，用长方体体积公式求解。 【易错专练3】如图，一个从里面量棱长为10厘米的正方体容器内水深5厘米，奇思想要测量一颗玻璃弹珠的体积，他把10颗相同的玻璃弹珠放入水中，测得这时水深大约5.2厘米。平均每颗玻璃弹珠的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】2立方厘米 【分析】长方体体积＝长×宽×高，10颗弹珠放入后排开的水可看作长方体，长宽均为10厘米，高为5.2－5＝0.2（厘米）。代入数据先求得10颗弹珠的体积，再除以10即可得解。 【解答】10×10×（5.2－5）÷10 ＝100×0.2÷10 ＝2（立方厘米） 答：平均每颗玻璃弹珠的体积大约是2立方厘米。 【易错专练4】下图展示了淘气测量土豆和红薯的体积时做的实验。请你根据淘气的测量数据，求出土豆和红薯的体积分别是多少立方厘米？（单位：厘米） 【答案】土豆144立方厘米；红薯240立方厘米 【分析】由图可知，原来容器中水位高度是8厘米，放入土豆后水位高度是9.5厘米，则水位升高了（9.5－8）厘米，土豆的体积等于上升部分水的体积，则土豆的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，接着放入红薯后水位高度是12厘米，则水位升高了（12－9.5）厘米，红薯的体积等于上升部分水的体积，则红薯的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，据此解答。 【解答】土豆的体积：12×8×（9.5－8） ＝12×8×1.5 ＝96×1.5 ＝144（立方厘米） 红薯的体积：12×8×（12－9.5） ＝12×8×2.5 ＝96×2.5 ＝240（立方厘米） 答：土豆的体积是144立方厘米，红薯的体积是240立方厘米。 【易错专练5】王爷爷制作了一个长30厘米，宽15厘米，高20厘米的无盖长方体鱼缸。 （1）王爷爷想购买星星彩灯条装饰鱼缸，至少需要买多少厘米的彩灯条？（提示：彩灯条必须覆盖鱼缸所有棱边，连接处不计） （2）王爷爷制作这样的鱼缸至少需要多少平方厘米的玻璃？ （3）王爷爷在鱼缸里放了一块假山石（完全浸没），水面高度由原来的15.5厘米上升到17.5厘米，这块假山石的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）260厘米； （2）2250平方厘米； （3）900立方厘米 【分析】（1）求彩灯条长度即是求长方体的棱长总和，根据公式：长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算，即可求出至少需要买多少厘米的彩灯条； （2）求制作这个鱼缸所需玻璃面积，由于鱼缸无盖，所以只需要计算5个面的面积之和，即一个底面和四个侧面的面积。根据公式：长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出至少需要多少平方厘米的玻璃。 （3）求假山石的体积，根据放入假山石后水面上升的体积就是假山石的体积，利用长方体体积＝长×宽×高来计算。 【解答】（1）（30＋15＋20）×4 ＝65×4 ＝260（厘米） 答：至少需要买260厘米的彩灯条。 （2）30×15＋30×20×2＋15×20×2 ＝450＋1200＋600 ＝2250（平方厘米） 答：王爷爷制作这样的鱼缸至少需要2250平方厘米的玻璃。 （3）30×15×（17.5－15.5） ＝30×15×2 ＝900（立方厘米） 答：这块假山石的体积是900立方厘米。 易错点6：实际问题中体积与表面积混淆。 【典例6】一个房间长5米，宽4米，高3米。要粉刷房间的墙壁和屋顶，门窗面积共8平方米。如果每平方米用涂料0.5千克，一共需要多少千克涂料？ 【错误答案】房间体积：5×4×3=60（立方米）需要涂料：60×0.5=30（千克） 【错解分析】粉刷面积是表面积问题，不是体积问题。题目要求粉刷墙壁和屋顶，需要计算表面积（去掉地面和门窗）。 【正确解答】需要粉刷的面积： 屋顶：5×4=20（平方米） 四面墙：(5×3+4×3)×2=54（平方米） 总面积：20+54=74（平方米） 减去门窗：74-8=66（平方米） 需要涂料：66×0.5=33（千克） 答：一共需要33千克涂料。 【易错专练1】用钢化玻璃做一个无盖的长方体鱼缸，底面长是2米，宽是0.6米，高是1米，制作这个鱼缸需要多少平方米的钢化玻璃？这个鱼缸最多可以盛多少立方米的水？（玻璃的厚度忽略不计） 【答案】4平方米；1.2立方米 【分析】求制作鱼缸需要钢化玻璃的面积，就是求无盖的长方体的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。求这个鱼缸最多盛水多少立方米，就是求这个长方体鱼缸的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】2×0.6＋（2×1＋0.6×1）×2 ＝1.2＋（2＋0.6）×2 ＝1.2＋2.6×2 ＝1.2＋5.2 ＝6.4（平方米） 2×0.6×1 ＝1.2×1 ＝1.2（立方米） 答：制作这个鱼缸需要6.4平方米的钢化玻璃。这个鱼缸最多可以盛多1.2立方米的水。 【易错专练2】深圳大运中心游泳馆比赛池的长是50米、宽是25米、深是2米。往池里加水至1.8米深，按5元/立方米计算，这池水的水费是多少元？ 【答案】11250元 【分析】已知游泳馆比赛池的长、宽和注水的深度，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式，求出注入水的体积； 然后根据单价×数量＝总价，用每立方米水的价钱乘水的体积，即可求出这池水的水费。 【解答】50×25×1.8 ＝1250×1.8 ＝2250（立方米） 5×2250＝11250（元） 答：这池水的水费是11250元。 【易错专练3】一个零件的形状如图，它是由某种金属铸造而成，铸造一个零件需要这种金属多少立方厘米？ 【答案】176立方厘米 【分析】根据题意可知，这个零件的体积相当于长为8厘米、宽为6厘米、高为5厘米的长方体的体积减去棱长为4厘米的正方体体积，根据长方体的体积＝长×宽×高、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可解答。 【解答】8×6×5－4×4×4 ＝240－64 ＝176（立方厘米） 答：铸造一个零件需要这种金属176立方厘米。 【易错专练4】惠阳体育馆有一个长50米、宽25米、深2米的游泳池。 （1）在它的四周和底面贴瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？ （2）水池建好后，向池里放水，水面距池口0.5米。池里有水多少立方米？ 【答案】（1）1550平方米 （2）1875立方米 【分析】（1）由题可知，在它的四周和底面贴瓷砖，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式解答； （2）求这时池中有多少立方米水，长是50米，宽是25米，水深是（2－0.5）米，根据长方体的体积＝长×宽×高进行解答即可。 【解答】（1）50×25＋（25×2＋50×2）×2 ＝1250＋（50＋100）×2 ＝1250＋150×2 ＝1250＋300 ＝1550（平方米） 答：一共需要贴1550平方米的瓷砖。 （2）50×25×（2－0.5） ＝1250×1.5 ＝1875（立方米） 答：池里有水1875立方米。 【易错专练5】如图是全运会济南赛区奥体中心游泳馆的主游泳池，它长50米、宽25米、深2米。 （1）建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米？ （2）如果要给这个游泳池注1.8米深的水，已知每小时能注水150立方米。需要几小时注完？ 【答案】（1）2500立方米 （2）15小时 【分析】（1）要求建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米，把这个中心游泳池看作一个无盖的长方体，相当于求这个长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值计算即可解答。 （2）根据长方体的体积公式，求出注入的水的总体积，再除以150，所得结果即为需要几小时注完。 【解答】（1）50×25×2＝2500（立方米） 答：建造奥体中心游泳池至少需要挖土2500立方米。 （2）50×25×1.8÷150 ＝2250÷150 ＝15（小时） 答：需要15小时注完。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 长方体（二）易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 1 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：体积与容积概念混淆。 2 易错点2：体积单位、容积单位进率记错。 4 易错点3：长方体和正方体体积公式应用错误。 5 易错点4：体积计算时单位不统一。 7 易错点5：排水法测体积应用错误。 8 易错点6：实际问题中体积与表面积混淆。 10 模块一 易错知识点梳理 1、混淆了体积与容积的概念。 若不是特别注明,容器的体积一般大于容积。有的物体有容积,有的没有容积,比如魔方只有体积没有容积。 2、混淆了表面积与体积的概念。 物体的形状不管怎样变化,它所占空间的大小都不会变化,也就是物体的体积不变。 3、误把单位名称不同的量进行大小比较。 体积和面积是不同类的单位,不能比较大小。 4、混淆了容积与体积的概念。 物体所占空间的大小,指的是体积;计量它能装多少物体,指的是容积。 5、对表面积和体积的意义理解不透彻。单位不同类,无法比较大小。 6、误认为正方体的棱长扩大到原来的几倍,体积也就扩大到原来的几倍。 正方体的棱长扩大到原来的n倍,则表面积扩大到原来的n2倍,体积扩大到原来的n3倍。 7、单名数换算成复名数去掉整数部分后没换算。 注意观察题目,单名数换算成复名数去掉整数部分后还要进行换算。 8、对测量较小物体的体积的方法不明确。 在测量体积较小的不规则物体的体积时,要先测量出一定数量该物体的体积,再计算出一个物体的体积。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：体积与容积概念混淆。 【典例1】判断:物体的体积越大,容积也越大。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】所有物体都有体积,但不是所有物体都有容积。 【正确答案】错误 【易错专练1】如下图，在正方体的顶点处挖去一个小正方体，剩下部分的表面积与原来正方体的表面积相比较，（）；体积与原来体积相比较，（）。 A．不变；原来大 B．不变；现在大 C．原来大；不变 【易错专练2】蜡像厂把一个亚冬会吉祥物“滨滨”熔化后，又塑造成另一个亚冬会吉祥物“妮妮”（工艺品为实心，且无损耗），这两件工艺品的体积相比，（    ）。 A．“滨滨”的体积大 B．“妮妮”的体积大 C．一样大 D．无法比较 【易错专练3】工人叔叔在装修过程中，为嵌入式烤箱预留空间的大小由烤箱的（    ）决定；烤箱一次能烤多少东西是由（    ）决定。 A．表面积；侧面积B．体积；容积 C．容积；体积 D．侧面积；容积 【易错专练4】家用的电器中，冰箱、微波炉和电磁炉这三种物品中，（ ）占的空间最大，（ ）的体积最小。 【易错专练5】一个玻璃罐所占空间的大小，是这个玻璃罐的（ ），这个玻璃罐里所能容纳物体的体积，是它的（ ）。 易错点2：体积单位、容积单位进率记错。 【典例2】3.5立方米 = （ ）立方分米 【错误答案】3.5立方米 = 35立方分米或 3.5立方米 = 350立方分米 【错解分析】把体积单位进率当成长度单位进率（10倍） 把体积单位进率当成面积单位进率（100倍） 【正确解答】3.5立方米 = 3500立方分米 【易错专练1】63m2＝（ ）dm2           5030mL＝（ ）dm3 【易错专练2】1.56立方分米＝（ ）立方厘米    4L20mL＝（ ）L 【易错专练3】3800cm3＝（ ）dm3     0.47m3＝（ ）dm3   18.7升＝（ ）毫升 【易错专练4】填上合适的数。 8500立方分米＝（ ）立方米    6780立方厘米＝（ ）立方分米（ ）立方厘米 1.2升＝（ ）立方厘米         2.7平方米＝（ ）平方厘米 【易错专练5】 3.6立方米＝（ ）立方米（ ）立方分米    8050毫升＝（ ）升（ ）毫升 2平方米5平方分米＝（ ）平方米      450毫升＝（ ）升＝（ ）立方分米 易错点3：长方体和正方体体积公式应用错误。 【典例3】一个长方体水箱，从里面量长8分米，宽5分米，高6分米。这个水箱的容积是多少升？ 【错误答案】8×5+8×6+5×6=118（错误用表面积公式） 【错解分析】混淆了体积公式和表面积公式 【正确解答】容积 = 长×宽×高 = 8×5×6 = 240（立方分米） = 240（升） 答：这个水箱的容积是240升。 【易错专练1】计算下面图形的表面积和体积。 【易错专练2】下面是一个长方体的展开图，请计算这个长方体的表面积和体积。 【易错专练3】计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【易错专练4】如下图，从一个长方体上挖去一个棱长4厘米的正方体，求剩余部分的体积。 【易错专练5】仔细观察，正确计算。（单位：cm） 组合体体积：             组合体表面积： 易错点4：体积计算时单位不统一。 【典例4】一个长方体木箱，长2米，宽80厘米，高5分米。这个木箱的体积是多少立方米？ 【错误答案】2×80×5=800（立方米） 【错解分析】没有统一单位就直接相乘，计算结果单位错误。 【正确解答】统一单位：2米=2米，80厘米=0.8米，5分米=0.5米 体积 = 2×0.8×0.5 = 0.8（立方米） 答：这个木箱的体积是0.8立方米。 【易错专练1】乐乐家牛棚的水槽坏掉了，爷爷准备用铁皮做一个长1.9米，宽6分米、高4分米的无盖长方体水槽。至少需要多少平方分米的铁皮？这个水槽的容积是多少升？（铁板厚度不计） 【易错专练2】一辆汽车的油箱里面长8dm，宽5dm，高3.5cm，这个油箱可以装多少升汽油？ 【易错专练3】小明爸爸准备开车带一家人去自驾游。爸爸汽车的油箱长50厘米、宽40厘米、高30厘米。如果每行驶17千米耗1升汽油，这辆汽车最多行驶多少千米就能耗光油箱中的汽油？ 【易错专练4】一个游泳池长50米，宽20米，高1.8米，在游泳池的墙壁和底面铺上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？如果在池中注水到120厘米高，应注水多少升？ 【易错专练5】一个长方体铁皮水箱的长是25厘米，宽是16厘米，高是40厘米。 （1）如果要制作这个水箱，至少需要多少平方分米的铁皮？ （2）现用容积为4升的水桶（每次均装满）往水箱里注水，多少次才能注满水？（水箱厚度忽略不计）。 易错点5：排水法测体积应用错误。 【典例5】一个长方体容器，从里面量长20厘米，宽15厘米，水深8厘米。把一个铁块完全浸没在水中后，水深变为10厘米。这个铁块的体积是多少？ 【错误答案】20×15×10=3000（立方厘米） 【错解分析】错误计算了后来水的总体积，而不是铁块的体积。 【正确解答】铁块体积=上升的水的体积 =容器底面积×水面上升高度 = 20×15×(10-8) = 300×2 = 600（立方厘米） 答：这个铁块的体积是600立方厘米。 【易错专练1】博物馆有一个长15分米、宽12分米的长方体水箱，里面有10分米深的水。如果在水中放入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？ 【易错专练2】笑笑家豆浆机的盛豆浆容器是一个长方体，从里面量长10厘米、宽8厘米、高15厘米，一天妈妈要做豆浆，先在容器中放了6厘米高的水，然后把一些黄豆陆续放入水中。水面不断升高，当妈妈停止放黄豆时，水面第一次出现两个相对面是正方形的长方体，你算一算妈妈放入水中的黄豆体积是多少立方厘米？ 【易错专练3】如图，一个从里面量棱长为10厘米的正方体容器内水深5厘米，奇思想要测量一颗玻璃弹珠的体积，他把10颗相同的玻璃弹珠放入水中，测得这时水深大约5.2厘米。平均每颗玻璃弹珠的体积大约是多少立方厘米？ 【易错专练4】下图展示了淘气测量土豆和红薯的体积时做的实验。请你根据淘气的测量数据，求出土豆和红薯的体积分别是多少立方厘米？（单位：厘米） 【易错专练5】王爷爷制作了一个长30厘米，宽15厘米，高20厘米的无盖长方体鱼缸。 （1）王爷爷想购买星星彩灯条装饰鱼缸，至少需要买多少厘米的彩灯条？（提示：彩灯条必须覆盖鱼缸所有棱边，连接处不计） （2）王爷爷制作这样的鱼缸至少需要多少平方厘米的玻璃？ （3）王爷爷在鱼缸里放了一块假山石（完全浸没），水面高度由原来的15.5厘米上升到17.5厘米，这块假山石的体积是多少立方厘米？ 易错点6：实际问题中体积与表面积混淆。 【典例6】一个房间长5米，宽4米，高3米。要粉刷房间的墙壁和屋顶，门窗面积共8平方米。如果每平方米用涂料0.5千克，一共需要多少千克涂料？ 【错误答案】房间体积：5×4×3=60（立方米）需要涂料：60×0.5=30（千克） 【错解分析】粉刷面积是表面积问题，不是体积问题。题目要求粉刷墙壁和屋顶，需要计算表面积（去掉地面和门窗）。 【正确解答】需要粉刷的面积： 屋顶：5×4=20（平方米） 四面墙：(5×3+4×3)×2=54（平方米） 总面积：20+54=74（平方米） 减去门窗：74-8=66（平方米） 需要涂料：66×0.5=33（千克） 答：一共需要33千克涂料。 【易错专练1】用钢化玻璃做一个无盖的长方体鱼缸，底面长是2米，宽是0.6米，高是1米，制作这个鱼缸需要多少平方米的钢化玻璃？这个鱼缸最多可以盛多少立方米的水？（玻璃的厚度忽略不计） 【易错专练2】深圳大运中心游泳馆比赛池的长是50米、宽是25米、深是2米。往池里加水至1.8米深，按5元/立方米计算，这池水的水费是多少元？ 【易错专练3】一个零件的形状如图，它是由某种金属铸造而成，铸造一个零件需要这种金属多少立方厘米？ 【易错专练4】惠阳体育馆有一个长50米、宽25米、深2米的游泳池。 （1）在它的四周和底面贴瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？ （2）水池建好后，向池里放水，水面距池口0.5米。池里有水多少立方米？ 【易错专练5】如图是全运会济南赛区奥体中心游泳馆的主游泳池，它长50米、宽25米、深2米。 （1）建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米？ （2）如果要给这个游泳池注1.8米深的水，已知每小时能注水150立方米。需要几小时注完？ 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