第七章 万有引力与宇宙航行 讲义-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理知识清单系统梳理了“万有引力与宇宙航行”单元内容，涵盖行星运动物理学史、开普勒定律、万有引力定律、天体运动参量分析及宇宙航行五大知识范畴，搭建了从“规律理解”到“公式推导”再到“实际应用”的递进式学习支架。 清单采用“对点解析+例题精析+专项突破”的分级结构，以科学思维中的模型建构和科学推理为核心，如将开普勒第二定律“面积定律”转化为“v1r1=v2r2”公式记忆技巧，用“高轨低速大周期”口诀归纳卫星规律，双星模型详解中突出“引力提供向心力”的受力分析方法。特别设计“填补法”“割补法”等解题策略，标注“月地检验”“变轨速度比较”等重难点，帮助学生高效掌握知识，教师可直接用于课堂教学与分层辅导。

WuliLiTEACH I now demonstrate the frame of the System of the world ——Newton STUDY 7：万有引力与宇宙航行 1、 对点解析 1.行星运动的物理学史、开普勒三大定律、高中阶段天体运动处理方法 （1）行星运动的物理学史 ①行星运动的两种学说 地心说 日心说 内容 (1)地球是宇宙的中心，是静止不动的； (2)太阳、月亮以及其他星体都围绕地球做圆周运动。 (1)太阳是静止不动的，所有的行星都绕太阳做匀速圆周运动； (2)地球是绕太阳旋转的行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳转动。 代表人物 古希腊天文学家托勒密。 波兰天文学家哥白尼。 局限性 都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动。 （2）开普勒三大定律 ①开普勒定律的发现：德国天文学家开普勒根据丹麦天文学家第谷的行星观测记录，经过周密计算，发现行星绕太阳运动的轨迹是椭圆，并先后提出了行星运动的三个定律。 ②开普勒三大定律的内容 Ⅰ.开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上。 Ⅱ.开普勒第二定律(面积定律)：对任意一个行星来说，它和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 Ⅲ.开普勒第三定律(周期定律)：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都 相等。表达式：,其中a是椭圆轨道的半长轴（质心间距），T为公转周期，k是常量。 ③开普勒三大定律的内容的理解 定律 理解角度 理解 开普勒第一定律 空间分布 各行星的椭圆轨道不同，但太阳是所有轨道的一个共同焦点。行星的椭圆轨道很接近圆，半长轴与半短轴接近。 开普勒第二定律 速度大小 当行星离太阳较近的时候，运行的速度较大，离太阳较远的时候速度较小。故行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。 开普勒第三定律 周期长短 ①反映了行星公转周期跟轨道半长轴之间的依赖关系。椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短。 ②常量k与行星无关，只与中心天体有关。 →tips开普勒第二定律的理解 当Δt极小时，可认为S1=v1r1、S2=v2r2，故： v1r1=v2r2 即=,环绕天体距离中心天体越远，绕行速度越小。由此得出远日点速度最大，近日点速度最小。 注意！对同一中心天体不同绕行天体不适用！ 例哈雷彗星和行星A围绕太阳公转的轨道如图所示，其中阴影部分分别为它们与太阳连线在相等时间内扫过的面积、、、，则 （ ） A.= B.= C.= D.= →tips开普勒第三定律的理解 k的值与中心天体有关，对于不同的中心天体，绕行天体的也不同，但对于同一个中心天体来说，它的所有绕行天体的的值都相同。对同一中心天体不同绕行天体适用。 例关于开普勒第三定律的中的k，下列说法正确的是 （ ） A.k与T、a均无关 B.k随a的增大而增大 C.k随T的减小而增大 D.对于地球绕太阳运动和月球绕地球运动，k相同 （3）高中阶段天体运动处理方法 ①近似处理：由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中，可以利用圆周运动的相关规律来进行近似处理。这样，开普勒行星运动定律可以进行如下表述。 定律 表述 开普勒第一定律 大多数行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。 开普勒第二定律 对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。 开普勒第三定律 所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方之比都相等，即 ②研究天体运动的思路 Ⅰ.为了简化运算，一般把天体运动当成匀速圆周运动来研究，此时椭圆的半长轴近似为圆周的半径。 Ⅱ.进行近似处理后，天体的运动遵循牛顿运动定律和匀速圆周运动的相关规律，如Fn=m=mω2r等 考点：开普勒三大定律的理解与应用 例1关于开普勒第三定律中的公式，下列说法中正确的是 （ ） A.常数k只与行星质量有关 B.仅适用于围绕地球运行的所有卫星 C.仅适用于围绕太阳运行的所有行星 D.公式适用于宇宙中所有围绕星球运行的行星或卫星 例2某行星绕太阳运动的轨道如图所示，a到太阳中心的距离为r，速率为，b到太阳中心的距离为R，速率为。则以下说法正确的是 （ ） A.太阳在椭圆的中心上 B.该行星在a点的速率比在b、c两点的速率都小 C.该行星在c点的速率比在a、b两点的速率都大 D.rv1=Rv2 例3 2025年6月26日，经过约6.5小时的出舱活动，神舟二十号乘组航天员陈冬、陈中瑞、王杰密切协同，圆满完成第二次出舱既定任务。已知中国空间站绕地球做匀速圆周运动的周期约为90分钟，则其公转轨道半径和地球同步卫星（地球同步卫星绕地球公转的周期为T=24h）的公转轨道半径之比约为 （ ） A.8: B.:8 C.1:4 D.4:1 例4（多选）在太阳系中，地球和火星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行。根据开普勒行星运动定律可知（ ） A.地球和火星绕太阳运行的速度大小始终相等 B.地球与太阳连线在相等的时间内扫过的面积相等 C.地球与火星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D.在相同时间内，地球与太阳连线扫过的面积等于火星与太阳连线扫过的面积 例5（多选）我国“鹊桥二号”通导技术试验卫星发射升空，卫星主要用于地月空间通导技术验证。“鹊桥二号”采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道（如图），A点为近月点，B点为远月点，CD为椭圆轨道的短轴，下列有关“鹊桥二号”的说法正确的是 （ ） A.从A经C到B的运动时间为12 h B.从A经C到B的运动过程中加速度逐渐增大 C.从A经C到B的运动过程中速度逐渐减小 D.在C、D两点的加速度方向指向O’ 2.万有引力的发现、万有引力定律、万有引力与重力 （1）万有引力的发现 科学发展需要猜想。开普勒定律发现之后，人们开始更深入地思考：是什么原因使行星绕太阳运动? 当时许多科学家对行星运动的原因都提出了猜想。科学猜想是在大量实验现象的基础上，提出大胆的设想或理论模型，或在演绎基础上提出理论的预言。科学猜想在科学发展中具有极其重要的作用。 伽利略 行星的运动与地面物体的运动遵循不同的规律，行星的运动是依靠“惯性”自行维持的。 开普勒 行星受到来自太阳的类似于磁力的作用，这种磁力作用与行星和太阳之间的距离成反比。 笛卡儿 宇宙由不停旋转的微粒所组成，微粒的运动形成漩涡，行星漩涡带动卫星运动，太阳漩涡带动行星和卫星一起运动。 胡克 行星受到太阳对它的吸引力，并且如果行星的轨道是圆形的，它所受引力的大小与行星到太阳距离的平方成反比。 牛顿 以任何方式改变速度(包括改变速度的方向)都需要力。因 此，使行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力应该就是太阳对它的引力。 牛顿对天体运动的理解： 力是改变物体运动状态的原因。既然绕行天体做曲线运动，那么必然有一个力的作用使其转向，这个力即为中心天体对绕行天体的引力 ①引力的公式推导（天体间的引力和什么物理量有关？） 简化模型后便得到中学阶段研究天体运动的重要模型：绕行天体绕中心天体做匀速圆周运动。 （1）将绕行天体绕绕中心天体的运动视为匀速圆周运动； （2）中心天体对绕行天体的引力提供其做匀速圆周运动的向心力； （3）太阳的质量远大于各行星的质量，因此一般只考虑太阳与行星间的引力，不计各行星间的引力。 为了方便研究，下面以太阳系中的太阳与地球为例讨论万有引力的公式推导 太阳对地球的引力：由引力提供向心力可得F = m地 = m地r 由开普勒第三定律可得k=，则T2= 代入可得F=m地 F∝ 地球对太阳的引力：根据牛顿第三定律可知，行星也吸引太阳，行星对太阳引力的大小，也应与太阳的质量m太成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F’∝ 由此可知，太阳与地球间的引力F∝，其中比例系数写作G，称为引力常量。即F=G ②牛顿的地—月检验（宇宙中的天体间引力都是同种类型的力吗？） Ⅰ.提出问题：地球绕太阳运动，月球绕地球运动，它们之间的作用力是同一种力。这种力与地球对树上的苹果的吸引力是同一种力吗? Ⅱ.牛顿的猜想： (1)太阳的引力使行星不能飞离太阳，物体与地球之间的引力也使物体不能离开地球。 (2)日地间引力与月地间引力以及物体与地球间的引力是同一种性质的力，遵循相同的规律，其大小都可用公式F=G计算 Ⅲ.检验方法 (1)检验目的 验证使月球绕地球运动的力、使物体下落的力，与使地球绕太阳运动的力是同一种性质的力，遵循相同的规律。 (2)理论分析和证明思路 假设地球、月球和地球北极上某一物体的质量分别为m地、m月和m。已知重力加速度g=9.8N/kg，地月间距为R=3.8×108m，地球半径为r，且R=60r，通过观测发现月球绕地球的T=27.3天。 若理论计算所得的月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度a理和通过观测数据得出的实际向心加速度a测相等，则得证。 证明过程： gr²=Gm地 Ⅳ.检验结果： 理论分析与实际观测结果相符。这表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力是同一种性质的力，遵循相同的规律。 （2）万有引力定律 ①内容： 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m₂的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 ②公式： F=G ③公式的适用条件 Ⅰ.公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时也适用。 Ⅱ.质量分布均匀且有一定间距的球体间的相互作用，也可用此公式计算。式中r是两个球体球心间的距离 ④万有引力的特点 特点 内容 普遍性 万有引力不仅存在于星球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力。 相互性 物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，它们总是大小相等、方向相反，作用在两个物体上。 宏观性 通常物体间的万有引力比较小，与其他力相比可忽略不计，但对质量巨大的天体，万有引力往往起着决定性的作用。 特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们的质量和距离有关，而与它们所在空间的性质及周围是否存在其他物体无关。 ⑤引力常量G的测定 由于一般物体间的引力非常小，所以很难用实验的方法测量。英国物理学家卡文迪许首先通过实验测量了铅球间的引力F,从而推算出G值。 (1)测定引力常量的理论公式：G= 单位为N·m²/kg²。 (2)物理意义： 引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力的大小。 (3) 测量方法：“放大法” 两质量为m2的大球固定，两质量为m1小球在万有引力的作用下靠近大球，使T型架扭转。 T型架的石英丝扭转θ时，石英丝上的平面镜也会扭转θ，这样反射光线随之发生移动2θ。 石英丝的扭转特性：平衡时其扭转的角度与力矩有一定数量关系，即Kθ=FL（k为常量） 将F带入即可求出G的值。 通常取G=6.67×10-11N·m²/kg² 例1(多选)在万有引力定律得出的过程中，物理学家进行了著名的“月—地”检测.已知月心到地心的距离r、月球的公转周期T,地球的半径R、质量M,地球表面的重力加速度g,地面上物体所受重力为F₁,地球吸引月球的力为F₂.则 （ ） A.“月—地”检测的目的是验证F₁、F2是同一性质的力 B.“月—地”检测的目的是测定引力常量G C.用r、R、M和g正确推导就能完成“月—地”检测 D.用r、R、T和g正确推导就能完成“月—地”检测 例2下列关于万有引力定律的说法正确的是 （ ） A.牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什测得了引力常量 B.两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 C.根据表达式F=G可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 D.根据表达式G=可知，引力常量G与F、r、m₁、m₂有关 例3如图所示，三颗质量均为m的地球卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M,半径为R。下列说法正确的是 （ ） A.地球对一颗卫星的引力大小为 G B.一颗卫星对地球的引力大小为G C.两颗卫星之间的引力大小为G D.三颗卫星对地球引力的合力大小为G 例4有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在球体中挖出一半径为的空腔，如图所示，然后又在空腔部分填满另外一种密度为原来3倍的物质，则填充后的实心球体对质点的万有引力为 （ ） A. B. C. D. （3）万有引力与重力 ①万有引力与重力的关系 由于地球自转，地球上的物体随地球一起绕地轴做匀速圆周运动。地球表面上的物体所受的万有引力F万可以分解成物体随地球自转做匀速圆周运动的向心力F向(方向垂直指向地轴)和重力mg, 其中F万=G,F向=mr²,重力mg只是万有引力的一个分力。F万、mg、F向三个力的关系如图所示 问题1：重力和万有引力是同种性质的力吗？重力一定指向地心吗？ 是/不是 问题2：物体在地球上的什么位置时它所受的重力才会和万有引力大小一样？ 南北极（南北极点） 问题3：物体在地球上的什么位置时它所受的重力最小？ 赤道 ②万有引力与重力的应用 Ⅰ.忽略自转 因物体随地球自转所需向心力很小，因此一般认为重力近似等于万有引力，即在地球表面有mg=G由此可得代换式gR²=GM 此公式适用于所有星球。g为该星球表面上的重力加速度，R为星球半径，M为星球质量。 应用1：测量某星球的重力加速度 例1“嫦娥五号”月球探测器实现了中国首次无人月面取样返回.若月球质量与地球质量之比为k,月球半径与地球半径之比为q.忽略月球和地球自转，则月球表面和地球表面的重力加速度之比为 （ ） A.k:q² B.q²:k C.k:q D.q:k 应用2：某高度处的重力加速度g’ g’=g 应用3：理论表明，一个均匀的球壳，对处在其中的物体的引力为零。假想有一深度为d的矿井，其底部的重力加速度设为g” g”=g 例2若地球半径为R,把地球看作质量分布均匀的球体.“蛟龙号”下潜深度为d,“天宫一号”运行轨道距离地面高度为h,“蛟龙号”所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零，忽略地球自转) （ ） A. B. C. D. Ⅱ.考虑自转 例3《夸父逐日》最早出自《山海经 ·海外北经》,反映 了古代先民与自然灾害做斗争的事实.若夸父“逐 日”的足迹遍及全球，且未离开地面，则对于夸父 “逐日”的过程，下列说法正确的是 （ ） A. 夸父所受的重力垂直地面向下 B. 夸父在赤道时所受的重力最大 C. 夸父所受的重力和万有引力始终相等 D. 夸父在两极时随地球转动所需的向心力最小 例4棕熊乔伊因白化病被误认为是北极熊，曾两次被送到北极，还有一次被送到位于赤道的北极馆，差点被冻僵，被称为史上最惨棕熊.若乔伊质量始终为m,它在北极和北极馆的重力差为△N,地球半径R,则地球同步卫星运动的角速度为 （ ） A. B. C.R D. 3.万有引力的理论成就：计算天体的质量与密度 （1）计算天体质量 ①环绕法计算中心天体质量 绕中心天体做匀速圆周运动的行星（或卫星）所受万有引力充当向心力，需已知轨道半径r和绕行周期T F=G =mr 则M= ②测“g”法计算所在天体质量 此法的思路是不考虑天体的自转，则天体表面物体所受重力等于天体对物体的万有引力，需已知星球半径R和星球表面的重力加速度g G =mg 则 M= （2）计算天体密度 球体体积V=R3、质量分布均匀的物体密度ρ= ①环绕法计算中心天体质量结合密度公式 ②测“g”法计算所在天体质量结合密度公式 例1某同学提出这样的设想：只要知道一个物体在地球北极和赤道所受重力的比值，就能推算出地球的平均密度。假设同一物体在北极和赤道所受重力的比值为k(k>1),已知引力常量G和地球自转周期T,则地球的平均密度ρ为 （ ） A. B. C. D. （3）发现未知天体 ①海王星的发现 Ⅰ.发现并提出问题 18世纪，人们观测发现，太阳系的第七颗行星——天王星的运动轨道与根据万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差，为何会存在偏差? Ⅱ.猜想和假设 (1) 万有引力定律不正确 (2) 在天王星轨道外面还有一颗未发现的行星影响了天王星的运行 Ⅲ.科学推理 英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出了这颗“新”行星的轨道。 Ⅳ.实践检验 1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”。后来，这颗行星被命名为海王星。 ②哈雷彗星的“按时回归” 1705年，英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算了一颗著名彗星的轨道并正确预言了它的回归，这颗著名彗星就是哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，下次飞近地球将在2061年左右。 4.天体运动参量的决定因素 （1）关系分析与推导 （2）结论归纳 环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的线速度v、角速度ω、周期T及加速度a等，皆与环绕天体的质量无关，只与中心天体质量M和轨道半径r有关 例1如图所示，太阳系中八大行星都在各自的轨道上绕太阳运行。已知火星半径为R火，火星表面的重力加速度为g火，金星绕太阳运动的轨道半径为r金，公转周期为T金，引力常量为G。假设各行星均做圆周运动，不考虑行星间的引力和行星的自转，则 （ ） A.水星绕太阳运动的向心加速度最小 B.水星绕太阳运动的角速度最小 C.火星的公转周期为T金 D.太阳质量与火星质量之比为 例2我国将于2026年发射嫦娥七号探测器，设嫦娥七号到达月球后贴近月球表面飞行一周所用时间为T1，某近地卫星环绕地球运行一周所用时间为T2，将月球和地球均看成质量分布均匀的球体，则月球与地球的密度之比为 （ ） A. B. C. D. 例3北京时间2025年5月29日，在我国西昌卫星发射中心，“长征三号乙Y110”运载火箭成功将行星探测工程“天问二号”探测器发射升空。假设卫星绕某行星运行的速率的平方与其轨道半径倒数的图像如图所示，该图像的斜率为k，行星的半径为R，则可计算该行星的密度正比于 （ ） A. B.kR3 C. D.（）3 例4宇航员到了某星球表面后做了如下实验：如图所示，用长为L的细线悬挂一质量为m的小球在水平面内做圆锥摆运动，小球以周期T匀速转动时，细线与竖直方向夹角为θ。已知星球的半径为R，万有引力常量为G，忽略星球自转，求： （1）细线上拉力的大小； （2）该星球表面重力加速度的大小； （3）该星球的密度。 5.宇宙航行：宇宙速度、人造卫星的绕行与变轨 （1）宇宙速度 ①牛顿猜想： 从高山上用不同速度水平抛出物体，速度一次比一次大，落地点也一次比一次离山脚远，如果没有空气阻力，当速度足够大时，物体就不会落回地面。它将围绕地球旋转，成为一颗绕地球运动的人造地 球卫星。 ②人造卫星的环绕速度 设地球质量为M,卫星质量为m,轨道半径为r,由于万有引力提供向心力，则G= m，得 V= 因近地卫星r≈R地=6400 km,且M=5.98×10²kg，代入数据可得v=7.9 km/s 上述结果表明，如果在地面上发射人造地球卫星，其最小发射速度为7.9km/s,该速度同时也是卫星环绕地球运动的最大速度。 ③三个宇宙速度 数值 意义 说明 第一宇 宙速度(环绕速度) 7.9 km/s 物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度。 (1)7.9km/s是卫星在地面附近的最小发射速度，也是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度 (2)在地面上发射人造卫星的速度满足7.9 km/s<v<11.2 km/s时，卫星在椭圆轨道上绕地球运动。 第二宇 宙速度(逃逸速度) 11.2 km/s 物体挣脱地球引力的束缚，离开地球的最小发射速度。 当11.2 km/s≤v<16.7 km/s时，卫星脱离地球引力的束缚，成为太阳系的一颗“小行星”。 第三宇 宙速度 16.7 km/s 物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太 阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度。 当v≥16.7 km/s时，卫星脱离太阳的引力束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间中去。 ④对第一宇宙速度的理解 一物体在地球表面的最高处以不同的速度水平扔出会有两种情况，一是物体做圆周运 动，一是绕地球做椭圆运动 问题2：v满足什么条件时物体在椭圆轨道上？在远地点的速度大小v’’和第一宇宙速度的大小关系？ 7.9 km/s<v<11.2 km/s v’’<7.9 km/s 问题1：v满足什么条件时无法绕地球做圆周运动？绕地球做圆周运动时的速度v’和第一宇宙速度的大小关系？ v<7.9 km/s；v’≤7.9 km/s （2）人造卫星 ①人造卫星的分类 人造卫星按运行轨道可分为低轨道卫星、中高轨道卫星、地球静止轨道卫星等。在用途上有军事卫星、通信卫星、气象卫星、地球资源卫星、导航卫星及近地空间科研卫星等。 ②人造卫星的运行轨道 Ⅰ.卫星绕地球运行的轨道一般为椭圆轨道，可近似认为是圆轨道。 Ⅱ.卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点，其周期T和半长轴a的关系遵循 Ⅲ.卫星绕地球沿圆轨道运动时，万有引力提供向心力，而万有引力指向地心，因此地心必然是卫星运行轨道的圆心。 Ⅳ.卫星的轨道平面可以在赤道平面内，也可以和赤道平面垂直，还可以和赤道平面成任一角度。如图所示。 ③人造卫星的运行规律“高轨低速大周期” ⭐使用条件：仅适用于比较圆形轨道卫星的速度和周期，对椭圆轨道不适用！ ④地球同步卫星 Ⅰ.含义： 地球同步卫星是指周期和地球自转周期相同的卫星，其中一种卫星的轨道平面与赤道平面成0度角，运动方向与地球自转方向相同，因其相对地面静止，也称静止卫星。 Ⅱ.静止卫星 静止卫星绕地球做圆周运动，其轨道在赤道平面上，距离地面的 高度一定，每颗地球静止卫星都定点在规定的位置上。周期为T=24h “运动上定周期、定速率、定加速度；位置上定轨道平面、定高度、定点” （3）人造卫星的变轨 问题1：卫星如何变轨到3轨道，经历了什么过程？ 从1轨道P点进行一次点火加速，做离心运动进入轨道2，在2轨道Q点 进行一次点火加速，进入3轨道 问题2：一人造卫星在圆轨道1上运动时速度为v1，在从1轨道变轨 进入2轨道P点时速度为vP，在从2轨道Q点时的速度为vQ，进入 圆轨道3后绕行速度为v2 请比较v1、vP、vQ、v2的大小 vP＞v1＞vQ＞v2 问题3：人造卫星在圆轨道1上的加速度为a1，在2轨道P点时的加速度为aP，在3轨道Q点上的加速度为aQ，在圆轨道3上的加速度为a3 请比较a1、aP、aQ、a3的大小 a1=aP＞a3=aQ 问题4：人造卫星在圆轨道1上的周期为T1，在椭圆轨道2上的周期为T2，在圆轨道3上的周期为T3 请比较T1、T2、T3的大小 T3＞T2＞T1 例中国北斗卫星导航系统(简称BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，可为全球用户提供定位、导航和授时服务，该导航系统由多颗不同轨道的卫星组成。如图7-4-7所示为某颗北斗导航卫星的变轨过程，先将卫星发射至近地圆轨道1上，然后在P点变轨到椭圆轨道2上，最后在Q点由轨道2变轨进入圆轨道3,轨道1、2相切于P点，轨道2、3相切于Q点。忽略空气阻力和卫星质量的变化，则以下说法正确的是 （ ） A.该卫星从轨道1变轨到轨道2需要在P点减速 B.该卫星在轨道2上经过Q点时的速率小于它在轨道3上经过Q点时的速率 C.该卫星在轨道3上的速度大小大于在轨道1上的速度大小 D.该卫星在轨道3上经过Q点的加速度大小小于在轨道2上经过Q点的加速度大小 2、 对点专练 1.“填补法”计算万有引力 如图，有一质量为m1半径为R的铅球，铅球质量分布均 匀，距离铅球边缘直线距离为R有一质量为m2的小球，此时 铅球对小球的引力为F.现从中挖去一半径为的球体，求挖去一 部分后铅球对小球的引力. 处理思路： 铅球在未挖去部分时对小球引力为F，挖去后铅球剩余部 分1和挖去部分2的引力之和为F，通过数量关系求出挖去部 分2与整球的质量之比即可得出这两部分的引力之比。 处理步骤：使用割补法 例1如图所示，在一半径为R、质量分布均匀的大球内部挖去一半径为的小球，两球相切于P点，0₁、0₂分别是大球和小球的球心.已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球密度为ρ,引力常量为G.现将一质量为m的物体N(可视为质点)置于0₁处，则大球剩余部分对物体N的万有引力大小为 （ ） A. ρGmR B. ρGmR C. ρGmR D. ρGmR 变1如图所示，三个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环和完整圆环的圆心，圆环、半圆环分别是由与丙图中相同的完整圆环截去和一半所得，环的粗细忽略不计，若甲图中圆环对球的引力大小为F,则乙图中半圆环、丙图中圆环对球的引力大小分别为 （ ） A.，2 B., 0 C.，0 D.， 2.计算问题与比例问题 例2某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做匀速圆周运动的半径r与周期T,作出如图所示的图像.已知引力常量为G,木星质量大于地球质量.下列说法正确的是 （ ） A.图线①是地球卫星运动的规律 B.地球的质量为 C.木星的平均密度为 D.木星与地球的平均密度之比为 变2.12024年5月3日17时27分，“嫦娥六号”探测器由长征五号遥八运载火箭在文昌航天发射场成功发射，在某段时间内“嫦娥六号”正好绕月球做速度大小为v的匀速圆周运动，且在时间t内转过圆心角θ(弧度制).已知引力常量为G,则月球质量可表示为 （ ） A. B. C. D. 变2.2嫦娥五号、天问一号探测器分别在近月、近火星轨道运行.已知火星的质量为月球质量的9倍，火星的半径为月球半径的2倍.假设月球、火星可视为质量均匀分布的球体，忽略其自转影响，则下列说法正确的是 （ ） A.嫦娥五号绕月球转动的周期与天问一号绕火星转动的周期之比为1:1 B.月球表面的重力加速度与火星表面的重力加速度之比为2:3 C.月球的第一宇宙速度与火星的第一宇宙速度之比为:3 D.嫦娥五号绕月球转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值与天问一号绕火星转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值相等 变2.3(多选)如图所示，已知地球半径为R,地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v₁,向心加速度大小为a₁,地球自转周期为T₁;近地卫星的轨道半径近似为R,运行线速度大小为v₂,加速度大小为a₂,运动周期为T₂;地球同步卫星的轨道半径为r,运行线速度大小为v₃,加速度大小为a₃,运动周期为T₃.下列选项正确的是 （ ） A. =1 B.= C. =1 D. = 变2.4科学家在距离地球200光年处发现了一“超级地球”行星K2-155d,研究表明其表面有可能存在液态水，所以科学家期待深入探索K2-155d的生命迹象.已知绕行星K2-155d运动的卫星公转周期为月球绕地球公转周期的p倍，绕行星K2-155d运动的卫星轨道半径为月球绕地球轨道半径的q倍，行星K2-155d的半径为地球半径的n倍.已知地球表面的重力加速度为g,忽略行星K2-155d和地球的自转，则质量为m的小球在行星K2-155d表面的重力为 （ ） A. B. C. D. 3.卫星变轨 例3(多选)我国的天问三号任务计划在2028年前后实施两次发射任务.假设天问三号发射过程变轨示意图如图所示.天问三号先进入远火圆轨道1,在A点点火再进入椭圆轨道2,最后在B点点火进入近火圆轨道3,轨道1、2相切于A点，轨道2、3相切于B点.下列说法正确的是 （ ） A.天问三号在A点点火减速进入椭圆轨道2 B.天问三号在B点点火加速进入圆轨道3 C.天问三号在轨道1上运行的周期小于在轨道3上运行的周期 D.天问三号在轨道3上运行的线速度大于在轨道1上运行的线速度 变3.12024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回.嫦娥六号采样返回地球，需要经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程.下列说法正确的是 （ ） A.发射嫦娥六号的速度大于第二宇宙速度 B.返回器在轨道1上运动的周期小于在轨道3上运动的周期 C.返回器在轨道1上经过A点时的速度大于在轨道2上经过A点时的速度 D.载有月壤样本的返回器在变轨进入地月转移轨道时需要点火减速 变3.2(多选)“天问一号”发射后经过地火转移轨道被火星捕获，进入环火星圆轨道，经变轨调整后，进入着陆准备轨道，如图所示.已知“天问一号”火星探测器的火星着陆准备轨道的半长轴为a₁、周期为T₁,我国北斗卫星导航系统的中圆地球轨道卫星的轨道半径为r₂、周期为T₂,引力常量为G.下列说法正确的是 （ ）A. = B.“天问一号”在A点从环火星圆轨道进入着陆准备轨道时需 要开启发动机向前喷气 C.“天问一号”在环火星圆轨道上A点的加速度大于在着陆准 备轨道上A点的加速度 D.由题目已知数据可以估算出火星的质量 变3.3中国计划在2030年前实现中国人首次登陆月球.如图所示，探测器从地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入月球表面附近的工作轨道，开始对月球进行探测.下列说法正确的是 （ ） A.探测器在轨道I和轨道Ⅲ上经过P点时的加速度不相等 B.探测器在轨道Ⅲ上运行的周期比在轨道I上的小 C.探测器在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度大 D.探测器在轨道I上经过P点时的速度比在轨道Ⅱ上经过P点时的速度小 4.双星与多星体问题 模型详解： （1） 特点：ω1=ω2,R1+R2=L 万有引力分析： （2） 特点：对星球A,B、C两个星球对它的万有引力的合力提供向心力 万有引力分析： （3） 特点：对其中一个星球，另外两个星球对它的万有引力的合力提供向心力 万有引力分析： （4） 特点：对其中一个星球，另外三个星球对它的万有引力的合力提供向心力 万有引力分析： 例4由A、B两颗恒星组成的双星系统如图所示，A、B绕连线上一点0做匀速圆周运动，A、B到O点的距离分别为r₁、r₂,A、B的质量分别为m₁、m₂,引力常量为G,不计其他天体对该双星系统的作用。下列说法正确的是 （ ） A.A恒星受到B恒星的万有引力大小为G B.A恒星做匀速圆周运动的周期为2 C.A、B恒星的质量与轨道半径满足关系式 D.A、B恒星的线速度与轨道半径满足关系式 变4.1假设宇宙中有一双星系统由质量分别为m和M的A、B两颗星体组成.这两颗星绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示，A、B两颗星的距离为L,引力常量为G,则 （ ） A.因为OA>OB,所以m>M B.两颗星做圆周运动的周期为2 C.A做圆周运动需要的向心力大于B做圆周运动需要的向心力 D.若A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则A的角速度缓慢减小 变4.2如图所示的双星系统，甲、乙两颗恒星绕连线上的0点做匀速圆周运动，间距L保持不变，已知一段时间t内乙转过的角度为θ,引力常量为G,下列说法正确的是 （ ） A.甲、乙做圆周运动的半径与两恒星质量成反比 B.甲、乙的线速度大小与两恒星质量成正比 C.甲的周期大于 D.甲、乙的总质量为 变4.3宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统简化为如图所示模型，质量相等的三颗星体位于边长为l的等边三角形ABC的三个顶点上，三颗星体绕同一点做周期为T的匀速圆周运动.已知引力常量为G,不计其他天体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法中正确的是 （ ） A.三颗星体做圆周运动的向心力相同 B.三颗星体的质量均为 C.三颗星体自转角速度相同 D.三颗星体线速度大小均为 5.卫星的追及、相遇问题 例5如图所示，A、B两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，它们的轨道在同一平面内且转动方向相反.若已知A卫星转动周期为T,A、B两卫星轨道半径之比,从图示位置开始A、B两卫星经过时间t再次相距最近，则 （ ） A. B. C. D. 变5.1如图所示，两颗卫星a、b均在赤道正上方沿顺时针方向绕地球做匀速圆周运动，卫星a为近地卫星，卫星b离地面的高度为3R.已知地球的半径为R,地球表面的重力加速度大小为g,忽略地球自转.初始时两颗卫星a、b与地心连线的夹角为θ,若经时间t两颗卫星a、b相距最近，则t至少为 （ ） A. B. C. D. 变5.2“天关”卫星是中国主导研制的一颗空间科学卫星.如图所示，“天关”卫星离地高度约为600千米，其轨道平面与赤道平面的夹角约为29°,轨道半径为r0.某时刻，“天关”卫星刚好从另一高轨卫星的正下方经过，高轨卫星的轨道位于赤道上空，经过一段时间后，“天关”卫星在地球另一侧从高轨卫星下方经过(忽略地球自转),两卫星轨道均视为圆轨道，则该高轨卫星的半径可能为 （ ） 高轨卫星 天关卫星 A. B. C. D. 变5.3(多选)某公司成功发射了猎鹰九号运载火箭，将60颗星链卫星成功送入既定轨道.如图所示，这批卫星分三层构成卫星网络，分别位于距离地面340 km的α轨道、550 km的β轨道和1150 km的γ轨道上做匀速圆周运动(转动方向相同),已知地球半径R,引力常量为G,地球表面重力加速度为g.则 （ ） A.α轨道卫星的线速度最大 B.γ轨道卫星受地球的万有引力最小 C.β轨道卫星的向心加速度比α轨道卫星的大 D.某时刻α、β轨道卫星a、b相距最近，根据题目已知参数可算出经多久 二者再次相距最近 3、 复习提升练 1.下列说法正确的是 （ ） A.月—地检验结果证明了地面物体所受引力和天体间引力遵循相同的规律 B.牛顿对引力常量G进行了准确测定，因此他被称为“第一个称出地球质量的人” C.仅考虑狭义相对论效应，航天员在空间站中观察到时钟走过20s,理论上站在地面上的观察者手里的时钟走过的时间小于20s D.开普勒行星运动定律是开普勒在哥白尼留下的观测记录的基础上整理和研究出来的 2.未来有一天某学校的优秀毕业生，乘坐我国的神舟飞船进入我国天宫空间站，天宫空间站离地面距离为400~450 km,地球同步卫星离地高度大约36000 km,地球半径大约6370 km,估算该同学绕地球一周的时间大约为 （ ） A.5.5h B.3.5h C.2.5h D.1.5 h 3.某次科学实验中，用火箭将一个质量m=1 kg的物体和一颗卫星一起送上太空，某时刻物体随火箭一起竖直向上做加速运动，加速度大小为a=2 m/s²,而称量物体的台秤显示物体的重力为4.5N.地球表面重力加速度g取10m/s²,地球半径R=6.4×10⁶m,不计地球自转的影响，则下列说法正确的是 （ ） A.此处的重力加速度为5m/s² B.此处的重力加速度为10m/s² C.此时火箭离地面的高度h=3.2×10⁶m D.此时火箭离地面的高度h=6.4×10⁶m 4.2024年5月 31日，酒泉卫星发射中心成功发射谷神星一 号 ·安徽池州江南集中区号运载火箭，顺利将 极光星座01星等5颗卫星送入535 km晨昏轨 道.卫星1圆轨道的半径与卫星2椭圆轨道的 半长轴相等，两轨道在同一平面内且两轨道相 交于A、B 两点，某时刻卫星的位置如图所 示.下列说法正确的是 （ ） A.两卫星在图示位 置的速度v₁>v₂ B.两卫星在图示位置时，卫星1的向心加速度等于卫星2的向心加速度 C.两颗卫星分别经过A 点时受到的万有引力 相等 D.若不及时调整轨道，两卫星可能相撞 5.我国计划在2028年前后发射天问三号并采集火星样品后返回地球。已知火星半径为R，引力常量为G，若天问三号进入轨道高度的环火星圆轨道后，运行周期为T，则火星的平均密度为 （ ） A. B. C. D. 6.如图所示，探测卫星a在某星球的赤道平面内绕该星球转动，其轨道可视为圆，绕行方向与该星球自转方向相反，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P通信，已知该星球半径为R、自转周期为T,卫星轨道半径为2R、周期为2T.下列说法正确的是 （ ） A.探测卫星a的向心加速度大小为 B.该星球的同步卫星线速度大小为 C.每2T卫星a经过P正上方一次 D.该星球赤道上的重力加速度大小为 7.自1970年4月24日我国第一颗人造卫星“东方红一号”顺利升空，到2024年底，我国已发射各式卫星、飞船、空间站等人造天体600余颗.如图所示，a为近地空间站，b为运行在晨昏线上空太阳同步轨道上的太阳观测卫星，c为运行在倾斜同步轨道上的北斗导航卫星，d为地球静止同步轨道气象卫星.已知b的轨道半径大于a的轨道半径，小于c的轨道半径，则下列说法中正确的是 （ ） A.太阳观测卫星b绕地球运动的周期为1天 B.a、b、c、d的运行速度大小关系为va>vb>vc=vd C.北斗导航卫星c可能定位在北京上空，相对地面保持静止 D.卫星c与d的周期、加速度及所受地球引力都相等 8.航天员登上某行星进行科学探索.他在该行星表面的北极点由静止释放一个质量为m的物体，由于该行星大气的阻力作用，其加速度a随下落位移x变化的关系如图所示(释放瞬间物体所受的大气阻力为0).已知该行星为质量均匀分布的球体，且半径为R=4×10³km,引力常量为G=6.67×10⁻¹¹N·m²/kg².下列说法正确的是 （ ） A.该行星的第一宇宙速度为4 km/s B.该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s C.该行星的平均密度为5.5×10³kg/m³ D.在北极点释放的该物体的最大速度为6 m/s 9.2025年4月24日神舟二十号载人飞船成功发射.如果神舟二十号飞船升空后先进人停泊轨道(即近地圆轨道),之后进入转移轨道，最后在中国空间站轨道与天和核心舱对接，如图所示.已知中国空间站轨道为圆轨道，距地面高度为h,飞船在停泊轨道运行的周期为T,地球半径为R,地球表面重力加速度为g,引力常量为G,则下列说法正确的是 （ ） A.飞船从停泊轨道进入转移轨道在P点需要减速 B.天和核心舱的向心加速度大小为g C.可求得地球密度为 D.飞船从P点运行到Q点需要的时间为 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $