专题02 天体运动 讲义 -2025-2026学年高一下学期物理期中考试复习

专题02 天体运动---高一期中考试复习讲义 复习目标： 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并能用来解决相关问题。 2.掌握计算天体质量和密度的方法。 3.理解卫星围绕天体做匀速圆周运动的动力学规律，会比较卫星运动的各物理量之间的关系。 4.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。 5.会分析卫星的“追及”问题。 一、开普勒行星运动定律 概念梳理： 1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2.开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 3.开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 易错辨析： (1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点(√) (2)不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等(×) (3)根据开普勒第三定律，地球围绕太阳运动与月球围绕地球运动相比较，有=(×) 关键理解：　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2.应用微元法，结合开普勒第二定律可得v1·Δt·r1=v2·Δt·r2，解得=，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点的速度最大，远日点的速度最小。 3.开普勒第三定律=k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 例1：（24-25高一下·广东惠州·期中）北京2022年冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳全球。如图所示是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．从冬至到春分的运行时间和夏至到秋分的运行时间相等 C．若用a代表行星绕日运动的椭圆轨道半长轴，T代表公转周期，，则地球和火星对应的k值是不同的 D．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，冬至时地球离太阳较近，运行速度大；夏至时离太阳较远，运行速度小，故A错误； B．冬至到春分、夏至到秋分，地球绕太阳运行的轨道对应的圆心角相同，但冬至到春分地球运动平均速度大（离太阳近），所以运行时间短；夏至到秋分地球运动平均速度小（离太阳远），运行时间长，二者不相等，故B错误； C．根据开普勒第三定律 k只与中心天体（太阳）有关，地球和火星都绕太阳运动，所以对应的k值相同，故C错误； D．根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，所以太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，故D正确。 故选D。 二、万有引力定律 概念梳理： 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2.表达式：F=G，G为引力常量：G=6.67×10-11 N·m2/kg2。 3.适用条件。 (1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)公式适用于质量分布均匀的球体之间的相互作用，r是两球心间的距离。 易错辨析： (1)只有质量较大的天体之间才存在万有引力(×) (2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大(×) (3)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心 (√) 关键理解： 1.万有引力与重力的关系。 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 (1)在赤道上：G=mg1+mω2R。 (2)在两极上：G=mg0。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即=mg。 2.星球上空的重力加速度g'。 星球上空距离星体中心r=R+h处的重力加速度为g'，mg'=，得g'=，所以=。 考点1：万有引力定律的理解 例2.（24-25高一下·陕西渭南·期中）下列说法正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，行星运动的方向总是与它和太阳连线垂直 B．开普勒第二定律表明，行星离太阳越远，速度越大 C．由万有引力定律可知，当时， D．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第一定律，可知行星轨道为椭圆，但速度方向仅在近日点和远日点与连线垂直，其他位置不垂直，故A错误； B．开普勒第二定律表明，行星离太阳越远，速度越小，故B错误； C．根据万有引力定律，可知当时，物体不能视为质点，万有引力公式不适用，故C错误； D．万有引力是相互作用力，遵循牛顿第三定律，大小相等、方向相反，故D正确。 故选D。 考点2：重力和万有引力的关系 例3.（24-25高一下·山东日照·期中）关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是（　　） A．地面附近的物体所受的重力就是万有引力 B．由于地球的自转，物体在纬度越高的地方所受重力越大 C．物体在赤道上时，万有引力和重力的合力提供物体随地球自转所需的向心力 D．地球上的所有物体都会在万有引力、重力和支持力三个力的作用下处于平衡状态 【答案】B 【详解】重力是万有引力的一个分力，物体在两极时重力方向与万有引力方向相同，此时万有引力等于重力，物体在赤道上时，万有引力和地面的支持力的合力提供物体随地球自转所需要的向心力，则物体在纬度越高的地方所受重力越大； 故选B。 考点3：补偿法求万有引力 例4.（24-25高一下·广东深圳·期中）有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点，两者之间的万有引力大小为。现从球体中挖去一个半径为的小球体，如图所示，剩余球体部分对质点的万有引力大小为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由公式和 解得挖去的小球体质量 由题意及万有引力公式，可知 挖去的小球体与质点间的万有引力大小 则剩余球体部分对质点的万有引力大小 可知 故选C。 思维提升： 补偿法求非对称物体间的万有引力 球内挖去一部分后则变成非对称球，无法直接使用万有引力定律求解，此时可用“先补后减”的方法。这是一种解决问题的科学思维，即先把挖去的部分用同密度的物质“填补”上，使其成为规则的球体，再根据万有引力定律，分别计算出大球和“填补”上的小球对物体的万有引力，最后两引力相减即可得到结果。 考点4：地球表面下万有引力的计算 例5.（24-25高一下·北京·期中）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某天体的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。若在该天体内部挖出一半径r=的巨大球形空腔（挖出的物质运走至无穷远处），空腔与天体表面相切，如图所示。O和O′分别为该天体和空腔的球心，空腔内Q点与球心O′的距离为，Q、O′和O在同一直线上。则质量为m的质点在Q处受到天体剩余部分的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】质量均匀的球壳对壳内万有引力的合力为零，故作如下图所示下等效。 由可知，密度一样，球的质量和半径的三次方成正比。设距离为b，距离为a，大球（红色虚线）对Q点物体的引力为 小球（绿色虚线）对Q点的引力为 故Q点物体受力为 由 联立得 故选D。 思维提升： 星体内部万有引力的两个推论 (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零。 (2)推论2：在半径为R的匀质球体内部，距离球心r(r<R)处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对它的万有引力，即F=G。 三、天体质量和密度的计算 关键理解： 天体质量和密度的估算方法。 1.重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 2.天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G=m得天体的质量M=。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 考点1：“重力加速度法”计算天体质量和密度 例6.（24-25高一下·贵州毕节·期中）如图所示，固定在地面上的斜面，斜面的高度为，底边的长度为，在斜面的顶点沿水平方向以抛出一个小球，经时间时落回该斜面，已知地球半径，引力常量为。设地球的质量为，地球的平均密度为，地球表面的重力加速度为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．令小球的位移为，则有 解得，故A错误，B正确； C．在地球表面有 结合上述解得，故C错误； D．地球的密度 结合上述解得，故D正确。 故选BD。 考点2：“环绕法”计算天体质量和密度 例7.（24-25高一下·河北·期中）假如你将来成为一名航天员并成功登陆火星，你驾驶一艘宇宙飞船飞临火星表面轨道，当你关闭动力装置后，你的飞船紧贴着火星表面做匀速圆周运动飞行一周的时间为T，已知火星的半径为R，引力常量为G，火星可视为质量分布均匀的球体，不考虑火星自转影响。已知球的体积公式为，求： (1)飞船绕火星表面做匀速圆周运动的向心加速度大小； (2)火星的密度； (3)火星表面重力加速度g。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由向心加速度公式， 联立解得 （2）由 万有引力提供向心力 联立解得 （3）由万有引力提供向心力可知 且 联立解得 四、卫星运行参量的分析 概念梳理： 1.卫星运动模型。 无论自然天体(如地球、月球)还是人造卫星在粗略计算中，可近似看成质点，围绕中心天体做匀速圆周运动。 2.基本公式。 (1)线速度大小：由G=m得v=。 (2)角速度：由G=mω2r得ω=。 (3)周期：由G=mr得T=。 (4)向心加速度：由G=man得an=G。 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大。 3.人造卫星。 (1)人造卫星的轨道：如图所示，卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和倾斜轨道，同步卫星中的静止轨道是赤道轨道。 (2)极地轨道：极地轨道卫星运行时每圈都经过南北两极的上空，由于地球自转，极地轨道卫星可以实现全球覆盖，如气象卫星。 (3)同步卫星。 ①轨道平面与赤道共面，且与地球自转方向相同。 ②周期与地球自转周期相同，T=24 h。 ③高度固定不变，h=3.6×107 m。 ④运行速率均为3.1 km/s。 (4)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r=R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度，运行周期约为85 min。 关键理解： 解答卫星运动问题常用的两个思路。 (1)万有引力提供向心力，即G=m=mω2r=mr=man。 (2)天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即G=mg，整理得gR2=GM，在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。 例8.（24-25高一下·云南玉溪·期中）(多选)太空电梯是人类构想的一种通往太空的设备，其基座固定在地球赤道上，用一根竖直的缆绳与距地面高度约3.6×107米的地球同步轨道上的太空站相连，如图所示，升降舱可以将乘客送入太空站内。设地球半径为R，同步轨道上的太空站离地面的高度为5.6R，当升降舱停在离地球表面高度为2.3R处时，它绕地心做圆周运动的线速度大小为v2，与它在相同高度绕地球做圆周运动的卫星线速度大小为v3，同步轨道上的太空站的线速度大小为v4，地球的第一宇宙速度为v1，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】B．根据得 ，B正确； D．根据牛顿第二定律得，解得 所以，D错误； C．根据得， 根据，得，，C正确； A．根据得， 根据，得，，A错误。 故选BC。 例9.（24-25高一下·北京东城·期中）如图所示，a为静止在地球赤道上的物体，b为离地面400km高的低轨道卫星，c为离地面36000km高的地球同步卫星，下列说法中正确的是（　　） A．线速度的大小关系为 B．向心加速度的关系为 C．周期关系为 D．同步卫星c的发射速度要大于11.2km/s 【答案】C 【详解】D．同步卫星c的发射速度小于11.2km/s，因为发射速度大于11.2km/s会脱离地球，D错误； C．因为a和c同步，所以 根据开普勒第三定律得 周期关系为，C正确； A．根据得， 根据牛顿第二定律得 解得 轨道半径越大，线速度越小，所以 线速度的大小关系为，A错误； B．根据 得 根据牛顿第二定律得 解得 轨道半径越大，向心加速度越小，所以 向心加速度的关系为，B错误。 故选C。 思维提升： 寻找相同点，巧妙比较各物理量 (1)近地卫星与同步卫星的运行原理相同，均由万有引力提供向心力，由于r近<r同，所以a近>a同，v近>v同，ω近>ω同，T近<T同。 (2)同步卫星与赤道上的物体周期(或角速度)相同，均等于地球自转周期(或角速度)，由于r物<r同，所以a物<a同，v物<v同。 (3)近地卫星和赤道上的物体的轨道半径相同，但两者的运行原理不同，前者由万有引力提供向心力，后者由万有引力的分力提供向心力。两者的加速度、线速度、角速度、周期等物理量可通过同步卫星间接比较。 五、宇宙速度 概念梳理： 1.三种宇宙速度。 (1)第一宇宙速度：v1=7.9km/s，地球卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度。 (2)第二宇宙速度：v2=11.2km/s，物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 (3)第三宇宙速度：v3=16.7km/s，物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 2.第一宇宙速度的计算方法。 (1)由G=m得v=。 (2)由mg=m得v=。 例10.（2026高一下·全国·专题练习）(多选)中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶号”运载火箭发射前往火星。已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的。下列关于火星探测器的说法中正确的是（　　） A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可能 C．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度 D．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的 【答案】CD 【详解】A．第一宇宙速度是航天器绕地球表面飞行的最小发射速度，若发射速度仅大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，航天器仍受地球引力束缚，只能绕地球运行，无法前往火星，故A错误； B．第三宇宙速度是航天器脱离太阳引力、飞出太阳系的最小发射速度，火星属于太阳系内行星，探测器无需飞出太阳系，不需要达到第三宇宙速度，故B错误； C．探测器要脱离地球引力束缚前往火星，发射速度需大于第二宇宙速度；同时探测器仍在太阳系内，不需要脱离太阳引力，发射速度需小于第三宇宙速度，故C正确； D．环绕天体运行的最大速度为该天体的第一宇宙速度（对应轨道半径等于天体半径），由万有引力提供向心力 推导得第一宇宙速度公式 代入火星和地球的质量、半径比值 可得，故D正确。 故选CD。 六、卫星的“追及”问题　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 关键理解：　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　在不同圆周轨道上绕同一天体运动的两个行星(或卫星)，某一时刻会出现三者排成一条直线的“行星冲日”现象。即天体(或卫星)的“追及、相遇”现象。此类问题的两种情形(以同向转动为例)： (1)相距最近。 两同心转动的卫星同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相距最近到下一次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA-ωB)t=2π或-=1。 (2)相距最远。 两同心转动的卫星同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA-ωB)t=π或-=。 例11.（2025·贵州遵义·模拟预测）(多选)北京时间2021年9月中旬至10月下旬出现了“火星合日”现象，即当火星和地球分别位于太阳两侧与太阳共线干扰无线电时，影响通信的天文现象，因此中国首辆火星车“祝融号”发生短暂失联。已知地球与火星绕太阳做匀速圆周运动的方向相同。火星的公转周期为，地球公转周期为，“祝融号”在火星赤道表面做匀速圆周运动的周期为，“祝融号”的质量为，火星的半径为，万有引力常量为，则下列说法正确的是（　　） A．火星的第一宇宙速度大小为 B．太阳的质量为 C．火星的公转周期为大于地球公转周期 D．相邻两次“火星合日”的时间间隔为 【答案】ACD 【详解】A．“祝融号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动，由，解得火星质量 由，解得火星的第一宇宙速度大小，故A正确； B．火星和地球的公转轨道半径未知，所以无法求出太阳的质量，故B错误； C．根据开普勒第三定律可知，火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星的公转周期更大，故C正确； D．相邻两次“火星合日”的时间间隔满足 解得，故D正确。 故选ACD。 七、卫星的变轨和对接问题 关键理解：　　　　　　 　　　　　　　　　　 1.卫星发射及变轨过程概述。 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。 (2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2.三个运行物理量的大小比较。 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律=k可知T1<T2<T3。 考点1：卫星变轨问题中各物理量的比较 例12.（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图所示，某探测器在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，经过P点时启动点火装置，完成变轨后进入椭圆轨道Ⅱ运行，探测器（　　） A．在轨道Ⅰ上的运行周期小于在轨道Ⅱ上的运行周期 B．在轨道Ⅱ上经过P点时的速度小于经过Q点时的速度 C．在轨道Ⅰ上经过P点时启动点火装置加速，实现变轨 D．在轨道Ⅱ上经过P点的加速度小于在轨道Ⅰ上经过P点的加速度 【答案】B 【详解】A．根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅰ上的运行周期大于在轨道Ⅱ上的运行周期，故A错误； B．根据开普勒第二定律可知，在轨道Ⅱ上经过P点时的速度小于经过Q点时的速度，故B正确； C．根据变轨原理可知，探测器在轨道Ⅰ上经过P点时启动点火装置减速，做向心运动，实现变轨，故C错误； D．根据万有引力提供向心力有 解得 则在轨道Ⅱ上经过P点的加速度等于在轨道Ⅰ上经过P点的加速度，故D错误； 故选B。 考点2：卫星的对接问题 例13.（25-26高一下·湖南长沙·月考）(多选)如图所示，宇宙飞船a在轨道1上飞行，空间站b和另外一颗卫星c在轨道2上运行，三个物体均沿逆时针方向转动，则下列选项中正确的是（　　） A．若飞船a要对空间站b进行物资补给，直接加速可能实现对接 B．若卫星c欲与空间站b对接，直接加速可能实现对接 C．空间站b和卫星c在轨道2上所受的万有引力大小是相同的 D．飞船a从轨道1切换到轨道2后，加速度将变小 【答案】AD 【详解】A．飞船a加速后将脱离轨道1做离心运动，可以与空间站b对接，故A正确； B．卫星c加速后将脱离轨道2做离心运动，不可能沿虚线追上空间站b，故B错误； C．由万有引力公式可知，空间站b和卫星c的万有引力大小是否相同取决于它们的质量是否相同，缺少未知信息，故C错误； D．由万有引力提供向心力，有 解得，飞船a从轨道1切换到轨道2后，半径变大，可知加速度变小，故D正确。 故选AD。 八、双星和多星模型 关键理解：　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 1.双星模型。 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 (2)特点。 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即=m1r1，=m2r2。 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1=T2，ω1=ω2。 ③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。 ④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即=。 ⑤双星的运动周期T=2π。 ⑥双星的总质量m1+m2=。 2.多星模型。 (1)定义：所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。 (2)三星模型。 ①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。 ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。 (3)四星模型。 一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。 另一种是三颗质量相等的星体位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。 考点1：双星模型 例14.（25-26高三上·四川巴中·月考）(多选)中国科学家利用“中国天眼”在银河系发现一颗毫秒脉冲星PSRJ1928+1815，这颗脉冲星与伴星以3.6小时的极短周期相互绕转，这一发现由中国科学院国家天文台研究员韩金林团队完成，成果论文于2025年5月23日凌晨在国际学术期刊《科学》上在线发表。如图所示，质量分别为、的星体A、B在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点O旋转，测得两者之间的距离为L，已知引力常量为G。则（　　） A．A、B做圆周运动的角速度之比为 B．A、B做圆周运动的轨道半径之比为 C．A、B做圆周运动的线速度大小之比为 D．B做圆周运动的周期为 【答案】BD 【详解】A．两颗星体绕同一点O旋转，A、B做圆周运动的周期相同，角速度相同，故角速度之比为，故A错误； B．设A的轨道半径为，B的轨道半径为，两颗星体角速度相同，由万有引力提供向心力做圆周运动，有 化简得，故B正确； C．设A的线速度为，B的线速度为，由，可知线速度之比等于轨道半径之比，即，故C错误； D．B星体做圆周运动，由万有引力提供向心力，有 两颗星体间距离 两颗星体轨道半径之比为 解得， B做圆周运动的周期为，故D正确。 故选BD。 考点2：多星模型 例15.（24-25高二下·江苏南通·月考）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，求： (1)每颗星的加速度大小； (2)每颗星做圆周运动的周期； (3)若等边三角形的边长与每颗星的质量都变成两倍，则每颗星的线速度大小与之前线速度的比。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）以其中一颗星为研究对象，另外两颗星对它的万有引力的合力提供向心力，即 解得 （2）设三颗星到O点的距离均为r，则根据几何关系有 得 又 解得 （3）因，， 得 由此可知，若等边三角形的边长与每颗星的质量都变成两倍，则每颗星的线速度大小不变，即每颗星的线速度大小与之前线速度的比。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 天体运动---高一期中考试复习讲义 复习目标： 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并能用来解决相关问题。 2.掌握计算天体质量和密度的方法。 3.理解卫星围绕天体做匀速圆周运动的动力学规律，会比较卫星运动的各物理量之间的关系。 4.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。 5.会分析卫星的“追及”问题。 一、开普勒行星运动定律 概念梳理： 1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2.开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 3.开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 易错辨析： (1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点(√) (2)不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等(×) (3)根据开普勒第三定律，地球围绕太阳运动与月球围绕地球运动相比较，有=(×) 关键理解：　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。 2.应用微元法，结合开普勒第二定律可得v1·Δt·r1=v2·Δt·r2，解得=，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点的速度最大，远日点的速度最小。 3.开普勒第三定律=k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 例1：（24-25高一下·广东惠州·期中）北京2022年冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳全球。如图所示是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（　　） A．冬至时地球的运行速度最小 B．从冬至到春分的运行时间和夏至到秋分的运行时间相等 C．若用a代表行星绕日运动的椭圆轨道半长轴，T代表公转周期，，则地球和火星对应的k值是不同的 D．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上 二、万有引力定律 概念梳理： 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2.表达式：F=G，G为引力常量：G=6.67×10-11 N·m2/kg2。 3.适用条件。 (1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)公式适用于质量分布均匀的球体之间的相互作用，r是两球心间的距离。 易错辨析： (1)只有质量较大的天体之间才存在万有引力(×) (2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大(×) (3)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心 (√) 关键理解： 1.万有引力与重力的关系。 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 (1)在赤道上：G=mg1+mω2R。 (2)在两极上：G=mg0。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即=mg。 2.星球上空的重力加速度g'。 星球上空距离星体中心r=R+h处的重力加速度为g'，mg'=，得g'=，所以=。 考点1：万有引力定律的理解 例2.（24-25高一下·陕西渭南·期中）下列说法正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，行星运动的方向总是与它和太阳连线垂直 B．开普勒第二定律表明，行星离太阳越远，速度越大 C．由万有引力定律可知，当时， D．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力 考点2：重力和万有引力的关系 例3.（24-25高一下·山东日照·期中）关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是（　　） A．地面附近的物体所受的重力就是万有引力 B．由于地球的自转，物体在纬度越高的地方所受重力越大 C．物体在赤道上时，万有引力和重力的合力提供物体随地球自转所需的向心力 D．地球上的所有物体都会在万有引力、重力和支持力三个力的作用下处于平衡状态 考点3：补偿法求万有引力 例4.（24-25高一下·广东深圳·期中）有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点，两者之间的万有引力大小为。现从球体中挖去一个半径为的小球体，如图所示，剩余球体部分对质点的万有引力大小为，则的值为（　　） A． B． C． D． 思维提升： 补偿法求非对称物体间的万有引力 球内挖去一部分后则变成非对称球，无法直接使用万有引力定律求解，此时可用“先补后减”的方法。这是一种解决问题的科学思维，即先把挖去的部分用同密度的物质“填补”上，使其成为规则的球体，再根据万有引力定律，分别计算出大球和“填补”上的小球对物体的万有引力，最后两引力相减即可得到结果。 考点4：地球表面下万有引力的计算 例5.（24-25高一下·北京·期中）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某天体的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。若在该天体内部挖出一半径r=的巨大球形空腔（挖出的物质运走至无穷远处），空腔与天体表面相切，如图所示。O和O′分别为该天体和空腔的球心，空腔内Q点与球心O′的距离为，Q、O′和O在同一直线上。则质量为m的质点在Q处受到天体剩余部分的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 思维提升： 星体内部万有引力的两个推论 (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零。 (2)推论2：在半径为R的匀质球体内部，距离球心r(r<R)处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对它的万有引力，即F=G。 三、天体质量和密度的计算 关键理解： 天体质量和密度的估算方法。 1.重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 2.天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G=m得天体的质量M=。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 考点1：“重力加速度法”计算天体质量和密度 例6.（24-25高一下·贵州毕节·期中）如图所示，固定在地面上的斜面，斜面的高度为，底边的长度为，在斜面的顶点沿水平方向以抛出一个小球，经时间时落回该斜面，已知地球半径，引力常量为。设地球的质量为，地球的平均密度为，地球表面的重力加速度为，则（　　） A． B． C． D． 考点2：“环绕法”计算天体质量和密度 例7.（24-25高一下·河北·期中）假如你将来成为一名航天员并成功登陆火星，你驾驶一艘宇宙飞船飞临火星表面轨道，当你关闭动力装置后，你的飞船紧贴着火星表面做匀速圆周运动飞行一周的时间为T，已知火星的半径为R，引力常量为G，火星可视为质量分布均匀的球体，不考虑火星自转影响。已知球的体积公式为，求： (1)飞船绕火星表面做匀速圆周运动的向心加速度大小； (2)火星的密度； (3)火星表面重力加速度g。 四、卫星运行参量的分析 概念梳理： 1.卫星运动模型。 无论自然天体(如地球、月球)还是人造卫星在粗略计算中，可近似看成质点，围绕中心天体做匀速圆周运动。 2.基本公式。 (1)线速度大小：由G=m得v=。 (2)角速度：由G=mω2r得ω=。 (3)周期：由G=mr得T=。 (4)向心加速度：由G=man得an=G。 结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大。 3.人造卫星。 (1)人造卫星的轨道：如图所示，卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和倾斜轨道，同步卫星中的静止轨道是赤道轨道。 (2)极地轨道：极地轨道卫星运行时每圈都经过南北两极的上空，由于地球自转，极地轨道卫星可以实现全球覆盖，如气象卫星。 (3)同步卫星。 ①轨道平面与赤道共面，且与地球自转方向相同。 ②周期与地球自转周期相同，T=24 h。 ③高度固定不变，h=3.6×107 m。 ④运行速率均为3.1 km/s。 (4)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r=R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度，运行周期约为85 min。 关键理解： 解答卫星运动问题常用的两个思路。 (1)万有引力提供向心力，即G=m=mω2r=mr=man。 (2)天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即G=mg，整理得gR2=GM，在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。 例8.（24-25高一下·云南玉溪·期中）(多选)太空电梯是人类构想的一种通往太空的设备，其基座固定在地球赤道上，用一根竖直的缆绳与距地面高度约3.6×107米的地球同步轨道上的太空站相连，如图所示，升降舱可以将乘客送入太空站内。设地球半径为R，同步轨道上的太空站离地面的高度为5.6R，当升降舱停在离地球表面高度为2.3R处时，它绕地心做圆周运动的线速度大小为v2，与它在相同高度绕地球做圆周运动的卫星线速度大小为v3，同步轨道上的太空站的线速度大小为v4，地球的第一宇宙速度为v1，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 例9.（24-25高一下·北京东城·期中）如图所示，a为静止在地球赤道上的物体，b为离地面400km高的低轨道卫星，c为离地面36000km高的地球同步卫星，下列说法中正确的是（　　） A．线速度的大小关系为 B．向心加速度的关系为 C．周期关系为 D．同步卫星c的发射速度要大于11.2km/s 思维提升： 寻找相同点，巧妙比较各物理量 (1)近地卫星与同步卫星的运行原理相同，均由万有引力提供向心力，由于r近<r同，所以a近>a同，v近>v同，ω近>ω同，T近<T同。 (2)同步卫星与赤道上的物体周期(或角速度)相同，均等于地球自转周期(或角速度)，由于r物<r同，所以a物<a同，v物<v同。 (3)近地卫星和赤道上的物体的轨道半径相同，但两者的运行原理不同，前者由万有引力提供向心力，后者由万有引力的分力提供向心力。两者的加速度、线速度、角速度、周期等物理量可通过同步卫星间接比较。 五、宇宙速度 概念梳理： 1.三种宇宙速度。 (1)第一宇宙速度：v1=7.9km/s，地球卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度。 (2)第二宇宙速度：v2=11.2km/s，物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 (3)第三宇宙速度：v3=16.7km/s，物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 2.第一宇宙速度的计算方法。 (1)由G=m得v=。 (2)由mg=m得v=。 例10.（2026高一下·全国·专题练习）(多选)中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶号”运载火箭发射前往火星。已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的。下列关于火星探测器的说法中正确的是（　　） A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可能 C．发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度 D．火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的 六、卫星的“追及”问题　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 关键理解：　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　在不同圆周轨道上绕同一天体运动的两个行星(或卫星)，某一时刻会出现三者排成一条直线的“行星冲日”现象。即天体(或卫星)的“追及、相遇”现象。此类问题的两种情形(以同向转动为例)： (1)相距最近。 两同心转动的卫星同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相距最近到下一次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA-ωB)t=2π或-=1。 (2)相距最远。 两同心转动的卫星同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA-ωB)t=π或-=。 例11.（2025·贵州遵义·模拟预测）(多选)北京时间2021年9月中旬至10月下旬出现了“火星合日”现象，即当火星和地球分别位于太阳两侧与太阳共线干扰无线电时，影响通信的天文现象，因此中国首辆火星车“祝融号”发生短暂失联。已知地球与火星绕太阳做匀速圆周运动的方向相同。火星的公转周期为，地球公转周期为，“祝融号”在火星赤道表面做匀速圆周运动的周期为，“祝融号”的质量为，火星的半径为，万有引力常量为，则下列说法正确的是（　　） A．火星的第一宇宙速度大小为 B．太阳的质量为 C．火星的公转周期为大于地球公转周期 D．相邻两次“火星合日”的时间间隔为 七、卫星的变轨和对接问题 关键理解：　　　　　　 　　　　　　　　　　 1.卫星发射及变轨过程概述。 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。 (2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2.三个运行物理量的大小比较。 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律=k可知T1<T2<T3。 考点1：卫星变轨问题中各物理量的比较 例12.（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图所示，某探测器在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，经过P点时启动点火装置，完成变轨后进入椭圆轨道Ⅱ运行，探测器（　　） A．在轨道Ⅰ上的运行周期小于在轨道Ⅱ上的运行周期 B．在轨道Ⅱ上经过P点时的速度小于经过Q点时的速度 C．在轨道Ⅰ上经过P点时启动点火装置加速，实现变轨 D．在轨道Ⅱ上经过P点的加速度小于在轨道Ⅰ上经过P点的加速度 考点2：卫星的对接问题 例13.（25-26高一下·湖南长沙·月考）(多选)如图所示，宇宙飞船a在轨道1上飞行，空间站b和另外一颗卫星c在轨道2上运行，三个物体均沿逆时针方向转动，则下列选项中正确的是（　　） A．若飞船a要对空间站b进行物资补给，直接加速可能实现对接 B．若卫星c欲与空间站b对接，直接加速可能实现对接 C．空间站b和卫星c在轨道2上所受的万有引力大小是相同的 D．飞船a从轨道1切换到轨道2后，加速度将变小 八、双星和多星模型 关键理解：　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 1.双星模型。 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 (2)特点。 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即=m1r1，=m2r2。 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1=T2，ω1=ω2。 ③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L。 ④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即=。 ⑤双星的运动周期T=2π。 ⑥双星的总质量m1+m2=。 2.多星模型。 (1)定义：所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。 (2)三星模型。 ①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。 ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。 (3)四星模型。 一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。 另一种是三颗质量相等的星体位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。 考点1：双星模型 例14.（25-26高三上·四川巴中·月考）(多选)中国科学家利用“中国天眼”在银河系发现一颗毫秒脉冲星PSRJ1928+1815，这颗脉冲星与伴星以3.6小时的极短周期相互绕转，这一发现由中国科学院国家天文台研究员韩金林团队完成，成果论文于2025年5月23日凌晨在国际学术期刊《科学》上在线发表。如图所示，质量分别为、的星体A、B在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点O旋转，测得两者之间的距离为L，已知引力常量为G。则（　　） A．A、B做圆周运动的角速度之比为 B．A、B做圆周运动的轨道半径之比为 C．A、B做圆周运动的线速度大小之比为 D．B做圆周运动的周期为 考点2：多星模型 例15.（24-25高二下·江苏南通·月考）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，求： (1)每颗星的加速度大小； (2)每颗星做圆周运动的周期； (3)若等边三角形的边长与每颗星的质量都变成两倍，则每颗星的线速度大小与之前线速度的比。 学科网（北京）股份有限公司 $