23.4 课时1 建立一次函数模型 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数模型的建立与应用，核心内容包括利用一次函数解决实际问题及构建分段函数模型。通过日常生活问题导入，衔接一次函数概念，以“抽象问题—求解析式—分析解决”步骤搭建学习支架，引导学生从具体情境过渡到数学抽象。 其亮点在于以真实情境任务（玉米种子购买、注水倒空问题）为载体，培养数学眼光（抽象变量关系）、数学思维（分段推理分析）和数学语言（分段函数表达）。通过“四步法”归纳建模流程，结合图象分析与分层练习，助力学生提升实际问题转化能力，为教师提供结构化、可操作的教学资源。

23.4 实际问题与一次函数 第二十三章 一次函数 课时1 建立一次函数模型 M A T H 22051 01 能够应用一次函数解决实际问题. 02 能根据实际问题中的文字信息或图象信息，建立分段函数模型. 学习目标 M A T H 22051 在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画，那如何用一次函数解决实际问题呢？ ①将实际问题抽象为一次函数问题； ②根据条件求得一次函数的解析式； ③结合一次函数的图象和性质分析并解决问题. 新知导入 M A T H 22051 任务一：应用一次函数解决实际问题. 活动：某玉米种子的价格为40元/kg，若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打6折． （1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象； （2）一次购买4 kg玉米种子，需付款多少元. 探究学习 M A T H 22051 思考：(1)问题中哪个量是自变量？哪个量是自变量的函数？ (3)画函数图象时应注意什么问题？ (4)求所需付款金额时应注意什么问题？ (2)你能写出函数解析式吗？ 探究学习 M A T H 22051 某玉米种子的价格为40元/kg，若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打6折． (1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象： 分析：付款金额与种子价格有关. 而种子价格不是固定不变的，它与购买量有关. 因此，写函数解析式与画函数图象时，应分0≤x≤2和x>2讨论. 解：(1)设购买量为 x kg，付款金额为 y 元. 当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y=40x； 当x＞2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价，其余的(x-2)kg（即超过2kg部分按24元/kg（即六折）计价， 函数解析式为y=40×2+24(x-2)=24x+32. 探究学习 M A T H 22051 某玉米种子的价格为40元/kg，若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打6折． (1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象： 分析：付款金额与种子价格有关. 而种子价格不是固定不变的，它与购买量有关. 因此，写函数解析式与画函数图象时，应分0≤x≤2和x>2讨论. 也可以这样表示： 分段函数 探究学习 M A T H 22051 函数图象如图所示. y = 24x+32(x>2) y = 40x (0≤x≤2) y x O 1 2 80 3 104 探究学习 M A T H 22051 某玉米种子的价格为40元/kg，若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打6折． (2)一次购买4 kg玉米种子，需付款多少元. （2）因为4＞2，所以 y=24×4+32=128. 因此，一次购买4kg种子，需付款128元. 探究学习 M A T H 22051 抽象一次函数模型的“四步法”： 定变量：找准谁是自变量x，谁是自变量的函数y. 找关系：分析y是如何随着x的变化而变化的．寻找“初始值”(对应b)和“单位变化量”(对应k)． 建模型：根据关系写出y＝kx＋b. 释意义：解释k和b在实际问题中的具体含义． 归纳 M A T H 22051 任务二：能建立分段函数模型. 活动：与同学交流，解决下列问题： 有一个容积为 2 升的圆柱形开口空瓶，小明以 0.8 升/秒的速度匀速向空瓶注水，注满后停止，等 3 秒后，再以 1 升/秒的速度匀速倒空瓶中的水，设所用时间为 x秒，瓶内水的体积为 y 升，y 与 x 的函数关系图象如图所示. x O y c b a 2 问题1：该图中a＝ ；b＝ ；c＝ ； 2.5 7.5 5.5 问题2：该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？ 既不是正比例也不是一次函数，这是分段函数. 探究学习 M A T H 22051 分段函数：在一个变化过程中，函数 y 随自变量 x 变化的函数解析式有时要分成几部分，这样在确定函数解析式或函数图象时，要根据自变量的取值范围分段描述，这种函数通常称为分段函数. x O y 7.5 5.5 2.5 2 归纳 M A T H 22051 问题3：该函数分成了几段？ 3段 问题4：怎样求该函数的解析式呢？ 该函数分成了三段，所以应根据自变量的不同取值范围，求其对应的函数关系的表达式. x O y 7.5 5.5 2.5 2 探究学习 M A T H 22051 分析：①当 0≤x＜2.5 时，该图象为经过原点的线段，可知这段图象对应的为正比例函数图象，所以其对应的解析式为正比例函数解析式. 解：当 0≤x≤2.5 时，可设此时函数解析式为 y = k1x. ∵图象经过了 (2.5，2)， ∴代入可得 2 = k1×2.5， 解得 k1 = 0.8. 即 y = 0.8x. x O y 7.5 5.5 2.5 2 探究学习 M A T H 22051 分析：②当 2.5＜x≤5.5 时，该图象为平行 x 轴的线段，即在此范围内，函数值始终不变. x O y 7.5 5.5 2.5 2 解：当 2.5＜x≤5.5 时，y = 2. 分析：③当 5.5＜x≤7.5 时，该图象为一条不过原点的线段，可知这段图象对应的为一次函数函数图象，所以其对应的解析式为一次函数解析式. 解：当 5.5＜x≤7.5 时，可设此时函数解析式为 y = k2x + b， ∵图象经过了(5.5，2)和(7.5，2) 即 y = -x + 7.5. 可得 5.5k2 + b = 2， 7.5k2 + b = 2， 解得 k2 = -1， b = 7.5， 探究学习 M A T H 22051 x O y 7.5 5.5 2.5 2 综上所述：此函数图象的解析式为 y = 0.8x ( 0≤x≤2.5 )， 2 ( 2.5＜x≤5.5)， -x + 7.5 ( 5.5＜x≤7.5 ) 探究学习 M A T H 22051 对于分段函数， 一要注意自变量的取值范围； 二要注意分段讨论. 同时，在看图获取信息时，不仅要注意坐标轴所表示的量是什么，还要抓住图中的一些关键点（起点、终点、拐点）所反映出来的信息. 归纳 M A T H 22051 针对本节课的关键词“实际问题与一次函数”，“分段函数”，说说你都学到了哪些知识？ 分段函数 一次函数的图象和性质 实际问题 课堂小结 M A T H 22051 1.歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地.某快递公司的收费标准为：物品不超过 3 kg需付 13 元，以后每增加 1 kg(不足 1 kg按 1 kg计)需增加托运费 1.5 元.直接写出歇马杏的托运量 x (单位：kg)(x＞3)与托运费用y (单位：元)的函数关系式 为　 　. y＝1.5x＋8.5 基础 随堂小练 M A T H 22051 2.某实践小组观察记录了莴笋的成长过程，如图表示的是一种莴笋的高度y(cm)与观察时间x(天)之间的函数图象．由图象可知，这种莴笋可能达到的最大高度是________． 32 cm 基础 随堂小练 M A T H 22051 3.为了鼓励居民节约用电，某电力公司按月用电量分段收费，居民每月应缴电费 y 元与月用电量 x kW·h 的函数图象是一条折线(如图所示). 根据图象解答下列问题： (1)求出 y 与 x 之间的函数表达式； 提升 随堂小练 M A T H 22051 解：(1) 当 0≤x≤100 时，设 y = k1x. 把 (100，65) 代入，得 100k1= 65， 解得 k1 = 0.65，所以 y = 0.65x. 当 x > 100 时，设 y = k2x + b. 把 (100，65)，(130，89) 分别代入， 得 100k2+ b = 65， 130k2+ b = 89. 解得 k2 = 0.8， b =－15. 所以 y = 0.8x－15. 所以y与x之间的函数表达式为 0.65x，(0≤x≤100)， 0.8x－15，(x＞100). y = 提升 随堂小练 M A T H 22051 (2)若某用户某月应缴电费 105 元，则该用户当月用了多少电？ (2) 因为 105 > 65，所以 x > 100. 将 у = 105 代入 y = 0.8x－15， 得 0.8x－15 = 105， 解得 x = 150. 所以该用户当月用了 150 kW·h电. 提升 随堂小练 M A T H 22051 $