专题05 四边形与坐标系中压轴新考法与几何模型8大题型（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题05 四边形与坐标系中压轴新考法与几何模型 题型1 多结论与最值问题 题型5 十字架模型与半角模型 题型2 实践操作题 题型6 新定义与阅读理解 题型3 翻折问题 题型7 动点存在性问题 题型4 旋转问题 题型8坐标系中的图形问题 题型1 多结论选择题（共5小题） 1．(25-26八·上海闵行区浦江第一中学·)如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．(25-26八·上海青浦平和双语学校·)如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，则③，其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3．个 3．(25-26·上海蒙山中学·)如图，在中，，点，，分别是边、、上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确的结论有（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 4．(25-26八·上海民办华曜宝山实验学校·)如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 5．(25-26八·上海航华中学·)如图：在中，，，是斜边上的一个动点，，，垂足分别为，，则的最小值为（    ）    A．6 B． C．5 D． 题型2 实践操作题（共7小题） 6．(25-26八下·上海交通大学附属第二中学·)如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形． 乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形． 根据两人的作法可判断（） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 7．(24-25八下·上海存志学校·期中)如图矩形纸片，为中点，将纸片沿着直线剪成两部分，这两部分纸片重新拼成，如果为等腰直角三角形，矩形的长宽恰好是的两个实数根，则矩形纸片的面积是_____________． 8．(25-26八下·上海交通大学附属第二中学·)如图，菱形的边长为5，点在边上，连结，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长度为___________． 9．(25-26八下·上海世外中学·)仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） (1)如图1，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． ①画出的中点F； ②在上画出点H，使得． (2)如图2，在正方形中，E为上一点，在上画点M，使得． 10．(25-26八下·上海世外中学·)【情境】图1是由正方形纸片去掉一个以中心为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 【操作】嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： (1)直接写出线段的长； (2)直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 【探究】 (3)淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 11．(25-26八下·上海交通大学附属第二中学·)同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： ①两个直角三角形的直角边（结果用表示）： ______，______，______． ②小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； ______，______，______． (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出三角形的边． 12．(25-26八下·上海民办华育中学·)物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系．2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积．3．确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标．4．代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为：其中， 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（x轴、轴1个单位长度表示） 任务3：阴影部分图形的重心坐标是_____；（取3） 题型3折叠问题（共22小题） 13．(25-26八下·上海民办华育中学·)如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 14．(23-24八下·上海徐汇区部分学校·期中)如图，在中，，点在边上，将沿直线翻折后，点落在点处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么__________． 15．(24-25八下·上海存志学校·期中)如图，在中，，点在边上，将沿直线翻折后，点落在点处，如果四边形是平行四边形，那么________________． 16．(24-25八下·上海延安实验初级中学·期中)6．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是________． 17．(25-26八下·上海曹杨第二中学附属学校·)如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为______． 18．(25-26八下·上海世外中学·)如图，已知平行四边形中，，，将三角形沿着翻折，点落在点处，若，那么的长为__________． 19．(24-25八下·上海金山区·期中)如图，在中，，，．点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，连接．当是直角三角形时，的长为________． 20．(24-25八下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)0．如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为________． 21．(24-25八下·上海中国中学·期中)1．已知四边形是矩形，点是边的中点，以直线为对称轴将翻折至，联结，那么图中与相等的角（除外）的个数为________． 22．(25-26八·上海民办浦东交中初级中学·)如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=，E、F分别是AD、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形，交AD于点G，若△EFG有两个相等的角，则∠EFG =__________． 23．(25-26八下·上海民办华育中学·)如图，在矩形中，，，点在边上运动，连接，将沿折叠，点落在点处，当为等腰三角形时，的长为_____． 24．(25-26八下·上海浦东新区实验学校·)如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF，MN对折，得到五边形GEFNM．其中，顶点A与D重合于点G，重叠部分GHIJ为正方形，顶点I在EM上，若FN =cm，EM =10cm，则BC长为__________cm． 25．(25-26八·上海闵行区浦江第一中学·)如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为__________． 26．(24-25八下·上海青浦区实验中学·期中)已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是______． 27．(24-25八下·上海梅陇中学·期中)如图，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点，若的面积为，则的取值范围是______． 28．(25-26八下·上海静安区彭浦第三中学·)如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为____． 29．(25-26八·上海民办浦东交中初级中学·)在平行四边形中，点是的中点，连结，将沿直线翻折，得到．      (1)如图1，延长交于点，求证：； (2)如图2，连结并延长交于，求证：； (3)当，时，求线段的长． 30．(25-26八·上海航华中学·)已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．    (1)如图（1），若点在上，求证：； (2)如图（2），若，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 31．(24-25八下·上海金山区·期中)综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 32．(25-26八下·上海民办华育中学·)【模型建立】（1）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，，连接，探究线段之间的数量关系．小明发现可以将沿折叠，沿折叠，和恰好重合在上，进而利用折叠的性质来证明此问题．请你根据小明的解题方法探究之间的数量关系； 【类比探究】（2）如图，在等腰直角中，，点在边上，连接，，探究线段之间的数量关系； 【拓展迁移】（3）如图，在中，于点，若，，，求的面积． 33．(25-26八·上海静安区北初级中学北校·)综合实践 项目主题 “校园智慧菜园”折叠规划设计 项目情境 某校“智慧菜园”是一块矩形种植区．数学兴趣小组按的比例绘制出它的图纸．图纸为矩形，，．小组随后对该图纸进行了折叠操作研究，具体操作如图所示．   （1）对折矩形菜园图纸，使与重合，得到折痕，展平图纸； （2）再次折叠图纸，使点落在上的点处，得到折痕，． 任务一 在“智慧菜园”的生菜种植区中，计划沿该区域的边布设一条防虫网，求所需防虫网的实际长度． 任务二 为了合理规划种植卷心菜的株数，工作人员对项目情境再次进行操作；延长交于点，延长交于点，连接．已知一株卷心菜合理种植面积是，求种植区四边形最多种植几株卷心菜．（取）    34．(23-24八下·上海普陀区·期中)小普同学在折叠平行四边形纸片的过程中发现：如果把平行四边形沿指它的一条对角线翻折，会得到很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，可以得到． (1)如图1，如果与相交于点O，求证； (2)如图2，如果，当为顶点的四边形是矩形时，求出的长； (3)如图3，如果，当是直角三角形时，直接写出的长． 题型4 旋转问题（共6小题） 35．(25-26八·上海民办浦东交中初级中学·)如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角__________°． 36．(25-26八·上海青浦平和双语学校·)在矩形中，，对角线、交于，为的中点，将绕点顺时针旋转，使点恰好落在点处，点落在点，那么 ______． 37．(25-26八下·上海梅陇中学·)如图，在矩形中，，，点E、F分别是、的中点，将绕点A旋转得到，当点在直线上时，的长为______．    38．(25-26八下·上海宝山区宝莲中学·月考)【问题情境】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F． 【猜想证明】 (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 39．(25-26八下·上海交通大学附属第二中学·)将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 40．(25-26八·上海民办上宝中学·)在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数表达式：（不写定义域） ②如果．求证：． 题型5 十字架模型与半角模型（共7小题） 41．(25-26八·上海民办华曜宝山实验学校·)如图，在周长为8的菱形中，已知，点为对角线的中点，过点作射线，分别交，于点，，且，则和的面积和为________． 42．如图，在正方形中，点O是对角线的交点，过点O作射线分别交于点E、F，且，交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的有______．（填序号） 43．(25-26八下·上海曹杨第二中学附属学校·)综合与实践 如图1，在正方形中，点分别是边上的点，且． (1)求证：． (2)如图2，在图1的基础上，过点E作的垂线，与正方形的外角的平分线交于点N，连接．求证：四边形是平行四边形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若四边形的面积是25，，请直接写出的长度． 44．(25-26八下·上海静安区彭浦第三中学·)如图①，在正方形中，P为线段上的一个动点，线段于点E，交线段于点M，交线段于点N． (1)求证：； (2)如图②，若线段垂直平分线段，分别交，于点E，F．求证：． 45．(25-26八·上海闵行区浦江第一中学·)问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 46．(25-26·上海蒙山中学·)问题背景： 在一次数学活动课上，老师让同学们根据所学的知识去了解“半角模型”，并探究“半角模型”的相关结论． (1)初步探究：如图①，小明将一张正方形纸片折叠，使得，恰好都落在对角线上，展开正方形纸片后得到折痕，，求的度数； (2)深入探究：如图②，小华在图①的基础上，将绕点逆时针旋转一定的角度，使的两边分别交，于点，，连接，请你帮助小华判断线段，和之间存在怎样的数量关系，并证明； (3)拓展延伸：如图③，在正方形中，是上的一点，是延长线上一点，且，连接，过点作，垂足为点，交边于点．若，，求的面积． 47．(25-26八·上海青浦平和双语学校·)如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是___________． 题型6 新定义与阅读理解（共5小题） 48．(25-26八·上海青浦平和双语学校·)将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   49．(25-26八下·上海世外中学·)我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 50．(25-26八下·上海交通大学附属第二中学·)【阅读材料】 老师提出的问题∶ 同学们的方案∶ 如图，在平行四边形中，，为锐角．在对角线上如何确定点、 方案1∶分别作平分平分，交于点、． 的位置，使四边形为平行四边形？ 方案2∶取的两个三等分点、． 方案3∶在上任意取一点，连接，再以为圆心，长为半径画弧，交于点． 【解决问题】 (1)写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图1中画出图形，并说明理由； (2)除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由． 51．(25-26八·上海青浦平和双语学校·)我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”． (1)请从以下选项中选出属于“和谐四边形”的选项填在横线上． ___________ A．矩形    B．菱形    C．等腰梯形 (2)已知四边形是“和谐四边形”，对角线，平分于点若，求四边形面积___________． (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，平分，过点作交于点，交于点，．求证：四边形是“和谐四边形”． 52．(24-25八下·上海徐汇区位育中学·月考)在四边形中，，如果在四边形内部或边上存在一点P，满足，那么称点P是四边形的“映角点”． (1)如图①，在四边形中，，点P在边上且是四边形的“映角点”，若，则的度数为 °； (2)如图②．在四边形中，，点P在四边形内部且是四边形的“映角点”，延长交边于点E，求证：． 题型7 动点与存在性问题（共5小题） 53．如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________． 54．(25-26·上海蒙山中学·)在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当____________________时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 55．(25-26八下·上海世外中学·)在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； (2)若、分别从点、沿折线运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，求的值． 56．(25-26八下·上海梅陇中学·)【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 57．(25-26八下·上海民办华育中学·)已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 题型8坐标系中的图形问题（共7小题） 58．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为，则点的坐标为_____________． 59．(25-26八·上海静安区北初级中学北校·)如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是______． 60．(25-26八·上海民办华曜宝山实验学校·)如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、 相交于点E，，，如果轴，那么的长为________． 61．(25-26八下·上海民办华育中学·)如图，在平面直角坐标系中，点和点，连接，以为边作等边三角形，顶点为，过点作，分别交y轴、x轴于点、，再以为边作等边三角形，……，逐次作等边三角形，则第2017个等边三角形的顶点坐标是____． 62．(25-26八下·上海兰生中学·)如图，在单位长度为1的方格纸上，三角形，三角形，三角形，…是斜边在轴上、斜边长分别为的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中规律，点的坐标为______． 63．(25-26八·上海航华中学·)在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 64．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． (1)填空：点的坐标为 ， 度． (2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 四边形与坐标系中压轴新考法与几何模型 题型1 多结论与最值问题 题型5 十字架模型与半角模型 题型2 实践操作题 题型6 新定义与阅读理解 题型3 翻折问题 题型7 动点存在性问题 题型4 旋转问题 题型8坐标系中的图形问题 题型1 多结论选择题（共5小题） 1．(25-26八·上海闵行区浦江第一中学·)如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】上海市闵行区浦江第一中学2025-2026学年八年级第二学期数学节点练习 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得： 故，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 故四边形是菱形，故④正确． 四边形是菱形， ， ， ， ， 同理可得．故⑤正确． 故选：C． 2．(25-26八·上海青浦平和双语学校·)如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，则③，其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3．个 【答案】C 【来源】上海青浦平和双语学校2025－2026学年八年级下册数学第一次阶段性作业 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴ ， 同理可证 ，， ∴图中共有6对全等三角形，结论①错误； ∵四边形是平行四边形 ∴ ， 在中，根据三角形三边关系：， ∴，即 ∵ ∴，结论②正确 ∵ ∴​， ∵​，​ ∴​， ∵​， ∴​， ∵​， ∴，结论③正确 综上，正确的结论是②和③．即选项C符合题意． 3．(25-26·上海蒙山中学·)如图，在中，，点，，分别是边、、上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确的结论有（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【来源】上海市蒙山中学2025－2026学年第二学期初二学情自测数学试卷 【详解】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 4．(25-26八·上海民办华曜宝山实验学校·)如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【来源】上海民办华曜宝山实验学校2025--2026学年第二学期八年级 数学 第一次当堂练习 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 5．(25-26八·上海航华中学·)如图：在中，，，是斜边上的一个动点，，，垂足分别为，，则的最小值为（    ）    A．6 B． C．5 D． 【答案】D 【来源】上海市航华中学2025--2026学年第二学期3月八年级数学节点式作业 【详解】解：连接，如图所示，   ，，， 四边形为矩形， ， 值最小， 值最小， . 在中，，， ， ， . 的最小值为. 故选：D. 题型2 实践操作题（共7小题） 6．(25-26八下·上海交通大学附属第二中学·)如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形． 乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形． 根据两人的作法可判断（） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【答案】C 【来源】上海交通大学附属第二中学2025-2026学年八年级下学期数学3月学情自测试卷 【详解】甲和乙的作法都正确： 理由是： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC． ∴∠DAC=∠ACN． ∵MN是AC的垂直平分线， ∴AO=CO． 在△AOM和△CON中， ∵∠MAO=∠NCO，AO=CO，∠AOM=∠CON， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴MO=NO． ∴四边形ANCM是平行四边形． ∵AC⊥MN， ∴四边形ANCM是菱形． 如图， ∵AD//BC， ∴∠1=∠2，∠6=∠4． ∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD， ∴∠2=∠3，∠5=∠6． ∴∠1=∠3，∠5=∠4． ∴AB=AF，AB=BE． ∴AF=BE． ∵AF//BE，且AF=BE， ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB=AF， ∴平行四边形ABEF是菱形． 故选C． 7．(24-25八下·上海存志学校·期中)如图矩形纸片，为中点，将纸片沿着直线剪成两部分，这两部分纸片重新拼成，如果为等腰直角三角形，矩形的长宽恰好是的两个实数根，则矩形纸片的面积是_____________． 【答案】8 【来源】上海市存志学校2024—2025学年下学期期中质量调研八年级数学试题 【详解】解：∵矩形纸片，为中点，将纸片沿着直线剪成两部分，这两部分纸片重新拼成， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵矩形的长宽恰好是的两个实数根， ∴，， ∴，， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴， ∴矩形纸片的面积是， 故答案为∶ 8． 8．(25-26八下·上海交通大学附属第二中学·)如图，菱形的边长为5，点在边上，连结，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长度为___________． 【答案】 【来源】上海交通大学附属第二中学2025-2026学年八年级下学期数学3月学情自测试卷 【详解】解：由题意得可得，连接，过点分别作，，垂足为点， 设，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 9．(25-26八下·上海世外中学·)仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） (1)如图1，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． ①画出的中点F； ②在上画出点H，使得． (2)如图2，在正方形中，E为上一点，在上画点M，使得． 【来源】上海市世外中学2025-2026学年下学期3月八年级数学学情自测 【分析】（1）①连接平行四边形的对角线、交于点，连接延长交于点，点F即为所求中点； ②连接延长交于点，点H即为所求，满足； （2）连接正方形的对角线、交于点O，连接交于点P，连接并延长交于M，点M即为所求，满足． 【详解】（1）解：①如图，点即为所求； ②如图，点即为所求； 证明：四边形是平行四边形， 、， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，点即为所求； 证明：四边形是正方形， 垂直平分、、， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 10．(25-26八下·上海世外中学·)【情境】图1是由正方形纸片去掉一个以中心为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 【操作】嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： (1)直接写出线段的长； (2)直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 【探究】 (3)淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 【答案】(1)1 (2)，， (3)见解析，或 【来源】上海市世外中学2025-2026学年下学期3月八年级数学学情自测 【详解】（1）解：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴， 由拼接可得：， 由正方形的性质可得：， ∴，，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴，， ∴， ∵正方形的边长为， ∴正方形的对角线的长为， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴与相等的线段有，； （3）解：根据题意可知，需要裁剪出一个两直角边为，斜边为2的等腰直角三角形来填补在等腰的位置， 如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线， 此时，，符合要求， 或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线， 此时，， ∴， 综上：的长为或． 11．(25-26八下·上海交通大学附属第二中学·)同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： ①两个直角三角形的直角边（结果用表示）： ______，______，______． ②小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； ______，______，______． (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出三角形的边． 【答案】(1)①；； ②；；． (2)画图见解析 【来源】上海交通大学附属第二中学2025-2026学年八年级下学期数学3月学情自测试卷 【详解】（1）解：①作和的高，两个直角三角形斜边上的高都为，如图， 则：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ，则， ， 故答案为：；； ②， ， 平行四边形为矩形， ，， ； 故答案为：；；． （2）解：①顶角为时，如下图： ②顶角为时，如下图： 12．(25-26八下·上海民办华育中学·)物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系．2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积．3．确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标．4．代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为：其中， 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（x轴、轴1个单位长度表示） 任务3：阴影部分图形的重心坐标是_____；（取3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【来源】上海民办华育中学2025-2026学年八年级下学期3月阶段检测数学试题 【详解】解：任务1：∵矩形重心坐标为，矩形面积为，直角三角形重心坐标为，三角形面积为， ， ， ∴梯形薄板的重心坐标为； 任务2：如下图， ∵矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， ， ， ∴薄板的重心坐标为； 任务3：如图所示， 正方形的重心坐标为，即，面积为， 正方形的重心坐标为，即，面积为， 正方形内的空心圆的重心坐标为，面积为， 的重心坐标为，即，面积为， ∴正方形（含挖空）的重心的横坐标为，纵坐标为， 根据题干所给公式计算整个阴影部分的重心的横坐标和纵坐标为： 整个阴影部分的重心的横坐标为， 纵坐标为， ∴整个阴影部分的重心的坐标为． 题型3折叠问题（共22小题） 13．(25-26八下·上海民办华育中学·)如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【来源】上海民办华育中学2025-2026学年八年级下学期3月阶段检测数学试题 【详解】解：， ， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 又的周长是， 故的周长是， 的周长为12， ， 故的周长是6， 故选：B． 14．(23-24八下·上海徐汇区部分学校·期中)如图，在中，，点在边上，将沿直线翻折后，点落在点处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么__________． 【答案】135° 【来源】上海市徐汇区部分学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【详解】解：延长到点，如图所示． 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 将沿直线翻折后，点落在点处， ， ， ． 故答案为：． 15．(24-25八下·上海存志学校·期中)如图，在中，，点在边上，将沿直线翻折后，点落在点处，如果四边形是平行四边形，那么________________． 【答案】 【来源】上海市存志学校2024—2025学年下学期期中质量调研八年级数学试题 【详解】解：∵将沿直线翻折后，点落在点处， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 16．(24-25八下·上海延安实验初级中学·期中)6．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【来源】上海市延安实验初级中学2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为： ． 17．(25-26八下·上海曹杨第二中学附属学校·)如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为______． 【答案】2 【来源】上海市曹杨第二中学附属学校2025-2026学年下学期3月八年级数学综合练习 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案：． 18．(25-26八下·上海世外中学·)如图，已知平行四边形中，，，将三角形沿着翻折，点落在点处，若，那么的长为__________． 【答案】 【来源】上海市世外中学2025-2026学年下学期3月八年级数学学情自测 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 由折叠可得，， 设与相交于点O， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，． 19．(24-25八下·上海金山区·期中)如图，在中，，，．点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，连接．当是直角三角形时，的长为________． 【答案】5或2 【来源】上海市金山区2024—2025学年下学期八年级数学期中考试卷 【详解】①当时，则在上，如图， ∵，，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴，即：； ②当，如图，则：， ∵翻折， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴； 故答案为：5或2． 20．(24-25八下·上海华东师范大学第二附属中学·期中)0．如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为________． 【答案】 【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2024—2025学年下学期八年级数学期中试卷 【详解】解：连接， ∴正方形中，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 21．(24-25八下·上海中国中学·期中)1．已知四边形是矩形，点是边的中点，以直线为对称轴将翻折至，联结，那么图中与相等的角（除外）的个数为________． 【答案】4 【来源】上海市中国中学2024—2025学年下学期八年级数学期中试卷 【详解】解：由折叠知，，， 点是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 22．(25-26八·上海民办浦东交中初级中学·)如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=，E、F分别是AD、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形，交AD于点G，若△EFG有两个相等的角，则∠EFG =__________． 【答案】或 【来源】上海民办浦东交中初级中学2025-2026学年第二学期阶段练习1八年级数学试卷 【详解】解：分三种情况： （1）当∠FGE＝∠FEG时， 设∠EFG＝x，则∠EFC＝x，∠FGE＝∠FEG＝， 在四边形GFCD中，由内角和为得： ， ∵∠C+∠D＝， ∴， 解得：； （2）当∠GFE＝∠FEG时， 在四边形GFCD中，由内角和为得：， 得，显然不成立， 即此种情况不存在； （3）当∠FGE＝∠GFE时， 同理有：， ∵∠C+∠D＝， ∴， 解得：， 故答案为：或． 23．(25-26八下·上海民办华育中学·)如图，在矩形中，，，点在边上运动，连接，将沿折叠，点落在点处，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】或 【来源】上海民办华育中学2025-2026学年八年级下学期3月阶段检测数学试题 【详解】解：∵将沿折叠，点落在点处， ∴， ∵矩形中，，， ∴ ∴ ①如图，当时， ∵ ∴ 过作，交于，交于，则垂直平分，垂直平分， 在中， ∴， 又∵ ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： ②当时， ∵， 在中，，不合题意， ③当时，如图，过点作于点，交于点，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， 在中， ∴ 设，则，，则 在中，， ∴ 解得： 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或 故答案为：或． 24．(25-26八下·上海浦东新区实验学校·)如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF，MN对折，得到五边形GEFNM．其中，顶点A与D重合于点G，重叠部分GHIJ为正方形，顶点I在EM上，若FN =cm，EM =10cm，则BC长为__________cm． 【答案】/ 【来源】上海市浦东新区实验学校2025-2026学年下学期八年级数学第三周周末作业 【详解】解：过I作IR⊥BC于R，如图： ∵一张矩形纸片ABCD沿EF，MN对折，得到五边形GEFNM，其中，顶点A与D重合于点G，FN=cm，EM=10cm， ∴∠IEF=∠BFE=∠EFJ，∠IMN=∠MNC=∠MNH，AB=GJ=CD=HG， ∴EI=FI，MI=NI， 设EI=FI=xcm，则MI=NI=EM-EI=（10-x）cm， ∵四边形GHIJ为正方形， ∴GH=HI=IJ=GJ，∠HIJ=90°=∠FIN， 在Rt△FIN中，， ∴， 解得或， 不妨取（x取结果相同）， 则EI=FI=（）cm，MI=NI=（）cm， ∵2S△FIN=FN·IR=FI·NI， ∴， ∴， ∴， ∵四边形GHIJ为正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 25．(25-26八·上海闵行区浦江第一中学·)如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为__________． 【答案】 【来源】上海市闵行区浦江第一中学2025-2026学年八年级第二学期数学节点练习 【详解】解：连接交于，过点作于，如图所示， 四边形为正方形， 四边形是梯形， 四边形的面积为，又， ， 设，则，， ，，， 四边形为矩形， ， , 四边形为矩形， , 点是点沿着的翻折点， ， ， ，又，， ， ， 在中，根据翻折特征，，利用勾股定理得， ，即， 解得， ， 故答案为：． 26．(24-25八下·上海青浦区实验中学·期中)已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是______． 【答案】或 【来源】 上海市青浦区实验中学2024—2025学年下学期八年级数学期中试卷 【详解】解：①如图，当时，交于点，过点E作交于点H，则， ∵四边形是矩形， ， 根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， 即， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； ②如图，时，过点E作交的延长线于点H，过点E作交于点F，则， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，，， 在中，， 设，， 在中，， 即， 解得：， ∴， 综上，或； 故答案为：或． 27．(24-25八下·上海梅陇中学·期中)如图，在中，，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点落在点处，其中，设与相交于点，若的面积为，则的取值范围是______． 【答案】 【来源】上海市梅陇中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【详解】解：当点，重合时，， 此时的面积最小， 过点作交的延长线于点， 在中，， ， ， ， ， 由折叠可得：， ， 的最小值为； 当点与点重合时，， 此时的面积最大， 过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， 在中，，， ，， 由折叠可得：，，，， ，， ，， 设，则， ， ， ， ， ， 解得：，即， ，即； 取值范围是， 故答案为：． 28．(25-26八下·上海静安区彭浦第三中学·)如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为____． 【答案】 【来源】上海市静安区彭浦第三中学2025-2026学年八年级下学期3月学情自测数学试卷 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 29．(25-26八·上海民办浦东交中初级中学·)在平行四边形中，点是的中点，连结，将沿直线翻折，得到．      (1)如图1，延长交于点，求证：； (2)如图2，连结并延长交于，求证：； (3)当，时，求线段的长． 【来源】上海民办浦东交中初级中学2025-2026学年第二学期阶段练习1八年级数学试卷 【详解】（1）证明：见图1，连接并延长交的延长线于，   ， ； ∵点是的中点， ； 在和中， ， ， ， 即为的中点； ∴； 又为的平分线，且设E点到的距离分别为， 则； ∴， ； ， ， 即， ， ； （2）证明：见图2，延长交于G，设与交于点，    由（1）知，为等腰三角形， 等腰三角的三线合一， ； 在和中， ， ， ， 垂直平分，； 又， ； ； ， 即四边形为平行四边形， ∴， 即； （3）解：同图2， ， ， ， ； 在中， ， ， ， ； 在直角三角形中， ， 为等腰直角三角形， ． 30．(25-26八·上海航华中学·)已知：在矩形中，，，点、分别在边、上，．将沿直线翻折得，连接．    (1)如图（1），若点在上，求证：； (2)如图（2），若，求的面积； (3)当为等腰三角形时，求线段的长． 【来源】上海市航华中学2025--2026学年第二学期3月八年级数学节点式作业 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折得， ∴，，， 又∵，， ∴， ∵点在上，即， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴； （3）解：当为等腰三角形时，分三种情况讨论， ①当时， ∴， 如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在上， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 此方程无解，故此情形不存在； ②当时，设，则， ∵折叠， ∴， 在中，， 即， 解得：； ③当时，过点作于点， ∴， 同（1）可得， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或． 31．(24-25八下·上海金山区·期中)综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 【答案】(1)； (2) (3) 【来源】上海市金山区2024—2025学年下学期八年级数学期中考试卷 【详解】（1）解：由折叠可知，，，， ∴，点是中点， 过点作于点，交于点，如图①所示： ∵， ， ∴由折叠可知：， ∴， ∴完美矩形的面积为：； （2）解：由折叠可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长； （3）解：连接，如图所示： 由折叠可得：点和分别是和的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴矩形的周长． 32．(25-26八下·上海民办华育中学·)【模型建立】（1）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，，连接，探究线段之间的数量关系．小明发现可以将沿折叠，沿折叠，和恰好重合在上，进而利用折叠的性质来证明此问题．请你根据小明的解题方法探究之间的数量关系； 【类比探究】（2）如图，在等腰直角中，，点在边上，连接，，探究线段之间的数量关系； 【拓展迁移】（3）如图，在中，于点，若，，，求的面积． 【答案】（1），理由见解析（2），理由见解析（3） 【来源】上海民办华育中学2025-2026学年八年级下学期3月阶段检测数学试题 【详解】（1）解：， 理由：由折叠可得，，， ∴，，，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴； （2）解：，理由： 如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 由旋转可得，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴； （3）解：如图所示，将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，交于点， ∴，，， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，，， 在中，由勾股定理，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 33．(25-26八·上海静安区北初级中学北校·)综合实践 项目主题 “校园智慧菜园”折叠规划设计 项目情境 某校“智慧菜园”是一块矩形种植区．数学兴趣小组按的比例绘制出它的图纸．图纸为矩形，，．小组随后对该图纸进行了折叠操作研究，具体操作如图所示．   （1）对折矩形菜园图纸，使与重合，得到折痕，展平图纸； （2）再次折叠图纸，使点落在上的点处，得到折痕，． 任务一 在“智慧菜园”的生菜种植区中，计划沿该区域的边布设一条防虫网，求所需防虫网的实际长度． 任务二 为了合理规划种植卷心菜的株数，工作人员对项目情境再次进行操作；延长交于点，延长交于点，连接．已知一株卷心菜合理种植面积是，求种植区四边形最多种植几株卷心菜．（取）    【答案】任务一：；任务二：272 【来源】上海市静安区市北初级中学北校2025－2026学年第二学期八年级数学阶段练习1（3月） 【详解】解：任务一：∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵图纸的绘制比例为， ∴所需防虫网的实际长度为：； 任务二：连接， ∵为折痕， ∴垂直平分， ∴， ∵由折叠所得， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵图纸的绘制比例为，图纸上， ∴实际， ∴实际四边形的面积为：， ∵一株卷心菜合理种植面积是， ∴四边形最多种植（株）卷心菜． 34．(23-24八下·上海普陀区·期中)小普同学在折叠平行四边形纸片的过程中发现：如果把平行四边形沿指它的一条对角线翻折，会得到很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，可以得到． (1)如图1，如果与相交于点O，求证； (2)如图2，如果，当为顶点的四边形是矩形时，求出的长； (3)如图3，如果，当是直角三角形时，直接写出的长． 【来源】上海市普陀区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴． 由折叠可知，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴； （2）解：分类讨论：①当四边形为矩形时，如图， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴； ②当四边形为矩形时，如图， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上可知当为顶点的四边形是矩形时，的长为或2； （3）解：如果，当是直角三角形时，直接写出的长． 解：分类讨论：①当时，如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴； ③当时，如图，作于点H， 由折叠可知， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴．　 ④当时，如图， 在平行四边形中，， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴； 综上可知的长为或或或． 题型4 旋转问题（共6小题） 35．(25-26八·上海民办浦东交中初级中学·)如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角__________°． 【答案】40 【来源】上海民办浦东交中初级中学2025-2026学年第二学期阶段练习1八年级数学试卷 【详解】解：∵绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：40． 36．(25-26八·上海青浦平和双语学校·)在矩形中，，对角线、交于，为的中点，将绕点顺时针旋转，使点恰好落在点处，点落在点，那么 ______． 【答案】 【来源】上海青浦平和双语学校2025－2026学年八年级下册数学第一次阶段性作业 【详解】解：如图所示， 由旋转的性质可知， 由矩形的性质可知， 为等边三角形， , ， 在中，由勾股定理得，， ， 又旋转角， ， ∴, 且， ∴, 为直角三角形， 在中，， 故答案为：． 37．(25-26八下·上海梅陇中学·)如图，在矩形中，，，点E、F分别是、的中点，将绕点A旋转得到，当点在直线上时，的长为______．    【答案】或 【来源】上海市梅陇中学2025-2026学年八年级下学期3月数学作业2 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 点E、F分别是、的中点， ，， ，四边形是矩形， ， 将绕点A旋转得到，点在直线上， ， 如图：当点在点F的右侧时，   ， ； 如图：当点在点E的左侧时，   ， 故答案为：或． 38．(25-26八下·上海宝山区宝莲中学·月考)【问题情境】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F． 【猜想证明】 (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 【来源】上海市宝山区宝莲中学2025－2026学年八年级下学期3月月考数学试卷 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴，． 又∵， ∴四边形是矩形． 又∵， ∴四边形是正方形． （2）；理由如下： 如图，过点D作于H， ∵，， ∵，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 又∵，， ∴（）， ∴． ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 39．(25-26八下·上海交通大学附属第二中学·)将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 【来源】上海交通大学附属第二中学2025-2026学年八年级下学期数学3月学情自测试卷 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形与四边形都是矩形，如图①，连接， ， ， 即， 将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2：连接， 根据旋转的性质可得：， 四边形是矩形， ，，， 即， 又， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （3）解：如图3，当点，在的同一侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 如图4：当点，在的异侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 综上所述，的值为或． 40．(25-26八·上海民办上宝中学·)在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数表达式：（不写定义域） ②如果．求证：． 【来源】上海市民办上宝中学2025-2026学年第二学期八年级阶段练习1 数学试卷 【详解】（1）解：如图， 由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴ ∵菱形， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， （2）解：如图，延长至点，使得，连接． ①由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ②∵，， ∴ 过点A作交延长线于G，过点H作于Q，如图， ∵菱形， ∴，，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型5 十字架模型与半角模型（共7小题） 41．(25-26八·上海民办华曜宝山实验学校·)如图，在周长为8的菱形中，已知，点为对角线的中点，过点作射线，分别交，于点，，且，则和的面积和为________． 【答案】1 【来源】上海民办华曜宝山实验学校2025--2026学年第二学期八年级 数学 第一次当堂练习 【详解】解：连接OB， 在菱形中，，周长为8， ∴∠BAD＝90°，即菱形是正方形，边长为2， ∴∠OBE＝∠OEF＝45°，BO＝CO，∠BOC＝90°， ∵， ∴∠BOE＝∠COF， ∴△BOE≌△COF， ∴S△BOE＝S△COF， ∴， ∵S△ABC＝， ∴，即和的面积和为1， 故答案为：1 42．如图，在正方形中，点O是对角线的交点，过点O作射线分别交于点E、F，且，交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②③④ 【来源】上海市松江区泗泾实验学校2025--学年第二学期八年级数学补充练习 【详解】解：∵正方形，， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，故③正确； ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 则正确的结论有①②③④． 43．(25-26八下·上海曹杨第二中学附属学校·)综合与实践 如图1，在正方形中，点分别是边上的点，且． (1)求证：． (2)如图2，在图1的基础上，过点E作的垂线，与正方形的外角的平分线交于点N，连接．求证：四边形是平行四边形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若四边形的面积是25，，请直接写出的长度． 【来源】上海市曹杨第二中学附属学校2025-2026学年下学期3月八年级数学综合练习 【详解】（1）解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：（2）证明：在上截取，连接，如图： 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 又由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：（3）解：∵， ∴， ∵四边形的面积是25， 故， ∴， ∵， ∴， 在中，． 44．(25-26八下·上海静安区彭浦第三中学·)如图①，在正方形中，P为线段上的一个动点，线段于点E，交线段于点M，交线段于点N． (1)求证：； (2)如图②，若线段垂直平分线段，分别交，于点E，F．求证：． 【来源】上海市静安区彭浦第三中学2025-2026学年八年级下学期3月学情自测数学试卷 【详解】（1）证明：如图①，过点B作交于点H，则． 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． ，即， ∴四边形为平行四边形， ， ； （2）证明：如图②，连接，，． 正方形是轴对称图形，F为对角线上的一点， ，． 垂直平分， ， ， ． ， ， ， ， ． 由（1），知， ， ． 45．(25-26八·上海闵行区浦江第一中学·)问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【来源】上海市闵行区浦江第一中学2025-2026学年八年级第二学期数学节点练习 【详解】（1）选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 由翻折得，垂直平分， 是等腰三角形，是的角平分线， ， 在中，，， 在中，，， ， ， ，， 在和中， ， ． 46．(25-26·上海蒙山中学·)问题背景： 在一次数学活动课上，老师让同学们根据所学的知识去了解“半角模型”，并探究“半角模型”的相关结论． (1)初步探究：如图①，小明将一张正方形纸片折叠，使得，恰好都落在对角线上，展开正方形纸片后得到折痕，，求的度数； (2)深入探究：如图②，小华在图①的基础上，将绕点逆时针旋转一定的角度，使的两边分别交，于点，，连接，请你帮助小华判断线段，和之间存在怎样的数量关系，并证明； (3)拓展延伸：如图③，在正方形中，是上的一点，是延长线上一点，且，连接，过点作，垂足为点，交边于点．若，，求的面积． 【来源】上海市蒙山中学2025－2026学年第二学期初二学情自测数学试卷 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质，得，， ， 即：； （2）解：， 证明如下：如下图所示，把绕点顺时针旋转得到， 点的对应点为点， ， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如下图所示：连接，，， 四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， 垂直平分， ， 设，则，， ， 在中，根据勾股定理可得：， 即：，解得， ，， ． 47．(25-26八·上海青浦平和双语学校·)如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是___________． 【答案】(1)；证明见详解 (2) (3)或 【来源】上海青浦平和双语学校2025－2026学年八年级下册数学第一次阶段性作业 【详解】（1）解：， 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 如图，作于，于， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵点在边的延长线上， ∴如图所示，为钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时，作于，于， 由（1）可得，四边形为矩形，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴，即， ∴； 当点在的延长线上时，作于，延长交于， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 题型6 新定义与阅读理解（共5小题） 48．(25-26八·上海青浦平和双语学校·)将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   【答案】3 【来源】上海青浦平和双语学校2025－2026学年八年级下册数学第一次阶段性作业 【详解】解：如图，取四边的中点，依次连接起来，设与交点M， ∴是的中位线， ，， 同理， ，，， ，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， 较短的“中对线”长度为． 故答案为：． 49．(25-26八下·上海世外中学·)我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 【答案】8或 【来源】上海市世外中学2025-2026学年下学期3月八年级数学学情自测 【详解】解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图1，当时，可得，， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为； 如图2，当时，可得，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， 四边形的周长为， 综上所述，四边形的周长为或． 50．(25-26八下·上海交通大学附属第二中学·)【阅读材料】 老师提出的问题∶ 同学们的方案∶ 如图，在平行四边形中，，为锐角．在对角线上如何确定点、 方案1∶分别作平分平分，交于点、． 的位置，使四边形为平行四边形？ 方案2∶取的两个三等分点、． 方案3∶在上任意取一点，连接，再以为圆心，长为半径画弧，交于点． 【解决问题】 (1)写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图1中画出图形，并说明理由； (2)除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由． 【来源】上海交通大学附属第二中学2025-2026学年八年级下学期数学3月学情自测试卷 【详解】（1）解：方案1和2正确； 选择方案1证明： 如图所示：   四边形是平行四边形， 平分平分， ∵ ∴， 在和中， ∴，， ∴ ∴ 所以四边形为平行四边形． 方案2证明： 如图：    根据题意得：， 四边形是平行四边形， ∴ ∴， 在和中， ∴，， ∴ ∴ 所以四边形为平行四边形． 方案3证明： 如图：    根据题意得：， 四边形是平行四边形， ∴ ∴， 根据已知得：，，， 无法根据边边角证出和全等， ∴无法得到四边形为平行四边形． （2）解：方案：在   上取点 E 、 F 使得    ， 如图所示：在上取点使得，    在和中， ∴， 所以四边形为平行四边形． 51．(25-26八·上海青浦平和双语学校·)我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”． (1)请从以下选项中选出属于“和谐四边形”的选项填在横线上． ___________ A．矩形    B．菱形    C．等腰梯形 (2)已知四边形是“和谐四边形”，对角线，平分于点若，求四边形面积___________． (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，平分，过点作交于点，交于点，．求证：四边形是“和谐四边形”． 【来源】上海青浦平和双语学校2025－2026学年八年级下册数学第一次阶段性作业 【详解】（1）解：菱形的两条对角线互相垂直，且两条对角线互相平分，符合“和谐四边形”的定义， 故选：B； （2）解：设与相交于点， ， 的面积为：， 的面积为：， 四边形的面积：， ， ， ， 故答案为：24； （3）证明：，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， （三线合一性质）， 四边形是“和谐四边形”． 52．(24-25八下·上海徐汇区位育中学·月考)在四边形中，，如果在四边形内部或边上存在一点P，满足，那么称点P是四边形的“映角点”． (1)如图①，在四边形中，，点P在边上且是四边形的“映角点”，若，则的度数为 °； (2)如图②．在四边形中，，点P在四边形内部且是四边形的“映角点”，延长交边于点E，求证：． 【来源】 上海市徐汇区位育中学2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（3月份）仿真卷1 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：60； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型7 动点与存在性问题（共5小题） 53．如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________． 【答案】1 【来源】上海市松江区泗泾实验学校2025--学年第二学期八年级数学补充练习 【详解】解：如图，连接， 、分别是线段、的中点， ， 最大时，最大， 当点与重合时，最大，此时， ， 的最大值为1． 54．(25-26·上海蒙山中学·)在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当____________________时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】或或 【来源】上海市蒙山中学2025－2026学年第二学期初二学情自测数学试卷 【详解】∵A（4,0），B（-3,2），C（0,2）， ∴OA=4，BC=3，BC//x轴， ∵PC//AQ ∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形， 若时，BP=2t， PC=3-2t，AQ=t，此时3-2t=t，解得t=1; 若时，BP=2t, PC=2t-3，AQ=t，此时2t-3=t，解得t=3； 若时，BP=2t, PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=4-3(t-4)，此时2t-3=4-3(t-4)，解得t=(舍去)； 若t，BP＝2t，PC=2t-3， OQ=3(t-4)，AQ=3(t-4)-4，此时2t-3=3(t-4)-4，解得t=13; 综上所述，当t为1或3或13时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 故答案为1或3或13 55．(25-26八下·上海世外中学·)在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； (2)若、分别从点、沿折线运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，求的值． 【答案】(1)或 (2)①；② 【来源】上海市世外中学2025-2026学年下学期3月八年级数学学情自测 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接， ∵四边形是矩形，M，N分别是中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得：或； （2）解：①由（1）知：， 如图2，连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，点G在上，点在上时，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， 即，解得， ∴，， 同理可得， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线，运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，点G在线段上，同时点在线段上， 即时， ， ， ∴， ∵在矩形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 故此情况不存在． 如图，点G在线段上，同时点在上， 即时， ，， ∴， ∵在矩形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 故此情况不存在． 综上所述，四边形的面积是矩形面积的时，的值为． 56．(25-26八下·上海梅陇中学·)【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】(1)的长为； (2)的最小值为； (3)灌溉水渠总长度的最小值为米． 【来源】上海市梅陇中学2025-2026学年八年级下学期3月数学作业2 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：如图，连接，连接，与交于点， ∵点分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴当时，最小，从而最小，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即最小值为， ∴的最小值为； （3）解：如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，米， ∵，， ∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线，且时，最小，即长，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵为的中点，米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴灌溉水渠总长度的最小值为米． 57．(25-26八下·上海民办华育中学·)已知：正方形的边长为，是边上一个动点不与点、点重合，，以为一边在正方形外作正方形，连接、． 观察计算：（1）如图1，当，时，四边形的面积为______； （2）如图2，当，时，四边形的面积为______； （3）如图3，当，时，四边形的面积为______； 探索发现：（4）根据上述计算的结果，你认为四边形的面积与正方形的面积之间有怎样的关系？ 【答案】（1）16；（2）16；（3）；（4）四边形的面积与正方形的面积相等 【来源】上海民办华育中学2025-2026学年八年级下学期3月阶段检测数学试题 【详解】解：（1）四边形的面积； 故答案为：16； （2）四边形的面积； 故答案为：16； （3）四边形的面积； 故答案为：； （4）由上可知，四边形的面积等于正方形的面积； 四边形的面积； 正方形的面积； 故四边形的面积等于正方形的面积． 题型8坐标系中的图形问题（共7小题） 58．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为，则点的坐标为_____________． 【答案】 【来源】上海市松江区泗泾实验学校2025--学年第二学期八年级数学补充练习 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴A点的坐标为． 59．(25-26八·上海静安区北初级中学北校·)如图，在直角坐标系中，矩形，点的坐标是，则的长是______． 【答案】 【来源】上海市静安区市北初级中学北校2025－2026学年第二学期八年级数学阶段练习1（3月） 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 故答案为：． 60．(25-26八·上海民办华曜宝山实验学校·)如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、 相交于点E，，，如果轴，那么的长为________． 【答案】2 【来源】上海民办华曜宝山实验学校2025--2026学年第二学期八年级 数学 第一次当堂练习 【详解】解：如图，取的中点，连接， 在中，，， ， 的中点， ， ， 是等边三角形， ， 轴， ， 矩形， ， 是等边三角形， ， 故答案为：2． 61．(25-26八下·上海民办华育中学·)如图，在平面直角坐标系中，点和点，连接，以为边作等边三角形，顶点为，过点作，分别交y轴、x轴于点、，再以为边作等边三角形，……，逐次作等边三角形，则第2017个等边三角形的顶点坐标是____． 【答案】 【来源】上海民办华育中学2025-2026学年八年级下学期3月阶段检测数学试题 【详解】解：如图，连接，设与相交于点E，作轴于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴点C的坐标是， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 同理可得：，点坐标为：， 即， …， 则的坐标是． 故答案为：． 62．(25-26八下·上海兰生中学·)如图，在单位长度为1的方格纸上，三角形，三角形，三角形，…是斜边在轴上、斜边长分别为的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中规律，点的坐标为______． 【答案】 【来源】上海兰生中学2025-2026学年八年级下学期数学阶段练习 【详解】解：∵，，，，，， ∴得到规律：①当为奇数时：， ②当为偶数时：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：. 63．(25-26八·上海航华中学·)在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为． (1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标； (2)若轴上的点坐标为，求的面积； (3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标） 【答案】(1)， (2)8 (3)或或 【来源】上海市航华中学2025--2026学年第二学期3月八年级数学节点式作业 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∵点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为； （2）解：由（1）可得，如图： ∴； （3）解：由（1）知，，而， ∵四边形是平行四边形时， 如图：当，时，则，， ∴，； ②当时，， ∵，，， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴点向左平移3个单位，向下平移4个单位得到点， ∴，即， 综上：点的坐标为或或． 64．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． (1)填空：点的坐标为 ， 度． (2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 【答案】(1)， (2)① ②见解析 【来源】上海市松江区泗泾实验学校2025--学年第二学期八年级数学补充练习 【详解】（1）解：∵点，的坐标分别是和， ∴，． ∵°， ∴， ∵以线段为边向右侧作菱形， ∴，， ∴，． ∴． 故答案为：，． （2）①解：当时，点在上时，作交于，如图， 由（1）可知，，，， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ②证明：连接，设交于点，如图所示， 由（1）可知，四边形是菱形，，，， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $