精品解析：四川省成都市树德中学2025-2026学年高一下学期4月阶段性测试数学试题

树德中学高2025级高一下学期4月阶段性测试 数学试题 考试时间：120 分钟满分：150分 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ）。 A. 若，则与的方向相同或相反 B. 若，，则 C. 若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D. 若，则 5. 在直角梯形中，，，，为的中点，为上的点，且，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图为函数的图象，为图象与轴的三个交点，为函数图象在轴右侧部分上的第一个最大值点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 计算下列各式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则的最小值为6 B. 在中，若，则为钝角三角形 C. 在中，若点满足，则为的垂心 D. 若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 11. 数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数. 像我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为振幅较小，我们一般不易单独听出来. 所以我们听到的声音的函数是，记，则（ ） A. 的最大值为 B. 在上单调递增 C. 的周期为 D. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为______. 13. 已知函数是奇函数，则的值为______． 14. 已知向量，，，. 若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标为. （1）求的表达式，并求的值； （2）若，求的值. 16. 已知与的夹角. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 （1）若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； （2）依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 18. 已知函数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调递增区间； （3）记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值. 19. 已知平面直角坐标系中，点（其中为常数，且），点为坐标原点. （1）已知点在线段上靠近点的四等分点上，请用向量表示. （2）线段的等分点按与的距离由近到远分别记为，其中. （i）当时，求的值（用含的式子表示）； （ii）当时，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2025级高一下学期4月阶段性测试 数学试题 考试时间：120 分钟满分：150分 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若，则，解得． 2. 点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】，因为，所以， ，因为，所以， 所以点在平面直角坐标系中位于第二象限. 3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正余弦周期公式及图像变换排除，再通过对应区间内的单调性排除、. 【详解】对于A，，根据图象性质区间上单调递增，错误； 对于B，，错误； 对于C，，图像在单调递增，错误； 对于D，的图象是由的图象轴下方的图象上翻，周期减半， 故周期为，又在区间上，所以在区间上单调递减. 故选：D. 4. 下列命题中正确的是（ ）。 A. 若，则与的方向相同或相反 B. 若，，则 C. 若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，则与的模长相等，但未说明方向，故A错误； 若，则，成立，但不一定成立，故B错误； 若，则四点可能共线，故C错误； 由相等向量的定义可知，D正确. 5. 在直角梯形中，，，，为的中点，为上的点，且，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 因为为的中点，所以， 由，得， 所以． 6. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用两角和差的三角公式，先求得，再利用诱导公式、二倍角公式求得要求式子的值． 【详解】解：已知， 则 ， 故选：． 7. 如图为函数的图象，为图象与轴的三个交点，为函数图象在轴右侧部分上的第一个最大值点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，由函数的图象，可得出顶点和最高最低点坐标，求出相应向量坐标，利用向量的数量积，即可求出答案. 【详解】设的中点为，的中点为，则，，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的数量积，通过利用三角函数的性质以及向量的坐标和数量积公式. 8. 已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，因为，所以，进而可得，因为存在唯一实数，结合正弦函数的图象性质，可得，求解即可. 【详解】由题意，，则， 所以函数在区间上单调递减， 所以当时，， 当时，， 所以当时，，则， 又，总存在唯一实数，使得， 即， 即对任意，方程在上有唯一解， 因为，所以， 所以，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 计算下列各式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可. 【详解】对于选项A，由辅助角公式得.故选项A正确； 对于选项B，，故选项B错误； 对于选项C，，故选项C错误； 对于选项D，，故选项D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则的最小值为6 B. 在中，若，则为钝角三角形 C. 在中，若点满足，则为的垂心 D. 若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量夹角的范围即可求其最小值； 对于选项B，根据向量数量积的定义，可判断为锐角，进而判断的形状； 对于选项C，根据向量数量积的运算律对已知条件进行变形，即可推出点的性质； 对于选项D，根据向量投影向量的定义，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，，所以， 又，所以，所以， 当，即反向共线时等号成立，故A正确； 对于B选项，由， 又，所以，即为钝角，所以为锐角， 故不能判断为钝角三角形，故B错误； 对于C选项，因为，即，所以，所以，即， 同理，由，得，即， 由，得，即， 所以为的垂心，故C正确； 对于D选项，因为，，与的夹角为， 所以在方向上的投影向量为，故D正确． 综上所述，选项ACD都正确. 11. 数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数. 像我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为振幅较小，我们一般不易单独听出来. 所以我们听到的声音的函数是，记，则（ ） A. 的最大值为 B. 在上单调递增 C. 的周期为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦函数性质得到和无法同时取得最大值判断A，利用正弦函数性质分别判断得，，的单调性求解B，利用周期性的定义求解C，利用导数结合分类讨论证明，再结合绝对值三角不等式放缩证明D即可. 【详解】对于A，， 若的最大值为，则和必须同时取得最大值， 由正弦函数性质得和无法同时取得最大值， 则的最大值不为，故A错误； 对于B，由题意得， 因为，所以，， 由正弦函数性质得，，在上单调递增， 由函数的性质得，多个增函数相加，结果一定是增函数， 得到在上单调递增，故B正确； 对于C，令， 而， ， ， 得到的周期为，故C正确； 对于D，欲证，则证即可， 令，而， ，则是偶函数， 则证当时，即可，此时， 当时，，， 故在上单调递减，得到 则成立，当时，同理可得成立， 综上，结合是偶函数，可得恒成立， 故 ， 则对于时，成立，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的弧长及面积公式带入即可. 【详解】扇形面积， 解得. 再通过弧长公式. 故答案为： 13. 已知函数是奇函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦型函数的性质，求出的表达式，再利用诱导公式计算即得. 【详解】由函数是奇函数，得， 则，所以当时，. 故答案为：. 14. 已知向量，，，. 若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合取整函数的定义，分类讨论可得到的取值范围，根据向量模长公式将转化为关于和的表达式，再结合之前得到的取值范围求解该表达式的范围. 【详解】因为， 所以. 又，则. 当时，，显然不成立；当时，，成立； 当时，，显然不成立；当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立；当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立；当时，，显然不成立； 所以. 此时，则，即， 又，所以. 又，故. 所以的取值范围为. 四､解答题：本题共5小题，共77分应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标为. （1）求的表达式，并求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，结合题意即可求出的表达式，进而求出的值. （2）根据求出，利用同角的三角函数关系求出，根据两角和的正切公式求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，，因为为锐角，所以. 因为射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点， 所以. 【小问2详解】 若，则， 因为，所以， 所以. 则. 16. 已知与的夹角. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的模长公式及数量积的运算律求解即可； （2）由题意可得，且与不共线，代入计算即可得出答案. 【小问1详解】 由题意， 所以. 【小问2详解】 因为向量与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 对于， 得， 即，解得， 若与共线， 则存在，得，解得， 所以若向量与的夹角为锐角， 实数的取值范围为. 17. 在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 （1）若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式； （2）依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【答案】（1） （2）该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港，所以卸货最多只能用4小时时间. 【解析】 【分析】（1）画出散点图，根据图象可求出，，，进而可求得； （2）依题意，其中，解不等式即可. 【小问1详解】 根据表中数据可画出如图所示的散点图， 由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； 【小问2详解】 由题意可得，化简得， 所以，解得，， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或13点进港，17点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 18. 已知函数的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调递增区间； （3）记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，由周期求出，可得的解析式； （2）由函数图象的变换，求出解析式，整体代入法求在上的单调递增区间； （3）由函数解析式，结合正弦函数的图象，利用对称性求解. 【小问1详解】 ， 函数图象的相邻两对称轴间的距离为，则有，解得， 又，所以. 【小问2详解】 向右平移个单位，得； 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得， ，可得， 求单调递增区间，则， 的单调递增区间. 【小问3详解】 由方程，即，即， 因为，可得，设，其中，即， 结合正弦函数的图象，可得方程在区间有5个解，即， 其中， 即， 解得， 所以， 综上，. 19. 已知平面直角坐标系中，点（其中为常数，且），点为坐标原点. （1）已知点在线段上靠近点的四等分点上，请用向量表示. （2）线段的等分点按与的距离由近到远分别记为，其中. （i）当时，求的值（用含的式子表示）； （ii）当时，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）依题意有，则有，化简即可； （2）（i）对任意正整数，且，有，代入化简求值；（ii）由，有，结合函数单调性求最小值. 【小问1详解】 已知点在线段上靠近点的四等分点上，则， 则，所以. 【小问2详解】 （i）由题意得，， ，， 对任意正整数，且， ，有， （ii）当时， ， ， ， 当时，， 当或3时，上式有最小值为， 当时，， 当时，当或6时，上式有最小值为. 综上，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $