第十九讲 特殊三角形-【新中考重难点解析】2026年中考数学复习

第四单元图形的认识( 第十九讲 特殊三角形 之重点难点 【解】在△ABC中，AB=AC,且AD 是BC边上的中线， 1.了解等腰三角形、等边三角形、直角 ∴BD=CD=2BC=3,AD1BC. 三角形等的有关概念， 在Rt△ABD中，由勾股定理得， 2.理解并掌握等腰三角形、等边三角 形、直角三角形等的性质， AD=√JAB2-BD2=√52-32=4， 3.会判定一个三角形是否为特殊三 .DE⊥AC, 角形. .SMM-TAC DE=TAD.CD, 、咧题精讲 DE=AD:DC=4×3-12 AC 5 【例1】 一个等腰三角形的两边长分 别是5和6，则它的周长为 故答案为：号 ( ) A.15 B.16 【点评】本题考查了勾股定理，熟练 C.17 D.16或17 掌握勾股定理是解题的关键， 【解】(1)当腰长为5时，周长=5+5 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠B= +6=16. 90°，AD平分∠BAC交BC于点D,作DE (2)当腰长为6时，周长=5+6+6 ⊥AC于点E. =17. (1)若AD=CD,求∠C的度数. 故选D. (2)若AB=6,BC=8. 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC, ①求AE的长度， 且AD是BC边上的中线，DE⊥AC于点E. ②求△ACD的面积. 若AB=5,BC=6,则DE的长为 【分析】(1)根据角平分线的性质得 R D 到DB=DE,根据全等三角形的性质得到 【分析】根据等腰三角形三线合一的 ∠BAD=∠EAD,根据三角形的内角和定 性质得出BD=CD=号BC=3,ADLBC, 理即可得到结论 再由勾股定理求出AD的长，最后根据等 (2)①根据勾股定理得到AC= 面积法求解即可. √AB2+BC=10,根据全等三角形的性质 871 新中考重难点精析数学 得到AE=AB=6. ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM= ②设BD=DE=x,根据勾股定理和三 60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？ 角形的面积公式即可得到结论. ②若将题中的点M,N分别移动到 【解】(1).·∠B=90°，AD平分 BC,CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM ∠BAC交BC于点D,作DE⊥AC于点E, =60°？ ∴.BD=DE ③若将题中的条件“点M,N分别在正 .AD=AD, 三角形ABC的边BC,CA上”改为“点M, .Rt△ABD≌Rt△AED(HL), N分别在正方形ABCD的边BC,CD上”， ∴.∠BAD=∠EAD..AD=CD, 是否仍能得到∠BQM=60°？ .∠DAC=∠ACD, 。 ∴.∠BAD=∠CAD=∠C. 请你作出判断，在下列横线上填写 ∠BAC+∠C=90°，∴.∠C=30°. “是”或“否”：① .② ③ (2)①.∠B=90°，AB=6,BC=8, .并对②、③的判断，选择一个给 ∴.AC=√AB+BC=10. 出证明. 由(1)知，△ABD≌△AED, .'.AE=AB=6. ②.AC=10,AE=6,.CE=4. 设BD=DE=x,.CD=8-x. .DE2+CE2=CD2, M .x2+42=(8-x)2 【解】(1)证明：.BM=NC,∠ABM 解得x=3,.DE=3, =∠BCN,AB=BC, “△ACD的面积=号AC·DE=号× ∴.△ABM≌△BCN, .∴∠BAM=∠CBN, 10×3=15. .∠BQM=∠BAQ+∠ABQ= 【点评】本题考查了勾股定理，全等 ∠MBQ+∠ABQ=60°. 三角形的判定和性质，等腰三角形的性质， (2)①是.②是.③否. 熟练掌握勾股定理是解题的关键， ②的证明：如答图， 【例4】如图，点M,N分别在正三角 形ABC的边BC,CA上，且BM=CN, AM,BN交于点Q. (1)求证：∠BQM=60°. CM (2)做完(1)后，同学们在老师的启发 ,'∠ACM=∠BAN=120°，CM= 下进行了反思，提出了许多问题，如： AN,AC=AB, g728 555 第四单元图形的认识（一）》 ∴.△ACM≌△BAN. 【例5】如图，点O是等边△ABC内 .∠AMC=∠BNA, 点，∠AOB=110°，∠BOC=a,将△BOC ∴.∠NQA=∠NBC+∠BMQ 绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连 ∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°. 结OD. ∴.∠BQM=60°. (1)求证：△COD是等边三角形. ③的证明：如答图， (2)当a=150°时，试判断△AOD的形 状，并说明理由. (3)探究：当α为多少度时，△AOD是 等腰三角形？ BM=CN, AB=BC, .Rt△ABM≌Rt△BCN, ∴.∠AMB=∠BNC, 【分析】 （1)由旋转得CO=CD, 又∠NBM+∠BNC=90°， ∠OCD=60°，∴.△COD是等边三角形. ∴.∠QBM+∠QMB=90°. (2)通过计算得∠ADO=90°，即 ∴.∠BQM=90°， △AOD是直角三角形. 即∠BQM≠60°. (3)可将△AOD的三个角用a表示，再 【点评】探索性问题在中考中越来越 根据△AOD是等腰三角形求得α的值， 受重视，由于条件与结论的不确定性，使得 【解】(1)证明：，CO=CD,∠OCD 解题方法与答案呈现多样性.探索性问题 =60°， 的特点是：问题一般没有明确的结论，没有 ∴.△COD是等边三角形. 固定的形式和方法，需要通过观察、比较、 (2)当a=150°，即∠BOC=150°时， 概括、推理、判断等探索性活动来确定所需 △AOD是直角三角形.理由如下： 求证的结论或条件，探索性问题可以分为 .'△BOC≌△ADC, 以下两种情况：(1)在某种位置关系下成立 ∴.∠ADC=∠BOC=150°. 的结论，在新的位置关系下，探索该结论是 又.△COD是等边三角形， 否成立.(2)图形的形状特征从一种变为另 .∴∠ODC=60°. 一种，探索某一结论是否成立，此类问题的 .∴∠AD0=90°. 解决思路是从所给条件出发，通过探索、分 即△AOD是直角三角形. 析、归纳、猜想得出结论，然后对所给的结 (3).∠AOD=190°-a,∠ADO=a-60°， 论进行证明. ∠0AD=50°， 73 新中考重难点精析数学 ①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO, 3.如图，△ABC是等边三角形，P是 ∴.190°-a=a-60°. ∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于 .a=125°. 点E,线段BP的垂直平分线交BC于点 ②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO, F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为 .∴a-60°=50°. .a=110° ③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD, .190-a=50°. ∴.a=140° 综上所述：当a的度数为125°，110°或 140°时，△AOD是等腰三角形 A.2 B.23C.√5 D.3 【点评】本题考查了图形旋转和等 (二)填空题 腰、等边三角形的性质和判定，解题时要充 4.小陆同学发现：一副三角板中，含 分利用图形变换的性质（变换前后的两个 45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板 图形全等或位似)，对第(3)题要分三种情 的长直角边相等.于是，小陆同学提出一个 况进行讨论， 问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼 三、一—课一练 放在一起，点B,C,E在同一条直线上，若 BC=2,则AF的长为 (一)选择题 1.已知等腰三角形两边的长分别为3 和7，则此等腰三角形的周长为 ( A.13 B.17 C.13或17 D.13或10 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B 2.如图，在△ABC中，AB=AC,BO, =36°，点D在线段BC上运动（点D不与 CO分别平分∠ABC,∠ACB,DE经过点 点B,C重合)，连结AD,作∠ADE=36°， O,且DE∥BC,DE分别交AB,AC于D, DE交线段AC于点E,在点D运动过程 E,则图中等腰三角形的个数为 () 中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的 度数为 D A.2 B.3 6.如图1，四个全等的直角三角形围 C.4 D.5 成一个大正方形，中间是一个小正方形，这 8748 535.5- 第四单元图形的认识（一） 个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB 时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.连结图 90°，CD⊥AB,垂足为D,BE平分∠ABC 2中四条线段得到如图3的新图案，如果图 交AC于点E,交CD于点F. 1中的直角三角形的长直角边为5，短直角 (1)求证：∠CEF=∠CFE. 边为2，图3中阴影部分的面积为S,那么S (2)若点E恰好在边AB的垂直平分 的值为 线上，判断△CEF的形状，并说明理由. 图1 图2 图3 (三)解答题 7.如图，AD平分∠BAC,AD⊥BD, 垂足为点D,DE∥AC 求证：△BDE是等腰三角形， 758 新中考重难点精析数学 9.如图，在△ABC中，AC=6,D为 10.如图，平面直角坐标系中，将含30 BC边上一点，且CD=1,AD=√37，BD= 角的三角尺的直角顶点C落在第二象限， 5,点E是AB边上的动点，连结DE 其斜边两端点A,B分别落在x轴，y轴上， (1)求AB的长 且AB=12. (2)当△BDE是直角三角形时，求AE (1)若OB=6. 的长 ①求点C的坐标. ②若点A向右滑动的距离与点B向上 滑动的距离相等，求滑动的距离. (2)点C与点O距离最大值= C AY 0 gG心Cm 8768 5o55第十九讲特殊三角形 1.B2.D3.C4.23-√65.108°或72°6.21 7.证明：.DE∥AC,.∠1=∠3 AD平分∠BAC,∠1=∠2，∴∠2=∠3. AD⊥BD,∴.∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°， ∴∠B=∠BDE,∴.BE=DE, ∴△BDE是等腰三角形 8.（1)证明：，∠ACB=90°，∴.∠CEF+∠CBE=90°· ,CD⊥AB,.∠BFDH∠ABE=90°·，BE平分∠ABC,∴.∠CBE=∠ABE .∠CFE=∠BFD,∴.∠CEF=∠CFE. (2)解：△CEF是等边三角形，理由如下： 点E在边AB的垂直平分线上，∴.EA=EB,∠EAB=∠ABE. ,∠CBE=∠ABE,∠ACB=90°，∴.∠EAB=∠ABE=∠CBE=30°， ∴.∠CEF=∠ABE+∠EAB=60°，∴.∠CEF=∠CFE=60°. ∴.△CEF是等边三角形. 9.解：(1)在△ACD中， .AC2=36,CD2=1,AD2=37,.AC2+CD2=AD2, .△ACD是直角三角形，且∠C=90°. BD=5,∴.BC=5+1=6. 在Rt△4CB中，B=√AC2+BC2=V62+62=6√2： (2),AC=BC=6,∠C=90°，.∠B=45°，，△BDE是直角三角形. 分两种情况： ①当∠BDE=90°时，△BDE是等腰直角三角形，且BD=DE=5, 在Rt△BDE中，BE=VBD2+DE2=V52+52=5√2， ..AE=AB-BE=6V2-5122. ②当∠BED=90°时，△BDE是等腰直角三角形， 新中考重难点精析·数学·答案15 设BE=DE=x,在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD, 即242=解将：=±经反.0，六x受反，B驱反， ∴E=A8-服=N282子反. 综上所达，4B的长为2或子2， 10.解：(1)①如答图1，过点C作y轴的垂线，垂足为D,在Rt△ABC 中，AB=12,∠BAC-30°，.BC-6.在Rt△AOB中，AB=12,OB=6, D ∴.∠BAO-30°，∠ABO=60°.又，∠CBA=60°，∴.∠CBD=60°， ∠BCD=30°.∴.BD=3,CD=3V3.∴.OD-9..点C的坐标为 -3V3,9. A 答图1 ②如答图2，设点A向右滑动的距离AA'=x,根据题意得点B向 上滑动的距离BB'=x.,在Rt△AOB中，AB=12,OB=6,∴. AO=6N3..A'O=6V3-x,B'O=6+x,A'B'=AB=12. 在△40B中，由勾股定理得，（63-x)+(6+x)}=122,解得， AA' 答图2 x=6V3-6,x2=0(舍去)滑动的距离为65-6. (2)12. 第二十讲多边形的基本认识 1.D2.B3.A4.1800°5.360° 6.307.32W2+16 8.(1)这个n边形每个内角度数为180°-15°=165°. .多边形外角和为360°，∴.15n=360,解得n=24. .这个n边形的内角和是24×165°=3960°· (2)5×24=120（米)， 所以小亮走出的这个n边形的周长是120米. 9.（I)证明：，·五边形ABCDE为正五边形，.AB=BC,∠ABM=∠C (AB=BC ∠ABM=∠C ∴在△ABM和△BCN中，BM=CN, ∴.△ABM≌△BCN(SAS) (2)解：，'△ABM≌△BCN,'.∠BAM=∠CBN,,'∠BAM+∠ABP=∠APN, 新中考重难点精析·数学·答案16