第十八讲 三角形与全等三角形-【新中考重难点解析】2026年中考数学复习

由题意：20t-40=50t-700,解得t=22,,22-14=8(h),.货轮出发后8小时追上游轮. ②相遇之前相距12km时，20t-40-(50t-700)=12,解得t=21.6. 相遇之后相距12km时，50t-700-（20t-40)=12,解得t=22.4, 当游轮离开杭州12km时，根据图象可知货轮就在杭州，所以此时两船也是相距12km,即在 0.6h的时候，两船也相距12km, ∴.0.6h或21.6h或22.4h时游轮与货轮相距12km. 第十七讲线段、角、相交线和平行线 1.D2.A3.B4.D5.垂线段最短6.76 7.解：，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB-40°，∠COE-60°， ∴∠B0C-∠A0B=40°∠C0D-1∠C0E-1x60°=30°∠B0D=∠B0C+∠C0D=40°+30°=70° 2 8.解：设这个角为x,则(180°-x)-3(90°一x)=10°，2x=270°-180°+10°，x=50° .补角=180°-50°-130°.故答案为：130° 9.解：：∠AEC-42°，.∠AED=180°-∠AEC-138°，EF平分∠AED, ∠DEF-∠AED-69,又AB/CD,∠AFE=∠DEF-69. 10.(1)解：，AD∥BC,∴.∠B+∠BAD=180°.，∠B=80°，.∠BAD=100°. (2)证明：AE平分∠BAD,∴.∠DAE=50°·AD∥BC,∴.∠AEB=∠DAE=50°· ,∠BCD=50°，∴.∠AEB=∠BCD,∴AE∥DC. 第十八讲三角形与全等三角形 1.C2.B3.C4.15.9 6.(1).AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,∴.∠ACB=∠DFE=90°. BC=EF LACB=∠DFE 在△ABC和△DEF中，(AC=DF ,.∴.△ABC≌△DEF(SAS). (2)△ABC≌△DEF,∴.∠B=∠DEF,∴.AB∥DE 7.如图，△ABC为所作. 新中考重难点精析·数学·答案13 AC=AC D 8.证明：连结AC,在△AEC与△AFC中， CE=CF, AE=AF C ∴.△AEC≌△AFC(SSS),∴.∠CAE=∠CAF, ,∠B=∠D=90°， ∴.CB=CD. B 9.(1)证明：在△ABE中，∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB, 在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC, ,∠AEB=∠ABC,∠BAE=∠BAC,∴.∠ABE=∠C. (2)解：FD∥BC,.∠ADF=∠C,又∠ABE=∠C,∴∠ABE=∠ADF ,AF平分∠BAE,.∠BAF=∠DAF. (∠ABE=∠ADF 在△ABF和△ADF中， ∠BAF=∠DAF,.△ABF≌△ADF(AAS),∴AB=AD. AF=AF .AB=8,AC=10,..DC=AC-AD=AC-AB=10-8=2. 10.（1)解：HL. (2)证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,过点F作FH⊥DE交DE的延 长线于H,,'∠ABC-∠DEF,且∠ABC、∠DEF都是钝角， ∴.180°-∠ABC-180°-∠DEF,即∠CBG=∠FEH. 在△CBG和△FEH中， (∠CBG=∠FEH ∠G=∠He90°， BC=EF (2)题图 ∴.△CBG≌△FEH(AAS), C(F) ∴.CG=FH. 在Rt△ACG和Rt△DFH中， B(E) AC=DF (3)题图 CG=FH ∴.Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),.∠A=∠D. ∠A=∠D ∠ABC=∠DEF 在△ABC和△DEF中，(AC=DF ∴.△ABC≌△DEF(AAS). (3)解：如图，△DEF和△ABC不全等. (4)解：若∠B≥∠A,则△ABC≌△DEF, 新中考重难点精析·数学·答案14新中考重难点精析数学 第十八讲 三角形与全等三角形 之、重点难点 1.了解三角形的分类及其有关概念， 2.会画三角形的角平分线、中线和高 线，了解三角形的稳定性 【分析】：∠B=47°，∴.∠BAC+ 3.理解掌握三角形的内角和以及三角 ∠BCA=180°-47°=133°， 形的中位线的性质， ∴.∠CAD+∠ACF=360°-133°=227° 4.理解全等三角形的概念，掌握并能 又AE和CE是角平分线， 运用三角形全等的基本事实和判定方法解 .∠CAE+∠ACE=113.5°， 决相关问题， ∴.∠AEC=180°-113.5°=66.5°. 【解】66.5. 二、咧题精讲 【点评】本题考查了三角形的内角和 【例1】线段a,b,c首尾顺次相接组 以及角平分线的性质。 【例3】如图，AB∥CD,E,F分别为 成三角形，若a=1,b=3,则c的长度可以 AC,BD的中点，若AB=5,CD=3,则EF 是 ( 的长为 () A.3B.4 C.5 D.6 【分析】根据三角形两边之和大于第 三边，两边之差小于第三边直接列式计算 即可. 【解】.线段a=1,b=3, A.4 B.3C.2 D.1 .3-1<c<3+1,即2<c<4. 【分析】 由已知中点条件想到连结 观察选项，只有选项A符合题意，故 DE并延长交AB于点H,以造出三角形的 选A. 中位线，如此EF的长就不难求出了. 【点评】本题考查的是三角形的三边 【解】连结DE并延长交AB于 关系定理，掌握三角形两边之和大于第三 点H. 边，两边之差小于第三边是解题的关键 【例2】如图，在△ABC中，∠B= 47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平 分线交于点E,则∠AEC= g66 5o505 第四单元图形的认识（一 .CD∥AB, 【解】(1)证明：：∠BAC=∠DAE ∴∠C=∠A, =90°， ∠CDE=∠AHE, ∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE- .E是AC中点， ∠CAD,即∠BAD=∠CAE, .DE=EH, 在△ABD和△ACE中， .△DCE≌△HAE, (AB=AC, ∴.DE=HE,DC=AH, ∠BAD=∠CAE, F是BD中点， AD=AE, .EF是△DHB的中位线， ∴.△ABD≌△ACE(SAS). ..EF=BH, (2)解：△ABD≌△ACE, ∴.∠ACE=∠ABD. .BH=AB-AH=AB-DC=2, .△ABC和△ADE都是等腰直角三 ∴.EF=1. 角形， 故选D. .∠ACE=∠ABD=∠AED=45°. 【点评】本题考查的是三角形中位线 .∠EAC=60°， 定理，全等三角形的判定与性质.解此类题 .∴∠AEC=180°-∠ACE-∠EAC= 应仔细分析已知条件与所求，必要时需考 180°-45°-60°=75°， 虑添辅助线。 ∴.∠CED=∠AEC-∠AED=75°- 【例4】如图，在△ABC和△ADE 45°=30° 中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE 【点评】本题主要考查全等三角形的 =90°，且点D在线段BC上，连结CE. 判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角 (1)求证：△ABD≌△ACE. 形的内角和定理，掌握全等三角形的判定 (2)若∠EAC=60°，求∠CED的度数. 条件是解题的关键 【例5】如图，在△ABC中，AB=BC, BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD =45°，AD与BE交于点F,连结CF. (1)求证：BF=2AE 【分析】(1)可利用SAS证明结论. (2)由全等三角形的性质可得∠ACE (2)若CD=√2，求AD的长 =∠ABD,利用等腰直角三角形的性质可 求得∠ACE=∠ABD=∠AED=45°，再根 据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度 数，进而可求可求解. 678 新中考重难点精析数学 【解】(1).AD⊥BC,∠BAD=45°， A.80° B.90° ∴.∠ABD=∠BAD=45°， C.100° D.110° ∴.AD=BD 2.长度分别为2,3,3,4的四根细木棒 .AD⊥BC,BE⊥AC, 首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连 ∴.∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+ 接，但不允许折断)，得到的三角形的最长 ∠ACD=90°， 边长为 () .∴.∠CAD=∠CBE. A.4 B.5 又.'∠CDA=∠BDF=90°， C.6 D.7 .△ADC≌△BDF,∴.AC=BF. 3.如图，在长方形网格中，每个小长方 AB=BC,BE⊥AC,AE=EC,即 形的长为2，宽为1，A,B两点在网格格点 AC=2AE, 上，若点C也在网格格点上，以A,B,C为 .BF=2AE. 顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C (2).'△ADC≌△BDF, 个数是 ∴.DF=CD=√2 B ∴.在Rt△CDF中，CF=√DF2+CD =2. A.2 B.3 .BE⊥AC,AE=EC,∴.AF=FC=2, C.4 D.5 .AD=AF+DF=2+√2 (二)填空题 【点评】本题考查三角形全等的判定 4.如图，在△ABC中，AD平分 及等腰三角形的判定（等角对等边）和三线 ∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则 合一性质，难度中等.第(2)问在第(1)问基 S△ACD= 础上考查了勾股定理和线段垂直平分线定 理的应用 三、一课一练 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B (一)选择题 =30°，边AB的垂直平分线DE交AB于 1.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B= 点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长 50°，CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是 为 868 第四单元图形的认识（一） (三)解答题 8.如图，在四边形ABCD中，∠B 6.如图，点B,C,E,F在同一直线上，BC ∠D=90°，点E,F分别在AB,AD上，AE =EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC =AF,CE=CF,求证：CB=CD. DF. 求证：(1)△ABC≌△DEF. (2)AB∥DE. 9.已知：如图，点E在△ABC的边AC 上，且∠AEB=∠ABC (1)求证：∠ABE=∠C. (2)∠BAE的平分线AF交BE于点 7.已知线段a,c和∠a,求作△ABC, F,FD∥BC交AC于点D,若AB=8,AC 使∠ABC=∠a,AB=a,BC=c. =10,求DC的长. C a GROR 698 新中考重难点精析数学 10.【问题提出】 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC 学习了三角形全等的判定方法（即 和△DEF不一定全等. “SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角 (3)在△ABC和△DEF中，AC=DF, 形全等的判定方法（即“HL”)后，我们继续 BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐 对“两个三角形满足两边和其中一边的对 角，请你用尺规在图③中作出△DEF,使 角对应相等”的情形进行研究 △DEF和△ABC不全等.（不写作法，保留 【初步思考】 作图痕迹) 我们不妨将问题用符号语言表示为： (4)∠B还满足什么条件，就可以使 在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC= △ABC≌△DEF？请直接写出结论， EF,∠B=∠E,然后对∠B进行分类，可分 为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行 探究. 【深入探究】 第一种情况：当∠B是直角时，△ABC ≌△DEF. (1)如图①，在△ABC和△DEF中， AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°，根据 可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF. 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC ≌△DEF. (2)如图②，在△ABC和△DEF中， AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E 都是钝角，求证：△ABC≌△DEF. 70 5o5043