第17节 三角形与全等三角形-【练客中考】2026年浙江新中考数学课堂精讲本

第17节三角形与全等三角形 [2025.19,8分、2024年5考20分] 2022年版课标c,d要求及其变化 要求 探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两 d 三角形 个内角的和 证明三角形的任意两边之和大于第三边 三角形 掌握判定两个三角形全等的三个基本事实(SAS,ASA,SSS) 全等三角形 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 教材知识夯基础 侵课前小测 5.(教材改编)下列命题是真命题的是( 1.(教材改编)下列各组数中不可能是一个三角形的 [知识点4] 三边长的是( )[知识点1] A.若a>b,则a2>b2 A.5,12,13 B.5,7,7 B.三角形一条边上的中点到另两边的距离相等 C.5,7,12 D.12,13,15 C.两个锐角的和是锐角 2.（教材改编)一副三角板，按如图所示叠放在一起， D.x=3是方程-3 x2-3 =0的解 则图中∠α的度数是( )[知识点1] 6.（教材改编)如图，AD,AE,AF分别是△ABC的中 线、角平分线、高，下列各式中不一定正确的是 ( )[知识点2] 第2题图 A.75° B.65° C.60° D.55° 3.如图，若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立 的是()[知识点3] D E 第6题图 A.BC=2CD B.LBAF-2LBAC D C.∠AFB=90 第3题图 D.AE=CE A.∠ABC=∠AED B.∠BAD=∠CAE C.AB=AE D.AC=DE ®知识梳理 4.（教材改编)我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图， 知识点①三角形的基本性质 伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平 内角和 面内两根伞骨所成的角∠BAC,且AE=AF,DE= 三角形三个内角的和等于180° 定理 DF,从而保证伞圈能沿着伞柄滑动.根据以上条件， 证明点D在AP上的依据是( )[知识点3] (1)任意一个外角等于与它不相邻的两个 内外角内角的和； 关系 (2)任意一个外角大于任何一个与它不相 B 邻的内角 三边 (1)三角形的任意两边之和大于第三边； 第4题图 关系 (2)三角形的任意两边之差小于第三边 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 62浙江新中考数学课堂精讲本 知识点2三角形中的重要线段 边边边(SSS):三边对应相等的两个三角形 (1)性质：BD= BC: 全等； (2)延伸：①SAABD= 边角边(SAS):两边及其夹角对应相等的两 个三角形全等； 中线 角边角(ASA):两角及其夹边对应相等的 ②三角形的三条中线的 D 判定 两个三角形全等； 交点是三角形的重心； (AD是中线) 方法 ③重心到三角形顶点的距离等于它到该顶 角角边(AAS):两角及其中一个角的对边 点对边中点距离的 对应相等的两个三角形全等； 斜边、直角边(HL):在直角三角形中，斜边 (1)性质：AD1 ,即∠ADB=∠ADC= 和一条直角边分别对应相等的两个直角三 角形全等 (2)延伸：①S△ABD:SAACD=BD:CD; ②三角形的三条高线的 ①找夹角SAS 已知 交点是三角形的垂心； ②找直角HL或SAS 高线 两边 ③锐角三角形的三条高B .③找第三边SSS 线的交点在其内部；直 边为角的对边 找另一角AAS (AD是高线) 判定 已知 角三角形三条高线的交 一边 ①找夹角的另一边SAS 思路 边、 点在直角顶，点；钝角三角形的三条高线的交 为角的②找夹边的另一角ASA 角 点在其外部 邻边 1③找边的对角AAS ①找夹边ASA 已知两角 (1)性质：∠BAD= ∠BAC; 1 ②找其中一角的对边AAS (2)延伸：①SABD:S△4CD 知识点4命题与反证法 角平 =BD:CD=AB:AC; 分线 ②三角形的三条角平分 B 般地，判断某一件事情的句子叫作命题 线的交点是三角形的内(AD是角平分线) 命题一般由条件和结论两部分组成.正确 命题 心（内切圆的圆心）； 的命题称为真命题；不正确的命题称为假 ③内心到三角形三边的距离相等 命题 (1)性质：DE∥BC且DE= BC; 在两个命题中，如果第一个命题的条件是 (2)延伸：①△ADE的周 第二个命题的结论，而第一个命题的结论 互逆 中位线长=方△ABC的周K: 是第二个命题的条件，那么这两个命题叫 命题 作互逆命题，如果把其中一个命题叫作原 1 ②SaE=45aac 命题，那么另一个命题叫作它的逆命题 (DE是中位线) 在证明一个命题时，有时先假设命题不成 知识点3全等三角形的性质和判定 立，从这样的假设出发，经过推理得出和已 (1)全等三角形的对应边相等、对应角相等； 反证 知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理 (2)全等三角形的周长相等、面积相等 法 等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误 性质 (3)全等三角形中的对应线段（中线、高、角 的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫 平分线、中位线)都相等 作反证法 第四单元三角形 63 知识拓展+ 十十十十十十十十十十十一十十十”中 2.海伦定理 1.三角形中有关线段的常用定理 图形 条件 结论 △ABC三边分别为a,b,c, 条件 1 中线 AD为BC AB2+AC2= P=2(a+b+c) 定理 边上中线 2(AD2+BD2) SAABC= D 结论 B √p(p-a)(p-b)(p-c) 垂线 AD为BC AB2 BD2= 定理 边上的高 AC2 CD2 角平 分线 AD为LBACAB AC 的平分线 BD-CD 定理 题型精讲 攻重难 题型一一三角形的三边关系 新题变式练 例1（2023金华中考)在下列长度的四条线段中，能与长 变式1(2025衢州校级模拟)若a,b,c是△ABC的三 6cm,8cm的两条线段围成一个三角形的是（ 边长，则代数式(a-b)2-c2的值 0(填 A.1 cm B.2 cm C.13 cm D.14 cm “>”“=”或“<”). 题型二三角形的内角和与外角的性质 新题变式练 例2(2023杭州中考)如图，点D,E分别在△ABC 变式2(2025宁波三模)一张 的边AB,AC上，且DE∥BC,点F在线段BC 三角形纸片如图所示，已知 的延长线上.若∠ADE=28°，∠ACF=118°， ∠B+∠C=α，若沿着虚线剪 则∠A= 掉阴影部分纸片，记∠1+ B ∠2=B,则下列选项正确的是 变式2题图 D （) A.a=B B.a>B 例2题图 C.a<B D.无法比较α和B的大小 题型三三角形中重要线段的相关计算(2024.15,19)① 新题变式练 例3-1如图，CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角， 变式3-1（2025杭州上城区一模)如图，在△ABC 则 中，BC=4,BD是AC边上的中线，D点到BC的距 离为2，则SAABG= 例3-1题图 变式3-1题图 A.线段CD是△ABC的AC边上的高线 B.线段CD是△ABC的AB边上的高线 C.线段AD是△ABC的BC边上的高线 D.线段AD是△ABC的AC边上的高线 64浙江新中考数学课堂精讲本 例3-2(2024浙江统考)如图，D,E分别是△ABC 变式3-2如图，在△ABC中，∠ABC=65°，∠ACB= 边AB,AC的中点，连接BE,DE.若∠AED= 45°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧， ∠BEC,DE=2,则BE的长为 交AC于点E,再分别以B,E为圆心，大于BE的 长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F,作 射线AF,则∠DAF的度数是 度 B 例3-2题图 变式3-2题图 题型四命题与反证法 @ 新题变式练 例4命题“如果|a|=1b1,那么a=b.”的逆命题 变式4(2025杭州萧山区一模)命题“若(a+c)2≤b2 是 则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有 实数根”是 命题（填“真”或“假”）. 题型五与全等三角形有关的证明与计算 新题变式练 [2025.19,2024.8、10、16 例5(2023衢州中考)已知：如图，在△ABC和△DEF 变式5(2025衢州一模)如图，在△ABC中，CA=CB, 中，B,E,C,F在同一条直线上.下面四个条件： D是△ABC内一点，连接CD,将线段CD绕点C逆 ①AB=DE;②AC=DF;③BE=CF; 时针旋转到CE,使LDCE=∠ACB,连接AD,BE. ④LABC=∠DEF. (1)求证：△CAD≌△CBE; (1)请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF (2)当∠CBA=60°时，求∠CBE与∠BAD的度 (写出一种情况即可)； 数和 (2)在(1)的条件下，求证：△ABC≌△DEF. B E 变式5题图 例5题图 第四单元三角形 65 模型总结+++十+十十十十 1.平移型 3.中心对称型 B E C C(E)F 证明思路 证明思路 (1)通过加（减）公共线段得线段相等； (1)通过加（减）公共线段得线段相等； (2)利用平行线性质找到对应角相等. (2)利用平行线性质找到对应角相等. 4.旋转型 2.轴对称型 D B 证明思路 (1)加（减）公共线段得线段相等； (2)加（减）共顶点的公共角得对应角相等，或利 用平行线的性质找到对应角相等 证明思路 ·常考模型链接 (1)通过公共边或线段的和差得线段相等； 全等三角形中常考模型 (2)利用公共角，对顶角，等边对等角得对应角相等 见《初中数学常考模型》P10~16 易错点三角形全等的判定 例如图，已知AB=AD,那么添加下列条件中的一个后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是 D + B 例题图 A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90° 【错因分析】本题容易出错的地方在于错用SSA证明三角形全等. 【思考总结】 温馨提示请完成《裸后作业本A)P20~21习题 66 浙江新中考数学课堂精讲本∴.要使n-m最大，则直线l1过顶点(3，-4)，此时 2为直线y=12, .当y=12时，y=x2-6x+5=12, 解得x1=-1,x2=7 ∴.n-m的最大值为7-（-1)=8. y y=12 y=-4 课 例2题解图 堂 变式2解：(1)当m=5时，y=(x-5)(x-5-2)= 精 (x-5)(x-7). 讲 令y=0,得(x-5)(x-7)=0, 本 解得x1=5,x2=7, ∴.该函数图象与x轴的交点坐标为(5,0)，（7,0)； (2)①.y=(x-m)(x-m-2)=x2-(2m+2)x+ m(m+2), .抛物线开口向上，对称轴为直线x=m+1. B(m+1,y2),点B为抛物线的顶点， y2为y的最小值 又点A与点B不重合，∴y1>y2; ②当x0=-1时，C(-1,3), 将点C(-1,3)代入y=(x-m)(x-m-2), 得(-1-m)(-1-m-2)=3, 解得m1=0,m2=-4. 当m=0时，y=x(x-2)=x2-2x, 将A(n,y)代入y=x2-2x,得y1=n2-2n, 令n2-2n=3,解得n1=-1,n2=3, ∴.当y1>3时，n的取值范围为n<-1或n>3; 当m=-4时，y=(x+4)(x+2)=x2+6x+8, 将A(n,y1)代人y=x2+6x+8,得y1=n2+6n+8, 令n2+6n+8=3,解得n3=-5,n4=-1, ∴.当y1>3时，n的取值范围为n<-5或n>-1. 综上所述，当m=0时，n<-1或n>3;当m=-4 时，n<-5或n>-1. 第15节二次函数的实际应用 题型精讲攻重难 例1（(1)抛物线的函数表达式为y=一立(x-2)2+3 球不能射进球门，解答过程略； (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能 让足球经过点0正上方2.25m处，解答过程略. 变式1(1)范物线么的雨数表达式为y=一6+ 4,解答过程略； (2)MN=12m,解答过程略 6 浙江新中考 例2(1)y关于x的函数表达式为y=-0.5x+5(2 ≤x≤8，且x为整数)，解答过程略； (2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大 产量为12.5千克，解答过程略. 变式2(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车 每辆载客量为45人，解答过程略； (2)本次研学活动学校的最少租车费用是 27000元，解答过程略. 例3略 变式3(1)S=-2x2+80x; (2)当x=25时，矩形实验田的面积S能达到750 m2,解答过程略； (3)当x=20时，矩形实验田的面积S最大，最大面 积是800m2,解答过程略. 第四单元三角形 第16节线段、角、相交线与平行线 课前小测 1.两点确定一条直线2.①③④3.D4.70 5.140° 知识梳理 1 2 -2∠4180°∠4互补 题型精讲攻重难 例150°变式1A例22V3变式2B 例3B变式3B例4C变式4B 高频易错 例2cm或8cm 第17节三角形与全等三角形 课前小测 1.C2.A3.B4.A5.D6.D 知识梳理 212倍BC90°∠CAD 题型精讲攻重难 例1C变式1<例290变式2A 例3-1B例3-24 变式3-18变式3-210 例4如果a=b,那么lal=Ibl变式4真 例5(1)略；(2)证明略. 变式5(1)证明略；(2)∠CBE+∠BAD=60°，解答 过程略. 高频易错 例C 第18节等腰三角形 课前小测 1.C2.等腰3.120°4.A 知识梳理 60°三个角等腰三角形 学参考答案