第十五讲 二次函数及其图象-【新中考重难点解析】2026年中考数学复习

新中考重难点精析数学 第十五讲 二次函数及其图象 为任何实数时，都有y<0. 之、重点难点 3.二次函数的表达式 1.二次函数的性质：设y=ax2+bx+ (1)一般式：y=a.x2+bx+c(a≠0). c(a≠0)： (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0). (1)开口方向：当a>0时，抛物线开口 (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠ 向上；当a<0时，抛物线开口向下. 0) (2对称销：直线x=会 一般只要给出几对x,y的对应值或图 象上的几个点的坐标，就可以应用待定系 b Aac-62 (3)顶点坐标：（-2a,4a ) 数法确定函数表达式. 4.应用二次函数解决实际问题，体会 (4)增减性：若a>0,当x≤- b时，y 2 实际问题转化为数学模型的过程. 随x的增大而减小，当x≥- 会时y随x 二、例题精讲 的增大而增大；若a<0,当x≤- b时，y 2 【例1】二次函数y=x2+2x-3图象 的开口方向、顶点坐标分别是 ()》 随x的增大而增大，当x≥- 时y随x A.开口向上，顶点坐标为(-1，-4) 的增大而减小 B.开口向下，顶点坐标为(1,4) 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 C.开口向上，顶点坐标为(1,4) 图象与坐标轴的交点。 D.开口向下，顶点坐标为(-1，-4) (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为 【分析】根据a>0确定二次函数图 (0,c). 象开口向上，再将函数表达式整理成顶点 (2)当△=b2-4ac>0,图象与x轴交 式，然后写出顶点坐标 于两点，A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2 【解】.二次函数y=x2+2x-3的 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 二次项系数为a=1>0,∴.函数图象开口 两根，这两点间的距离AB=|x1一x2|= 向上 y=x2+2x-3=（x+1)2-4,.顶 合当4=0时，图象与x轴只有一个交 点坐标为(-1，-4). 点；当△<0时，图象与x轴没有交点，若a 故选A. >0,图象落在x轴的上方，x为任何实数时， 【点评】本题考查二次函数图象的开 都有y>0,若a<0,图象落在x轴的下方，x口方向和顶点坐标. g508 535.52 第三单元函数及其图象 【例2】如图，若二 【分析】先求出对称轴为x=-1,分 次函数y=ax2+bx+c(a m>0,m<0两种情况讨论解答即可求得m ≠0)图象的对称轴为x 的值. =1,与y轴交于点C,与 -170 【解】二次函数y=mx2+2mx+1= x轴交于点A,B,点B(-1,0),则①二次函 m(x+1)2-m+1, 数的最大值为a+b+c;②a-b+c<0;③b2 ∴.对称轴为直线x=-1, -4ac<0;④当y>0时，-1<x<3,其中 ①m>0,抛物线开口向上， 正确的个数是 ( x=-1时，有最小值y=-+1= A.1 B.2 C.3 D.4 -4, 【分析】直接利用二次函数图象的开 解得m=5; 口方向以及与x轴的交点，分析得出答案. ②m<0,抛物线开口向下， 【解】①.二次函数y=a.x2+bx+c 对称轴为直线x=-1,在-2≤x≤2 (a≠0)图象的对称轴为x=1,且开口向下， 时有最小值-4， .∴x=1时二次函数有最大值a+b+c,故 ∴.x=2时，有最小值y=4m+4m+1 ①正确. =-4, ②当x=-1时，a-b+c=0,故② 解得m=- 8 错误 故选C. ③图象与x轴有2个交点，故b2-4ac 【点评】 本题考查了二次函数的性 >0,故③错误， 质，熟练掌握二次函数的性质是解题的 ④图象的对称轴为x=1,与x轴交 关键. 于点A,B,点B(-1,0),.A(3,0),∴.当y 【例4】已知y关于x的二次函数y >0时，-1<x<3,故④正确， =x2-2m.x+2m+4,点P为抛物线顶点. 故选B. (1)若抛物线与y轴的交点坐标为点 【点评】此题主要考查了二次函数的 (0,2),求该二次函数的表达式 性质以及二次函数最值等知识，正确得出 (2)当点P的纵坐标取最大值时，m= A点坐标是解题关键， ,此时点P坐标为 【例3】已知二次函数y=x2+2x (3)在(2)的条件下，当n-3≤x≤n,函 +1(m≠0)在-2≤x≤2时有最小值-4， 数有最小值9，求n的值， 则m等于 ( 【分析】(1)由题意可知2m+4=2, A.5 R-5成8 解得m=-1,进而即可求得二次函数的表 达式 C.5或-8 D.-5或-8 5 (2)将抛物线一般式化为顶，点式得到 518 新中考重难点精析数学 顶，点P的坐标为(m,-m2+2m+4), 值为9， 把纵坐标-m2+2m+4化为-(m- ∴.(n-3-1)2+5=9,解得：m1=6,2 1)2+5的形式，即可得到结果。 =2 (3)由当x=1时，函数有最小值为5， .n-3≥1，即n≥4，∴.n=6. 当n-3≤x≤n时，函数有最小值为9可 综上所述，n的值为-1或6. 知，x的取值范围一定在对称轴的左边或右 【点评】本题主要考查了利用待定系 边，再分两种情况讨论即可求得的值. 数法求二次函数的表达式、二次函数的性 【解】(1).·二次函数y=x2-2mx+ 质以及最值的求法，求最值除了考虑开口 2+4与y轴的交点坐标为点(0,2)， 方向，还要考虑自变量的取值范围和对称 ∴.2m+4=2,∴.m=-1,∴.该二次函 轴的关系，这是解决本题的关键， 数的表达式为y=x2+2x+2. 【例5】某商店购进了一种消毒用品， (2)y=x2-2mx+2m+4=（x-m)2 进价为每件8元.在销售过程中发现，每天 +(-m2+2m+4), 的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存 .顶点P的坐标为(m,-m2+2m+ 在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整 4), 数).当每件消毒用品售价为9元时，每天 .-m2+2m+4=-(m-1)2+5, 的销售量为105件；当每件消毒用品售价 ∴.当m=1时，-m2+2m+4求得最 为11元时，每天的销售量为95件. 大值为5， (1)求y与x之间的函数关系式 ∴.当点P的纵坐标取最大值时，m= (2)若该商店销售这种消毒用品每天 1,此时P(1,5). 获得425元的利润，则每件消毒用品的售 故答案为：1，(1,5). 价为多少元？ (3)当m=1时，y=x2-2x+6=(x (3)设该商店销售这种消毒用品每天 1)2+5,这时当x=1时，函数有最小值 获利（元），当每件消毒用品的售价为多 为5， 少元时，每天的销售利润最大？最大利润 当n-3≤x≤n时，函数有最小值 是多少元？ 为9， 【分析】(1)根据给定的数据，利用待 ..x的取值范围一定在对称轴的左边 定系数法即可求出y与x之间的函数关 或右边. 系式 当n≤1时，x=n,函数有最小值为9， (2)根据每件的销售利润×每天的销 .(n-1)2+5=9,解得：n1=3,n2= 售量=425，解一元二次方程即可. -1 (3)利用销售该消毒用品每天的销售 n≤1，∴.n=-1. 利润=每件的销售利润×每天的销售量， 当n-3≥1时，x=n-3,函数有最小即可得出关于x的函数关系式，再利用 52 5o505 第三单元函数及其图象 二次函数的性质即可解决最值问题 A.图象的开口向上 【解】(1)设每天的销售量y(件)与每 B.图象的顶点坐标是(1,3) 件售价x(元)函数关系式为：y=kx+b, C.当x<1时，y随x的增大而增大 9k+b=105, D.图象与x轴有唯一交点 由题意可知： 11k+b=95, 2.二次函数y=x2的图象平移后经过 k=-5, 点(2,0)，则下列平移方法正确的是() 解得： b=150, A.向左平移2个单位，向下平移2个 y与x之间的函数关系式为：y= 单位 -5x+150. B.向左平移1个单位，向上平移2个 (2)(-5.x+150)(x-8)=425, 单位 解得：x1=13,x2=25(舍去)， C.向右平移1个单位，向下平移1个 ∴.若该商店销售这种消毒用品每天获 单位 得425元的利润，则每件消毒用品的售价 D.向右平移2个单位，向上平移1个 为13元. 单位 (3)w=y(x-8)=(-5x+150)(x- 3.如图，二次函数y 8), =a.x2+bx+c(a>0)的图 =-5.x2+190x-1200=-5(x- 象与x轴交于A,B两点， 19)2+605, 与y轴正半轴交于点C, .8≤x≤15，且x为整数， 它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中 当x<19时，随x的增大而增大， 正确的是 ∴.当x=15时，有最大值，最大值 A.abc0 为525 B.4ac-b2>0 答：每件消毒用品的售价为15元时， C.c-a>0 每天的销售利润最大，最大利润是525元. D.当x=-n2-2(n为实数)时，y≥c 【点评】本题考查了利用待定系数法 (二)填空题 求一次函数表达式以及二次函数的应用， 4.抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴 解题的关键是找准题目中的等量关系， 有交点，则k的取值范围是 5.根据物理学规律，如果不考虑空气 三、一课一练 阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成 (一)选择题 30°角的方向击出，小球的飞行高度h(单 1.已知二次函数y=-x2+2x+4,则 位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的函数关 下列关于这个函数图象和性质的说法，正 系是h=-5+20t,当飞行时间t为 确的是 s时，小球达到最高点. 538 新中考重难点精析数学 (三)解答题 7.为了落实劳动教育，某学校邀请农 6.如图，在平面直角坐标系中，二次函 科院专家指导学生进行小番茄的种植，经 数y=ax2+4x-3图象的顶点是A,且与x 过试验，小番茄平均单株产量y(单位：千 轴交于点B,C,与y轴交于点D,点B的坐 克)与每平方米种植的株数x(2≤x≤8，且 标是(1,0) x为整数)构成一种函数关系：每平方米种 (1)求A,C两点的坐标，并根据图象直 植2株时，平均单株产量为4千克；以同样 接写出当y>0时x的取值范围， 的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1 (2)平移该二次函数的图象，使点D移 株，单株产量减少0.5千克， 动至点A的位置上，求平移后图象所对应 (1)求y关于x的函数表达式 的二次函数的表达式 (2)每平方米种植多少株时，能获得最 大的产量？最大产量为多少千克？ gGec。 g548 5o504 第三单元函数及其图象 8.某公司销售一种商品，成本为每件 72+bx+c 30元，经过市场调查发现，该商品的日销售 9.如图，抛物线y=3+3 6 量y(件)与销售单价x(元)是一次函数关 与x轴交于A,B两点，点A,B分别位于原 系，其销售单价、日销售量的三组对应数值 点的左右两侧，BO=3AO=3,过点B的直 如下表： 线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C, 销售单价x(元) 40 60 80 D,BC=√3CD 日销售量y(件) 80 60 40 (1)求b,c的值. (1)直接写出y关于x的函数表达 (2)求直线BD的函数表达式， 式： (3)点P在抛物线的对称轴上且在x (2)求公司销售该商品获得的最大日 轴下方，点Q在射线BA上.当△ABD与 利润. 以B,P,Q为顶点的三角形相似时，请直接 (3)销售一段时间以后，由于某种原 写出所有满足条件的点Q的坐标. 因，该商品每件成本增加了10元，若物价 部门规定该商品销售单价不能超过a元， 在日销售量y(件)与销售单价x(元)保持 (1)中函数关系不变的情况下，该商品的日 销售最大利润是1500元，求a的值. 558第十五讲二次函数及其图象 .c2.c3.D4.k≤且k15.2 6.（1)把B(1,0)代入y=amx2+4x-3,得0=a+4-3,解得a=-1, y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,.A(2,1). ,对称轴为直线x=2,B,C关于x=2对称， .C(3,0),.当y>0时，1<x<3. (2)D(0,-3),.点D平移到点A的位置上，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个 单位，可得平移后抛物线的函数表达式为y=-(x-4)2+5. 7.解：(1)每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ∴y=4-0.5(x-2)=-0.5x+5. 答：y关于x的函数表达式为y=-0.5x+5,(2≤x≤8，且x为整数)， (2)设每平方米小番茄产量为W千克， 根据题意得：W=x（-0.5x+5)=-0.5x2+5x=-0.5(x-5)2+12.5, ,-0.5<0,∴.当x=5时，W取最大值，最大值为12.5. 答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克. 8.(1)设函数表达式为y=x+b,将（40,80)和(60,60)代入， 可得40k+b=80 解得： 60k+b=60 k=-1,所以y与x的关系式为y=-x+120, b=120 故答案为：y=-x+120. (2)设公司销售该商品获得的日利润为w元， w=(x-30)y=(x-30)（-x+120)=-x2+150x-3600=-(x-75)2+2025, .x-30≥0，-x+120≥0，.30≤x≤120.，a=-1<0,.抛物线开口向下，函数有最大 值，当x=75时，w最大=2025.答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元. (3)w=(x-30-10)（-x+120)=-x2+160x-4800=-(x-80)2+1600, 当w最大=1500时，-(x-80)2+1600=1500, 解得x1=70,x2=90,.40≤x≤a,∴.有两种情况. ①a<80时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大， 新中考重难点精析·数学·答案10 ∴.当x=a=70时，w最大=1500， ②a≥80时，在40≤x≤a范围内，w最大=1600≠1500， ∴.这种情况不成立，∴a=70. 9.(1)B0=3AO=3,.点B(3,0),点A(-1,0), ·抛物线函数表达式为：y=3hV3G+1）Gx-3》=332.33x-33 6 6 3 2 = 3+v3,c-.33 3 2 (2)如图，过点D作DE⊥AB于E, D EAO CO∥DE,BC_BO CD OE Bc=5cD,90=35-是0E=原点D微坐标为√5， .点D坐标为(-√3，√3+1). 设直线BD的函数表达式为：y=a+m,由题意可得： W3+1=-√3k+m,, 0=3k+m, 3 k=- 解得： 3 m=√3 令直线BD的函数表达式为y=x③】 (3)满是条件的点Q的坐标为(1-2E,0)或(-1,0)或1-2√5,0)或 3 3 (5-2W3,0). 新中考重难点精析·数学·答案11