第十三讲 一次函数及其图象-【新中考重难点解析】2026年中考数学复习

第三单元函数及其图象 第十三讲 一次函数及其图象 A.第一象限 B.第二象限 之、重点难点 C.第三象限 D.第四象限 1.正比例函数的定义：形如y=kx( 【分析】根据一次函数的图象与系数 为常数且k≠0)的函数叫做正比例函数. 的关系即可得出结论」 2.一次函数的定义：形如y=x+b(k, 【解】‘函数y=3x+b(b≥0)中，k b均为常数，且≠0)的函数叫做一次函数. 3>0,b≥0， 3.一次函数与正比例函数的关系：当 .当b=0时，此函数的图象经过一、 b=0时，一次函数就变为正比例函数，也就 三象限，不经过二、四象限； 是说，正比例函数是一次函数的特殊情形 当b>0时，此函数的图象经过一、二、 4.正比例函数y=kx的图象是一条过 三象限，不经过第四象限， (0,0),(1,k)的直线. 则一定不经过第四象限. 5.一次函数y=x+b的图象是一条 故选D. 过(-名0).(0,0的直线 【点评】本题考查的是一次函数的图 6.正比例函数、一次函数具有相同的 象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b 增减性：当k>0时，y随x的增大而增大； (k≠0)的图象所在的象限是解答此题的 当<0时，y随x的增大而减小. 关键。 7.一次函数y=kx+b的图象与k,b 【例2】若一次函数y=(k+3)x-1 的符号关系如下表： 的函数值y随x的增大而减小，则值可 k,b的符号 草图 k,b的符号 草图 能是 () y A.2 B. k>0,b>0 k<0,b>0 2 C. ,D.-4 【分析】 根据一次项系数小于0时， k>0,b<0 k<0,b<0 一次函数的函数值y随x的增大而减小列 出不等式求解即可. 8. 能运用一次函数解决实际问题， 【解】一次函数y=(k+3)x-1的 函数值y随着x的增大而减小， 之、咧题精讲 ∴k+3<0, 【例1】一次函数y=3x+b(b≥0)的 解得k<-3,所以k的值可以是-4. 图象一定不经过 故选D. 【点评】本题考查了一次函数的性 418 新中考重难点精析数学 质.在一次函数y=kx+b中，当k>0时，y (1)小敏去超市途中的速度是多少？ 随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增 在超市逗留了多少时间？ 大而减小 (2)小敏几点几分回到家？ 【例3】已知一次函数y=3x-1与y 【分析】(1)根据横坐标，可得去超市 =kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是 的时间，根据纵坐标，可得去超市的路程， 3x-y=1, 根据路程与时间的关系，可得速度.在超市 (1,2),则方程组 的解 kx-y=0 逗留的时间即路程不变化所对应的时 是 间段。 【分析】根据一次函数的交点坐标即 (2)求出返回家时的函数表达式，当y 可确定以两个一次函数表达式组成的二元 =0时，求出x的值，即可解答 一次方程组的解. 【解】(1)小敏去超市途中的速度是： 【解】一次函数y=3x-1与y= 3000÷10=300(米/分)， kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是 在超市逗留的时间为40-10=30（分）. (1,2), (2)设返回家时，y与x的函数表达式 .联立y=3x-1与y=kx的方程组 为y=kx+b, x=1, 把(40,3000)，(45,2000)代入得： 的解为： y=2, 3000=40k+b, k=-200, 解得 x=1, 12000=45k+b, b=11000, 故答案为： y=2. .函数表达式为y=-200x+11000, 【点评】本题考查了一次函数与二元 当y=0时，x=55, 一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐 ∴.小敏8：55回到家. 标与二元一次方程组的解的关系是解题的 【点评】本题考查了一次函数的应 关键. 用，观察函数图象获取信息是解题关键， 【例4】小敏上午8：00从家里出发， 骑车去一家超市购物，然后从这家超市返 三、一课一练 回家中.小敏离家的路程y(米)和所经过的 (一)选择题 时间x(分)之间的函数图象如图所示.请根 1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象 据图象回答下列问题： 经过点A(-3,0),点B(0,2),那么该图象 个y(米) 不经过的象限是 3000 A.第一象限 2000 B.第二象限 C.第三象限 0 10 4045 x(分》 D.第四象限 42 5o5 第三单元函数及其图象 2.若m<-2,则一次函数y=(m+1)x (三)解答题 +1-m的图象可能是 ( ) 7.如图，在平面直角坐标系中，直线y 2x1与直线y=-2x+2相交于点 P,并分别与x轴相交于点A,B. (1)求点P的坐标. B (2)求△PAB的面积. (3)请把图象中直线y=-2x+2在直 线y=-21-1上方的部分插黑加粗，并 1 D. 写出此时自变量x的取值范围、 3.将直线y=2x-3先向右平移2个 单位，再向上平移3个单位后，所得的直线 的表达式为 ( A.y=2x-4 B.y=2x+4 y=-2x+2 C.y=2x+2 D.y=2x-2 (二)填空题 4.已知正比例函数y=kx,当x=-2 时，y=10.则比例系数k= 5.如图，直线y=kx+b(k,b是常数，k ≠0)与直线y=2交于点A(4,2),则关于x 的不等式kx+b<2的解集为 y=kx+b 6.如图，在平面直角坐标系中，直线y 、 3x+4与x轴，y轴分别交于A,B两 点，点C在第二象限，若BC=OC=OA,则 8.一个深为6米的水池积存着少量水， 点C的坐标为 现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5 个时刻的水位高度，其中x表示进水用时 (单位：时)，y表示水位高度（单位：米） x 0 0.5 1.5 y 1.5 2.5 438 新中考重难点精析数学 为了描述水池水位高度与进水用时的 9.某校组织学生从学校出发，乘坐大 关系，现有以下三种函数模型供选择：y= 巴前往基地进行研学活动.大巴出发1小 kx+b(k≠0)，y=ax2+bx+c(a≠0)，y= 时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线 飞(k≠0). 追赶.已知大巴行驶的速度是40千米/时， 轿车行驶的速度是60千米/时. (1)在平面直角坐标系中描出表中数 (1)轿车出发后多少小时追上大巴？ 据对应的点，再选出最符合实际的函数模 此时，两车与学校相距多少千米？ 型，求出相应的函数表达式，并画出这个函 (2)如图，图中OB,AB分别为大巴、轿 数的图象 车离开学校的路程s(千米)与大巴行驶的 (2)当水位高度达到5米时，求进水用 时间t(时)的函数关系的图象.试求点B的 时x. 坐标和AB所在直线的表达式. y米) (3)假设大巴出发a小时后轿车出发 追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a 的值. s(千米) 5 6x(时) 40 (时) 448 5o553第十三讲一次函数及其图象 1.D2.D3.A4.-55.x<46.(-√5,2) 1 7.(1)由 y-乞x-1解得x=2，P(2,-2). y=-2x+2 y=-2 (2)直线)=合x-1与直线y=22中，令y=0,则之-1=0与 =-2与x=1,.A(-2,0),B(1,0),∴.AB=3, .SAPAB=- Byp=2×3×2=3. B - =-2x+2 (3)如图所示： 自变量x的取值范围是x<2. 8.解：（1)函数的图象如图所示： y(米) 6 -- J-上- T 33 大--1- 5 6x(小时) b=1, 根据图象可知：选择函数y=+b,将(0,1)，(1,2)代入，得 k+b=2, ∴.函数表达式为：y=x+1(0≤x≤5). (2)当y=5时，x+1=5,x=4. 答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时. 新中考重难点精析·数学·答案 8 2x+2=0,解得x k=1, 解得 b=1. 9.解：(1)设轿车出发后x小时追上大巴， 依题意得：40(x+1)=60x,解得x=2.∴.轿车出发后2小时追上大巴， 此时，两车与学校相距60×2=120（千米） 答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米。 (2)轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米， ∴大巴行驶了3小时，∴B(3,120), 由图象得A（1,0),设AB所在直线的表达式为s=t+b, :k=0解得k=60。，“AB所在直线的表达式为s=604-60。 3k+b=120 b=-60 3)依题意得：40(a+1.5)=60X15,解得a=三.∴a的值为子， 41 第十四讲反比例函数及其图象 .B2.C3.D4.A5.A6.9 ,0) 2 8.解：(1)设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S=Y,把点(20,5O0)代入解析式 d 得500= ,.V=10000. 20 (2)由(1)得S=10000,:S随d的增大而减小，当16≤4≤25时，400≤S≤625. d 9.解：D把4(a,2)的坐标代入=号x,即2=-2 a,解得a=-3,∴A(-3,2). 又：点A(-3,2)在反比例函数y=上的图象上，“k=-3X2=-6,“反比例函数的表达 式为)9 (2),点P(m,n)在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3， ∴.-3<m<0或0<m<3, 当m=-3时，n=6=2,当m=3时，n=-6=-2, -3 3 由图象可知，若点P(m,n)在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，n的取值范 围为n>2或n<-2. 新中考重难点精析·数学·答案9