第十讲 方程及方程组的应用-【新中考重难点解析】2026年中考数学复习

第二单元 方程与不等式 第十讲 方程及方程组的应用 18m),另三边用木栏围成，木栏长35m. 之重点难点 1.列一元一次方程解决实际问题. 2.列一元二次方程解决实际问题. 3.列二元一次方程组解决实际问题. (1)养鸡场的面积能达到150m吗？ 4.列分式方程解决实际问题 (2)养鸡场的面积能达到180m吗？ 5.根据现实情境理解方程的意义，能 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请 针对具体问题列出方程；理解方程解的 说明理由 意义. (3)若墙长为am,则a的大小是否会 二、咧题精讲 对题目的解产生影响？为什么？ 【解】(1)设与墙垂直的一边长为 【例1】公元前1700年的古埃及纸草 xm,则与墙平行的边长为(35-2x)m, 书中，记载着一个数学问题：“它的全部，加 可列方程为x(35-2x)=150,即2x2 上它的七分之一，其和等于19.”此问题中 -35.x+150=0,解得x1=10,x2=7.5, “它”的值为 当x=10时，35-2x=15;当x=7.5 【分析】设“它”为x,根据“它的全部， 时，35-2x=20>18(舍去). 加上它的七分之一，其和等于19”列出方 .养鸡场的面积能达到150m,方案是 程，求出方程的解得到x的值，即可确定 与墙垂直的一边长为10m,与墙平行的边 “它”的值， 长为15m. 【解】设“它”为x, (2)由(1)可列方程x(35-2x)=180, 根据题意得：c+7x=19,解得：x 即2.x2-35.x+180=0,计算△=352-4×2 ×180=-215<0, -133 8 ∴方程无解，即养鸡场的面积不能达 到180m2. 则它的值为故答案为：83 (3)是.因为与墙平行的木栏的长度不 【点评】此题考查了一元一次方程的 能超过墙的长度，因此α的大小限制了题 应用，弄清题中的等量关系是解本题的 目的解，在解答过程中要舍去不合适的解. 关键. 【点评】本题主要考查了一元二次方 【例2】如图，某农场要建一个长方 程在实际问题中的应用，通过判断判别式 形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长的正负确定方程是否有解.在解答过程中 weoR 298 新中考重难点精析数学 还要考虑实际问题的意义，对求得的解进 短途航空物流网络，以提高物流效率.某公 行取舍 司采用“站点对站点”的无人机快递运送模 【例3】在边长为1的小正方形组成 式，选用了A,B两种型号的无人机，已知A 的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格 型号无人机平均每分钟比B型号无人机多 纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样 飞行150米.若两站点之间的距离为5000 的多边形称为格点多边形.记格点多边形 米，A型号无人机单程所需时间是B型号 内的格点数为a,边界上的格点数为b,则格 点多边形的面积可表示为S=ma+nb-1, 无人机单程所需时间的号，若不计停留时 其中m,n为常数. 间，求A型号无人机在两站点之间往返的 (1)在下面的方格纸中各画出一个面 飞行时间. 积为6的格点多边形，依次为三角形、平行 四边形（非菱形）、菱形. (2)利用(1)中的格点多边形确定m,n 的值. 【分析】设B型号无人机单程的飞行 ---i---- 时间为x分钟，则A型号无人机单程的飞 行时间为号工分钟，利用速度=路程÷时 三角形 平行四边形（非菱形）菱形 间，结合A型号无人机平均每分钟比B型 【解】 (1)作图如下（答案不唯一）： 号无人机多飞行150米，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出B型 号无人机单程的飞行时间，再将其代入2 三角形 平行四边形（非菱形） 菱形 4 (2)三角形：a=4,b=6,S=6, x中即可得出结论 平行四边形（非菱形）：a=3,b=8,S 【解】设B型号无人机单程的飞行时 二6， 间为x分钟，则侧A型号无人机单程的飞行 菱形：a=5,b=4,S=6. 任选两组代入S=ma+nb-1,如： 时间为号x分钟， 6=4m+6n-1, m=1, 依题意得.5000 解得1 4 5000=150, 2 6=3m+8n-1, n22 【点评】本题考查方程思想和数形结 解得：x=25 , 合思想的应用. 经检验，x= 2 【例4】随着国内快递业务量的迅速 3是原方程的解，且符合 增长，物流行业开始尝试通过无人机打造 题意， g308 555 第二单元方程与不等式 x=2×4×25=40 2X4 5.我国古代问题：以绳测井，若将绳三 3-3 折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多 答：A型号无人机在两站点之间往返 一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子 的飞行时问为智分钟。 量井深，若将绳子折成三等份来量，井外余 绳四尺，若将绳子折成四等份来量，井外余 【点评】本题考查了分式方程的应 绳一尺，问井深几尺？则该问题的答案是 用，找准等量关系，正确列出分式方程是解 尺 题的关键， (三)解答题 三一课一练 6.某汽车专卖店销售A,B两种型号 的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3 (一)选择题 辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2 1.一个两位数，个位数字与十位数字的 辆A型车和1辆B型车，销售额为62 和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所 万元 得新数比原数小9，则原两位数是( (1)求每辆A型车和B型车的售价各 A.45B.27C.72D.54 为多少元？ 2.某年级举办篮球友谊赛，参赛的每 (2)甲公司拟向该店购买A,B两种型 两个队之间都要比赛一场，共要比赛36 号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130 场，则参加此次比赛的球队数是( 万元，且不超过140万元，则有哪几种购车 A.6B.7C.8D.9 方案？ 3.五一劳动节期间，某校开展了以“劳 动光荣”为主题的教育活动，组织全校教师 和部分学生去郊区植树.已知老师平均每 小时比学生多植5棵，且老师植树60棵所 需的时间与学生植树45棵所需的时间相 同，老师平均每小时植树 A.10棵 B.15棵 C.20棵 D.25棵 (二)填空题 4.1瓶水倒满7个大杯和6个小杯 后，还余30克的水；或倒满9个大杯和4个 小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满 个大杯和 个小杯后，没 有剩余。 831 新中考重难点精析数学 7.如图所示，在△ABC 施工方案： 中，∠C=90°，AC=6cm,BC 方案一 甲队单独完成这项工程，刚 =8cm,点P从点A出发沿 好按规定工期完成： 边AC向点C以1cm/s的速 方案二乙队单独完成这项工程，要 度移动，点Q从点C出发沿边CB向点B 比规定工期多用6天； 以2cm/s的速度移动. 方案三若由甲、乙两队合作做5天， (1)如果P,Q同时出发，几秒钟后，可 剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定 使△PCQ的面积为8cm2? 工期完工 (2)在点P,Q移动过程中，是否存在某 (1)请你求出完成这项工程的规定 一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的 时间. 面积的一半.若存在，求出运动的时间；若 (2)如果你是工程领导小组的组长，为 不存在，请说明理由. 了节省工程款，同时又能如期完工，你将选 择哪一种方案？说明理由。 8.某广场筹建之初的一项挖土工程招 标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每 施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元， 付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小 组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种 ge心 g32 5o505∴.此方程的解是x=4 8.（1)设B型芯片的单价为x元，则A型芯片的单价为(x-9)元，根据题意得： 3120 x-9 4200,解得：35，经检验，35是原方程的解，x-926。 答：A型芯片的单价为26元，B型芯片的单价为35元. (2)设购买a条A型芯片，则购买(200-a)条B型芯片， 根据题意得：26a+35(200-a)=6280,解得：a=80.答：购买了80条A型芯片. 第十讲方程及方程组的应用 1.D2.D3.C4.10;35.8 6.(1)设每辆A型车和B型车售价分别是x万元、y万元.则x+3y=96 x=18 2x+y=62' 解得 y=26 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元： 18a+26(6-a)≥130 (2)设购买A型车a辆，则购买B型车(6-a)辆，则依题意得 018a+26(6-)5140,解 得25心}“a是正整数。2或a3.。共有两种方案：方案-：购买2辆4型车和4 辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车. 7.(1)设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2.由题意得，AP=xcm,PC-(6-x)cm, CQ-2xcm,则(6-x2x=8.整理，得x2-6x+8-0,解得x1=2,2=4.所以P、Q同时出发， 2s或4s后可使△PC2的面积为8cm2, (2)由题意得：SA0C-xAC-BC-ix6×8=24,即：2x20(6-x)之x24,2-6x+12=0, △=62.4×12=-12<0，该方程无解，所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半 的时刻. 8.解：(1)设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队 需(x+6)天完成这项工程， 根据题意得：5X(上+1)+X5=1,解得：x=30, xx+6 x+6 经检验，x=30是原方程的解，且符合题意. 答：完成这项工程的规定时间为30天. 新中考重难点精析·数学·答案5 (2)选择方案三，理由如下： 方案一需付工程款：2.4×30=72（万元）： 方案二不能如期完工，不符合题意； 方案三需付工程款：2.4×5+1.8×30=66（万元）. 72>66,.选择方案三. 第十一讲一元一次不等式（组）及应用 03.a-14.6<a≤85.-2≤x 6.(1)(-2)※√3=(-2)2×3-(-2)×√3-3W3=4W3+2W3-3W3=3W3: (2)3※m≥-6，则32m-3m-3m≥-6，解得：m≥-2，将解集表示在数轴上如下： 432-101234 7.解：(1)设1辆大型垃圾车一次运输x吨垃圾，1辆小型垃圾车一次运输y吨垃圾， 根据题意，得 2x+3y=26 5x+4y=58 解得：x=10 (y=2 答：1辆大型垃圾车一次运输10吨，1辆小型垃圾车一次运输2吨垃圾. （2)设派出a辆大型垃圾车，则派出（12-a)辆小型垃圾车，总费用为w元， 根据题意，得w=300a+150(12-a)=150a+1800, 根据题意，符10u212-0)≥60，架得：8>号号<a≤12， ,k=150>0,.w随a的增大而增大，当a=5时，w最小=150×5+1800=2550（元）， 12-5=7（辆). 答：派出5辆大型垃圾车，7辆小型垃圾车时总费用最少，最少为2250元. 8.(1)设甲种手机购进x部，由题意，得 155000-4000x 300x+500× ≥20000 2500 解得：x≤22 两种手机数量都为整数，.×的最大值为20. ∴.乙种手机应该购进（155000-4000×20)÷2500=30（部）， ∴.要想尽可能多地购进甲种手机，应该购进甲种手机20部，乙种手机30部. 新中考重难，点精析·数学·答案6