第九讲 分式方程及应用-【新中考重难点解析】2026年中考数学复习

新中考重难点精析数学 第九讲 分式方程及应用 正确的解答过程如下： 之重点难点 去分母，得1-(x-2)=x, 1.分式方程的有关概念及解法， 去括号，得1-x+2=x, 2.解分式方程的两种基本方法：去分 移项，得-x-x=-1-2, 母法和换元法， 合并同类项，得-2x=-3, 3.了解分式方程产生增根的原因，会 判别增根， 两边同除以一2，得x多 4.利用分式程解决实际问题， 经检验，x= 是原方程的解。 二咧题精讲 原方程的解是x三多· 【例】小明解方程上-飞二2=1的 【点评】解分式方程的基本思想是 “转化思想”，把分式方程转化为整式方程 过程如图.请指出他解答过程中的错误，并 求解，解分式方程一定要验根 写出正确的解答过程， 解：方程两边同乘x得 【例2】若关于x的分式方程，名+ 1-(x-2)=1…① 去括号得 工+m=2有增根，则m的值是 1-x-2=1 …② 3-x 合并同类项得 【分析】分式方程两边同乘(x-3), -x-1=1 …③ 得2-（x+m)=2(x-3), 移项得 -x=2 …④ 将增根x=3代入，解得m=-1. 解得 x=-2 …⑤ 【解】-1. 原方程的解为 【点评】增根的本质是去分母后整式 x=-2 …⑥ 方程的根却不是原分式方程的根，故分式 【分析】首先去分母，观察可得最简 方程有可能无解， 公分母是x,方程两边乘最简公分母，可以 【例3】已知关于x的方程3x+9= x-2 把分式方程转化为整式方程求解，然后解 1 一元一次方程，最后检验即可. x-2+1有正根，求a的取值范围。 【解】小明的解答过程有三处错误： 【解】方程两边都乘(x-2)得： 步骤①去分母错误；步骤②去括号错 误；步骤⑥之前缺少检验步骤， 3x+a=1+x-2,解得：x=-a1 2 26 5555- 第二单元方程与不等式 由想意得：士>0.且-“2。 .∴x+20=25. 2 ∴.购买该品牌的一个台灯需要25元， 解得：a<-1且a≠-5. 一个手电筒需要5元. ∴.a的取值范围是a<-1且a≠-5. (2)设荣庆公司购买台灯的个数为a 【点评】注意：x=2是增根 个，则还需购买手电筒的个数为(2a+8 【例4】荣庆公司计划从商店购买同 a)个， 一种品牌的台灯和手电筒，已知购买一个 由题意得25a+5(2a+8-a)≤670， 台灯比购买一个手电筒多用20元，若用 解得a≤21. 400元购买台灯，用160元购买手电筒，则 荣庆公司最多可以购买21个该品 购买台灯的个数是购买手电筒个数的 牌的台灯 一半. 【点评】本题考查了分式方程和一元 (1)求购买该品牌的一个台灯、一个手 一次不等式的应用，解题关键除了找准数 电筒各需要多少元？ 量关系外，还应注意用分式方程解决实际 (2)经商谈，商店给予荣庆公司购买一 问题时的双重检验，既要验是否是方程的 个该品牌的台灯赠送一个该品牌的手电筒 根，又要验是否符合实际 的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数 是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购 三、一课一练 买台灯和手电筒的总费用不超过670元， (一)选择题 那么荣庆公司最多可以购买多少个该品牌 的台灯？ 1分式方程品21的解为 【分析】(1)题中的等量关系有两个： ①台灯的单价=手电筒的单价+20元.② A.1 B.2 c D.0 购买台灯的教量=购买手电筒的数量×2 2.对于非零的两个实数a,b,规定a①b 用“金额÷单价=数量”来列分式方程，并 解之.(2)利用“购买台灯的金额+购买非 =1-1,若2©(2x-1)=1.则x的值为 b a 赠送的手电筒的金额≤670元”列一元一次 ( 不等式，解之即可、 4. 6 BC D- 【解】(1)设购买一个手电筒需要x 3.“绿水青山就是金山银山.”某工程 元，则购买一个台灯需要(x+20)元，根据 队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为 题意，得090=10·} 2 了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工 解得x=5, 作效率比原计划提高了25%，结果提前30 经检验，x=5是原方程的解. 天完成了这一任务.设实际工作时每天绿 27 新中考重难点精析数学 化的面积为x万平方米，则下面所列方程 8.某公司购买了一批A、B型芯片，其 中正确的是 ( 中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9 A. 60 60 =30 元，已知该公司用3120元购买A型芯片的 x(1+25%)x 条数与用4200元购买B型芯片的条数 60 B.1+25%)x 60二30 相等. (1)求该公司购买的A、B型芯片的单 C 60×(1+25%)-60=30 价各是多少元？ D.60 60×(1+25%)=30 (2)若两种芯片共购买了200条，且购 2 买的总费用为6280元，求购买了多少条A (二)填空题 型芯片？ 4.当m= 时，解分式方程 号3”会出现增根 5、若分式方程十骨=a无解，则a的 值为 6.关于x的分武方程，2+2= 的解为正实数，则飞的取值范围 是 (三)解答题 7.解分式方程： (1)13 0x-2=2x-3 (2)2x=1 x+3x+3+1. wo g288 5o5049.（1)5x+2y=7 x=1(答案不唯一)(2)C（3)设购买笔记本x本，钢笔y支，3x+5y=35 y=1 5,1 >0.0<x<35xy是正整数，.x=5=10 5 35-3x>0 3 1y=41y=1 第八讲一元二次方程解法及应用 1.C2.A3.A4.15.50% 6.①x=-2,为=0.(2)x=x=3 7..关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，∴，b2-4ac=4-4(2m-1)≥0，解得：m≤ 1.m为正整数，m=1,.原方程可化为x2-2x+1=0,则(x-1)2=0,解得：x1=2=1. 8.(1)450+450×12%=504(万元). 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元. (2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x, 依题意，得：350(1+x)2=504, 解得：x1=0.2=20%,x2=-2.2（不合题意，舍去). 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%. 9.设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半. 据题意，得：7(6)(8-x)=××6 22 整理，得：x2-14x+24=0 (x-7)2-25即x1=12,x2=2 x1=12,x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去， 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半. 第九讲分式方程及应用 1.A2.A3.C4.25.±16.k>-2且k≠2 7.（1)去分母得：2x-3=3x-6,解得：x=3,经检验x=3是分式方程的解， ∴此方程的解是x=3; (2)去分母得：2x=1+x+3,解得：x=4,经检验，x=4是原方程的解， 新中考重难，点精析·数学·答案4 ∴.此方程的解是x=4 8.（1)设B型芯片的单价为x元，则A型芯片的单价为(x-9)元，根据题意得： 3120 x-9 4200,解得：35，经检验，35是原方程的解，x-926。 答：A型芯片的单价为26元，B型芯片的单价为35元. (2)设购买a条A型芯片，则购买(200-a)条B型芯片， 根据题意得：26a+35(200-a)=6280,解得：a=80.答：购买了80条A型芯片. 第十讲方程及方程组的应用 1.D2.D3.C4.10;35.8 6.(1)设每辆A型车和B型车售价分别是x万元、y万元.则x+3y=96 x=18 2x+y=62' 解得 y=26 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元： 18a+26(6-a)≥130 (2)设购买A型车a辆，则购买B型车(6-a)辆，则依题意得 018a+26(6-)5140,解 得25心}“a是正整数。2或a3.。共有两种方案：方案-：购买2辆4型车和4 辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车. 7.(1)设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2.由题意得，AP=xcm,PC-(6-x)cm, CQ-2xcm,则(6-x2x=8.整理，得x2-6x+8-0,解得x1=2,2=4.所以P、Q同时出发， 2s或4s后可使△PC2的面积为8cm2, (2)由题意得：SA0C-xAC-BC-ix6×8=24,即：2x20(6-x)之x24,2-6x+12=0, △=62.4×12=-12<0，该方程无解，所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半 的时刻. 8.解：(1)设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队 需(x+6)天完成这项工程， 根据题意得：5X(上+1)+X5=1,解得：x=30, xx+6 x+6 经检验，x=30是原方程的解，且符合题意. 答：完成这项工程的规定时间为30天. 新中考重难点精析·数学·答案5