第八讲 一元二次方程解法及应用-【新中考重难点解析】2026年中考数学复习

新中考重难点精析数学 第八讲 一元二次方程解法及应用 ax2+bx+c=0(a≠0)的配方过程：一般先 之、重点难点 把二次项系数变为1，即方程两边除以a, 1.只含有一个未知数，且未知数的最 然后把常数项移到方程右边，再在方程两 高次数是2的整式方程叫做一元二次方 边加上一次项系数一半的平方即可 程，它的一般形式为a.x2+bx+c=0(a,b,c 【例2】若m是一元二次方程x2-3x 是已知数，a≠0)，其中ax2,bx分别叫做二 1=0的根，则代数式3n-的值为() 次项、一次项；a,b,c分别叫做二次项系数、 A.0 B.-1C.1 D.±1 一次项系数、常数项。 【分析】把x=m代入方程得到关系 2.理解配方法，能用配方法、公式法、 式，整理后代入原式计算即可求出值， 因式分解法解数字系数的一元二次方程. 【解】把x=m代入方程x2-3x-1 3.会用一元二次方程根的判别式判别 =0,得m2-3-1=0, 方程是否有实根及两个实根是否相等， 所以m2-3m=1, 4.根据现实情境理解方程的意义，能 所以3m-m2=-(m2-3m)=-1. 针对具体问题列出方程；理解方程解的 故选B. 意义. 【点评】此题考查了一元二次方程的 解，方程的解即为能使方程左右两边相等 三列题精讲 的未知数的值 【例1】 一元二次方程x2-6.x-5=0 【例3】选择合适的方法解下列方程： 配方，可变形为 ( (1)4(2x-1)2=36. A.(x-3)2=14 B.(x-3)2=4 (2)x2-2√5x=6. C.(x+3)2=14 D.(x+3)2=4 (3)(3x+1)2=9x+3. 【分析】一元二次方程的配方法：先 【分析】(1)可以用因式分解法，但直 把方程的常数项移到右边，然后在方程两 接开平方法更简单.(2)可以用公式法，但 边都加上一次项系数一半的平方，这样方 配方法更简单.(3)可以展开后用公式法，但 程左边就配成了完全平方式· 若把(3x+1)看成整体，用因式分解法更简单 x2-6x-5=0,.x2-6x=5,x2 【解】(1).4(2x-1)2=36 6x+9=5+9,.（x-3)2=14. .(2x-1)2=9 故选A. 两边直接开平方，得2x-1=±3， 【解】A. .∴.x1=2,x2=-1. 【点评】本题考查了一元二次方程 (2)将方程x2-2√3x=6两边同加 g22 535.5- 第二单元方程与不等式 (5)2,得x2-23x+(3)2=6+(3)2, 通道，且宽度相等.已知铺花砖的面积为 .(x-3)2=9, 640平方米. 52 两边直接开平方，得x-√5=±3， ∴.x1=√5+3，x2=√5-3. (3).(3x+1)2=9x+3, (1)通道的宽是多少米？ .(3x+1)2-3(3x+1)=0, (2)该停车场共有车位64个，据调查 .(3x+1)(3x+1-3)=0, 分析，当每个车位的月租金为200元时，可 2 =3 全部租出；当每个车位的月租金每上涨10 【点评】由于解一元二次方程方法多 元，就会少租出1个车位.为了维护消费者 样，一定得根据方程特征，灵活选用方法 利益，物价部门规定，每个车位租金不得超 【例4】已知关于x的方程(k-1)x2 过500元，要想让停车场的月租金收入为 -2kx+k+2=0有解，则k的取值范围是 14400元，每个车位的月租金应上涨多 少元？ 【分析】分两种情况：当k-1=0时，方 【分析】(1)设通道的宽为x米，根据 程是一元一次方程；当k-1≠0时，方程是一 矩形的面积公式列出方程并解答即可 元二次方程，由此可知判别式的值大于等于 (2)设每个车位的月租金上涨a元，则 0,最后综合两种情况求出的取值范围， 租出的车位数量为(64-品)个，再根据“月 【解】当k=1时，方程为一元一次方 租金=每个车位的月租金×租出的车位 程-2x+3=0,其有一个解， 数”列方程并求解， 当≠1时，方程为一元二次方程，其 【解】(1)设通道的宽为x米， 有两个相等或不相等的实数根， 根据题意，得(52-2x)(28-2x) ∴.△=(-2)2-4(k-1)(k+2)≥0，解 =640, 得k≤2，即k≤2且k≠1. ∴.x2-40x+204=0, 综上所述，k的取值范围是k≤2 ..(x-6)(x-34)=0, 【点评】当方程含有字母系数时，不 ∴.x=6或x=34(不符合实际，舍去). 能光从形式上确定方程类型，而是应抓住 答：通道的宽是6米。 每一类方程的概念本质特征。 (2)设每个车位的月租金上涨a元，停 【例5】社区利用一块矩形空地建了 车场的月租金收入为14400元， 一个小型的惠民停车场，其布局如图所示， 已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影 根据题意，得(200+a)(64- 部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是=14400， 23 新中考重难点精析数学 整理，得a2-440a+16000=0, 解得，a=400或a=40, .400+200>500, 绿地 .∴a=400不符合题意，舍去， 5.2022年10月16日上午，举世瞩目 ∴.a=40(元). 的中共二十大召开.非凡十年，沧桑巨变， 故每个车位的月租金上涨40元时，停 我国人均GDP从约3.6万元增加到8.1万 车场的月租金收入为14400元. 元.假如每一个5年里人均增长率不变，则 【点评】此题考查了一元二次方程的 这个人均增长率约为 应用，正确理解题意找出等量关系列出方 (三)解答题 程是解答此题的关键. 6.选用合适的方法解下列方程： 三、一课一练 (1)(2x+1)2=(.x-1)2. (一)选择题 1.一元二次方程x2=2x的根为（ A.x=0或x=-2 B.x=2 (2)3x2-3x=2(x-1). C.x=0或x=2 D.x=0 2.将一元二次方程x2-8x-5=0化 成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式，则a,b 的值分别是 ) 7.关于x的方程x2-2x+2m-1=0 A.-4,21 B.-4,11 有实数根，且m为正整数，求m的值及此 C.4,21 D.-8,69 时方程的根. 3.已知等腰三角形的两边长分别是一 元二次方程x2-6x+8=0的两根，则该等 腰三角形的底边长为 A.2 B.4 C.8 D.2或4 (二)填空题 4.如图，在一块长15m、宽10m的矩 形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的 道路，剩余空地栽种花草.要使绿化面积为 126m,则修建的道路宽应为 m. ws g248 5355 第二单元方程与不等式 8.去年某商店“十一黄金周”进行促销 9.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°， 活动期间，前六天的总营业额为450万元， AC=6m,CB=8m,点P,Q同时由A,B两 第七天的营业额是前六天总营业额 点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移 的12%. 动，它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ (1)求该商店去年“十一黄金周”这七 的面积为Rt△ACB面积 天的总营业额， 的一半？ (2)去年，该商店7月份的营业额为 350万元，8、9月份营业额的月增长率相 同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9 月份的营业额相等，求该商店去年8、9月 份营业额的月增长率. WER 259.（1)5x+2y=7 x=1(答案不唯一)(2)C（3)设购买笔记本x本，钢笔y支，3x+5y=35 y=1 5,1 >0.0<x<35xy是正整数，.x=5=10 5 35-3x>0 3 1y=41y=1 第八讲一元二次方程解法及应用 1.C2.A3.A4.15.50% 6.①x=-2,为=0.(2)x=x=3 7..关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，∴，b2-4ac=4-4(2m-1)≥0，解得：m≤ 1.m为正整数，m=1,.原方程可化为x2-2x+1=0,则(x-1)2=0,解得：x1=2=1. 8.(1)450+450×12%=504(万元). 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元. (2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x, 依题意，得：350(1+x)2=504, 解得：x1=0.2=20%,x2=-2.2（不合题意，舍去). 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%. 9.设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半. 据题意，得：7(6)(8-x)=××6 22 整理，得：x2-14x+24=0 (x-7)2-25即x1=12,x2=2 x1=12,x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去， 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半. 第九讲分式方程及应用 1.A2.A3.C4.25.±16.k>-2且k≠2 7.（1)去分母得：2x-3=3x-6,解得：x=3,经检验x=3是分式方程的解， ∴此方程的解是x=3; (2)去分母得：2x=1+x+3,解得：x=4,经检验，x=4是原方程的解， 新中考重难，点精析·数学·答案4