第七讲 二元一次方程组及其解法-【新中考重难点解析】2026年中考数学复习

新中考重难点精析数学 9.某中学为了表彰在书法比赛中成绩 老师为什么这么说. 突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45 支，共用了2055元，其中每支毛笔比钢笔 贵4元 (1)钢笔和毛笔的单价各为多少元？ (2)学校还需购买上面的两种笔共105 支（每种笔的单价不变）.陈老师做完预算 后，对财务处王老师说：“我这次买这两种 笔需支领2859元.”王老师算了一下，说： “如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯 定算错了.”请你用学过的方程知识解释王 第七讲 二元一次方程组及其解法 -1)=7,去括号即可. 之重点难点 y=x-1,① 【解】 将①式代入 1.含有两个未知数，且含有未知数的 x+2y=7,② 项的次数都是1，由这样的几个整式方程所 ②式， 组成的方程组叫做二元一次方程组 得x+2(x-1)=7, 2.掌握消元法，能解二元一次方程组. .x+2x-2=7, 3.根据现实情境理解方程的意义，能 故选B. 针对具体问题列出方程；理解方程解的 【点评】本题考查了解二元一次方程 意义. 组，利用消元法解二元一次方程组是解题 关键. 例题精讲 3.x+2y=9, 【例2】二元一次方程组 【例1】 对于二元一次方程组 x-2y=3 「y=x-1,① 的解是 () 将①式代入②式，消去y可 x+2y=7,② x=1, x=3, A. B. 以得到 ( y=-1 y=-1 A.x+2x-1=7 B.x+2.x-2=7 x=5, x=3, C. D. C.x+x-1=7 D.x+2x+2=7 y=-3 y=0 【分析】将①式代入②式，得x+2(x 【分析】 ①+②得出4x=12,求出x, 18 5o553 第二单元方程与不等式 再把x=3代入②求出y即可. 【解】(1)把方程变形为x=1-3y,则 3x+2y=9,① /x=-2,「x=1, 【解】 两个解为y=1,=0: (答案不唯一) x-2y=3,② ①+②，得4x=12, 2x+7y=-17, (2) (答案不唯一) 解得：x=3, x+y=-1. 把x=3代入②，得3-2y=3, (3)设这个二元一次方程为y=kx+m 解得：y=0, (k,m为常数，且k≠0)： x=3, 所以原方程组的解是 把1=2 y=0, y=-1,y=3 代人， 故选D. k+m=-1, 得： 【点评】本题考查二元一次方程组的 2k+m=3. 解法，掌握消元法，通过消元法把二元一次 k=4, 解得 ∴.y=4x-5. 方程组转化成一元一次方程是解此题的 m=-5, 关键. 当x=1.5时，y=4x-5=1, 【例3】(1)写出方程x+3y=1的两 rs1.5, 也是这个方程的解， 个解： y=1 x=2, .所求的二元一次方程为y=4x-5. (2)写出解为 且由两个二元 y=-3, 【点评】 一个二元一次方程实质就是 一次方程组成的方程组： 两个变量之间的一次函数关系. (3)求作一个二元一次方程，使它的三 【例4】 已知x,y满足方程组 ∫x=1，fx=2,fx=1.5, x+6y=12, 组解为y=-1y=3.y-1 则x+y的值为 () 3x-2y=8, 【分析】第(2)小题，只要任意构造出 A.9 B.7 C.5 D.3 含x,y的两个对应项系数不为0的一次 【分析】方程组中两方程相加求出x 式，如3x-6y,2x+5y,并求出它的值. íx+6y=12,① +y的值即可. 第(3)小题要求一个二元一次方程，二 3x-2y=8,② 元一次方程的一般形式是ax+by=c(a,b, ①+②得：4x+4y=20,则x+y=5. c是常数，且a≠0，b≠0).可把它变形为y 【解】C 【点评】本题考查二元一次方程组的 =-名x+后，即可变形为y=x+m(,m 解及代数式的变形 为常数，且≠0)（其实一次函数式即为一 【例5】《孙子算经》中有一道题，原文 个二元一次方程)，则只需确定k,m两个待 是：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四 定常数， 尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？” 198 新中考重难点精析数学 意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还 3 x+by=5, 剩余4.5尺.将绳子对折再量长木，长木还 的解，则x+2y的算术平方 剩余1尺，求木长多少尺？ ax-by=2 【分析】本题的等量关系是：绳长 根为 木长=45尺：木长-绳长=1尺，据此可 A.3 B.3,-3 C.3 D.√3，-3 列方程组求解 (二)填空题 【解】设绳长x尺，木长y尺， 4.如果|x-2y+1与(x+y-5)2互为 x-y=4.5, 相反数，那么x= ,y= 依题意得， 1 两式相加，得 y- 2x=1, 5.已知关于x,y的方程 2x+y=2a+1, x=11,代入得y=6.5. 的解满足x+y=-3,则a 答：木长6.5尺. x+2y=5-5a 【点评】此题考查二元一次方程组问 的值为 题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对 6.篮球联赛中，每场比赛都要分出胜 方程组，求准解 负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队 14场比赛得到23分，则该队胜了 课练 场 (一)选择题 (三)解答题 2x+y=4, 7.解下列方程组： 1.方程组 的解是( x-y=-1 x+3y=8, (1) x=1, x=-3, 5.x-3y=4. A. y=2 y=-2 x=2, x=3, C y=0 y=-1 2.已知代数式号1y与-3xy 是同类项，那么a,b的值分别是 ( (2) 后+1= a=2, a=2, 2(x+1)-y=6. A. B b=-1 b=1 a=-2, b=-1 C. D a=-2, b=1 a=2, 3. 若 是二元一次方程组 b=1 g20 第二单元方程与不等式 8.2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩 由2与3互质，可知：x为3的倍数，从 和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱. 而x=3,代入：y=4- 号×3=2 已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容 融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩 x=3, .2x+3y=12的正整数解为 毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000 y=2. 问题：(1)请你写出一个二元一次方程 元.这两种毛绒玩具的单价各是多少元？ 并 写出它的一 组正整数 解： 2)者2为自然数，则满足条件的z 有 () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (3)九年级某班为了奖励学习进步的 学生，购买了单价为3元的笔记本与单价 为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，有 几种购买方案？ 9.阅读下列材料，然后解答后面的 问题. 我们知道方程2x+3y=12有无数组 解，但在实际生活中我们往往只需要求出 其正整数解， 例：由2x+3y=12得：y=12,2x=4 3 号y为正数致. x>0, 则有0<x<6. 12-2x>0, 又y=4-号x为正整数，则号r为正 整数. 8218答：长方体盒子的容积为18√2cm3, (2)长方体盒子的侧面积为：(5√2-2W2)×√2×4=24(cm2), 答：这个长方体盒子的侧面积为24cm2, 第六讲一元一次方程及其解法 1.B2.D3.D4.D5.-26.-67.9 8.1)解：=7-皆名x=7号（2)解：56x石4-4x+6六5x+1=日04， 36 6 9.解：（1)设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为(x+4)元，根据题意得：30x+45(x+4) =2055,解得：x=25,.x+4=25+4=29.答：钢笔的单价为25元，毛笔的单价为29元. (2)设购买y支钢笔，则购买（105-y)支毛笔，根据题意得：25y+29(105-y)=2859, 解得：y=46.5,又y为正整数，y=46.5不符合题意，.陈老师不能用2859元购买两种笔 105支. 第七讲二元一次方程组及其解法 1.A2.A3.C4.3;25.56.9 7.解：(1)x+3y=80 ①+②，得6x=12,解得x=2,将x=2代入①中，得2+3y=8, 5x-3y=4② 解得y一2，“方程组的解为x2 y=2. (2)原方程组可化为 x=3y-3① 将①代入②中，得2（3y-3)-y=4,解得y=2, 2x-y=4② 将y=2代入①中，得x=3,.方程组的解为 x=3 y=2. 8.解：设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元， 依题意得： x+2y=400 3x+4y=1000 x=200 解得： y=100 答：冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元， 新中考重难点精析·数学·答案3 9.（1)5x+2y=7 x=1(答案不唯一)(2)C（3)设购买笔记本x本，钢笔y支，3x+5y=35 y=1 5,1 >0.0<x<35xy是正整数，.x=5=10 5 35-3x>0 3 1y=41y=1 第八讲一元二次方程解法及应用 1.C2.A3.A4.15.50% 6.①x=-2,为=0.(2)x=x=3 7..关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，∴，b2-4ac=4-4(2m-1)≥0，解得：m≤ 1.m为正整数，m=1,.原方程可化为x2-2x+1=0,则(x-1)2=0,解得：x1=2=1. 8.(1)450+450×12%=504(万元). 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元. (2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x, 依题意，得：350(1+x)2=504, 解得：x1=0.2=20%,x2=-2.2（不合题意，舍去). 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%. 9.设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半. 据题意，得：7(6)(8-x)=××6 22 整理，得：x2-14x+24=0 (x-7)2-25即x1=12,x2=2 x1=12,x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去， 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半. 第九讲分式方程及应用 1.A2.A3.C4.25.±16.k>-2且k≠2 7.（1)去分母得：2x-3=3x-6,解得：x=3,经检验x=3是分式方程的解， ∴此方程的解是x=3; (2)去分母得：2x=1+x+3,解得：x=4,经检验，x=4是原方程的解， 新中考重难，点精析·数学·答案4