专题07 逆向思维法（专项训练）-【上好课】2026年中考数学二轮复习举一反三系列（全国版）

专题07 逆向思维法 方法讲解 一、核心概念 逆向思维法是初中数学重要解题思想，打破常规由条件推结论的顺向思路，从结论、问题结果或反面条件入手反向推导，化顺向复杂推理为反向简单运算，简化逻辑、避开复杂计算，高效破解难题。 二、适用范围 1.公式、法则的反向运用与代数式变形 2.命题判断、真假辨析、举反例类题型 3.正面分类多、情况复杂的计算与证明 4.方程、因式分解、参数求值问题 5.几何反向证明、存在性与最值题型 6.逻辑推理、排除法解题、压轴填空选择 三、常用逆向思维类型 1. 公式逆向运用 反向使用乘法公式、幂的运算、根式运算等，如逆用平方差、完全平方公式。 2. 反证逆向推理 正面推导困难时，假设结论不成立，通过矛盾推翻错误，验证正确结论。 3. 补集反向求解 正面情况繁多，先算反面简单情况，再用整体作差求出所求结果。 4. 执果索因推导 从所求结论出发，倒推所需条件，逐步对接题干已知条件。 5. 反向排除判定 结合选项与限制条件，反向排除错误答案，快速锁定正确选项。 四、通用解题步骤 1.判断思路：分析题目，判断顺向推导是否繁琐、分类是否过多； 2.转换方向：确定反向切入点，从结论、反面、公式逆用入手； 3.反向推导：依托定义、公式、定理，逐步逆向推理或运算； 4.对接条件：将逆向推导结果与题干已知条件相互结合验证； 5.整理作答：梳理逻辑，转化为规范书写格式，完成解题。 五、重点注意事项 1.逆向推导需严格遵循定义定理，不可主观臆断、随意推导； 2.公式逆用注意符号、范围限制，保证变形前后等价； 3.反例法只需举出一个反例，即可否定错误命题； 4.反向求解后务必检验，防止反向推理出现逻辑漏洞； 5.解答题优先顺向书写，逆向思维仅用作思考、破题思路。 六、常考典型应用 1.代数运算：逆用因式分解、幂的公式、乘法公式简化求值； 2.命题辨析：利用逆向举反例，快速判断真假命题； 3.概率计数：正面情况复杂，用 “整体减反面” 逆向计算； 4.几何证明：遇复杂证明题，执果索因，反向寻找解题条件； 5.含参问题：从结果反向代入，逆向求解参数取值与范围。 典型例题 【例1】阅读理解 逆向思维法是一种寻找问题解决方案的思维方式，通过逆向思维，能够突破传统思维模式的限制，挖掘出新的解决方案．比如我们已经学习过乘法公式，把它反过来应用，能更便利的解决一些问题． 解决问题 请你认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题： 算式①， 算式②， 算式③， 算式④，…． （1）请写出：算式⑥______；算式⑦______； （2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”．如果设两个连续奇数分别为和（n为整数），请说明这个规律是成立的． 拓展探究 （3）探究完上述问题后，阳阳认为两个连续偶数的平方差也一定也能被8整除，你认为阳阳的说法成立吗？如果成立，请通过运算推理说明：如果不成立，请举反例说明． 【例2】数学学习的主要思想方法是：抽象、推理、模型，逆向思维帮助我们发现和提出问题、演绎推理帮助我们分析和解决问题，建立模型帮助我们深度思考，请同学们完成以下任务： 【任务1】逆向思维：“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”请补充写出它的逆命题：在直角三角形中，如果__________，那么__________． 【任务2】推理建模：请补充完成任务1中逆命题的推理过程． 已知：如图1，在中，，__________，求证：__________． 证明：延长到点D，使，连接．（请完成剩余过程） 【任务3】模型应用：动手操作： 第1步：如图2，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平； 第2步：如图3，将正方形沿直线折叠，使A点的对应点P落在上，再把这个正方形展平，连接，． 第3步：如图4，延长交于点Q，连接． 数学思考：（1）图3中的__________． （2）图3中的是什么特殊的三角形？说明理由． （3）图4中，若正方形的边长为，则__________． 【任务4】拓展应用：当改变点E在上的位置（点E不与点A，D重合），使点P不在上时，连接，若正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，请直接写出的长为多少？ 【例3】将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，，求： ①的值； ②的值； (2)已知，求x的值． 【例4】利用所学乘法公式或其逆向思维，简化下列运算并计算结果： （1）；（2）． 【例5】阅读材料，回答问题． 已知，，若，，则，的大小关系是_______（填“＜”或“＞”）． 解：因为，，所以，，， 所以. 因为，，所以． （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质（　　） A．同底数幂的乘法　　　　B．同底数幂的除法 C．幂的乘方　　　　D．积的乘方 （2）已知，，利用材料中的逆向思维分别求和的值． 基础过关 1. 按下面的程序计算：当输入时，输出结果是299；当输入时，输出结果是446；如果输入x的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的x的值最多有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 某城市一年漏掉的水相当于建一个自来水厂的费用，据不完全统计，全市至少有个水龙头，个抽水马桶漏水．如果一个关不紧的水龙头一个月漏掉水，一个漏水的抽水马桶一个月漏掉水，那么该市一个月因此造成的水流失量至少是    ． A. B. C. D. 3. 任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对为72进行如下操作；这样对72只需进行3次操作后变为1；类似地，只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是________． 4. 按下面程序计算，若开始输入x的值，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是____________________． 5. 如图，已知ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB，AC，AD，当AP的长度为___________时，ADP和ABC相似． 6. 设为为正整数的末位数，如，，，则          。 7．如图所示，观察数轴，请回答． （1）点C与点D的距离为 ，点B与点D的距离为 ；点B与点E的距离为 ，点C与点A的距离为 ； （2）发现：在数轴上，如果点M与点N分别表示数m，n，则它们之间的距离可表示为MN= （用m，n表示）； （3）利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： ①数轴上表示x的点P与 B之间的距离是1，则x的值是 ； ②|x+3|=2，则x= ； ③数轴上是否存在点P，使点P到点B、点C的距离之和为11？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 8．幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求的值． (2)比较大小：若，，，则，，的大小关系是什么? 能力提升 1．阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 运用逆向思维解题 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：若，，求的值．这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 下面是小明用逆向思考的方法完成一道习题的过程： 计算：． 解：． 任务： (1)若，则的值为_______． (2)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值． (3)计算：． 2．数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点之间的距离也与这两点所表示的数有关．借助数轴完成下列任务： 实验与操作 (1)已知点，在数轴上分别表示数，数，请完成下列填空： 4 ，两点之间的距离 观察与发现 (2)观察上表，，两点之间的距离可以表示为______（用含，的代数式表示）． 理解与应用 (3)利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： 表示数轴上有理数对应的点与有理数_______对应的点之间的距离； 求满足等式的的值； 表示数轴上有理数对应的点分别到和对应的点的距离之和为，请直接写出所有符合条件的整数． 3．将幂的运算逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，求的值； (2)已知，，，求的值． 4．（逆向思维）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的： ，① ，② ，③ ，④ ．⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了，请你指出他错在第________步（填编号），错误的原因是________；然后，你自己细心地解下列方程：． 5．（1）已知，，求的值； 变式题本质相同：逆向思维 若实数，满足，，则的值为_______． （2）已知方程组，求代数式的值． 6．探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系． （1）观察数轴，填空：点A与点B的距离是________；点C与点B的距离是________． 我们发现：在数轴上，如果点M对应的数为，点N对应的数为，那么点M与点N之间的距离可表示为________（用，表示）． （2）根据你发现的规律，解决下列问题：数轴上表示和2的两点之间的距离是3，则求的值： （3）根据你发现的规律，利用逆向思维解决下列问题： ①若，则的值是多少？ ②若，则的值是多少？ 7．尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明． (1)【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它满足以下条件： 圆心O在上；经过点P；与边相切； (2)【不可及点的作图】如图2，从墙边上引两条不平行的射线、（交点在墙的另一侧，画不到，即和不可延长），作这两条射线所形成角的平分线． 拓展拔高 1．结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，求的面积． 解：设的内切圆分别与相切于点的长为． 根据切线长定理，得． 根据勾股定理，得． 整理，得． 所以 ． 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索． 如图（2）所示，已知的内切圆与三边相切于点． 【探究发现】 （1）若，求证：的面积等于． 【逆向思维】 （2）若，求证． 2．【问题提出】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？ 【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】 (1)若，平面内一点C满足，若点C所在圆的圆心为O，则__________，劣弧的长为__________． (2)如图3，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心． ①求的度数； ②连接，若正方形的边长为4，求的最小值． 3．[发现] 如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数　 （填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB＝　 °．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？ [研究] 为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． [应用] （1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为　 　． （2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心． ①∠BPE＝　 °，∠BPA＝　 °； ②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为　 ． 4．（1）【课本再现】苏科新版数学八年级上册第51页第9题：如图1，在中，是的中点，点E在上，点F在上，且．求证：． （2）【初步探究】小欣同学通过逆向思维进行了如下探究：如图2，在中，是的中点，点E在上，点F在上，且，连接．以下结论：①；②；③四边形的面积始终不变；④．恒成立的结论有（   ） A．①④    B．③④    C．①②③    D．①②③④ （3）【深入探究】小欣同学通过一般化思维又进一步作了如下探究：如图3，在中，是的中点，点E是上一点，点F是上一点，且，连接．小欣同学发现之间存在一定的等量关系，请你写出这个等量关系，并加以证明． （4）【拓展应用】如图4是一块三角形草坪，其中，现在想建造一个四边形花园，使点D是的中点，点E在上，点F在上，且．试求的长度（直接写出结果）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 逆向思维法 方法讲解 一、核心概念 逆向思维法是初中数学重要解题思想，打破常规由条件推结论的顺向思路，从结论、问题结果或反面条件入手反向推导，化顺向复杂推理为反向简单运算，简化逻辑、避开复杂计算，高效破解难题。 二、适用范围 1.公式、法则的反向运用与代数式变形 2.命题判断、真假辨析、举反例类题型 3.正面分类多、情况复杂的计算与证明 4.方程、因式分解、参数求值问题 5.几何反向证明、存在性与最值题型 6.逻辑推理、排除法解题、压轴填空选择 三、常用逆向思维类型 1. 公式逆向运用 反向使用乘法公式、幂的运算、根式运算等，如逆用平方差、完全平方公式。 2. 反证逆向推理 正面推导困难时，假设结论不成立，通过矛盾推翻错误，验证正确结论。 3. 补集反向求解 正面情况繁多，先算反面简单情况，再用整体作差求出所求结果。 4. 执果索因推导 从所求结论出发，倒推所需条件，逐步对接题干已知条件。 5. 反向排除判定 结合选项与限制条件，反向排除错误答案，快速锁定正确选项。 四、通用解题步骤 1.判断思路：分析题目，判断顺向推导是否繁琐、分类是否过多； 2.转换方向：确定反向切入点，从结论、反面、公式逆用入手； 3.反向推导：依托定义、公式、定理，逐步逆向推理或运算； 4.对接条件：将逆向推导结果与题干已知条件相互结合验证； 5.整理作答：梳理逻辑，转化为规范书写格式，完成解题。 五、重点注意事项 1.逆向推导需严格遵循定义定理，不可主观臆断、随意推导； 2.公式逆用注意符号、范围限制，保证变形前后等价； 3.反例法只需举出一个反例，即可否定错误命题； 4.反向求解后务必检验，防止反向推理出现逻辑漏洞； 5.解答题优先顺向书写，逆向思维仅用作思考、破题思路。 六、常考典型应用 1.代数运算：逆用因式分解、幂的公式、乘法公式简化求值； 2.命题辨析：利用逆向举反例，快速判断真假命题； 3.概率计数：正面情况复杂，用 “整体减反面” 逆向计算； 4.几何证明：遇复杂证明题，执果索因，反向寻找解题条件； 5.含参问题：从结果反向代入，逆向求解参数取值与范围。 典型例题 【例1】阅读理解 逆向思维法是一种寻找问题解决方案的思维方式，通过逆向思维，能够突破传统思维模式的限制，挖掘出新的解决方案．比如我们已经学习过乘法公式，把它反过来应用，能更便利的解决一些问题． 解决问题 请你认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题： 算式①， 算式②， 算式③， 算式④，…． （1）请写出：算式⑥______；算式⑦______； （2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”．如果设两个连续奇数分别为和（n为整数），请说明这个规律是成立的． 拓展探究 （3）探究完上述问题后，阳阳认为两个连续偶数的平方差也一定也能被8整除，你认为阳阳的说法成立吗？如果成立，请通过运算推理说明：如果不成立，请举反例说明． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）不成立；见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用、数字类规律探索，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． （1）根据题干中所给式子规律写出算式⑤、算式⑥即可； （2）利用平方差公式可得，即可得解； （3）举反例说明即可． 【详解】解：（1）算式⑥：， 算式⑦：； 故答案为：，； （2）， ∵n为整数， ∴两个连续奇数的平方差能被8整除 即“两个连续奇数的平方差能被8整除”是成立的； （3）不成立； 举反例，如， ∵12不是8的倍数， ∴这个说法不成立． 【例2】数学学习的主要思想方法是：抽象、推理、模型，逆向思维帮助我们发现和提出问题、演绎推理帮助我们分析和解决问题，建立模型帮助我们深度思考，请同学们完成以下任务： 【任务1】逆向思维：“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”请补充写出它的逆命题：在直角三角形中，如果__________，那么__________． 【任务2】推理建模：请补充完成任务1中逆命题的推理过程． 已知：如图1，在中，，__________，求证：__________． 证明：延长到点D，使，连接．（请完成剩余过程） 【任务3】模型应用：动手操作： 第1步：如图2，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平； 第2步：如图3，将正方形沿直线折叠，使A点的对应点P落在上，再把这个正方形展平，连接，． 第3步：如图4，延长交于点Q，连接． 数学思考：（1）图3中的__________． （2）图3中的是什么特殊的三角形？说明理由． （3）图4中，若正方形的边长为，则__________． 【任务4】拓展应用：当改变点E在上的位置（点E不与点A，D重合），使点P不在上时，连接，若正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，请直接写出的长为多少？ 【答案】任务1：一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的锐角等于； 任务2：，，理由见解析； 任务3：（1）；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）； 任务4： 【分析】任务1：根据原命题写出逆命题即可； 任务2：根据命题条件和结论分别补全求证的题干和结论；延长到点D，使，连接，即可证明垂直平分，进一步有是等边三角形，利用三角形内角和定理即可证明； 任务3：（1）由任务2的结论进行求解即可； （2）由对折的性质可知：，，，可得垂直平分，得到，再证得，最后可证得是等边三角形； （3）由对折的性质可知：，，，再证明，可得，再求得，从而得出，，由对折的性质知，，，得出，即可求得的长； 任务4：由对折的性质可知：，，，利用正方形的性质可得，由此得知当最小时，的周长最小，由翻折可知：，由两点之间线段最短，可知当三点共线时，最小，即最小，此时，根据正方形性质可证得是等腰直角三角形，则可得，在中，利用勾股定理求解出，得出的长，即可得的长． 【详解】解：任务1： 逆命题为：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于． 故答案为：一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的锐角等于； 任务2： 已知：如图1，在中，，， 求证：． 证明：延长到点D，使，连接． 则， ， ， ，且， 垂直平分， ， ， 则是等边三角形， ， ． 故答案为：，； 任务3： （1）如图3，由对折的性质可知：， ，， ， ． 故答案为：； （2）是等边三角形，理由如下： 如图3，由对折的性质可知：， ，， 垂直平分， ， ， 是等边三角形． （3）是等边三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， 由对折的性质可知：，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 中，， ， ，， 由对折的性质知，， ， ， ， ． 故答案为：； 任务4： 如下图： 由对折的性质可知：，，， ， 正方形纸片的边长为6， ， ， 当最小时，的周长最小， 由翻折可知：，由两点之间线段最短，可知当三点共线时，最小，即最小， ∵， ， 四边形是正方形， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， 则的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算等，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【例3】将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，，求： ①的值； ②的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1)；②； (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法的计算方法将转化为，将转化为，然后代入计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法将原式化为，进而得到，求出x的值即可． 【详解】（1）解：， ； ②， ； （2）解：， ， 解得 【例4】利用所学乘法公式或其逆向思维，简化下列运算并计算结果： （1）；（2）． 【答案】（1）16；（2）1 【分析】（1）根据完全平方公式，即可求解； （2）根据平方差公式，即可求解． 【详解】解：（1）原式= = =16； （2）原式= = =． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 【例5】阅读材料，回答问题． 已知，，若，，则，的大小关系是_______（填“＜”或“＞”）． 解：因为，，所以，，， 所以. 因为，，所以． （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质（　　） A．同底数幂的乘法　　　　B．同底数幂的除法 C．幂的乘方　　　　D．积的乘方 （2）已知，，利用材料中的逆向思维分别求和的值． 【答案】（1）C；（2）， 【分析】(1)根据幂的乘方进行解答即可； (2)根据题目所给的求解方法，进行比较． 【详解】(1) 上述求解过程中，逆用了幂的乘方， 故选C； (2)∵， 当，时，； ∵， 当时，． 【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握运算法则、逆用幂的乘方和积的乘方是解本题的关键． 基础过关 1. 按下面的程序计算：当输入时，输出结果是299；当输入时，输出结果是446；如果输入x的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的x的值最多有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出257，可得方程，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案． 【解答】解：第一个数就是直接输出其结果的：， 解得：， 第二个数是， 解得：； 第三个数是：， 解得：， 第四个数是， 解得：不合题意舍去； 故满足条件所有x的值是86、29或10，共3个． 故选C． 2. 某城市一年漏掉的水相当于建一个自来水厂的费用，据不完全统计，全市至少有个水龙头，个抽水马桶漏水．如果一个关不紧的水龙头一个月漏掉水，一个漏水的抽水马桶一个月漏掉水，那么该市一个月因此造成的水流失量至少是    ． A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的乘法，用单项式分别表示水龙头和马桶一个月漏水的量，再求它们的和．根据题意，把所有水龙头漏掉的水和所有马桶漏掉的水相加即可． 【解答】解：所有水龙头漏掉的为，所有抽水马桶漏掉的为． 一个月造成的水流失量至少是 ， ． 故选C． 3. 任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对为72进行如下操作；这样对72只需进行3次操作后变为1；类似地，只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是________． 【答案】6560 【分析】本题主要考查了新定义，无理数的估算，采用逆向思维是解答的关键．运用逆向思维进行解答，按新定义，先求出第三次操作前a的最大整数，再求第二次操作前a的最大整数，最后求出第一次操作前的最大整数a便可． 【解答】解：，， 第三次操作前a的最大整数值为8， ，， 第二次操作前a的最大整数值为80， ，， 第一次操作前a的最大整数值为6560， 故答案为6560． 4. 按下面程序计算，若开始输入x的值，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是____________________． 【答案】131或26或5 【分析】此题考查了解方程的应用注意理解题意是解题的关键分析第一个数就是直接输出656，可得方程，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案  【解答】解：我们用逆向思维来做： 第一个数就是直接输出其结果的：， 解得：； 第二个数是， 解得：； 同理：可求出第三个数是5； 第四个数是， 输入x的值， 不合题意舍去， 满足条件所有x的值是131或26或5． 故答案为131或26或  5. 如图，已知ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB，AC，AD，当AP的长度为___________时，ADP和ABC相似． 【答案】4或9 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论是解题的关键． 分别根据当∽时，当∽时，求出AP的长即可． 【解答】解：当∽时， ， ， 解得：， 当∽时， ， ， 解得：， 当AP的长度为4或9时，和相似． 故答案为4或9． 6. 设为为正整数的末位数，如，，，则          。 【答案】85 【分析】本题考查了尾数特征，本题关键是得出正整数的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十个一循环．正整数的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十个一循环，得出其中规律，即可求解． 【解答】解：依次为1，6，1，6，5，6，1，6，1，0， 与分别相等，∽与分别相等， 因此． 故答案为85． 7．如图所示，观察数轴，请回答． （1）点C与点D的距离为 ，点B与点D的距离为 ；点B与点E的距离为 ，点C与点A的距离为 ； （2）发现：在数轴上，如果点M与点N分别表示数m，n，则它们之间的距离可表示为MN= （用m，n表示）； （3）利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： ①数轴上表示x的点P与 B之间的距离是1，则x的值是 ； ②|x+3|=2，则x= ； ③数轴上是否存在点P，使点P到点B、点C的距离之和为11？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）3，2，4，7；（2）或；（3）①-3或-1；②-5或-1；③存在，x的值为-5或6 【详解】解：（1）观察数轴可得：点C与点D的距离为3，点B与点D的距离为2； 点B与点E的距离为4，点C与点A的距离为7； 故答案为：3，2；4， 7； （2）观察数轴并结合（1）中运算可得MN=|m-n|＝； 故答案为：或； （3）①由（1）可知，数轴上表示x和﹣2的两点P与B之间的距离是1，则|x+2|＝1，解得x＝﹣3或x＝﹣1． 故答案为：﹣3或﹣1． ②|x+3|＝2，即x+3＝2或x+3＝﹣2， 解得x＝﹣1或﹣5， 故答案为：﹣5或﹣1． ③存在．理由如下： 若P点在B 点左侧，﹣2﹣x+3﹣x＝11，解得x＝﹣5； 若P点在B、C之间，x+2+3﹣x＝11，此方程不成立； 若P点在C点右侧，x+2+x﹣3＝11，解得x＝6． 答：存在．x的值为﹣5或6． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的意义及一元一次方程在数轴问题中的应用，数形结合并分类讨论是解题的关键． 8．幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，求的值． (2)比较大小：若，，，则，，的大小关系是什么? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂的乘方及同底数幂的乘法的逆运算求解． （2）将a、b、c化简为相同的指数进行比较大小． 【详解】（1）解： 解得： （2）解： 【点睛】此题考查了幂的计算法则及拓展应用，解题的关键是正确运用计算法则及逆运算． 能力提升 1．阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 运用逆向思维解题 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：若，，求的值．这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 下面是小明用逆向思考的方法完成一道习题的过程： 计算：． 解：． 任务： (1)若，则的值为_______． (2)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）先根据幂的乘方计算法则求出，再由同底数幂除法的逆运算法则得到，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则把原式变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，积的乘方的逆运算，幂的乘方和求平方根的方法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键． 2．数轴是非常重要的“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系，同时我们发现数轴上两点之间的距离也与这两点所表示的数有关．借助数轴完成下列任务： 实验与操作 (1)已知点，在数轴上分别表示数，数，请完成下列填空： 4 ，两点之间的距离 观察与发现 (2)观察上表，，两点之间的距离可以表示为______（用含，的代数式表示）． 理解与应用 (3)利用发现的结论，逆向思维解决下列问题： 表示数轴上有理数对应的点与有理数_______对应的点之间的距离； 求满足等式的的值； 表示数轴上有理数对应的点分别到和对应的点的距离之和为，请直接写出所有符合条件的整数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)  或  整数有，，，，，， 【分析】本题考查了化简求绝对值、数轴、数轴上两点之间的距离等知识点，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）结合题意，列式并化简绝对值即可； （2）结合（1）中的表格，即可获得答案； （3）结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案； 根据题意，结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案； 根据题意，结合数轴上两点之间距离公式分析，即可获得答案；． 【详解】（1）解：见下表： 4 ，两点之间的距离 （2）解：观察上表：猜想、两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （3）解：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， 故答案为：； 等式表示数轴上有理数到的距离是， 即或， 解得：或； 根据题意，表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和为， 满足条件的有理数的取值范围为， 所有符合条件的整数值有，，，，，，． 3．将幂的运算逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，求的值； (2)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的运算，积的乘方逆用，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）化简后，把整体代入运算即可； （2）化简后，把，，代入运算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 把，代入可得：， ∴， 解得：． 4．（逆向思维）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的： ，① ，② ，③ ，④ ．⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了，请你指出他错在第________步（填编号），错误的原因是________；然后，你自己细心地解下列方程：． 【答案】①，等号右边的1漏乘12，． 【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】他错在第①步，错误的原因是等号右边的1漏乘12； 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 5．（1）已知，，求的值； 变式题本质相同：逆向思维 若实数，满足，，则的值为_______． （2）已知方程组，求代数式的值． 【答案】（1）；变式题：；（2） 【分析】本题考查因式分解，以及代数式求值，解题的关键在于熟练掌握提公因式法分解因式． （1）利用提公因式先将变形为，再将，代入求解，即可解题； 变式题：根据将代入求解，即可解题； （2）利用提公因式先将变形为，再将，代入求解，即可解题． 【详解】解：（1）． 把，代入上式， 原式． 变式题：，， ，即， 故答案为：． （2）原式． 把，代入上式， 原式． 6．探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系． （1）观察数轴，填空：点A与点B的距离是________；点C与点B的距离是________． 我们发现：在数轴上，如果点M对应的数为，点N对应的数为，那么点M与点N之间的距离可表示为________（用，表示）． （2）根据你发现的规律，解决下列问题：数轴上表示和2的两点之间的距离是3，则求的值： （3）根据你发现的规律，利用逆向思维解决下列问题： ①若，则的值是多少？ ②若，则的值是多少？ 【答案】（1）2，5，；（2）x=5或-1；（3）①或；②或7 【分析】（1）根据数轴进行观察，即可得到两点之间的距离； （2）根据数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，可得|x-2|=3，进而得到x的值； （3）根据发现的规律，即可得到x的值． 【详解】（1）根据数轴进行观察，可得点A与点B的距离是2；点C与点B的距离是5； 根据数轴与距离发现规律：两点之间距离等于较大的数减去较小的数，大小不确定时可添加绝对值；故点M与点N之间的距离可表示为 （2）∵数轴上表示x和2的两点之间的距离是3， ∴ ， ∴或 （3）①表示的意思是x和2的两点之间的距离是5，而与2距离5个单位长度的是7或-3， ∴或. ② 故答案为：（1）2，5，；（2）x=5或-1；（3）①或；②或7. 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，数轴以及绝对值的性质，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． 7．尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明． (1)【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它满足以下条件： 圆心O在上；经过点P；与边相切； (2)【不可及点的作图】如图2，从墙边上引两条不平行的射线、（交点在墙的另一侧，画不到，即和不可延长），作这两条射线所形成角的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆的基本性质，角平分线的性质与判定． （1）要作一个满足条件的圆，关键在于确定圆心和半径．因为圆心在上且圆经过点 P 并与相切过圆心作的垂线，垂线段长度即为半径； （2）根据三角形三条角平分线交于同一点作图即可． 【详解】（1）解：①过点P作的垂线交于点E， ②在上截取， ③作交于点O（或作的平分线交于点O）； ④以点O为圆心，长为半径作圆； 则为所求的图形． （2）解：①在上任取一点M（除F外），在上任取一点N（除E外），连接； ②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点G； ③同样方法，得点H； ④作直线，则直线为所求的图形． 拓展拔高 1．结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，求的面积． 解：设的内切圆分别与相切于点的长为． 根据切线长定理，得． 根据勾股定理，得． 整理，得． 所以 ． 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索． 如图（2）所示，已知的内切圆与三边相切于点． 【探究发现】 （1）若，求证：的面积等于． 【逆向思维】 （2）若，求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查切线长定理，勾股定理及其逆定理，整式的运算，熟练掌握切线长定理，勾股定理及其逆定理是解题的关键。 （1）设,仿照例题利用勾股定理得，再根据即可得到； （2）由，得, 因此=,利用勾股定理的逆定理可得. 【详解】解：（1）设. 根据切线长定理，得，，. ∴，， ∵， ∴在中，， 即. 整理，得. ∴ . ∴的面积等于． （2）由（1）可知，， ∵， ∴. 整理，得. ∴ . ∴是直角三角形，. 2．【问题提出】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？ 【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】 (1)若，平面内一点C满足，若点C所在圆的圆心为O，则__________，劣弧的长为__________． (2)如图3，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心． ①求的度数； ②连接，若正方形的边长为4，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作,求得，进而求得，根据可求得，根据即可求出劣弧的长度； （2）①根据已知条件可得，证明，即可求得，根据三角形内角和定理即可求出； ②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，由题意的由“定弦定角”模型，可知,,作出的外接圆，圆，设圆的半径为，则的最小值即为，根据勾股定理即可求得，，从而求得最小值． 【详解】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作, ，， ， ， ，， ， ∴劣弧的长为 故答案为：，； （2）①， ， ， 点是的内心， 平分， ， ， ， ， ， ∴； ②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点， 由题意的由“定弦定角”模型，可知,, 作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为， ， 设优弧所对的圆心角优角为， 则， ， ， ， ， ， ，四边形是正方形， ∴， ， ， ∵， ， ， ， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了“定弦定角”模型，圆周角定理，解直角三角形，线段最短距离，勾股定理正方形的性质，三角形全等的性质与判定，理解题意作出图形是解题的关键． 3．[发现] 如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数　 （填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB＝　 °．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？ [研究] 为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． [应用] （1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为　 　． （2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心． ①∠BPE＝　 °，∠BPA＝　 °； ②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为　 ． 【答案】[发现]不变，75；[研究]补全图形如图1所示，见解析；[应用]（1）3；（2）①135，135；②． 【分析】[发现]根据题意，直接得出答案，利用圆周角定理求出∠ACB； [研究]先作出AB的垂直平分线，再以垂足为圆心，AB的一半为半径确定出圆心O，即可得出结论； [应用]（1）先确定出△ABC的外接圆的半径，再判断出点C到AB的最大距离为3，即可得出结论； （2）①先确定出∠BFE=90°，再判断出∠BEP=∠BEF，∠EBP=∠ABE，最后用三角形的内角和定理，即可得出结论； ②先作出△ABP的外接圆，进而求出外接圆的半径，进而判断出CP最小时，点P的位置，最后构造直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：[发现]根据圆周角性质，∠ACB的度数不变， ∵∠AOB＝150°， ∴∠ACB＝∠AOB＝75°， 故答案为：不变，75°； [研究]补全图形如图1所示， [应用]（1）如图2， 记△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA，OB， ∵∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝30°， 过点O作OH⊥AB于H， ∴AH＝AB＝， 在Rt△AHO中，设⊙O的半径为2r，则OH＝r， 根据勾股定理得，（2r）2﹣r2＝3， ∴r＝1（舍去负数）， ∴OA＝2，OH＝1， ∵点C到AB的最大距离h为r+OH＝2+1＝3， ∴S△ABC最大＝AB•h＝×2×3＝3， 故答案为：3； （2）①∵EF⊥AB， ∴∠EFB＝90°， ∴∠BEF+∠EBF＝90°， ∵点P是△BEF的内心， ∴PE，PB分别是∠BEF和∠EBF的角平分线， ∴∠BEP＝∠BEF，∠EBP＝∠ABP＝∠ABE， ∴∠BPE＝180°﹣（∠BEP+∠EBP）＝180°﹣（∠BEF+∠EBF）＝180°﹣×90°＝135°； 在△BPE和△BPA中， ， ∴△BPE≌△BPA（SAS）． ∴∠BPA＝∠BPE＝135°， 故答案为：135°，135°； ②如图3， 作△ABP的外接圆，圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ， 则四边形APBQ是⊙O的圆内接四边形， ∴∠AQB＝180°-∠BPA＝45°， ∴∠AOB＝2∠AQB＝90°， ∴OA＝OB＝AB＝， 连接OC，与⊙O相交于点P'此时，CP'是CP的最小值， 过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CB，交CB的延长线于N， 则四边形OMBN是正方形， ∴ON＝BN＝BM＝AB＝1， ∴CN＝BC+BN＝3， 在Rt△ONC中，OC＝＝， ∴CP的最小值＝CP'＝OC﹣OP'＝﹣， 故答案为：﹣． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，内心，构造出圆是解本题的关键． 4．（1）【课本再现】苏科新版数学八年级上册第51页第9题：如图1，在中，是的中点，点E在上，点F在上，且．求证：． （2）【初步探究】小欣同学通过逆向思维进行了如下探究：如图2，在中，是的中点，点E在上，点F在上，且，连接．以下结论：①；②；③四边形的面积始终不变；④．恒成立的结论有（   ） A．①④    B．③④    C．①②③    D．①②③④ （3）【深入探究】小欣同学通过一般化思维又进一步作了如下探究：如图3，在中，是的中点，点E是上一点，点F是上一点，且，连接．小欣同学发现之间存在一定的等量关系，请你写出这个等量关系，并加以证明． （4）【拓展应用】如图4是一块三角形草坪，其中，现在想建造一个四边形花园，使点D是的中点，点E在上，点F在上，且．试求的长度（直接写出结果）． 【答案】（1）见解析；（2）D；（3），见解析；（4） 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，合理作出辅助线是关键． （1）根据等腰直角三角形的性质证明即可求解； （2）证明，得，结论①成立；根据全等三角形的性质得到，结合，等量代换即可得到结论②成立；根据可判定结论③成立；由勾股定理得到，结合全等三角形的性质，等量代换即可判定结论④成立；由此即可求解； （3）如图，延长到点，使，连接，可证明，得到，由勾股定理得到，结合题意，等量代换即可求解； （4）如图，连接，设，则，由（3）结论，结合题意列式，由此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，点是中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①②③④ ， 如图，连接， 由（1）可知：， ∵，点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由此可知，结论①成立； ∵， ∴， ∵， ∴ 由此可知，结论②成立； ∵， ∴，即， 由此可知，结论③成立； ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 由此可知，结论④成立； 故答案为：①②③④； （3）， 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （4） ， 如图，连接，设，则， 由（3）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 所以的长度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $